逻辑学(全套课件836P)

数理逻辑是用数学方法(通过引入表意符号)研究推理的学
科。
因此, 数理逻辑又名为符号逻辑。
( 一套符号体系 + 一组推理规则 )
命题逻辑是研究由命题为基本单位构成的前提和结论之间 的可推导关系。
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第一章 命题逻辑
1.1 命题符号化及联结词 1.2 命题公式及分类 1.3 等值演算 1.4 联结词全功能集* 1.5 对偶与范式 1.6 推理理论 1.7 例题分析
注: 命题变元不是命题, 只有用一个特定命题取代时, 才能确
定其真值, 才变为命题——即对命题变元进行真值指派后变
为命题。
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五、联结词
例1.2 复合命题示例
1. 上海不是小城镇。 2. 他既在学习又在工作。 3. 林芳学过英语或日语。 4. 如果他病了, 那么他就需要休息。 5. 三角形是等腰三角形, 当且仅当三角形的两个底角相等。
P: 李平聪明。Q: 李平用功。R: 张辉是三好学生。
S: 王丽是三好学生。T: 张辉和王丽是同学。
• 选用合适的联结词将命题符号化：
(1) P∧Q P∧Q
(2) P∧¬Q
(3)
(4) ¬(¬P)∧¬Q
(5) R∧S
(6)
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(三) 析取(∨)
定义1.3 设P和Q为两个命题, 复合命题“P或Q”称作P与Q
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(二) 合取(∧)
定义1.2设P、Q为两个命题, 复合命题“P并且Q”(或P与Q)
称作P与Q的合取式, 记作: P∧Q。称∧为合取联结词。 P∧Q为真当且仅当P和Q同为真, 否则P∧Q为假。 合取联结词∧的定义由表1-2表示之。
表1-2
PQ 00 01 10 11
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∧的定义
逻辑学
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逻辑学：是研究推理的一门学科。 数理逻辑是用数学方法来研究推理的形式
结构和推理规律的数学学科。
数理逻辑的内容丰富
逻辑演算、证明论、公理化集合论、递归函 数论、模型论
基础: 命题逻辑、谓词逻辑
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第一章 命题逻辑
命题逻辑, 也称命题演算, 它与谓词逻辑构成数理逻辑的 基础, 而命题逻辑又是谓词逻辑的基础
句, 由它构成的命题称为简单命题。简单命题是
20命21/4/1题8 逻辑的基本单位。
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三、命题符号化
(1) 简单命题用英文字母 P, Q, R…或带下标的 Pi, Qi,
Ri, ……表示。
P: 2是素数。
Q: 雪是黑的。
将表示命题的符号——命题标识符——放在该命题前 面, 称为命题符号化。
(2) 命题的真值也符号化: 用 T 或 1 表示“真”; 用 F 或 0
P∧ Q 0 0 0 1
“合取”是一个 二元运算。
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例1.3：将下列命题符号化。
(1) 李平既聪明又用功。
(2) 李平虽然聪明, 但不用功。
(3) 李平不但聪明, 而且用功。
(4) 李平不是不聪明, 而是不用功。
(5) 张辉和王丽都是三好学生。
(6) 张辉和王丽是同学。
解：• 命题符号化:
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判断给定句子是否为命题, 应该分两步：
首先判定它是否为陈述句, 其次判断它的真值 是否唯一。
例1.1 判断下例句子是否为命题。
(1) 2 是素数。
(2) 雪是黑色的。
(3) 1+101=110
(5) 向右看齐！
(7) 这朵花多美啊！
(4)
十是整数。
(6) 今天是十五号。
(8) 我们这里四季如春。
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Байду номын сангаас
1.1 命题符号化及联结词
一、什么是命题
定义：命题是能判断真假的陈述句。
该定义有 2 层含义: (1) 命题是一个陈述句; (2) 命题具有真假值。
命题是具有唯一 真值的陈述句
命题仅有两种可能的真值: 真、假, 且二者只居其一。
真用 1 或T 表示, 假用 0 或 F 表示。 ——二值逻辑
(9) x + y > 5
(10) 你是谁？
(11) 明年十月一日 是晴天。
(12) 地球外的星球上也有人。
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二、简单命题与复合命题
定义：由简单陈述句(一套主谓结构)构成的命
题称为简单命题或原子命题。 由若干个简单命题用联结词联结而成的命题
是复合命题。
如果一陈述句再也不能分解成更为简单的陈述
表示。
P: 他昨天做了20题或30题。 3. 我在教室看书或在图书馆看书。 排斥或/异或“”表示。 P: 我在教室看书。Q: 我在图书馆看书。 则: PQ PQ = (P∨Q)∧¬(P∧Q) = (P∧¬Q)∨(¬P∧Q)
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(四)蕴涵()
定义1.4 设P和Q为两个命题, 复合命题“如果P, 则Q”称作P 和Q的蕴涵式, 记作: PQ, 称为蕴涵联结词。
当P的真值为真, 而Q的真值为假时, 命题PQ的真
的析取式, 记作: P∨Q, ∨为析取联结词。 P∨Q的为假当且仅当P与Q同为假, 否则P∨Q为真。 析取联结词∨的定义由表1-3表示之。
表 1-3 PQ 00 01 10 11
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∨的定义
P ∨Q
0 1 1 1
“析取”是一个二 元运算。
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例：将下列命题符号化。
1. 王燕学过英语或日语。(可兼或) P: 王燕学过英语。Q: 王燕学过日语。 则: P∨Q 2. 他昨天做了20题或30题。 “或”只表示了习题的近似数目, 是原子命题。不能用“∨”
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(一) 否定(¬)
定义1.1
设P为任一命题, 复合命题“非P”(或P的否
定)称为 P 否定式。 记作¬P。¬为否定联结词。
¬P为真, 当且仅当P为假; ¬P是假, 当且仅当P为真。
否定联结词¬的定义可由表1-1表示之。
表1-1 ¬的定义
P
¬P
0
1
1
0
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由于“否定”修改了命题, 它是对单个命题进行操作, 称它为一元联结词。
表示“假”。
(3) 命题中的联结词也符号化: ¬、∧、∨、、。
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四、命题常量与命题变元
简单命题可用命题标识符表示。表示命题的符号有双重作 用:
(1) 如果命题标识符表示确定的命题(真值确定)——命题常元;
(2) 如果命题标识符只表示任意命题的位置标志, 即可表示任
意命题(真值不确定)——命题变元。