两角和与差及倍角公式练习题

两角和与差及二倍角的三角函数

问题1。不查表求值：sin cos sin cos sin sin 71587158

+⋅-⋅=_______________

解法一原式=-+⋅--⋅sin()cos sin cos()sin sin 158158158158

=

⋅⋅sin cos cos cos 158158

tan15tan(4530)==-=-

+

=-+=-13

3133

3333

23 解法二

1

sin 7(sin 23sin 7)

21

cos 7(cos 23cos 7)

2

sin 23sin 7cos 23cos 72sin15cos82cos15cos8

tan15+-=

+-+=

+=

⋅==原式…（余同解法一）

(2)准确估算角的范围

问题2. 已知tan α tan β是方程x 2

+33x+4=0的两根，若α，β∈(-2

,2π

π)，则α+β=（ ）

A ．

3π B ．3

π或-π32

C ．-3

π或π32 D ．-π32 错解：B. 正解：D. ★热 点 考 点 题 型 探 析

例1:已知3(,),sin ,25παπα∈=则tan()4

πα+等于（ ）

A ．

1

7

B ．7

C ．1

7

-

D ．7- 【解题思路】直接用两角和的正切公式 解：B ．∵(

,)2π

απ∈，3sin 5α=

， ∴ 4cos 5α= ， 3tan 4

α=，

∴ 31

tan 14

tan()73

41tan 14

πααα+++===-- ． 题型2: 逆用公式

例2.（广东省实验中学2009届高三第二次阶段测试） sin 155°cos35°－ cos25°cos235°=____________. 【解题思路】注意到15518025;23527025︒

︒

︒=︒-︒=-︒

解析:原式

=sin 25cos35cos 25sin 35sin 602

︒︒+︒︒=︒=

【名师指引】三角求值题解题的一般思路是“变角、变名、变式”

变角：它决定变换的方向，通过找出已知条件和待求结论中的差异，分析角之间的联系，决定用哪一组公式，是解决问题的关键；变名：在同一个三角式中尽可能使三角函数的种类最少，一般考虑化弦或化切（用同角三角函数的关系式或万能公式）；

变式：由前二步对三角式进行恒等变形，或逆用、变形用公式，使问题获解； 【新题导练】

1. cos 43cos77sin 43cos167o

o

o

o

+的值为 ． 解析．诱导公式变角，再逆用三角公式切入，

cos 43cos77sin 43cos167+=();2

1120cos 77sin 43sin 77cos 43cos 00000-==-+

2. (华南师范附属中学2009届高三上学期第三次综合测试) 若(

,)2

π

απ∈，且4

sin 5

α=

，则sin()4παα-=

．解析： 考点2 二倍角的正弦.余弦.正切 题型1：顺用公式

例3．(执信中学2008-2009学年度第一学期高三期中考试)

已知()⎪⎭

⎫

⎝⎛∈==

-ππββαπ,2,53sin ,21tan ,求()βα-2tan 的值. 【解题思路】先由诱导公式求出tan α，再由二倍角公式求解。

解析()342tan ,21tan ,21tan -=∴-=∴=-αααπ .又53sin =β ,且⎪⎭⎫

⎝⎛∈ππβ,2

-=∴βcos ()24

7

tan 2tan 1tan 2tan 2tan ,43tan ,54-=+-=

-∴-=∴βαβαβαβ 【名师指引】在三角函数的过程中,观察条件中的角和结论中的角之间的内在联系是解决此

类题的关键. 题型2: 逆用公式 例4．sin105cos105的值为（ ）Ａ．

14

Ｂ．－

1

4

Ｃ．4

Ｄ．－4

【解题思路】联想二倍角的正弦公式解析：1

1sin105cos105sin 75cos 75sin1502

4

=-︒︒=-︒=- 【名师指引】见sin cos x x 就联想到

1

sin 22

x 是三角变换中常用的手段。 题型3: 变形用公式

例5．(2008·惠州市高三第三次调研考试第一问)在△ABC 中，已知角A 为锐角，且

A A A A

A A A f 222cos )

2

(sin )22(sin )22sin()2sin(]1)2[cos()(+----+--=

πππππ.

求f (A )的最大值；

【解题思路】联想到降幂公式：2

1cos cos

22α

α+=

，21cos sin 22αα-= [解析]A A A

A A A A A A A A A f 2222

2cos cos 2cos

2sin cos 2cos 2

sin 2cos 2cos 2sin )12(cos )(+=+-+=