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2021届河北衡水金卷新高考模拟试卷(三)数学(文科)试题

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河北省衡水市2021届新高考数学三模试卷含解析

河北省衡水市2021届新高考数学三模试卷含解析

河北省衡水市2021届新高考数学三模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数()3221f x x ax =-+在()0,∞+内有且只有一个零点，则a 的值为（ ）A ．3B ．－3C ．2D ．－2【答案】A【解析】【分析】求出2()62f x x ax '=-，对a 分类讨论，求出(0,)+∞单调区间和极值点，结合三次函数的图像特征，即可求解.【详解】2()626()3a f x x ax x x '=-=-， 若0a ≤，(0,),()0x f x '∈+∞>，()f x 在()0,∞+单调递增，且(0)10=>f ，()f x 在()0,∞+不存在零点；若0a >，(0,),()0,(0,),()03a x f x x f x ''∈<∈+∞>， ()3221f x x ax =-+在()0,∞+内有且只有一个零点，31()10,3327a f a a =-+=∴=. 故选:A.【点睛】本题考查函数的零点、导数的应用，考查分类讨论思想，熟练掌握函数图像和性质是解题的关键，属于中档题.2．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右顶点分别为1A ，2A ，虚轴的两个端点分别为1B ，2B ，若四边形1122A B A B 的内切圆面积为18π，则双曲线焦距的最小值为（ ）A ．8B ．16C ．D ．【答案】D【解析】【分析】根据题意画出几何关系，由四边形1122A B A B 的内切圆面积求得半径，结合四边形1122A B A B 面积关系求得c 与ab 等量关系，再根据基本不等式求得c 的取值范围，即可确定双曲线焦距的最小值.【详解】根据题意，画出几何关系如下图所示：设四边形1122A B A B 的内切圆半径为r ，双曲线半焦距为c ， 则21,,OA a OB b == 所以2221A B a b c =+=，四边形1122A B A B 的内切圆面积为18π，则218r ππ=，解得32OC r == 则112212122111422A B A B S A A B B A B OC =⋅⋅=⨯⋅⋅四边形， 即112243222a b c ⋅⋅=⨯⋅⋅故由基本不等式可得2222323262a b c +=≤=，即62c ≥， 当且仅当a b =时等号成立. 故焦距的最小值为122故选：D【点睛】本题考查了双曲线的定义及其性质的简单应用，圆锥曲线与基本不等式综合应用，属于中档题. 3．设全集()(){}130U x Z x x =∈+-≤，集合{}0,1,2A =，则U C A ＝( )A ．{}1,3-B ．{}1,0-C ．{}0,3D ．{}1,0,3- 【答案】A【解析】先求得全集包含的元素，由此求得集合A 的补集.【详解】由()()130x x +-≤解得13x -≤≤，故{}1,0,1,2,3U =-，所以{}1,3U C A =-，故选A.【点睛】本小题主要考查补集的概念及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.4．设i 是虚数单位，若复数1z i =+，则22||z z z+=（ ） A ．1i +B ．1i -C ．1i --D ．1i -+ 【答案】A【解析】【分析】结合复数的除法运算和模长公式求解即可【详解】∵复数1z i =+，∴|2|z =，()2212z i i =+=，则22||22(1)221211(1)(1)z i z i i i i i z i i i -+=+=+=-+=+++-， 故选：A.【点睛】本题考查复数的除法、模长、平方运算，属于基础题5．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是A ．B ．C ．D ．【答案】A详解：由题意知，题干中所给的是榫头，是凸出的几何体，求得是卯眼的俯视图，卯眼是凹进去的，即俯视图中应有一不可见的长方形，且俯视图应为对称图形 故俯视图为故选A.点睛：本题主要考查空间几何体的三视图，考查学生的空间想象能力，属于基础题。

