理论力学课后习题答案-第10章--动能定理及其应用-)

理论力学课后习题答案-第10章--动能定理及其应用-)
(a)
v ϕ
A
B
C r
v 1
v 1
v 1
ωϕ(a)
C
C
ωC
v
ωO
第10章 动能定理及其应用
10－1 计算图示各系统的动能：
1．质量为m ，半径为r 的均质圆盘在其自身平面内作平面运动。

在图示位置时，若已知圆盘上A 、B 两点的速度方向如图示，B 点的速度为v B ，θ = 45º（图a ）。

2．图示质量为m 1的均质杆OA ，一端铰接在质量为m 2的均质圆盘中心，另一端放在水平面上，圆盘在地面上作纯滚动，圆心速度为v （图b ）。

3．质量为m 的均质细圆环半径为R ，其上固结一个质量也为m 的质点A 。

细圆环在水平面上
作纯滚动，图示瞬时角速度为ω（图c ）。

解：
1．22
2
2
22
16
3
)2(2121)2(212121B
B
B C
C
C
mv r v mr v m J mv T =⋅+=+=ω 2．2221222222
14321)(21212121v m v m r v r m v m v
m T +=⋅++= 3．
2
2222222)2(2
1
2121ωωωωmR R m mR mR T =++=
10－2 图示滑块A 重力为1W ，可在滑道内滑动，与滑块A 用铰链连接的是重力为2W 、长为l 的匀质杆AB 。

现已知道滑块沿滑道的速度为1v ，杆AB 的角速度为1ω。

当杆与铅垂线的夹角为ϕ时，试求系
统的动能。

解：图（a ） B A
T T T +=
)2
1
21(21222
2
1
1
ωC C
J v
g
W
v g W +
+=
21
221121212211122]cos 22)2[(22ωϕωω⋅⋅+⋅++++=l g
W l l v l v l g W v g W
]cos 3
1)[(2111221222121ϕωωv l W l W v W W g +++=
10－3 重力为P F 、半径为r 的齿轮II 与半径为r R 3=的固定内齿轮I 相啮合。

齿轮II 通过匀质的曲柄OC 带动而运动。

曲柄的重力为Q F ，角速度为ω，齿轮可视为匀质圆盘。

试求行星齿轮机构的动能。

解：
C
OC T T T +=
习题10－2图
习题10－3图
B
v A C
θ
(a)
v
O
ω
A
习题10－1图
(b)
(c)
A
2222)21(212121C C C C OC O r m v m J ωω++=
22P 2P 22Q )2(41)2(21])2(31[21r r r g F r g F r g F ωωω++=
)92(3P Q 22F F g r +=ω
10－4 图示一重物A 质量为m 1，当其下降时，借一无重且不可伸长的绳索使滚子C 沿水平轨道滚动而不滑动。

绳索跨过一不计质量的定滑轮D 并绕在滑轮B 上。

滑轮B 的半径为R ，与半径为r 的滚子C 固结，两者总质量为m 2，其对O 轴的回转半径为ρ。

试求重物A 的加速度。

解： 将滚子C 、滑轮D 、物块A 所组成的刚体系统作为研究对象，系统具有理想约束，由动能定理建立系统的运动与主动力之间的
关系。

设系统在物块下降任意距离s 时的动能 动能：22221212121C C C A
J v m v
m T ω++=
其中r
R v A C
-=
ω
，r
R r
v r v
A C C
-=
=ω，2
2ρm J
C
=
22
22212
2222221])([21])(1)([21A
A v r R r m m v r R m r R r m m T -++=-+-+=ρρ
力作的功：gs m W 1
=
应用动能定理：
gs m v r R r m m A 12
22221])
([21=-++ρ
将上式对时间求导数：
s
g m a v r R r m m A A &12
2
221])([=-++ρ
求得物块的加速度为：)()()(222
212
1ρ++--=r m r R m r R g m a A
10－5 图示机构中，均质杆AB 长为l ，质量为2m ，两端分别与质量均为m 的滑块铰接，两光滑直槽相互垂直。

