高中数学《三角函数的诱导公式——诱导公式五、六》导学案

第2课时 诱导公式五、六

诱导公式五和六

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)角π

2－α与角α的终边关于y 轴对称．( )

(2)由诱导公式五、六，能够推导出tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α与tan α的关系．( ) (3)sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

3π2＋α＝－sin α.( )

答案 (1)× (2)√ (3)× 2．做一做

(1)已知sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫5π2＋α＝1

5，那么cos α＝( )

A ．－25

B ．－15 C.15 D.2

5

答案 C

解析 根据诱导公式sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，可得sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

5π2＋α

＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π2＋α＝sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π2＋α＝cos α＝1

5.故正确答案为C.

(2)(教材改编P 26公式五)已知角α的终边经过点P 0(－3，－4)，

则cos ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

π2－α的值为( )

A ．－45 B.35 C.45 D ．－35 答案 A

解析 角α的终边经过点P 0(－3，－4)，由三角函数的定义可得sin α＝

－4

(－3)2＋(－4)2

＝－45，所以cos ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π2－α＝sin α＝－4

5，故选A.

(3)化简：sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫3π2＋α＝________. 答案 －cos α

解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α ＝－sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

π2＋α＝－cos α.

探究1 利用诱导公式五、六求值

例1 已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝1

3，求值： sin ⎝

⎛⎭

⎪⎫π2＋αcos ⎝

⎛⎭⎪⎫

π2－αcos (π＋α)

＋sin (π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫

3π2＋αsin (π＋α)

.

解 原式＝cos αsin α－cos α＋sin αsin α

－sin α

＝－sin α－sin α＝－2sin α.

又cos ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π2＋α＝13，所以－sin α＝13.

所以原式＝－2sin α＝23. 拓展提升

诱导公式应用中需注意的问题

诱导公式的应用，就是化归思想的应用，求值过程就是由未知角的三角函数向已知角的三角函数的转化过程．解题时要密切注意角之间的关系，特别是互余、互补关系，为应用诱导公式创造条件．

【跟踪训练1】 已知cos(π＋α)＝－1

2，求cos ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π2＋α的值．

解 ∵cos(π＋α)＝－cos α＝－1

2， ∴cos α＝1

2，∴α为第一或第四象限角． ①若α为第一象限角，

则cos ⎝

⎛⎭

⎪⎫

π2＋α＝－sin α＝－1－cos 2α＝－

1－⎝ ⎛⎭

⎪⎫122 ＝－32；

②若α为第四象限角，则

cos ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π2＋α＝－sin α＝1－cos 2

α＝

1－⎝ ⎛⎭

⎪⎫122＝3

2. 探究2 化简三角函数式 例2 化简：

sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π2－αcos (π＋α)＋

sin (π－α)cos ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π2＋αsin (π＋α)

.

解 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，cos ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

π2－α＝sin α，

cos(π＋α)＝－cos α，sin(π－α)＝sin α，

cos ⎝

⎛⎭

⎪⎫

π2＋α＝－sin α，sin(π＋α)＝－sin α， ∴原式＝cos α·sin α－cos α＋sin α·(－sin α)

－sin α

＝－sin α＋sin α＝0. 拓展提升

用诱导公式化简求值的方法

(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行三角函数名称转化，以保证三角函数名称最少．

(2)对于k π±α(k ∈Z )和π

2±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而后一套公式必须变名．

【跟踪训练2】 (1)sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 288°＋sin 289°＋sin 290°的值等于________；

(2)化简：tan (3π－α)sin (π－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＋sin (2π－α)cos ⎝ ⎛

⎭

⎪

⎫α－7π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫

3π2＋αcos (2π＋α)

.

答案 (1)91

2 (2)见解析

解析 (1)因为sin 21°＋sin 289°＝sin 21°＋cos 21°＝1， sin 22°＋sin 288°＝sin 22°＋cos 22°＝1，

sin 2x °＋sin 2(90°－x °)＝sin 2x °＋cos 2x °＝1(1≤x ≤44，x ∈N )， 所以原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