2021年河北省衡水中学高考数学三模试卷

2021年河北省衡水中学高考数学三模试卷

2021年河北省衡水中学高考数学三模试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1. 已知z 为复数，z 2+1=0，则|z −1|等于( )A. 0B. 1C. √2D. 22. 已知cosθ−sinθ=34，则θ的终边在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 三象限D. 第四象限3. 已知数列{a n }是等比数列，T n 是其前n 项之积，若a 5⋅a 6=a 7，则T 7的值是( )A. 1B. 2C. 3D. 44. 已知log a 14<1，(14)a <1，a 14<1，则实数a 的取值范围为( )A. (0,14)B. (0,1)C. (1,+∞)D. (14,1)5. 在棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1CD 1中，E 为棱CD 的中点，过B ，E ，D 1的截面与棱A 1B 1交于F ，则截面BED 1F 分别在平面A 1B 1C 1D 1和平面ABB 1A 1上的正投影的面积之和( )A. 有最小值1B. 有最大值2C. 为定值2D. 为定值16. 已知在圆(x −1)2+y 2=r 2上到直线x −y +3=0的距离为√2的点恰有一个，则r =( )A. √2B. √3C. 2D. 2√27. 有三个因素会影响某种产品的产量，分别是温度(单位：℃)、时间(单位：min)、催化剂用量(单位：g)，三个因素对产量的影响彼此独立.其中温度有三个水平：80、85、90，时间有三个水平：90、120、150，催化剂用量有三个水平：5、6、7.按全面实验要求，需进行27种组合的实验，在数学上可以证明：通过特定的9次实验就能找到使产量达到最大的最优组合方案.如表给出了这9次实验的结果：实验号温度(℃)时间(min)催化剂用量(g)产量(kg) 18090531 280120654 380150738 48590653 585120749 685150542 79090757 890120562 990150664根据上表，三因素三水平的最优组合方案为()A. 85℃120min7gB. 90℃120min6gC. 85℃150min6gD. 90℃150min7g8.若函数f(x)=3sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)的图象过点M(2π3,−3)，直线x=2π3向右平移π4个单位长度后恰好经过f(x)上与点M最近的零点，则f(x)在[−π2,π2]上的单调递增区间是()A. [−π2,π6] B. [−π3,π3] C. [−π3,π6] D. [−π6,π6]二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试(合格考)和选择性考试(选择考)，其中“选择考”成绩将计入高考总成绩，即将学生考试时的原始卷面分数由高到低进行排序，评定为A，B，C，D，E五个等级，再转换为分数计入高考总成绩.某试点高中2020年参加“选择考”总人数是2018年参加“选择考”总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况，统计了该校2018年和2020年“选择考”成绩等级结果，得到如图所示的统计图．针对该校“选择考”情况，2020年与2018年比较，下列说法正确的是()A. 获得A等级的人数增加了B. 获得B等级的人数增加了1.5倍C. 获得D等级的人数减少了一半D. 获得E等级的人数相同10.已知集合A={x∈R|x2−3x−18<0}，B={x∈R|x2+ax+a2−27<0}，则下列命题中正确的是()A. 若A=B，则a=−3B. 若A⊆B，则a=−3C. 若B≠⌀，则a≤−6或a≥6D. 若a=3，则A∩B={x|−3<x<6}11.已知函数f(x)=cos2x1+sinx，则()A. f(x+π)=f(−x)B. f(x)的最大值为4−2√2C. f(x)是奇函数D. f(x)的最小值为−1212.我国古代数学家祖暅求几何体的体积时，提出一个原理：幂势即同，则积不容异.这个定理的推广是夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的平面所截，若截得两个截面面积比为k，则两个几何体的体积比也为k.如图所示，已知线段AB长为4，直线l过点A且与AB垂直，以B为圆心，以1为半径的圆绕l旋转一周，得到环体M；以A，B分别为上、下底面的圆心，以1为上、下底面半径的圆柱体N；过AB且与l垂直的平面为β，平面α//β，且距离为h，若平面α截圆柱体N所得截面面积为S1，平面α截环体M所得截面面积为S2，则下列结论正确的是()A. 圆柱体N的体积为4πB. S2=2πS1C. 环体M的体积为8πD. 环体M的体积为8π2三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知(1+mx)(1+x)5=a0+a1x+a2x2+⋅⋅⋅+a6x2.若a2=5，则m=______ ．14.已知a⃗，b⃗ 为单位向量，|a⃗+b⃗ |=|a⃗−b⃗ |，若c⃗=2a⃗−3b⃗ ，则cos<a⃗,c⃗>=______ ．15.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，M为C左支上一点，N为线段MF2上一点，且|MN|=|MF1|，P为线段NF1的中点.若|F1F2|=4|OP|(O为坐标原点)，则C的渐近线方程为______ ．16. 用M I 表示函数y =sinx 在闭区间I 上的最大值，若正数a 满足M [0,a]≥2M [a,2a]，则a 的最大值为______ ． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 在①√3acosB =bsinA ，②√3bsinA =a(2−cosB)，③cosC =2a−c 2b这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中．问题：在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，c =2，BC 边上的中线长为√7，____，求△ABC 的面积．18. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1=3，a n =xa n−1+n −2(n ≥2)，其中x ∈R ．(1)若x =1，求a n ；(2)是否存在实数x ，y 使{a n +yn}为等比数列？若存在，求出S n ；若不存在，说明理由．19. 某单位招考工作人员，须参加初试和复试，初试通过后组织考生参加复试，共5000人参加复试，复试共三道题，第一题考生答对得3分，答错得0分，后两题考生每答对一道题得5分，答错得0分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩．(1)通过分析可以认为考生初试成绩X 服从正态分布N(μ,δ2)，其中μ=64，δ2=169，试估计初试成绩不低于90分的人数；(2)已知某考生已通过初试，他在复试中第一题答对的概率为34，后两题答对的概率均为23，且每道题回答正确与否互不影响.记该考生的复试成绩为Y ，求Y 的分布列及数学期望．附：若随机变量X服从正态分布N(μ,δ2)，则P(μ−δ<X<μ+δ)=0.6826，P(μ−2δ<X<μ+ 2δ)=0.9544，P(μ−3δ<X<μ+3δ)=0.9974．20.将长(AB)、宽(BC)、高(AA1)分别为4，3，1的长方体点心盒用彩绳做一个捆扎，有如下两种方案：方案一：如图(1)传统的十字捆扎；方案二：如图(2)折线法捆扎，其中A1E=FB=BG=HC1=C1I=JD=DK=LA1=1．(1)哪种方案更省彩绳？说明理由；(2)求平面EFK与平面GIJ所成角的余弦值．21.已知双曲线C：x2m2−y2n2=1(m>0,n>0)上异于顶点的任一点与其两个顶点的连线的斜率之积为19．(1)求双曲线的渐近线方程；(2)椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率等于2√33，过椭圆上任意一点P作两条与双曲线的渐近线平行的直线，交椭圆E于M，N两点，若PM2+PN2=5，求椭圆E的方程．22.(1)若0<a≤1，判断函数f(x)=asin(1−x)+lnx在区间(0,1)内的单调性；(2)证明：对任意n≥2，n∈N∗，sin215+sin2110+⋅⋅⋅+sin21n2+1<ln2．答案和解析1.【答案】C【解析】解：由z2+1=0，得z2=−1，则z=±i，当z=−i时，|z−1|=|−i−1|=√(−1)2+(−1)2=√2；当z=i时，|z−1|=|i−1|=√12+(−1)2=√2．综上，|z−1|=√2．故选：C．由已知求得z，再由复数模的计算公式求解．本题考查虚数单位i的运算性质，考查复数模的求法，是基础题．2.【答案】D【解析】解：由cosθ−sinθ=34，平方得：sin2θ+cos2θ−2sinθcosθ=169，则1−2sinθ=169，即sin2θ=−79<0，则2kπ+π<2θ<2kπ+2π，k∈Z，即有kπ+π2<θ<kπ+π，k∈Z，当k为偶数时，θ位于第二象限，sinθ>0，cosθ<0，不成立，当k为奇数时，θ位于第四象限，sinθ<0，cosθ>0，成立．∴角θ的终边在第四象限．故选：D．将已知等式平方，利用同角三角函数基本关系式，二倍角公式可得sin2θ=−79<0，可得kπ+π2<θ<kπ+π，k∈Z，分类讨论即可求解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角公式在三角函数求值中的应用，考查了分类讨论思想，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：∵数列{a n}是等比数列，T n是其前n项之积，a5⋅a6=a7，∴a1q4⋅a1q5=a1q6，解得a1q3=1，∴T7=a1⋅a2⋅a3⋅a4⋅a5⋅a6⋅a7=a17q21=(a1q3)7=1．故选：A．由a5⋅a6=a7，解得a1q3=1，由此利用等比数列的通项公式能求出T7．本题考查等比数列的前7项积的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．4.【答案】A【解析】解：①由log a14<1，得a>1或0<a<14，②由(14)a<1，得a>0，③由a14<1，得0<a<1，∴当log a14<1，(14)a<1，a14<1同时成立时，取交集得0<a<14，故选：A．由题意利用幂函数、指数函数、对数函数的性质，分别求得a的范围，再取交集，即得所求．本题主要考查幂函数、指数函数、对数函数的性质，属于中档题．5.【答案】D【解析】解：BF与D1E分别为截面与两个平行平面的交线，由面面平行的性质定理可得，BF//D1E，同理可得D1F//BE，所以四边形BED1F为平行四边形，所以D1F=BE，又Rt△A1D1F≌Rt△CBE，所以A1F=CE=12，即F为A1B1的中点，截面在A1B1C1D1，ABB1A1上的投影如图所示，则S平行四边形D1EB1F =S A1B1C1D1−S△A1D1F−S△B1C1E=1−12×12×1−12×12×1=12，同理可得，S平行四边形A1EBF =12，故截面BED1F分别在平面A1B1C1D1和平面ABB1A1上的正投影的面积之和为定值1．故选：D．利用面面平行的性质定理得到BF//D1E，D1F//BE，从而可得D1F=BE，推出F为A1B1的中点，然后分别求解两个平行四边形的面积，即可得到答案．本题考查了平行投影及平行投影的应用，面面平行的性质定理的运用，考查了空间想象能力与逻辑推理能力，属于中档题，6.【答案】A【解析】解：因为圆(x−1)2+y2=r2的圆心为(1,0)，半径为r，圆心(1,0)到直线x−y+3=0的距离d=√2=2√2，因为在圆(x−1)2+y2=r2上到直线x−y+3=0的距离为√2的点恰有一个，所以r=2√2−√2=√2．故选：A．求出圆心到直线的距离d，结合题意即可求得r的值．本题主要考查点到直线的距离公式，直线和圆的位置关系，考查运算求解能力，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：利用数表分析可知，从不同的温度来看，温度对其影响比较大，几乎成正比关系；其次催化剂的量对其影响比较大，从9组数据分析可知当催化剂为6克时，在组内产量都比较大；再次，从时间上看，9组数据显示，当时间为120分钟时，相对产量较高，故选：B．利用题中的数据信息，分别对温度，时间，催化剂的量进行分析，即可得出．本题考查了函数模型的实际应用，学生数据处理能力，逻辑推理能力，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：∵函数f(x)=3sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)的图象过点M(2π3,−3)，直线x=2π3向右平移π4个单位长度后恰好经过f(x)上与点M最近的零点，∴14⋅2πω=π4，∴ω=2．结合五点法作图可得2×2π3+φ=3π2，求得φ=π6，∴f(x)=3sin(2x+π6).令2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2，求得kπ−π3≤x≤kπ+π6，可得函数的增区间为[kπ−π3,kπ+π6]，k∈Z．则f(x)在[−π2,π2]上的单调递增区间为[−π3,π6]，故选：C．由题意利用正弦函数的图象和性质，先求出f(x)的解析式，进而求出它在[−π2,π2]上的单调递增区间．本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．9.【答案】AB【解析】解：设2018参加“选择考”总人数为a，则2020年参加“选择考”总人数为2a，由统计图可得，2018年获得A等级的人数为0.28a，2020年获得A等级的人数为0.48a，故A正确；2018年获得B等级的人数为0.32a，2020年获得B等级的人数为0.80a，获得B等级的人数增加了0.8a−0.32a0.32a=1.5倍，故B正确；2018年获得D等级的人数为0.08a，2020年获得D等级的人数为0.12a，获得D等级的人数增加了一半，故C错误；2018年获得E等级的人数为0.02a，2020年获得E等级的人数为0.04a，获得E等级的人数为原来的2倍，故D错误．故选：AB．设2018参加“选择考”总人数为a，则2020年参加“选择考”总人数为2a，分别算出获得各个等级的人数，即可得到结论．本题考查统计图和频率分布图的运用，考查运算能力，属于基础题．10.【答案】AB【解析】解：由已知可得A={x|−3<x<6}，若A=B，则a=−3，且a2−27=−18，解得a=−3，故A正确，若A⊆B，则(−3)2+a⋅(−3)+a2−27≤0且62+6a+a2−27≤0，解得a=−3，故B正确，当B≠⌀时，△>0即a2−4(a2−27)>0，解得−6<a<6，故C错误，当a=3时，B={x|x2+3x−18<0}={x|−6<x<3}，∴A∩B={x|−3<x<3}，故D错误，故选：AB．