设弹簧刚度为k ，且当θ = 0˚时，弹簧为原长。

若机构在θ = 60˚时无初速开始运动，试求当杆AB 处于水平位置时的角速度和角加速度。

解：应用动能定理建立系统的运动与主动力
习题10－4图
C
B
O
D
R r A
θ
A B
k
习题10－5图
O
习题10－6图
之间的关系。

动能： 其中：AB
A
l v θωsin =；AB
B
l v
θωcos =；223
1
ml J
O
= 外力的
功
：
T
=
W
；
])cos 1(4
1
[2)sin 23(
222θθ--+-=l k mgl
（1）
当0=θ时：
226
5AB ml ω832kl mgl +
=；ml
kl
mg m k g l AB
203324203536+=+=
ω
对式（1）求导：AB AB
ml αω2
3
5θθθθ
θ&&sin )cos 1(22
cos 22---=l k mgl ；
其中：AB
ωθ=-&；当0=θ时：l
g AB
56=
α
10－6 图a 与图b 分别为圆盘与圆环，二者质量均为m ，半径均为r ，均置于距地面为h 的斜面上，斜面倾角为θ，盘与环都从时间0=t 开始，在斜面上作纯滚动。

分析圆盘与圆环哪一个先到达地面？
解：对图（a ）应用动能定理：θ
sin 4321
mgs mv
C =；求
导后有θsin 3
2
1g a
C =
设圆盘与圆环到达地面时质心走过距离d ，则
21
12
1
t a d C =；θsin 321
1
g d a d t C == 对图（b ）应用动能定理：θ
sin 2
2
mgs mv
C =；求导
后有θsin 2
12
g a C = 222
2
12
121AB O B
A
J mv mv T ω+
+=2
222226
53121AB
AB AB ml ml ml T ωωω=+=]
)cos ()60cos [(2
)sin 60(sin 22)sin 60(sin 22θθθl l l l k
l mg mgl W --︒-+-︒+-︒=2
26
5AB ml ω8
32
kl mgl W +
=
22
22
1t a d C =；θ
sin 422
2
g d a d
t
C ==
因为t 1 < t 2，所以圆盘（a ）先到达地面。

10－7 两匀质杆AC 和BC 质量均为m ，长度均为l ，在C 点由光滑铰链相连接，A 、B 端放置在光滑水平面上，如图所示。

杆系在铅垂面内的图示位置由静止开始运动，试求铰链C 落到地面时的速度。

解：设铰链C 刚与地面相碰时速度C
v v =。

根据运动学分析A '点及B '点分别为C A ''及C B ''杆的速度瞬心，如图（a ）
ωω===''l v l v C C A
ωω==='
'l
v l v C C B
动能定理：
231
212222-⋅⋅=⋅⋅ωml h mg
2
3
1mv mgh =
gh
v 3=
10－8 质量为15kg 的细杆可绕轴转动，杆端A 连接刚度系数为k =50N/m 的弹簧。

弹簧另一端固结于B 点，弹簧原长1.5m 。

试求杆从水平位置以初角速度0ω=0.1rad/s 落到图示位置时的角速度。

解：2
2
1
)3
1
(21ωml T =， 222)3
1(21ωml T =
])5.112()5.12[(2
232212---+⋅
=k
mg W
习题10－7图
习题10－8图
(a)
A '
''ωC '
'
'ωB C
v
习题10－9图
O B A
r 习题10－10图
A
C
O R
r B ϕ
(a) k
o
60A '
O
O
ωB
A
g
m g
m ω
m
2m
2
)733(2
3
-+=
k mg 12
12W T T =-
)733(2
3)(612022-+=-k mg ml ωω
2
2
)
733(633ωω+-+=
ml
k mg
93
.1215)
733(5068.915332
=⨯-⨯+⨯⨯=
rad/s
10－9 在图示机构中，已知：均质圆盘的质量为m 、半径为r ，可沿水平面作纯滚动。

刚性系数为k 的弹簧一端固定于B ，另一端与圆盘中心O 相连。

运动开始时，弹簧处于原长，此时圆盘角速度为ω，试求：（1）圆盘向右运动到达最右位置时，弹簧的伸长量；（2）圆盘到达最右位置时的角加速度α及
圆盘与水平面间的摩擦力。

解：（1）设圆盘到达最右
位置时，弹簧的伸长量为δ，
则2
2
1
43ωmr T =；；2
12
2
1
δk W -=
12
12W T T =-；=-2
24
3ω
mr 2
2
1δk -；ωδr k
m 23=
（2）如图（a ）：
r F J O
A
=α；Fr J O
=α ωα2
2
2323r k m k mr =；m
k 32ωα= A F mr =α2
1
；6
km r F
A
ω
=
10－10 在图示机构中，鼓轮B 质量为m ，内、外半径分别为r 和R ，对转轴O 的回转半径为ρ
，其上绕有细绳，一端吊一质量为m 的物块A ，另一端与质量为M 、半径为r 的均质圆轮C 相
连，斜面倾角为ϕ，绳的倾斜段与斜面平行。

