cos(nt)(n为正整数)

习题四

一、证明cost,cos(2t),…，cos(nt)(n 为正整数)，是在区间（0，2π）的正交函数集，它是否是完备的正交函数集？

二、实周期信号f(t)在区间内的能量定义为)2

,2(T T - ⎰-=222)(T

T dt t f E

如有和信号)()()(21t f t f t f +=

（1）若f 1 (t)与f2(t)在区间)2

,2(T T -内相互正交 [例如)]sin()(),cos()(21t t f t t f ωω==，证明和信号的总能量等于各信号的能量之和；

（2）若f 1 (t)与f2(t)不是互相正交的[例如)60cos()(),cos()(21︒+==t t f t t f ωω]，求和信号的总能量。

三、求下列周期信号的基波角频率Ω和周期T 。

（1）)]3(2

cos[-t π （2）)5cos()3cos()2cos(t t t πππ++

（3）)5

cos()3cos()2cos(t t t πππ

++

四、利用对称性求下列函数的傅里叶变换 （1）,)2()]2(2sin[)(--=

t t t f ππ 〈∞∞〈-t （2）,2)(2

2t a a t f += 〈∞∞〈-t （3）2]2)2sin([)(t

t t f ππ= 〈∞∞〈-t 五、求下列信号的傅里叶变换

（1）)1()()1(3-'=--t e t f t δ

（2）)12

()(-=t t f ε

六、若已知 F )()]([ωj F t f =，试求下列函数的频谱：

（1）)()2(t f t -

（2）)1()1(t f t --

（3）)23(t f e je -

七、求下列函数的傅里叶逆变换

（1）)()()(00ωωδωωδω--+=j F

（2）)3cos(2)(ωω=j F

（3）ωωεωεωj e j F ---=)]2()([)(

八、如图所示信号f(t)的频谱函数为)(ωj F ,求下列各值[不必求出)(ωj F ]

（1）F （0）=)(ωj F |0=ω （2）⎰∞∞

-ωωd j F )( （3）⎰∞∞-ωωd j F 2

)( 九、某LTI 系统的频率响应，求系统的冲激响应。

ω

ωωj j j H +-=22)( 十、一个LTI 系统的频率响应

其余s

rad s rad e e j H j j /600/6,0)(,2,2〈〈〈〈-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-ωωωππ

若输入),5cos()3sin()(t t

t t f =求该系统的输出

y(t). 0 t 1

t 2

十一、己知系统，其输出是输入的平方，即(为实函数设)()()(2t f t f t y =）。该系统是线性的吗？

（1）如,sin )(t

t t f =求y(t)的频谱函数（或画出频谱图）。 （2）如),2cos(cos 2

1)(t t t f ++=求y(t)的频谱函数（或画出频谱图）。 十二、有限频带信号 f(t)的最高频率为100H Z ，若对下列信号进行时域取样，求最小取样频率f s.

(1))3(t f (2) )(2t f

(3))2()(t f t f * (4) )()(2t f t f + 十三、有限频带信号Z S Z H f kH f t f t f t f 800,1),4cos()2cos(25)(111==++=用其中ππ的冲激函数序列S T δ（t ）进行取样。

（1）画出f(t)及取样信号)(t f a 在频率区间（-10kHZ,10kHZ ）的频谱图。

（2）若由)(t f a 恢复原信号，理想低通滤波器的截止频率e f 应如何选择。