由已知求出集合A，再对应各个选项逐个求出满足选项的集合B的a的范围即可．本题考查了集合间的包含关系的应用，考查了一元二次不等式的解集的问题，属于基础题．11.【答案】AB【解析】解：函数f(x)=cos2x1+sinx，则f(x+π)=cos(2x+2π)1+sin(x+π)=f(−x)=cos2x1−sinx，故A正确；对于B：f(x)=cos2x1+sinx =1−2sin2x1+sinx=4−(2+2sinx+11+sinx)≤4−2√2，当且仅当sinx=√22−1时，等号成立，故B正确；对于C：函数f(−x)≠−f(x)，故C错误；对于D：f(−π3)=cos(−2π3)1+sin(−π3)=−121−√32=−2−√3<−12，故D错误．故选：AB．直接利用三角函数关系式的变换，函数的性质的应用，不等式的性质的应用判断A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，函数的性质的应用，不等式的性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．12.【答案】ABD【解析】解：∵圆柱N的底面半径为1，高为4，则圆柱N的体积为V=π×12×4=4π，故A正确；由图可知，S1=2√1−ℎ2⋅4=8√1−ℎ2，S2=πr外2−πr内2，其中，r外2=(4+√1−ℎ2)2，r内2=(4−√1−ℎ2)2，故S2=16√1−ℎ2⋅π=2πS1，故B正确；环体M的体积为2π⋅V柱=2π⋅4π=8π2，故C错误，D正确．故选：ABD．直接由圆柱体积公式求得N的体积判断A；分别求解S1，S2判断B；由祖暅原理求出环体M的体积判断C 与D．本题考查圆柱体积的求法，考查祖暅原理的应用，考查运算求解能力，是基础题．13.【答案】−1【解析】解：因为(1+mx)(1+x)5=a0+a1x+a2x2+⋅⋅⋅+a6x6，所以a2=C52+mC51=10+5m=5，解得m=−1，故答案为：−1．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得含x3的项的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．14.【答案】2√1313【解析】解：根据题意，a⃗，b⃗ 为单位向量，|a⃗+b⃗ |=|a⃗−b⃗ |，则有(a⃗+b⃗ )2=(a⃗−b⃗ )2，即a⃗2+2a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2=a⃗2−2a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2，变形可得a⃗⋅b⃗ =0，若c⃗=2a⃗−3b⃗ ，则|c⃗|2=(2a⃗−3b⃗ )2=13，即|c⃗|=√13，a⃗⋅c⃗=a⃗⋅(2a⃗−3b⃗ )=2a⃗2−3a⃗⋅b⃗ =2，则cos<a⃗,c⃗>=a⃗ ⋅c⃗|a⃗ ||c⃗ |=2√13=2√1313，故答案为：2√1313．根据题意，由数量积的计算公式可得(a⃗+b⃗ )2=(a⃗−b⃗ )2，变形可得a⃗⋅b⃗ =0，进而求出|c⃗|和a⃗⋅c⃗的值，由向量夹角公式计算可得答案．本题考查向量数量积的计算，涉及向量的夹角，属于基础题．15.【答案】y=±√3x【解析】解：由双曲线的定义，可得|MF2|−|MF1|=|MF2|−|MN|=|NF2|=2a，在△NF1F2中，OP为中位线，可得|OP|=12|NF2|=a，又|F1F2|=4|OP|，可得2c=4a，即c=2a，b=√c2−a2=√4a2−a2=√3a，所以双曲线的渐近线方程为y=±√3x.故答案为：y=±√3x.由双曲线的定义和三角形的中位线定理，推得|OP|=a，再由a，b，c的关系，可得a，b的关系，即可得到渐近线方程．本题考查双曲线的定义和性质，以及三角形的中位线定理，考查方程思想和运算能力，属于中档题．16.【答案】13π12【解析】解：①当a∈[0,π2]时，2a∈[0,π]，M[0,a]=sina，M[a,2a]=1，∴sina≥2舍去；②当a∈[π2,π]时，2a∈[π,2π]，M[0,a]=1，M[a,2a]=sina，∴1≥2sina，∴sina≤12，∴a≥5π6，∴5π6≤a≤π；③当a∈[π,3π2]时，2a∈[2π,3π]，M[0,a]=1，M[a,2a]=sin2a或1，∴1≥2sin2a且2a≤2π+π2，∴sin2a≤12，∴2π≤2a≤2π+π6，∴a≤π+π12=13π12；④当a∈[3π2,+∞)时，2a∈[3π,+∞)，M[0,a]=M[a,2a]=1，舍去；综上所述：a max=13π12．故答案为：13π12．分a在不同区间进行讨论，得出符合条件的a值即可．本题考查三角函数的最值的求法，考查分类讨论的数学思想方法，考查计算能力，是中档题．17.【答案】解：①√3acosB=bsinA，由正弦定理得，√3sinAcosB=sinBsinA，因为sinA>0，所以√3cosB=sinB，即tanB=√3，因为B为三角形内角，所以B=π3；②√3bsinA=a(2−cosB)，由正弦定理得，√3sinBsinA=sinA(2−cosB)，因为sinA>0，所以√3sinB=2−cosB，所以即2sin(B+π6)=2，所以sin(B+π6)=1，因为√3sinB+cosB=2，B为三角形内角，所以B=π3；③cosC=2a−c2b，由余弦定理得，cosC=2a−c2b =a2+b2−c22ab，整理得，b2=a2+c2−ac，故cosB=12，因为B为三角形内角，所以B=π3；因为c=2，BC边上的中线长为√7，△ABD中，由余弦定理得，cos60°=4+BD2−74BD，解得BD=3，BC=6，△ABC的面积S=12AB⋅BCsin60°=12×2×6×√32=3√3．【解析】由已知所选条件结合正弦定理，同角基本关系及辅助角公式或余弦定理进行化简可求B，然后结合余弦定理求出BD，再由三角形面积公式可求．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，辅助角公式及三角形面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．18.【答案】解：(1)当x=1时，a n=a n−1+n−2(n≥2)，所以a n−a n−1=n−2，a n−1−a n−2=(n−1)−2，a n−2−a n−3=(n−2)−2，.......，a2−a1=2−2，所以a n−a1=(n+...+2)−2(n−1)，整理得a n=n2−3n+82，(首项符合通项)，故a n=n2−3n+82．(2)假设存在实数x，y使{a n+yn}为等比数列故a n+y n=x[a n−1+y n−1]，整理得a n =xa n−1+(xy −y)n −xy ， 故{xy −y =1xy =2，解得{x =2y =1，所以a n +n =2×[a n−1+n −1]， 即a n +nan−1+(n−1)=2，当n =1时，a 1+1=4，所以存在x =2，y =1使数列{a n +y n }是以4为首项，2为公比的等比数列． 整理得a n =2n+1−n ， 故S n =4×(2n −1)2−1−n(n+1)2=2n+2−n(n+1)2−4．【解析】(1)直接利用数列的递推关系式和构造新数列的应用求出数列的通项公式；(2)利用存在性问题的应用和方程组的解法求出x 和y 的值，进一步求出数列的通项公式和前n 项和公式． 本题考查的知识要点：数列的递推关系式，构造新数列，存在性问题的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)因为学生笔试成绩X 服从正态分布N(μ,ξ2)，其中μ=64，ξ2=169，μ+2ξ=64+2×13=90，所以P(X ≥90)=P(X ≥μ+2ξ)=12(1−0.9544)=0.0228， 所以估计笔试成绩不低于90分的人数为0.0228×5000=114人； (2)Y 的取值分别为0，3，5，8，10，13，则P(Y =0)=(1−34)×(1−23)2=136，P(Y =3)=34×(1−23)2=112，P(Y =5)=(1−34)××C 21×23×(1−23)=19， P(Y =8)=34×C 21×23×(1−23)=13，P(Y =10)=(1−34)×(23)2=19，P(Y =13)=34×(23)2=13， 故Y 的分布列为：所以数学期望为E(Y)=0×136+3×112+5×19+8×13+10×19+13×13=32136=10712．【解析】本题考查了正态分布的应用以及离散型随机变量的期望方差和分布列问题，考查了学生的运算能力，属于中档题．(1)利用正态分布给出的数据即可求解；(2)由已知先求出Y 的取值，然后求出对应的概率即可求解．20.【答案】解：(1)方案②更省彩绳．理由如下：方案①中彩绳的总长度为l =2×(4+3)+4=18，方案②中彩绳的总长度为m =2×√5+6×√2<2×2.5+6×1.5=14， ∴l >m ，故方案②更省彩绳．(2)以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则E(3,1，1)，F(3,3，0)，K(1,0，0)G(2，4，0)，I(0,3，1)，J(0,1，0)， ∴KE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1，1)，KF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,3，0)，JG ⃗⃗⃗⃗ =(2,3，0)，JI ⃗⃗⃗ =(0,2，1)， 设平面EFK 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y ，z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅KE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅KF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{2x +y +z =02x +3y =0，令y =1，则x =−32，z =2，∴m⃗⃗⃗ =(−32,1，2)， 同理可得，平面GIJ 的法向量为n ⃗ =(−32,1，−2)， ∴cos <m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=94+1−4√94+1+4×√94+1+4=−329，由图可知，平面EFK 与平面GIJ 所成角为钝角， 故平面EFK 与平面GIJ 所成角的余弦值为−329．【解析】(1)方案①中彩绳的总长度为l=2×(4+3)+4=18，利用勾股定理，求得方案②中彩绳的总长度为m=2×√5+6×√2<14，比较l和m的大小，即可得解；(2)以D为原点建立空间直角坐标系，求得平面EFK和平面GIJ的法向量m⃗⃗⃗ 与n⃗，由cos<m⃗⃗⃗ ，n⃗>=m⃗⃗⃗ ⋅n⃗⃗|m⃗⃗⃗ |⋅|n⃗⃗ |，即可得解．本题考查长方体的结构特征，二面角的求法，熟练掌握利用空间向量求二面角的方法是解题的关键，考查空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)设A(x1,y1)为双曲线上任意一点，则x12m2−x22n2=1①双曲线的顶点为B(−m,0)，C(m,0)，由题设知k AB⋅k AC=y1x1+m ⋅y1x1−m=19，故x12=9y12+m2，代入①式可得(9m2−1n2)y12=0．又A为双曲线上任意一点，故9m2−1n2=0，所以m=3n，双曲线的渐近线方程为y=±13x．(2)由椭圆E的离心率e=ca =√1−b2a2=2√33，可得a=3b，故椭圆方程为x29b2+y2b2=1，即x2+9y2=9b2(b>0)．设P(x0,y0)，M(x M,y M)，则x02+9y02=9b2.②不妨设直线PM的方程为y=13(x−x0)+y0，与椭圆方程x2+9y2=9b2联立，消去y，利用②式整理得x2+(3y0−x0)x−3x0y0=0，即(x−x0)(x+3y0)=0，故x M=−3y0，从而y M=13(x M−x0)+y0=−13x0.所以M(−3y0,−13x0)．而直线PN的方程为y=−13(x−x0)+y0，同理可求得N(3y0,13x0)．于是PM2+PN2=5可得(−3y0−x0)2+(−13x0−y0)2+(3y0−x0)2+(13x0−y0)2=5，整理得x02+9y02=94．结合②式可得b2=14，所以椭圆E的方程为x2+9y2=94，即49x2+4y2=1．【解析】(1)设A(x1,y1)为双曲线上任意一点，则x12m2−x22n2=1，通过斜率乘积推出x12=9y12+m2，得到m=3n，即可求解双曲线的渐近线方程．(2)利用离心率推出a=3b，椭圆方程为x29b2+y2b2=1，设P(x0,y0)，M(x M,y M)，则x02+9y02=9b2.设直线PM 的方程为y =13(x −x 0)+y 0，与椭圆方程x 2+9y 2=9b 2联立，推出x M =−3y 0，求出M 的坐标，求解N 的坐标，利用PM 2+PN 2=5，求解椭圆E 的方程．本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．22.【答案】解：(1)∵f(x)=asin(1−x)+lnx(0<x <1)，∴f′(x)=−acos(1−x)+1x ，0<x <1⇒0<1−x <1⇒0<cos(1−x)<1，又0<a ≤1， ∴−1<−acos(1−x)<0，且0<x <1时，1x >1，∴f′(x)>0∴f(x)=asin(1−x)+lnx 在区间(0,1)内单调递增；(2)证明：由(1)知，当a =1时，f(x)<f(1)，即sin(1−x)+lnx <0， ∴sin(1−x)<ln 1x，令1−x =1n 2+1，则x =1−1n 2+1，1x=n 2+1n 2，∴当0<sin1n 2+1<ln n 2+1n 2=ln(1+1n 2)<ln2(n ∈N ∗)，令φ(x)=ln(1+lnx)−x ，x >0，φ′(x)=11+x −1=−x1+x <0，所以φ(x)在(0,+∞)单调递减， ∴φ(x)<φ(0)=0， 即ln(1+x)<x(x >0)， ∴0<ln(1+1k 2)<1k 2<1k(k−1)(k >1)，∴当n ∈N ∗，且n ≥2时，0<sin 1n 2+1<1 n(n−1)=1n−1−1n ， ∴sin1n 2+1<ln2n(n−1)=(1n−1−1n)ln2，∴对任意n ≥2，n ∈N ∗， sin 215+sin 2110+⋅⋅⋅+sin 21n 2+1<(ln2)(1−1n)<ln2．【解析】(1)可求得f′(x)=−acos(1−x)+1x ，依题意，可判得f′(x)>0，从而可判断f(x)在(0,1)内的单调性；(2)由(1)知sin(1−x)<ln 1x ，令1−x =1n 2+1，可分析得0<sin 1n 2+1<1 n(n−1)=1n−1−1n ，累加可证得结论成立．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查构造法与推理证明，属于难题．。