试求：（1）鼓轮的角加速度α；（2）斜面的摩擦力及连接物块A 的绳子的张力（表示为α的函数）。

解：（1）应用动能定理：T = W
2
2222
1212121C
C C O O A J Mv J mv T ωω+++= 其中：O
A
R v
ω=；O
C
r v
ω=；O
C
ωω=；2
ρ
m J
O
=；
2
2
1Mr J C =
2
2
2
22)2
1
(2
1
O
Mr Mr m mR T ωρ+++= 设物块A 上升距离s A 时：
02
=T O F O
A F N
（a
α
mg C
C
F （
α
M
m
F T （
A
习题10－12图
(a)
ϕ
.
ϕ
r
O
s
v
g
1m B k
A
d
2m A
C mgs Mgs W -=ϕsin
对动能定理的表达式求导：
A
C
O
O
mgv Mgv Mr R m -=++ϕαωρsin ]2
3
)([2
2
2
2
2
2
3)(2)sin (2Mr
R m mR Mr g C
O
++-=
==ρϕααα （2）如图（a ）：Fr J C
=α；αMr F 2
1= 如图（b ）：mg
F
ma -=T
；)(T
αR g m F
+=
10－11 匀质圆盘的质量为1m 、半径为r ，圆盘与处于水平位置的弹簧一端铰接且可绕固定轴O 转动，以起吊重物A ，如图所示。

若重物A 的质量为2m ；弹簧刚度系数为k 。

试求系统的固有频率。

解：设弹簧上OB 位于铅垂位置时为原长，则动能
2
2
12
2))(21(2121r v
r m v m T +=2
1
2)4
121(v m m += 2
2
2
2
2
22)(2s r kd
gs m d r s k gs m W -=-= W T =
2
2
2
2
2
122)4121(s r
kd
gs m v m m -=+ t
d d ：v
s r kd g m va m m )()21(22
212-=+
s
r
kd g m a m m 22
212)21(-=+
g
m s r kd s m m 222
12)21(=++&&
1
221222
2
1)
2(m m g m s m m r kd
s +=
++&&
)
2(2122
2
2n m m r kd
+=ω 2
1n 22m m k r
d +=
ω
10－12 图示圆盘质量为m 、半径为r ，在中心处与两根水平放置的弹簧固结，且在平面上作无滑动滚动。

弹簧刚度系数均为0k 。

试求系统作微振动的固有频率。

解：设静止时弹簧的原长，则
动能2
2
2
))(21
(2121r v mr mv T +=20
4
3mv = 弹力功：2
2
2x k W ⨯⨯-=
习题10－11图
(b)
A
Oy
F
Ox
F O
B
1T '
2
T 'F
g
m
(a)
1
T 2
T M
Ex
F Ey
D C
E
n
22
04
3kx mv -=
t d d ： 0
22
3kxv a mv -= 022
30
=+kx x mv && 034=+x m k x && m
k
34n
=ω
10－13 测量机器功率的功率计，由胶带ACDB 和一杠杆BOF 组成，如图所示。

胶带具有铅垂的两段AC 和DB ，并套住受试验机器和滑轮E 的下半部，杠杆则以刀口搁在支点O 上，借升高或降低支点Ｏ，可以变更胶带的拉力，同时变更胶带与滑轮间的摩擦力。

在Ｆ处挂一重锤Ｐ，杠杆BF 即可处于水平平衡位置。

若用来平衡胶带拉力的重锤的质量m =3kg ，Ｌ＝500mm ，试求发动机的转速n =240r/min 时发动机的功率。

解：设发动机的角速度为ω。

则 π860
240π260π2=⨯==n ω（rad/s ） 又 const =ω，发动机作等速转动。

滑轮E 的角加速度0=α。

滑轮E 受力分析如图（a ）。

由 ∑=0E
M 得 0)(2
1=--R T T M R T T M )(2
1-= （1）
取杠杆为研究对象，受力如图（b ）。

由 0=∑O
M 得 0)(2
1='-'-R T T mgl
R T T mgl )(2
1'-'= （2） 且 11T T ='，2
2T T =' （3） 综合（1）、
（2）、（3）可得： mgl M =
∴ 发动机的功率 π
850.08.93⨯⨯⨯===ω
ωmgl M P =0.369(kW)
习题10－13图
习题10－15图
C B
A
D K
E H 10－14 在图示机构中，物体A 质量为m 1，放在光滑水平面上。