2021届河北衡水金卷新高三原创预测试卷(二)文科数学

2021届河北衡水金卷新高三原创预测试卷(二)文科数学

2021届河北衡水金卷新高三原创预测试卷（二）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|60A x x x =+-<，集合{|1}B x x =>，则()RA B ⋂=（ ）A ．[2,)+∞B ．(1,2]C ．(1,2)D ．(2,)+∞2.已知复数sin2019cos2019z i =︒+︒，则复平面表示z 的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3.已知向量(3,2)a =，(4,6)b =-，则a 与b 的夹角为（ ） A ．6π B ．3π C ．512π D ．2π4.《高中数学课程标准》（2017版）规定了数学直观想象学科的六大核心素养，为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如右图，每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下面叙述正确的是（注：雷达图()RadarChart，又可称为戴布拉图、蜘蛛网图()SpiderChart，可用于对研究对象的多维分析）（）A．甲的直观想象素养高于乙B．甲的数学建模素养优于数据分析素养C．乙的数学建模素养与数学运算素养一样D．乙的六大素养整体水平低于甲5.如图：本次考试成绩查询二维码是一个边长为3的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷2178个点，其中落入白色部分的有968个点，据此可估计黑色部分的面积为（）A．4 B．5 C．8 D．96.已知圆22:(2)16M x y+-=，过点(23,2)P作圆M的弦AB，则弦长AB的最小值为（）A．4 B．6 C．8 D．37.已知数列{}n a的通项公式2812na n n=-+-，前n项和为nS，若n m>，则n mS S-的最大值是（）A .5 B．10 C．15 D．208.函数221,0()log,0x xf xx x-⎧-≤=⎨>⎩，满足()1f x<的x的取值范围（）A．(1,2)-B．(1,)-+∞C ．{|0x x >或2}x <-D ．{|2x x >或1}x <-9.若,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，且21cos sin 4αα-=，则tan α的值等于（ ）A ．33-B ．33C ．3D ．3- 10.设,A B 是椭圆22:14x y C k+=的两个焦点，若C 上存在点P 满足120BPB ∠=︒，则k 的取值范围是（ ）A ．(0,1][16,)⋃+∞B ．10,[8,)2⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦C ．10,[16,)2⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦D ．(0,1][8,)⋃+∞11.定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若()()f x f x '<，则不等式4(1)(23)x e f x e f x ⋅+<⋅-的解集是（ ）A ．(,2)-∞B ．(2,)+∞C ．(4,)+∞D ．(,4)-∞12.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，18AA =，3AB =，8AD =，点M 是棱AD 的中点，点N 是棱1AA 的中点，P 是侧面四边形11ADD A 内一动点（含边界），若1C P平面CMN ，则线段1C P 长度的取值范围是（ ）A ．17,5]B ．[4,5]C ．[3,5]D ．17]二、填空题：本题共4小题，每题5分，满分20分.13.已知数列{}n a 为等差数列，652a a -=，1121a =，若169k S =，则k =______.14.已知向量a 、b 满足||22a =，且b 与b a -的夹角等于4π，则||b 的最大值为______. 15.已知函数()cos2sin f x x x =+，若12,x x 为()f x 的最大值点和最小值点的横坐标，则()12cos x x +=____.16.已知直线y kx m =+与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线交于A B 、两点，与1y x k=交于点N ，若N 为AB 的中点，则双曲线的离心率等于____. 三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.17.某省即将实行新高考，不再实行文理分科.某校为了研究数学成绩优秀是否对选择物理有影响，对该校2018级的1000名学生进行调查，收集到相关数据如下： （1）根据以上提供的信息，完成22⨯列联表，并完善等高条形图；选物理 不选物理 总计 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 260 总计6001000（2）能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为数学成绩优秀与选物理有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++临界值表：()20P K k0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 0k2.7063.8416.6357.87910.82818.已知数列{}n a 是单调递增的等差数列，2414a a +=且21a -，31a +，47a +成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列16n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S .19.在ABC △中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，3b =，(2)cos cos 0c a B b C -+=.（1）求角B 的大小； （2）求a c +的取值范围.20.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的菱形，60DAB ∠=︒，7PA PD ==，Q F 、分别为AD AB 、的中点，PFAC ⊥.（1）求证：面POF ⊥面ABCD ； （2）求三棱锥B PCF -的体积. 21.已知函数()(ln )xf x a x x xe =+-.（1）当0a =时，求函数()f x 在1x =处的切线方程；（2）若()0f x <在[1,)x ∈+∞上恒成立，求实数a 的取值范围； （3）当1a =时，求函数()f x 的极大值.22.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，过l 上一点P 作抛物线C 的两条切线，切点为,A B .（1）求证：直线AB 过焦点F ；（2）若||8PA =，||6PB =，求||PF 的值.高三文科数学参考答案一、选择题（共12小题）1.A 【解析】解：{|32}A x x =-<<，{|3RA x x =-或2}x ，(){|2}[2,)RA x x ==+∞.故选：A.2.C 【解析】解：由sin2019sin2190︒=︒<，cos2019cos2190︒=︒<，故选：C.3.D 【解析】解：0a b ⋅=；a b ∴⊥；a ∴与b 的夹角为2π.故选：D. 4.C 【解析】解：对于A 选项，甲的直观想象素养为4分，乙的直观想象素养为5分，即甲的直观想象素养低于乙，故选项A 错误，对于B 选项，甲的数学建模素养为3分，数据分析素养为3分，即甲的数学建模素养与数学抽象素养同一水平，故选项B 错误，对于C 选项，由雷达图可知，乙的数学建模素养为4分数学运算素养为4分，故选项C 正确， 对于D 选项，乙的六大素养中只有数学运算比甲差，其余都由于甲，即乙的六大素养整体水平优于甲，故选项D 错误，故选：C.5.B 【解析】解：由题意在正方形区域内随机投掷2178个点，其中落入白色部分的有968个点，则其中落入黑色部分的有1210个点，由随机模拟试验可得12102178S S =黑正，又9S =正，即5S ≈黑，故选：B.6.A 【解析】解：圆心坐标为(0,2)过最短弦AB在的直线斜率为x =，则min ||4AB =.故选：A.7.B 【解析】解：根据题意，数列{}n a 的通项公式是2812n a n n =-+-，其前n 项和是n S ，有12n m n n m S S a a a ++-=++⋯+， 即当12n n m a a a ++++⋯+最大时，n m S S -取得最大值；若28120n a n n =-+-，且n N +∈，解可得：26n ≤≤，即当26n 时，n a 的值为正.即当6n =，2m =时，623456343010S S a a a a -=+++=+++=， 此时n m S S -取得最大值10.故选：B. 8.A 【解析】解：当0x ≤时，()1f x <即211x--<，1222x -<=，1x ∴-<，10x -<≤，当0x >时，()1f x <即2log 1x<，02x <<，综上，12x -<<，故选：A. 9.A 【解析】解：由21cos sin 4αα-=，得()241sin 4sin 10αα---=，即24sin4sin 30αα+-=，解得1sin 2α=或3sin 2α=-（舍）.,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，56πα∴=，5tan tan 6πα∴==.故选：A. 10.A 【解析】解：分焦点在x 轴上和y 轴上两种情况： ①04k <<时，C 上存在点P 满足120APB ∠=︒，假设M 位于短轴的端点时，AMB ∠取最大值，要使椭圆C 上存在点M 满足120AMB ∠=︒，120AMB ∠≥︒，60AMO ∠≥︒，1cos cos602AMO ∠=≤︒=，解得01k <≤. ②当椭圆的焦点在y 轴上时，4k >，同理可得16k ≥，k ∴的取值范围是(0,1][16,)⋃+∞，故选A.1l.D 【解析】解：不等式4(1)(23)xe f x e f x ⋅+<⋅-等价为123(1)(23)x x f x f x e e +-+-<， 构造函数()()x f x r x e =，则()()()xf x f x r x e'-'=，又有已知()()f x f x '<， ()0r x '∴<，即()r x 在R 上是减函数，由于123(1)(23)x x f x f x e e+-+-<，可得123x x +>-，解得4x <，即不等式4(1)(23)xe f x e f x ⋅+<⋅-的解集是(,4)-∞，故选：D.12.A 【解析】解：取11A D 中点E ，取1DD 中点F ，连接EF 、1C E 、1C F ，则平面CMN平面1C EF ，是侧面四边形11ADD A 内一动点（含边界），1C P平面CMN ，P ∴∈线段EF ，∴当P 与EF 的中点O 重合时，线段1C P 长度取最小值PO ，当P 与点E 或点F 重合时，线段1C P 长度取最大值PE 或PF ， 在长方体1111ABCD A B C D -中，18AA =，3AB =，8AD =， 点M 是棱AD 的中点，点N 在棱1AA 上，且满足1AN NA =，221max11345C P C E C F∴===+=，5EF=，2221min125(22)17C P PO C E EO==-=-=.∴线段1C P长度的取值范围是[17,5].故选：A.二、填空题（共4小题）13.13 【解析】解：设等差数列{}n a的公差为d，则根据652a a-=，1121a=得：121021da d=⎧⎨+=⎩；2d∴=，11a=；又169kS=；(1)169k k k∴+-=；解得13k=.故答案为：13.14.4 【解析】解：向量a、b满足||2a=，且b与b a-的夹角等于4π，如图在OAB△中，令OA a=，OB b=，可得4OBAπ∠=可得点B在半径为R的圆上，2224sinRA==，2R=.则||b的最大值为24R=15.14【解析】解：2()cos2sin2sin sin1f x x x x x=+=-++令sin x t=，则[1,1]t∈-故2()21f x t t=-++，[1,1]t∈-故14t=时，即11sin4x=时，()f x取得最大值，1t=-时，即2sin1x=-时，()f x取得最小值.()121cos4x x∴+=.16.2 【解析】解：联立A y kx mam x b ka b y x a =+⎧-⎪⇒=⎨+=-⎪⎩同理Bam x b ka =- 联立211N y kx mkm x k y x k =+⎧⎪⇒=⎨-=⎪⎩2A B N x x x ∴+=故221am am mk b ka b ka k -+=+--整理解之得：221b a =故2212b e a=+=17.【解析】解：（1）根据题意填写列联表如下，选物理 不选物理 总计 数学成绩优秀 420 320 740 数学成绩不优秀 180 80 260 总计6004001000完善等高条形图，如图所示；（2）计算222()1000(42080180320)12.474 3.841()()()()600400740260n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈>++++⨯⨯⨯，所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为数学成绩优秀与选物理有关. 18.【解析】解：（1）设数列{}n a 的公差为d ， 由2414a a +=，得3214a =，37a ∴=. 由21a -，31a +，47a +成等比数列，得()()()2324117a a a +=-+，即2(71)(6)(14)d d +=-⋅+，解得2d =或10d =-.又数列{}n a 是单调递增的等差数列故0d >，10d ∴=-（舍去）数列{}n a 的通项公式为2(2)21n a a n d n =+-⋅=+. （2）166113(21)(23)2123n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭111111112333557212332323n n S n n n n ⎛⎛⎫∴=-+-+⋯+-=-= ⎪++++⎝⎭⎝. 19.【解析】解：（1）根据题意，(2)cos cos a c B b C -=， 由正弦定理得：(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=， 即2sin cos sin cos sin cos A B C B B C ⋅-⋅= 变形可得：2sin cos sin cos sin cos A B C B B C ⋅=⋅+2sin cos sin()A B B C ∴⋅=+在ABC △中，sin()sin B C A +=2sin cos sin A B A ∴⋅=，即1cos 2B =， 则3B π=；（2）根据题意，由（1）可得3B π=，sin 2B =，又由正弦定理2sin b R B ==，22R ∴=2sin 2sin a R A A ==，2sin 2sin c R C C ==；232(sin sin )2sin sin 2sin 326a c A C C C C C C ππ⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴+=+=-+=+=+⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦又由203C π<<，则5666C πππ<+<， 则有1sin 126C π⎛⎫<+ ⎪⎝⎭， 23a c <+.20.【解析】解：（1）连接BD ，如图所示； 由四边形ABCD 为菱形， 所以AC BD ⊥，又O F 、分别为AD AB 、的中点，所以OF BD ，所以AC OF ⊥；又PF AC ⊥，OF F F =，所以AC ⊥平面POF ；又AC ⊂平面ABCD ，所以平面POF ⊥平面ABCD ；（2）由（1）知，AC ⊥平面POF ，AC PO ∴⊥；又PO AD ⊥，AD AC A ⋂=，PO ⊥平面BCF ，223PO PA AO =-=在菱形ABCD 中，F 为AB 的中点，60DAB ∠=︒，所以2BF =，120FBC ∠=︒，4BC =，所以FBC △的面积为124sin120232FBC S =⨯⨯⨯︒=△； 所以三棱锥B PCF -的体积为 11233233FBC B PCF P BCF V V S PO --==⋅⋅=⨯=△三棱锥三棱锥. 21.【解析】解：（1）当0a =时，()x f x xe =-，()(1)x f x x e '=-+，(1)f e ∴=-，(1)2f e '=-∴切线方程为2(1)y e e x +=-⋅- 即20ex y e +-=（2）由()(1)1()1(1)(1)x x x a xe f x a x e x x x +-⎛⎫'=+-+=≥ ⎪⎝⎭ （1）a e ≥时，(1)0f a e =-≥，与()0f x <在[1,)+∞上恒成立矛盾，故a c ≥不符合题意.（2）当a e <时，由于1x ≥时，x xe e ≥故0xa xe -<，()0f x '<，()f x ∴在[1,)+∞递减，故max ()(1)0f x f a e ==-<故()0f x <在[1,)+∞上恒成立 a e ∴<符合题意综上可得：实数a 的取值范围是(,)e -∞【注】其他方法酌情给分（3）函数的定义域为(0,)+∞当1a =时，()ln x f x x x xe =+-，()(1)11()1(1)x x x xe f x x e x x +-'=+-+= 令()1x g x xe =-，()(1)0x g x x e '=-+<，则()g x 在(0,)+∞递减.又1102g ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，(1)10g e =-<，01,12x ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭使得0010x x e -=，即()00f x '= 故当()0|0,x x ∈，()0g x >即()0f x '>，()f x ∴在()00,x 递增. 当()0,x x ∈+∞，()0g x <即()0f x '<，()f x ∴在()0,x +∞递减. ()00000()ln x f x f x x x x e ∴==+-极大值又001x x e =，00ln 0x x +=，故0000()ln 1x f x x x x e =+-=-极大值22.【解析】解：设点()11,A x y 、()22,B x y 、()1,P a -设直线()111:PA y y k x x -=- 联立()11124y y k x x y x -=-⎧⎨=⎩消x 得：211114440y y y x k k -+-= 由0∆=得2111110k y k x -+=又2114y x =，故2211111104k y k y -+=故2111102k y ⎛⎫-= ⎪⎝⎭故112PA k k y ==，故直线PA 的方程为：()1112y y x x y -=-即1122yy x x =+ 同理22PB k y =直线PB 的方程为：2222yy x x =+. 又P 在直线PA PB 、上 11222222ay x ay x =-+⎧∴⎨=-+⎩ 故()11,A x y 、()22,B x y 在直线22ay x =-+上，故直线AB 的方程为22ay x =-+.令0y =，得1x =∴直线AB 过焦点F .（2）由（1）知联立2224ay x y x=-+⎧⎨=⎩消x 得：2240y ay --= 故122y y a +=，124y y =-，故12221PA PB k k y y ⋅=⋅=- 故直线PA 与直线PB 垂直，从而22||10AB PA PB =+= 又21122244y x y x ⎧=⎨=⎩()2212124y y x x ∴-=-，12121242AB y y k x x y y a -∴===-+ 又0112PF a a k -==---，1PF AB k k ∴⋅=-故PF AB ⊥ 6824||105PF ⨯∴==。

2021届河北衡水中学新高考模拟试卷(三)数学(文)试题

2021届河北衡水中学新高考模拟试卷(三)数学(文)试题

2021届河北衡水中学新高考模拟试卷（三）数学（文科）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1..已知集合{}{}22|,|g 14lo A x x B x x ==<≤，则A B = （ ）A. (),2-∞B. ()0,2C. ()2,0-D. (]2,2-【答案】B 【解析】 【分析】先化简集合,A B ,再根据交集运算法则求交集即可. 【详解】{}{}2|422A x x x x =≤=-≤≤,{}{}2|log 102B x x x x =<=<<,所以(0,2)A B ⋂=, 故选:B.【点睛】本题考查了交集运算,考查了解不等式,属于简单题. 2.若复数z 满足()1243z i i +=+，则z =（） A .2i +B. 2i -C. 12i +D. 12i -【答案】A 【解析】 【分析】化简得到2z i =-，再计算共轭复数得到答案. 【详解】()1243z i i +=+，则()()()()43124310521212125i i i iz i i i i +-+-====-++-，故2z i =+. 故选：A .【点睛】本题考查了复数的化简，共轭复数，意在考查学生的计算能力.3.2019年9月25日.阿里巴巴在杭州云栖大会上正式对外发布了含光800AI 芯片,在业界标准的ResNet -50测试中,含光800推理性能达到78563lPS ,比目前业界最好的AI 芯片性能高4倍;能效比500 IPS /W ,是第二名的3.3倍.在国内集成电路产业发展中,集成电路设计产业始终是国内集成电路产业中最具发展活力的领域,增长也最为迅速.如图是2014-2018年中国集成电路设计产业的销售额(亿元)及其增速(%)的统计图,则下面结论中正确的是( )A. 2014-2018年,中国集成电路设计产业的销售额逐年增加B. 2014-2017年,中国集成电路设计产业的销售额增速逐年下降C. 2018年中国集成电路设计产业的销售额的增长率比2015年的高D. 2018年与2014年相比,中国集成电路设计产业销售额的增长率约为110% 【答案】A 【解析】【分析】根据条形统计图可以判断选项A,D 的正误,根据折线图可以判断选项B,C 的正误.【详解】对于A,由图可得2014-2018年中国集成电路设计产业的销售额逐年增加,所以A 正确; 对于B,2017年中国集成电路设计产业的销售额增速比2016年高,所以B 错误;对于C,2018年中国集成电路设计产业的销售额的增长率(约21.5%)低于2015年的增长率(约26.5%),所以C 错误;对于D,2018年与2014年相比,中国集成电路设计产业销售额的增长率为2519.31047.4100%140.5%1047.4-⨯≈,所以D 错误. 故选:A.【点睛】本题主要考查统计图的实际应用,考查学生的理解分析能力,难度不大. 4.在等差数列{}n a 中，2436a a +=，则数列{}n a 的前5项之和5S 的值为（ ） A. 108 B. 90C. 72D. 24【答案】B 【解析】由于152436a a a a +=+=，所以1555()5369022a a S +⨯===，应选答案A ． 点睛：解答本题的简捷思路是巧妙运用等差数列的性质152436a a a a +=+=，然后整体代换前5项和中的15=36a a +，从而使得问题的解答过程简捷、巧妙．当然也可以直接依据题设条件建立方程组进行求解，但是解答过程稍微繁琐一点． 5.已知0.12(tan ),5a π=b =log 32，c =log 2(cos 3π7)，则（ ） A. a >b >c B. b >a >cC. c >a >bD. a >c >b【答案】A 【解析】 【分析】根据函数单调性进而确定函数值的范围再进行比较即可. 【详解】对于a ，因为tan x 在,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，2452πππ<<即0.10.12(tan)(tan )54ππ>1a ⇒> 对于b ，因为3log x 在定义域内单调递增，即33log 2log 311b b =<=⇒< 对于c ，因为cos x 在,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，3472πππ<<则33coscoscos 0cos 127472ππππ<<⇒<<< 则223log cos log 1007c π⎛⎫<=⇒<⎪⎝⎭综上，a b c >> 故选：A【点睛】本题较易。

2021届河北省衡水中学高考数学三模试卷(含答案解析)

2021届河北省衡水中学高考数学三模试卷(含答案解析)

2021届河北省衡水中学高考数学三模试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.复数z=1+√3i，则|z|+z=()A. 3+√3iB. 3−√3iC. −3+√3iD. −3−√3i2.函数y=2cos2(x−π4)−1是()A. 最小正周期为π的奇函数B. 最小正周期为2π的奇函数C. 最小正周期为π的偶函数D. 最小正周期为2π的偶函数3.已知整数如下规律排一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个数对是()A. (5,7)B. (6,6)C. (4,8)D. (7,5)4.设不等式组表示的平面区域为D.若指数函数y=a x的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是()．A. (1,3]B. [2,3]C. (1,2]D. [3,+∞)5.已知二面角A−BC−D，A−CD−B，A−BD−C的平面角都相等，则点A在平面BCD上的射影是△BCD的()A. 内心B. 外心C. 垂心D. 重心6.已知圆x2+y2+mx−14=0与抛物线y=14x2的准线相切，则m的值等于()A. ±√2B. √3C. √2D. ±√37.某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储存温度x(单位：°C)满足函数关系y=e kx+b(e为自然对数的底数，k，b为常数)若该食品在0°C的保鲜时间是384小时，在22°C的保鲜时间是24小时，则该食品在33°C的保鲜时间是()小时A. 6B. 12C. 18D. 248.如图为一半径为3m的水轮，水轮中心O距水面2m，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y=Asin(ωx+φ)+2则()A. ω=2π15，A=5 B. ω=152π，A=5C. ω=152π，A=3 D. ω=2π15，A=3二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.百年大计，教育为本.十四五发展纲要中，教育作为一个专章被提出.近日，教育部发布2020年全国教育事业统计主要结果.其中关于高中阶段教育(含普通高中、中等职业学校及其他适龄教育机构)近六年的在校规模与毛入学率情况图表及2020年高中阶段教育在校生结构饼图如下：(名词解释：高中阶段毛入学率=在校生规模÷适龄青少年总人数×100%)根据图中信息，下列论断正确的有()A. 近六年，高中阶段在校生规模与毛入学率均持续增长B. 近六年，高中阶段在校生规模的平均值超过4000万人C. 2019年，未接受高中阶段教育的适龄青少年不足420万D. 2020年，普通高中的在校生超过2470万人10.已知集合U=(−∞,+∞)，A={x|2x2−x≤0}，B={y|y=x2}，则()A. A∩B=[0,12] B. ∁U A⊆∁U BC. A∪B=BD. ∁B A=(12,+∞)11.已知函数f(x)=sinxcos2xcosx，则()A. f(x)的图象关于点(π2,0)对称 B. f(x)的最小正周期为πC. f(x)的值域为RD. f(x)在(0,π4)上单调递增12.如图，棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P在线段BC1(含端点)上运动，则下列判断正确的是()A. A1P⊥B1DB. 三棱锥D1−APC的体积不变，为83C. A1P//平面ACD1D. A 1P 与D 1C 所成角的范围是(0,π3)三、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. (1−1x 2)(1+x)4展开式中x 2的系数为______．14. 设O 是△ABC 的三边中垂线的交点，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 对应的边，若b =4，c =2，则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是______ ． 15. 已知是双曲线上一点，是双曲线的两个焦点，若，则的值为 ．16. 已知函数f(x)=3sinx +4cosx ，则函数f(x)的最大值为______． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cosA =35，2cosC =sinB ． (1)求tan C 的值；(2)若a =√10，求△ABC 的面积．18. 已知函数f(x)=x 2+(a −1)x +b +1，当x ∈[b,a]时，函数f(x)的图象关于y 轴对称，数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =f(n +1)−1 (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n =an2n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．19. 全国人大常委会会议于2015年12月27日通过了关于修改人口与计划生育法的决定，“全面二孩”从2016年元旦起开始实施，A 市妇联为了解该市市民对“全面二孩”政策的态度，随机抽取了男性市民30人，女市民70人进行调查，得到以下的2×2列联表：支持 反对 合计 男性 16 14 30 女性 44 26 70 合计6040100(1)根据以上数据，能否有90%的把握认为A 市市民“支持全面二孩”与“性别”有关；(2)现从持“支持”态度的市民中再按分层抽样的方法选出15名发放礼品，分别求所抽取的15人中男性市民和女性市民的人数；(3)将上述调查所得到的频率视为概率，现在从A市所有市民中，采用随机抽样的方法抽取3位市民进行长期跟踪调查，记被抽取的3位市民中持“支持”态度人数为X(i)求X的分布列；(ii)求X的数学期望E(X)和方差D(X)．，其中n=a+b+c+d．参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)参考数据：P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.010k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.63520.如图，在直角梯形AA1B1B中，∠A1AB=90°，A1B1//AB，AB=AA1=2A1B1=2，直角梯形AA1C1C通过直角梯形AA1B1B以直线AA1为轴旋转得到，且使得平面AA1C1C⊥平面AA1B1B.点M 为线段BC的中点，点P是线段BB1中点．(Ⅰ)求证：A1C1⊥AP；(Ⅱ)求二面角P−AM−B的余弦值．21.已知椭圆C：．(1)如果椭圆的离心率，经过点．①求椭圆的方程；②经过点P的两直线与椭圆分别相交于A，B，它们的斜率分别为.如果，试问：直线AB的斜率是否为定值？并证明．(2)如果椭圆的，点分别为椭圆的上、下顶点，过点的直线分别与椭圆交于两点.若△的面积是△的面积的倍，求的最大值．22. 已知x=1时，函数f(x)=ax3+bx有极值−2．(1)求实数a，b的值；(2)若方程f(x)=k恰有1个实数根，求实数k的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：解：∵z=1+√3i，∴|z|=√1+3=2，z=1−√3i，则|z|+z=2+1−√3i=3−√3i．故选：B．由已知求得|z|及z，作和得答案．本题考查复数模的求法，考查复数的基本概念，是基础题．2.答案：A解析：解：y=2cos2(x−π4)−1=cos(2x−π2)=sin2x，∴此函数的最小正周期为π，为奇函数；故选：A．运用二倍角公式化简为cos(2x−π2)，再利用诱导公式化简．本题考查了余弦的二倍角公式以及诱导公式的运用．3.答案：A解析：解：在平面直角坐标系中，将各点按顺序连线，如图所示：可得：(1,1)为第1项，(1,2)为第(1+1)=2项，(1,3)为第(1+1+2)=4项，(1,4)为第(1+1+2+3)=7项，(1,5)为第(1+1+2+3+4)=11项，…，依此类推得到：(1,11)为第(1+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)=56项，∴第57项为(2,10)，第58项为(3,9)，第59项为(4,8)，则第60项为(5,7)．故选A我们可以在平面直角坐标系中，将：(1,1)、(1,2)、(2,1)、(1,3)、(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，按顺序连线，然后分析这些点的分布规律，然后归纳推断出，点的排列规律，再求出第60个数对．本题考查的知识点是归纳推理，归纳推理的一般步骤是：(1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想)．4.答案：A解析：画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(包括边界)．当a>1时才能够使函数y=a x的图象上存在区域D上的点，由图可知当函数y=a x的图象经过点A时a取得最大值，由方程组解得x=2，y=9，即点A(2,9)，代入函数解析式得9=a2，即a=3，故1<a≤3．5.答案：A解析：本题考查二面角的平面角，考查三角形内心的概念，属于基础题．二面角A−BC−D，A−CD−B，A−BD−C的平面角都相等，可得点A在平面BCD上的射影到△BCD的三边的距离都相等，即可得出结论．解：∵二面角A−BC−D，A−CD−B，A−BD−C的平面角都相等，∴点A在平面BCD上的射影到△BCD的三边的距离都相等，∴点A在平面BCD上的射影是△BCD的内心，故选：A．6.答案：D解析：试题分析：由抛物线的方程找出p，写出抛物线的准线方程，因为准线方程与圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．由抛物线的方程得到p =2，所以抛物线的准线为y =−p2=−1， 将圆化为标准方程得：(x +m2)2+y 2=1+m 24，圆心坐标为(−m2,0)，圆的半径r =√1+m 24，圆心到直线的距离d =√1=1=r =√1+m 24，化简得：m 2=3，解得m =±√3． 故选 D7.答案：A解析：解：∵某食品保鲜时间y(单位：小时)与储存温度x(单位：℃)满足函数关系y =e kx+b (e =2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．该食品在0℃的保鲜时间是384小时，在22℃的保鲜时间是24小时，所以{e b=384e 22k+b=24，解得e 22k =116，即有e 11k =14，e b =384， 则当x =33时，y =(e 11k )3⋅384=6， 故选：A ．由该食品在0℃的保鲜时间是384小时，在22℃的保鲜时间是24小时，列出方程组，求出，由此能求出该食品的保鲜时间．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．8.答案：D解析：本题主要通过一个实际背景来考查三角函数的周期及振幅． 根据题意，水轮旋转一周所用的时间为一个周期，由周期公式，T =2πω求解；A 为最大振幅，由图象知到最高点时即为A 值． 解：已知水轮每分钟旋转4圈∴ω=4×2π60=2π15又∵半径为3m ，水轮中心O 距水面2m ， ∴距水面最高点为5，即A =3， 故选D ．9.答案：BD解析：解：对于A ，由条形图可知，2018年高中在校生人数比2017年降低了，故选项A 错误；对于B ，近六年高中阶段在校生规模的平均值为4000+16×(38−30−29−65−5+128)=4000+376>4000万人，故选项B 正确；对于C ，2019年未接受高中教育的人数为399589.5%−3995≈469万人，超过420万人，故选项C 错误； 对于D ，2020年普通高中的在校生人数为4128×60.1%=2480.928>2470万人，故选项D 正确． 故选：BD ．根据题中给出的折线图和条形图，对四个选项逐一分析判断即可．本题考查了条形图和折线图的应用，读懂统计图并能从统计图得到必要的信息是解决问题的关键，属于基础题．10.答案：ACD解析：求出集合A ，B ，进而求出A ∩B ，∁U A ，∁U B ，A ∪B ，∁B A ，由此能求出结果．本题考查交集、并集、补集的求法，考查交集、并集、补集定义等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．解：∵集合U =(−∞,+∞)，A ={x|2x 2−x ≤0}={x|0≤x ≤12}， B ={y|y =x 2}={y|y ≥0}， ∴A ∩B =[0,12]，故A 正确；∁U A ={x|x <0或x >12}，∁U B ={x|x <0}， ∴∁U A ⊇∁U B ，故B 错误； A ∪B =[0,+∞)=B ，故C 正确； ∁B A ={x|x >12}=(12,+∞).故D 正确．故选：ACD ．11.答案：ABC解析：解：对于A ：函数f(π−x)+f(x)=0，所以函数f(x)的图象关于(π2,0)对称，故A 正确； 对于B ：函数f(x +π)=f(x)，故B 正确；对于C ：由于函数的最小正周期为π，且x →±π2时，f(x)→±∞，故函数的值域为R ，故C 正确； 对于D ：由于函数f(x)=sinxcos2x cosx，故f′(x)=cos2x−sin 22xcos 2x=cos 22x+cos2x−1cos 2x，当x ∈(0,π4)时，cos2x ∈(0,1)，而cos2x ∈(0,12)时，cos 22x +cos2x −1<0，所以函数f(x)在(0,π4)上不单调递增，故D 错误； 故选：ABC ．