均质圆盘C 、B 质量均为m ，半径均为R ，物块D 质量为m 2。

不计绳的质量，设绳与滑轮之间无相对滑动，绳的AE 段与水平面平行，系统由静止开始释放。

试求物体D 的加速度以及BC 段绳的张力。

解：（1）设物块D 下降距离s 时，速度为v D ，则系统动能为：
21222
2
2
1
2121)(21A
B
B
C
C
D
v m J J v m m T ++++=ωω 其中：
R
v D
C =ω；
R
v D
B 2=ω；D
A
v v
2=；
2
2
1
mR J J B C ==
2
21212)42
7(21)4221(21D
D v m m m v m m m m m T ++=++++=
重力的功为：gs m m W )(2
+=； 应用动能定理W T =并求导：
D D a v m m m )42
7
(21++D
gv m m )(2+= 2
12287)(2m m m g
m m a D +++=
（2）如图（a ），应用相对速度瞬心的动量矩
定理： R F gR m m R a J BC D O
2)(2-+=；其中：2
2
22
3R m mR J O += ⋅
+-+=)2
1
43()(212
2m m g m m F BC 2
12
287)(2m m m g m m +++ )
287(2))(23()287)((2122212m m m g
m m m m g m m m m m ++++-+++=
2112287)2)((2m m m g m m m m ++++=
10－15 图示机构中，物块A 、B 质量均为m ，均质圆盘C 、D 质量均为2m ，半径均为R 。

C 轮铰接于长为3R 的无重悬臂梁CK 上，D 为动滑轮，绳与轮之间无相对滑动。

系统由静止开始运动，试求（1）物块A 上升的加速度；（2）HE 段绳的张力；（3）固定端K 处的约束力。

解：（1）设物块A 上升距离s 时，速度为v A ，则系统动能为：
2222
2
1
2121)2(21A
C
C
D
D
D
mv J J v m m T ++++=ωω 其中：
R
v A
C =ω；
R
v A
D 2=ω；
2
A
D v v =；
2
mR
J J D C ==
习题10－14图
C B A
D
E
C
（m m F BC
a
D
D F T
O
习题10－16图
αR
O
A
g
m T F 'B
T
F R C
g
m C
C
ωC
a O
ωO
αh
22
2
3)424(21A
A mv v m m m m m T =++++=
重力的功为：
mgs
mgs s g m m W 2
1
2)2(=-+=；
应用动能定理W T =并求导：A
A A mgv a mv 2
1
3=；g
a
A
61=
（2）如图（a ），应用动量矩定理：R
mg F R
a J
HE A
C
)(-=
其中：
2
22222
1
mR mR mR J C =+= mg
mg ma F A HE
3
4
2=+=
应用动量定理：HE
C
A
F mg F ma --=3；mg F C
5.4=
（3）如图（b ），应用平衡方程：0=Kx
F
∑=0y F ；0='-C Ky F F ；mg F Ky
5.4=
∑=0)(F K M ；03=⋅'-R F M C K ；mgR M K
5.13=
10－16 两个相同的滑轮，视为匀质圆盘，质量均为m ，半径均为R ，用绳缠绕连接，如图所示。

如系统由静止开始运动，试求动滑轮质心C 的速度v 与下降距离h 的关系，并确定AB 段绳子的张力。

解：1、先对O 、C 轮分别用动量矩定理和相对质心动量矩定理：
对O 轮：R F J O
O
T
=α （1）
对C 轮：R F J C
C
T
'=α （2）
C O J J =， T
T F F '= 由（1）、（2）： ααα==C
O
ωωω==C
O （3）
2、再对整体用动能定理
12
12W T T =- mgh mv J J C
C C
O
O
=++222
2
1
2121ωω （） r
e v v v +=C （动系为绳AB ）
C
（
m
2
HE
A
D
F C
C
（
M K F
Kx
K C ′ F
Ky
ωωωR R R v v v C O C 2r e =+=+= （5）
（3）、（5）代入（4）得：
mgh mR =2
22
5ω （6） gh R gh R 1051521==ω （6）式两边对t 求导：
C mgv mR =ωα25
（5）代入，得：R g
52=α
（5）式对t 求导，得：542g R a C ==α 轮心、质心运动定理：T F mg ma C -= 绳中张力：mg F 51
T =。