直接利用函数的性质单调性，周期性和函数的额值域的应用和函数的求导判断A 、B 、C 、D 的结论． 本题考查的知识要点：函数的性质，单调性，周期性和函数的额值域的应用，函数的导数和单调性的关系，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．12.答案：AC解析：解：棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P 在线段BC 1(含端点)上运动，对于A ，B 1C ⊥BC 1，CD ⊥BC 1，B 1C ∩CD =C ，B 1C 、CD ⊂平面CDB 1，∴BC 1⊥平面CDB 1，∵B 1D ⊂平面CDB 1，∴B 1D ⊥BC 1， 同理，B 1D ⊥A 1C 1，∵A 1C 1∩BC 1=C 1，A 1C 1、BC 1⊂平面A 1C 1B ，∴B 1D ⊥平面A 1C 1B ，∵A 1P ⊂平面A 1C 1B ，∴A 1P ⊥B 1D ，故A 正确； 对于B ，∵P 在线段BC 1(含端点)上运动，BC 1//AD 1，BC 1⊄平面ACD 1，AD 1⊂平面ACD 1，∴BC 1//平面ACD 1，∴P 到ACD 1的距离是定值，以D 1为原点，D 1A 1为x 轴，D 1C 1为y 轴，D 1D 为z 轴，建立空间直角坐标系， D 1(0,0，0)，A(2,0，2)，C(0,2，2)，B(2,2，2)， D 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0，2)，D 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，2)，D 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2，2)， 设平面D 1AC 的法向量m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅D 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +2z =0m ⃗⃗⃗ ⋅D 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2y +2z =0，取x =1，得m⃗⃗⃗ =(1,1，−1)， ∴P 到平面D 1AC 的距离d =|D 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |=2√3=2√33， ∴三棱锥D 1−APC 的体积为：V D 1−APC =V P−ACD 1=13×S △ACD 1×d =13×12×√22+22×√22+22×sin60°×2√33=43，故B 错误；对于C ，∵AD 1//BC 1，CD 1//A 1B ，AD 1∩CD 1=D 1，BC 1∩A 1B =B ，∴平面AD 1C//平面BC 1A 1，∵A 1P ⊂平面BC 1A 1，∴A 1P//平面ACD 1，故C 正确； 对于D ，∵P 在线段BC 1(含端点)上运动， ∴当P 与B 重合时，A 1P 与D 1C 所成角为0，当P 与C 1重合时，A 1P 与D 1C 所成角为π3，故D 错误． 故选：AC ．对于A ，推导出B 1D ⊥BC 1，B 1D ⊥A 1C 1，从而B 1D ⊥平面A 1C 1B ，进而A 1P ⊥B 1D ，；对于B ，推导出BC 1//平面ACD 1，从而P 到ACD 1的距离是定值，以D 1为原点，D 1A 1为x 轴，D 1C 1为y 轴，D 1D 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出三棱锥D 1−APC 的体积为43；对于C ，由AD 1//BC 1，CD 1//A 1B ，得平面AD 1C//平面BC 1A 1，从而A 1P//平面ACD 1；对于D ，当P 与B 重合时，A 1P 与D 1C 所成角为0，当P 与C 1重合时，A 1P 与D 1C 所成角为π3．本题考命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力等数学核心素养，是中档题．13.答案：5解析：解：因为(1+x)4展开式的通项为T r+1=C 4r x r， 所以(1−1x 2)(1+x)4展开式中x 2的系数为C 42−C 44=5，故答案为：5．由二项式定理及其展开式的通项公式得：因为(1+x)4展开式的通项为T r+1=C 4r x r，所以(1−1x 2)(1+x)4展开式中x 2的系数为C 42−C 44=5，得解．本题考查了二项式定理及其展开式的通项公式，属中档题．14.答案：6解析：解：如图所示，过点O 分别作OE ⊥AB ，OF ⊥AC ． 则AE =12AB ，AF =12AC ． ∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AO ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =12|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2 =12(42−22)=6． 故答案为：6．如图所示，过点O 分别作OE ⊥AB ，OF ⊥AC.利用三角形外心的性质可得AE =12AB ，AF =12AC.再利用数量积的定义即可得出．本题考查了三角形外心的性质、数量积的定义，属于中档题．15.答案：33解析：由双曲线方程可知，，则，因为是双曲线上一点，所以，又，所以或.又，所以．考点：双曲线定义、标准方程及简单的几何性质．16.答案：5解析：解：函数f(x)=3sinx +4cosx5(35sinx +45cosx)， 令cosθ=35，sinθ=45，θ∈[0,2π)．则由辅助角公式可得f(x)=5sin(x +θ)，根据正弦函数的值域可得f(x)的最大值为5， 故答案为：5．由辅助角公式可得f(x)=5sin(x +θ)，再根据正弦函数的值域可得f(x)的最大值． 本题主要考查辅助角公式，正弦函数的值域，属于中档题．17.答案：解：(Ⅰ)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cosA =35，所以：sinA =45，由于：2cosC =sinB =sin(A +C)， 2cosC =sinAcosC +cosAsinC ， 解得：tanC =2； (Ⅱ)由(Ⅰ)得：tanC =2， 所以：sinC =2√55，cosC =√55， 由正弦定理得：asinA =csinC ，解得：c =5√22， 由于：2cosC =sinB ， sinB =2√55， S △ABC =12acsinB =12×5√22×√10×2√55=5解析：(Ⅰ)首先利用同角三角函数的值求出正弦和余弦的值，进一步求出正切值． (Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论结合正弦定理求出三角形的面积．本题考查的知识要点：同角三角函数的恒等关系式，利用正弦定理求三角形的面积．18.答案：解：(1)∵函数f(x)的图象关于y 轴对称，∴a −1=0且a +b =0， 解得a =1，b =−1， ∴f(x)=x 2，∴S n =f(n +1)−1=(n +1)2−1=n 2+2n即有a n =S n −S n−1=2n +1(n ≥2)，a 1=S 1=1也满足， ∴a n =2n +1； (2)由(1)得b n =2n+12n，T n =32+522+723+⋯+2n−12n−1+2n+12n，①∴12T n =322+523+724+⋯+2n−12n+2n+12n+1，②①−②得12T n =32+222+223+224+⋯+22n −2n+12n+1=32+2×12[1−12n−1]1−12−2n+12n+1=32+2−12n−1−2n+12n+1=72−2n+52n+1．∴T n =7−2n+52n．解析：(1)依题意，可求得a =1，b =−1，从而得S n =n 2，于是可求得a 1及a n =S n −S n−1=2n +1(n ≥2)，观察即可求得数列{a n }的通项公式； (2)由(1)得b n =2n−12n，利用错位相减法可求得T n =5−2n+52n．本题考查数列通项公式与数列的求和，着重考查数列的错位相减法，属于中档题．19.答案：解：(1)由列联表可得K 2=100×(16×26−14×44)230×70×60×40≈0.7937<2.706．所以没有90%的把握认为“支持全面二孩”与“性别”有关．(2)依题意可知，所抽取的15位市民中，男性市民有15×1660=4(人)，女性市民有15×4460=11(人)． (3)(i)由2×2列联表可知，抽到持“支持”态度的市民的频率为60100=35，将频率视为概率，即从A 市市民中任意抽取到一名持“支持”态度的市民的概率为35． 由于总体容量很大，故X 可视作服从二项分布，即X ～B(3,35)，所以P(X =k)=C 3k⋅(35)k (25)3−k (k =0,1，2，3)． 从而X 的分布列为： X 0123P8125361255412527125(ii)E(X)=np =3×35=95；D(X)=np(1−p)=3×35×25=1825．解析：(1)计算K 2，与2.706比较大小； (2)根据各层的人数比例计算；(3)求出X 的分布列，代入公式计算数学期望和方差．本题考查了独立性检验，分层抽样，随机变量分布，属于中档题．20.答案：证明：(Ⅰ)∵在直角梯形AA 1B 1B 中，∠A 1AB =90°，A 1B 1//AB ，AB =AA 1=2A 1B 1=2，直角梯形AA 1C 1C 通过直角梯形AA 1B 1B 以直线AA 1为轴旋转得到， ∴∠A 1AB =∠A 1AC =90°，且平面AA 1C 1C ⊥平面AA 1B 1B ， ∴∠BAC =90°，即AC ⊥AB ， 又∵AC ⊥AA 1，且AB ∩AA 1=A ， ∴AC ⊥平面AA 1B 1B ，由已知A 1C 1//AC ，∴A 1C 1⊥平面AA 1B 1B ， ∵AP ⊂平面AA 1B 1B ，∴A 1C 1⊥AP ． 解：(Ⅱ)由(Ⅰ)知AC ，AB ，AA 1两两垂直，分别以AC ，AB ，AA 1为x ，y ，z 轴，建立空间直角系， 由已知得AB =AC =AA 1=2A 1B 1=2A 1C 1=2，∴A(0,0，0)，B(0,2，0)，C(2,0，0)，B 1(0,1，2)，A 1(0,0，2)， ∵M 为线段BC 的中点，P 为线段BB 1的中点， ∴M(1,1，0)，P(0,32,1)，平面ABM 的一个法向量m⃗⃗⃗ =(0,0，1)， 设平面APM 的一个法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x +y =0n ⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =32y +z =0，取x =2，得n⃗ =(2,−2,3)， 由图知二面角P −AM −B 的大小为锐角， 设二面角P −AM −B 的平面角为θ， 则cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=3√17=3√1717， ∴二面角P −AM −B 的余弦值为3√1717． 解析：(Ⅰ)推导出AC ⊥AB ，AC ⊥AA 1，从而AC ⊥平面AA 1B 1B ，由A 1C 1//AC ，知A 1C 1⊥平面AA 1B 1B ，由此能证明A 1C 1⊥AP ．(Ⅱ)以AC ，AB ，AA 1为x ，y ，z 轴，建立空间直角系，利用向量法能求出二面角P −AM −B 的余弦值．本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．21.答案：解：(1)①由已知得 ， ， ，联立解得 ．椭圆M 的方程为 ．②直线AB 的斜率为定值 .理由如下：由已知直线 代入椭圆 的方程消去 并整理得所以，从而同理，因为所以为定值；(2)直线方程为，联立，得，直线方程为：，联立，得，，令，则，当且仅当，即时，取“”，所以 的最大值为 ．解析：(1)①由椭圆的离心率公式和准线方程，结合椭圆的a ，b ，c 的关系，计算即可得到；②设出直线PA 的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合斜率公式，由化简可得结论；(2)分别求出直线TB ，TC 的方程，代入椭圆方程，求得交点E ，F 的横坐标，再由三角形的面积公式，结合二次函数，计算即可得到最大值．22.答案：解：(1)因为f(x)=ax 3+bx ，所以f′(x)=3ax 2+b ．又因为当x =1时，f(x)的极值为−2，所以{a +b =−23a +b =0，解得a =1，b =−3．(2)由(1)可得f(x)=x 3−3x ，则f′(x)=3x 2−3=3(x +1)(x −1)，令f′(x)=0，得x =±1，当x <−1或x >1时f′(x)>0，f(x)单调递增， 当−1<x <1时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 所以当x =−1时f(x)取得极大值，f(−1)=2， 当x =1时f(x)取得极小值，f(1)=−2， 大致图象如图所示：要使方程f(x)=k 恰有1个解，只需k >2或k <−2． 故实数k 的取值范围为(−∞,−2)∪(2,+∞)．解析：(1)求出f′(x)=3ax 2+b.通过x =1时，f(x)的极值为−2，得到{a +b =−23a +b =0，求解即可．(2)化简f(x)=x 3−3x ，求出f′(x)，得到极值点x =±1，判断函数的单调性以及极值，画出图形，然后求解方程f(x)=k 恰有1个实数根，实数k 的取值范围．本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的单调性的应用，考查数形结合以及计算能力．。

2021届河北衡水金卷新高三原创预测试卷(十三)文科数学

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2021届河北衡水金卷新高三原创预测试卷（十三）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{1,0,1,2,3,4}U =-，集合{|4},A x N x =∈<{|12}B x Z x =∈-≤<，则()UA B =（ ）A. {1,0,1,4}-B. {1,0}-C. {}1-D. {0,1}【答案】C 【解析】 【分析】利用集合交并补运算即可求解.【详解】依题意可知{0,1,2,3},A ={1,0,1,2,3,4}U =-，所以{1,4}UA =-，{1,0,1}B =-，所以(){1}UA B =-.故选：C.【点睛】本题考查了集合的基本运算，属于基础题. 2.已知i 为虚数单位，211z i i⋅=--，则关于复数z 的说法正确的是（ ） A. ||1z = B. z 对应复平面内的点在第三象限 C. z 的虚部为i - D. 2z z +=【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的乘法运算以及复数的概念以及几何意义即可求解. 【详解】已知211z i i⋅=--， 所以2(1i)2z i -==-，所以||1z =. 故选：A.【点睛】本题考查了复数的乘法运算以及复数的概念、共轭复数、复数的几何意义，需掌握住复数中的基本知识，属于基础题.3.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产A 产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对应数据．根据右表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为0.70.35y x ∧=+，那么表中t 的值为( )A. 3B. 3.15C. 3.5D. 4.5【答案】A 【解析】【详解】因a y bx =-由回归方程知0.350.7y x =-＝2.54 4.534560.744t ++++++-⨯，解得3t =，故选A.4.已知()23log 2,a =212log 3,b ⎛⎫= ⎪⎝⎭221log 3c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A. c a b <<B. a b c <<C. a c b <<D.b c a <<【答案】A 【解析】 【分析】利用对数函数的单调性即可比较大小. 【详解】因为30log 21<<，所以01,a <<212log 3b ⎛⎫= ⎪⎝⎭()22log 31=>，212log 03c =<，所以c a b <<. 故选：A.【点睛】本题主要考查对数函数的单调性，需熟记对数函数的性质，属于基础题. 5.已知命题p ：2230x x +->；命题q ：01x ax a ->--，且q ⌝的一个必要不充分条件是p ⌝，则a 的取值范围是（ ） A. [3,0]- B. (,3][0,)-∞-⋃+∞ C. (3,0)- D. (,3)(0,)-∞-⋃+∞【答案】A 【解析】x 2＋2x －3>0，得x <－3或x >1，故⌝p ：－3≤x ≤1；命题q ：1,x a x a >+<或，故⌝q ：1a x a ≤≤+． 由⌝q 的一个必要不充分条件是⌝p ，可知⌝q 是⌝p 的充分不必要条件，故3;11a a ≥-⎧⎨+≤⎩得30a -≤≤． 故选A6.已知数列{a n }满足2a n =a n ﹣1+a n +1(n ≥2),a 2+a 4+a 6=12,a 1+a 3+a 5=9,则a 3+a 4=（ ）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】B 【解析】 【分析】由条件112n n n a a a -+=+可知数列为等差数列，由等差数列的性质可求结果. 【详解】112n n n a a a -+=+,∴{}n a 是等差数列，由等差数列性质可得2464312a a a a ++==，135339a a a a ++==， 34347a a ∴+=+=，故选：B【点睛】本题主要考查了等差中项，等差数列的性质，属于中档题.7.已知(2)1,(1,)(){(1)xa x x f x a x -+<=≥满足对任意121212()(),0f x f x x x x x -≠>-都有成立,那么a 的取值范围是（ ） A. 3[,2)2B. 3(1,]2C. （1，2）D. (1,)+∞【答案】A 【解析】【详解】根据题意可知函数在给定区间内递增， 因此可知2-a>0，a>1，2-a+1a ≤,解得实数a 的范围是3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故选A.. 8.已知3tan 65πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A.817 B. 817-C.725D. 725-【解析】 【分析】 设6παθ+=，则2262ππαθ-=-，然后利用诱导公式可得sin 2cos 26παθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，再利用二倍角的余弦公式以及同角三角函数的基本关系即可求解. 【详解】设6παθ+=，则22,62ππαθ-=-tan tan 6παθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭35=-，sin 2sin 262ππαθ⎛⎫⎛⎫∴-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos2θ=-22sin cos θθ=-2222sin cos sin cos θθθθ-=+ 22tan 1tan 1θθ-=+817=-. 故选：B【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系、诱导公式，需熟记三角函数的诱导公式，属于基础题.9.如图一个几何体的三视图，则该几何体的各个面中，面积小于6的面的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】画出几何体的直观图，利用三视图中的数据，计算求解即可. 【详解】由题意可知几何体的直观图，如图：由三视图可知，底面ABCD 为矩形，O 为AB 的中点，且PO ⊥平面， 设H 为CD 的中点，则易证CD ⊥平面PHO ,则有PH CD ⊥, 易证,PAD PBC 为直角三角形,2PO =,2215PA PB ==+=222222PH =+=12222PAB S=⨯⨯=,12552PAD PCBS S ==⨯= 1222222PCD S =⨯⨯==4ABCD S .6的个数是3个． 故选：C【点睛】本题考查是由三视图求几何体表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．属于基础题.10.已知三棱锥A-BCD 的顶点均在球O 的球面上，且3,AB AC AD ===2BCD π∠=，若H 是点A 在平面BCD 内的正投影，且2CH =O 的体积是（ ）A. 3πB.92π 82πD.43π 【答案】B 【解析】 【分析】先求出即H 是BCD∆外心，且H 是斜边BD 的中点，在Rt ABH ∆中利用勾股定理求出1AH =，设球O 的半径为R ，由22(1)2R R =-+，求出半径R ，再利用球的体积公式即可求解.【详解】因为3AB AC AD ===，所以由三角形全等可得HB HC HD ==，即H 是BCD ∆的外心，即H 是斜边BD 的中点，则球心O 在AH 上或其延长线上， 由勾股定理可得222AB BH AH -=，得1AH =， 设球O 的半径为R ，则22(1)2R R =-+，所以32R =. 所以球O 的体积为34932R ππ=， 故选：B.【点睛】本题考查了多面体外接球问题、球的体积公式，考查了学生的空间想象能力，属于基础题.11.（江西省2018届高三毕业班新课程教学质量监测）若双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>渐近线与抛物线21y x =+相切，且被圆()221x y a +-=2，则a =5 10【答案】B 【解析】可以设切点为(x 0，20x ＋1)，由y ′＝2x ，∴切线方程为y －(20x ＋1)＝2x 0(x －x 0)，即y ＝2x 0x－20x ＋1，∵已知双曲线的渐近线为y ＝±a b x ，∴200102x a x b⎧=⎪⎨±=⎪⎩－＋，x 0＝±1，a b ＝2，一条渐近线方程为y ＝2x ，圆心(0,)a 到直线2y x =22a =⇒=. 故选B12.函数()|cos |f x x =(0)x ≥的图象与过原点的直线恰有四个交点，设四个交点中横坐标最大值为θ，则()21sin 2θθθ+（ ）A. -2B. 2C. 12-D.12【答案】A 【解析】 【分析】依题意，过原点的直线与函数()|cos |f x x =(0)x ≥在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭内的图像相切，利用导数知识可求得切线方程，利用直线过原点，可求得1tan θθ=-，代入所求关系式即可得到答案. 【详解】函数()|cos |f x x =(0)x ≥的图象与过原点的直线恰有四个交点，∴直线与函数|cos |y x =(0)x ≥在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭内的图象相切， 在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上，y 的解析式为cos y x =，故由题意切点坐标为(,cos )θθ，∴切线斜率sin sin ,x k y x θθ===-=-'∴由点斜式得切线方程为：cos sin (),y xθθθ-=--sin sin cos y x θθθθ∴=-++，直线过原点，sin cos 0θθθ∴+=，得1tan θθ=-， ()21sin 2θθθ+∴211sin 2tan =1tan θθθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-1tan sin 2tan θθθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭sin cos 2sin cos cos sin θθθθθθ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭()222sin cos 2θθ=-+=-.故选：A.【点睛】本题考查了导数的几何意义、点斜式方程、二倍角公式以及同角三角函数的基本关系，需熟记公式，属于基础题.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.如图是某工厂对一批新产品长度(单位：)mm 检测结果的频率分布直方图.估计这批产品的中位数为______．【答案】22.5 【解析】根据频率分布直方图，得； ∵0.02×5+0.04×5=0.3<0.5， 0.3+0.08×5=0.7>0.5； ∴中位数应在20∼25内， 设中位数为x ，则0.3+(x −20)×0.08=0.5， 解得x =22.5；∴这批产品的中位数是22.5. 故答案为22.5.点睛：用频率分布直方图估计总体特征数字的方法： ①众数：最高小长方形底边中点的横坐标；②中位数：平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标； ③平均数：频率分布直方图中每个小长方形的面积乘小长方形底边中点的横坐标之和. 14.设,x y R ∈，向量(,1),a x =(2,),b y =(2,2)c =-，且,a c ⊥//b c ，则||a b +=________.【解析】 【分析】利用向量垂直、平行的坐标运算求出,x y ，再利用向量模的坐标运算即可求解. 【详解】a c ⊥220x ⇒-+=1x ⇒=(1,1),a ⇒=//b c 420y ⇒+=2y ⇒=-(2,2)b ⇒=-(3,1)a b ⇒+=-||a b ⇒+==.【点睛】本题考查了向量垂直、平形以及向量的模的坐标运算，需熟记公式，属于基础题.15.由不等式组0020x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪--≤⎩确定的平面区域记为1Ω，由不等式组12x y x y +≤⎧⎨+≥-⎩ 确定的平面区域记为2Ω，若在1Ω中随机取一点，则该点恰好在2Ω内的概率为________. 【答案】78【解析】 【分析】首先画出两个不等式组表示的可行域，并求其公共区域，再根据概率公式OACDOABS P S∆=四边形计算结果.【详解】如图，平面区域1Ω就是三角形区域OAB ，12222OAB S ∆=⨯⨯=， 平面区域2Ω与平面区域1Ω的重叠部分就是区域OACD ，.BCD ∆是等腰直角三角形1111224BCD S ∆=⨯⨯=，17244OACD S ∴=-=由几何概型的概率公式，所求概率77428OACDOABS P S ∆===四边形.故答案为：78【点睛】本题考查面积比值类型的几何概型，重点考查不等式组表示的平面区域的画法，属于基础题型.16.已知圆()22:22C x y +-=，直线:20l kx y --=与y 轴交于点A ，过l 上一点P 作圆C 的切线，切点为T ，若2PA PT =，则实数k 的取值范围是______．【答案】7k ≤或7k ≥ 【解析】 【分析】设P （x ，y ），由PA=2PT ，求出点P 的轨迹方程，问题可转化为直线l 与圆有公共点的问题，列不等式求解即可．【详解】圆C ：()2222x y +-=直线l ：20kx y --=与与轴交于点A （0，﹣2），设P （x ，y ），由PA=2PT ，可得()222x y ++=2（()222x y +-﹣2）， 即x 2+y 2﹣12y=0，即满足PA=2PT 的点P 的轨迹是一个圆()22636x y +-=所以问题可转化为直线l 与圆()22636x y +-=有公共点， 所以d ≤r ，281k +≤6，解得7k ≤-或7k ≥， ∴实数k 的取值范围是7k ≤-或7k ≥． 故答案为7k ≤-或7k ≥ 【点睛】本题考查圆的方程的综合应用，直线与圆的位置关系，考查转化思想以及计算能力，明确动点P 的轨迹是解题的关键．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22、23题为选考题，考生根据要求做答. 17.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且满足3sin 2sin 3sin 3sin a A a C b B c C -=-.（1）求cos B 的值.（2）如图，点D 在线段AC 上，且2AD DC =，若2AC =，求DBC △面积的最大值. 【答案】（1）13；（2）23. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理即可求解.（2）由（1）以及余弦定理、基本不等式可得22224233a c ac ac ac =+-≥-，由1S S 3BDC ABC ∆∆=即可求解.【详解】（1）3sin 2sin 3sin 3sin a A a C b B c C ∴-=-， 由正弦定理，可得2223233a ac b c -=-，则2221cos 23a cb B ac +-== （2）由（1）知1cos 3B =, 可得：22224233a c ac ac ac =+-≥-4,3ac = 3ac ∴≤，（当且仅当a c =时取等号）， 由2AD DC =，可得：1S S 3BDC ABC ∆∆=111122sin 33232ac B =⨯⨯≤⨯⨯⨯2=， DBC ∴△的面积最大值为23. 【点睛】本题考查了正、余弦定理、基本不等式求最值以及三角形的面积公式，需熟记公式，属于基础题.18.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，M 为线段1CC 上的一点，且1AC =，12BC CC ==.（1）求证：1AC B M ⊥；（2）若N 为AB 的中点，若//CN 平面1AB M ，求三棱锥1M ACB -的体积. 【答案】(1)见解析;(2)1.3【解析】试题分析：（1）在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，易证11AC BB C C ⊥平面，从而得证；（2）先由N 为AB 的中点，且//CN 平面1AB M ，明确M 为1CC 中点，然后利用等体积变换求体积. 试题解析：（1）证明：在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，11,,AC CC AC BC CC BC C ⊥⊥⋂=.11AC BB C C ∴⊥平面, 1AC B M ∴⊥.（2）当M 为1CC 中点时, 1//CN AB M 平面,理由如下：112CM CC =,11//2CM BB ∴,取1AB 中点E ，连,NE ME ，,N E 分别为1,AB AB 中点，11//2NE BB ∴, //CM NE ∴，∴四边形CMEN 为平行四边形，11//,,CN ME CN AMB ME AB M ∴⊄⊂面面,1//CN AB M ∴面，11111111,.233B MC M ACB A CMB B MC S CM BC V V S AC --=⋅=∴==⋅=19.某电视台举行一个比赛类型的娱乐节目，A 、B 两队各有六名选手参赛，将他们首轮的比赛成绩作为样本数据，绘制成茎叶图如图所示，为了增加节目的趣味性，主持人故意将A 队第六位选手的成绩没有给出，并且告知大家B 队的平均分比A 队的平均分多4分，同时规定如果某位选手的成绩不少于21分，则获得“晋级”.（1）根据茎叶图中的数据，求出A 队第六位选手的成绩；（2）主持人从A 队所有选手成绩中随机抽取2个，求至少有一个为“晋级”的概率；【答案】（1）20；（2）35. 【解析】 【分析】（1）设A 队第6位选手的成绩为x ，根据题意求出A 队、B 队的平均值，列平均值式子即可求解.（2）利用组合数先求出两人都没有“晋级”的概率，再由对立事件的概率计算公式即可求解 【详解】（1）B 队选手的平均分为111221252736226+++++=，设A 队第6位选手的成绩为x ， 则911132431186x+++++=，得20x ；（2）A 队中成绩不少于21分的有2个，从中抽取2个至少有一个为“晋级”的对立事件为两人都没有“晋级”，其中 A 队中21分以下的有4人，21分以上的有2人，所以两人都没有“晋级”，2412662155C P C ===，则至少有一个为“晋级”的概率23155P =-=. 【点睛】本题考查了茎叶图、古典概型的概率计算公式、组合数，属于基础题.20.已知顶点为原点的抛物线C 的焦点与椭圆2221y x a+=的上焦点重合，且过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若抛物线上不同两点A ，B 作抛物线的切线，两切线的斜率121k k =-，若记AB 的中点的横坐标为m ，AB 的弦长()g m ，并求()g m 的取值范围.【答案】（1）2215y x +=；（2）[)8,+∞. 【解析】 【分析】（1）由已知设抛物线方程为：22x py =，求出抛物线方程，从而可求出抛物线的焦点，进而求出椭圆的标准方程.（2）设211,,8x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭222,8x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，求出A ，B 两点切线的斜率，根据121k k =-可得 1212116x x k k ⋅==-，由A ，B 两点直线的斜率从而可求出212x x m +=，再由弦长公式即可求解.【详解】（1）由题意可知，设抛物线方程为：22x py =点在抛物线C 上， 所以抛物线C 的方程为28x y =， 所以椭圆的上焦点为(0,2)，所以椭圆的标准方程为2215y x +=；（2）设211,,8x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭222,8x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，在A 点处的切线的斜率114x k =， 在B 点处的切线的斜率224xk =，又1212116x xk k ⋅==-，所以22212188ABx x k x x -=-218x x +=,4m=212x x m +=，而12|||AB x =-===所以g()m =又20m ≥，所以()8g m ≥.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程、弦长公式，考查了学生的计算能力，属于中档题.21.已知函数()(0),f x ax a a =-≠()()0xe g xf x -=.（1）当1a =-时，求函数()g x 在点(0,(0))g 处的切线方程；（2）关于x 的不等式()10g x +>在[1,)x ∈-+∞上恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）210x y +-=；（2）()21,00,2e e ⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）将1a =-代入求出()g x 的表达式，再求出()g x '，根据导数的几何意义即可求解.（2）根据题意将不等式采用分离参数法：当1x >时， (1)xe a x ->-；当1x -≤<1时，(1)x e a x -<-，令(),(1)xe h x x -=-利用导函数研究函数的单调性，求出()h x 的最值即可求解. 【详解】（1）依题意，()()0xe g xf x -=，1a =-又，所以1()x x ax a xg x e e--==， 所以(0)1g =，2()x x g x e-'=，所以(0)2g '=-，所以切线方程为21y x =-+， 即210x y +-=.（2）依题意()10g x +>，即1xax ae->-， 所以(1)xx a e ->-，当1x =时，显然成立；当1x >时，(1)xx a e ->-即(1)xe a x ->-，令(),(1)x e h x x -=-2(2)()(1)xx e h x x -'=-， 且()0h x '=时，解得2x =，所以()(1)xe h x x -=-在(1,2)x ∈单调递增，在(2,)x ∈+∞上单调递减，所以2max ()(2)h x h e ==-，所以2a e >-；当1x -≤<1时，(1)xx a e ->-即(1)xe a x -<-，令()(1)x e h x x -=-，2(2)()0(1)xx e h x x -'=>-， 所以()(1)xe h x x -=-在[1,1)x 单调递增，所以min 1()(1)2a h x h e<=-=， 又0a ≠，综上可得，()21,00,2a e e ⎛⎫∈-⋃⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求切线方程、利用导函数求函数的最值，考查了分离参数法以及分类讨论的思想，属于中档题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.已知直线l的参数方程为112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为34πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （1）求圆C 的标准方程；（2）直线l 与圆C 交于A ，B两点，(1,P ，求||PA PB -‖‖.【答案】（1）22(1)(1)2x y -++=；（21.【解析】 【分析】（1）先利用两角和的正弦公式展开，再根据cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入即可求解.（2）先判断点P 与圆的位置关系，将参数方程代入圆的方程，利用参数方程的几何意义即可求解.【详解】（1）依题意，34πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭可化为 22220x y x y +-+=，即22(1)(1)2x y -++=.（2）由（1）可知，圆的圆心在(1,1),-r =而直线过点P ，且P在圆内，直接把112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入圆的方程可得2(120t t ++-=，所以121t t +=-，而12||1PA PB t t -=+=‖‖. 【点睛】本题考查了极坐标方程与普通方程的互化、参数方程的几何意义，属于基础题. 选修4-5：不等式选讲23.已知函数()|2|1f x x x =---，函数()|3|1g x x x m =---+-. （1）当()0f x >时，求实数x 的取值范围；（2）当()y g x =与()y f x =的图象有公共点，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭；（2）[1,)+∞. 【解析】 【分析】（1）采用零点分界法去绝对值即可求解.（2）将问题转化为|3|1|2|1x x m x x ---+-=---有解，然后分离参数化为|2||3|m x x =-+-有解，再利用绝对值的几何意义即可求解.【详解】（1）当()0f x >时，即|2|1x x ->+.即有2021x x x -≥⎧⎨->+⎩或2021x x x -<⎧⎨->+⎩，即x ∈∅或12x <故不等式的解集为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭； （2）因为函数()|3|1g x x x m =---+-与函数()y f x =的图象有公共点， 则|3|1|2|1x x m x x ---+-=---有解. 即|2||3|m x x =-+-|有解， 因为|2||3|1x x -+-≥，所以m 1≥.所以当()y g x =与()y f x =的图象有公共点时，m 的范围为[1,)+∞.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法、函数与方程，考查了转化思想，属于基础题.- 21 -。

2021届河北衡水中学新高考原创预测试卷(十三)文科数学

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2021届河北衡水中学新高考原创预测试卷（十三）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题1.已知集合{}{}|32,,|24A x x n n Z B x x ==+∈=-<<，则A B =（ ）A. ∅B. {}1,2-C. {}1-D. {}2【答案】B 【解析】 【分析】先计算集合A ，再计算AB 得到答案.【详解】{}{}|32,=...,4,1,2,5,...A x x n n Z ==+∈--，{}|24B x x =-<< 故{}1,2AB =-.故选B【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于基础题型. 2.i 为虚数单位，复数21iz i=-在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】 【分析】由复数的除法运算可得1z i =-+，再结合复数在复平面内对应的点位于的象限求解即可. 【详解】解：由21i z i=-， 则2(1)1(1)(1)i i z i i i +==-+-+，则复数21iz i =-在复平面内对应的点的坐标为()1,1-， 即复数21iz i=-在复平面内对应的点位于第二象限，故选：B.【点睛】本题考查了复数的除法运算，重点考查了复数在复平面内对应的点位于的象限，属基础题.3.下列命题是真命题的是（ ）.A. 命题2200:,11,:,11p x R x p x R x ∀∈-≤⌝∃∈-≥则B. 命题“若,,a b c 成等比数列，则2b ac =”的逆命题为真命题C. 命题“若(1)10x x e -+=，则0x =”的逆否命题为：“若0x ≠，则(1)10xx e -+≠”； D. “命题p q ∨为真”是“命题p q ∧为真”的充分不必要条件； 【答案】C 【解析】 【分析】分别判断已知四个命题的真假，可得答案．【详解】A. 命题2:,11p x R x ∀∈-≤，则200:,11p x R x ⌝∃∈->，所以A 错误；B. 命题“若,,a b c 成等比数列，则2b ac =”的逆命题为“若2b ac =，则,,a b c 成等比数列”是错误的，所以B 错误；C. 命题“若(1)10xx e -+=，则0x =”的逆否命题为：“若0x ≠，则(1)10xx e -+≠”是正确的，所以C 正确；D. “命题p q ∨为真”是“命题p q ∧为真”的必要不充分条件，不是充分不必要条件，所以D 错误. 故选：C【点睛】本题主要考查命题真假的判断，涉及含有量词的命题的否定，必要不充分条件的判断，复合命题真假的判断，以及四种命题的真假判断，涉及的知识点较多，难度不大，属于基础题．4.若抛物线()220y px p =>的焦点是椭圆2214x y p p+=的一个焦点，则p =（ ） A. 3 B. 4 C. 8 D. 12【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线方程可得其焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，由椭圆的方程可得其焦点坐标为()，再列方程2p=求解即可. 【详解】解：由抛物线方程为()220y px p =>，则其焦点坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由椭圆的方程为2214x y p p+=，则其焦点坐标为()，由已知有2p=， 即p =12， 故选：D.【点睛】本题考查了抛物线、椭圆的焦点坐标的求法，属基础题. 5.已知曲线11(0x y aa -=+>且1)a ≠过定点(),kb ，若m n b +=且0,0m n >>，则41m n+的最小值为（ ）.A.92B. 9C. 5D.52【答案】A 【解析】 【分析】根据指数型函数所过的定点，确定1,2k b ==，再根据条件2m n +=，利用基本不等式求41m n+的最小值. 【详解】定点为(1,2),1,2k b ∴==，2m n ∴+=41141()()2m n m n m n +=++∴149(5+)22m n n m =+ 当且仅当4m nn m =时等号成立，即42,33m n ==时取得最小值92. 故选A【点睛】本题考查指数型函数的性质，以及基本不等式求最值，意在考查转化与变形，基本计算能力，属于基础题型.6.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数学九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入,n x 的值分别为3,3.则输出v 的值为（ ）A. 15B. 16C. 47D. 48【答案】D 【解析】 执行程序框图：输入331,2,0n x v i i ====≥，，，是0i ≥，是，1325,1v i =⨯+==; 0i ≥，是，53116,0v i =⨯+==; 0i ≥，是，163048,1v i =⨯+==-; 0i ≥，否，输出48v =.故选D. 7.函数()21sin 1xf x x e ⎛⎫=-⎪+⎝⎭图象的大致形状是（ ） A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】由()f x 的解析式可得函数()f x 为偶函数，以及函数值的符号情况，可排除不正确的选项，从而得到答案.【详解】()211sin sin 11x x xe f x x x e e -⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭， 则()()()()111sin sin sin 111x x xx x xe e ef x x x x f x e e e------=-=⋅-==+++，是偶函数，排除B 、D. 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，e 1x>，sin 0x >，即()0f x <，排除A. 故选:C.【点睛】本题考查函数的奇偶性，根据函数解析式分析函数图像，属于中档题. 8.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最大边长为（ ）567D. 22【答案】B 【解析】根据三视图作出原几何体（四棱锥P ABCD -）的直观图如下：可计算2,6PB PD BC PC ====6.点睛:思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.9.已知函数()()2log 2f x x =+，若在[]2,5-上随机取一个实数0x ，则()01f x ≥的概率为（ ） A.35B.56C.57D.67【答案】C 【解析】 【分析】先由对数不等式的解法可得005x ≤≤，再结合几何概型中的线段型概率的求法求解即可. 【详解】解：解不等式()1f x ≥， 即()2log 21x +≥， 则0x ≥， 又25x -≤≤， 则05x ≤≤， 即005x ≤≤，设()01f x ≥的概率为P ，由几何概型中的线段型概率的求法可得：5055(2)7P -==--，故选：C.【点睛】本题考查了对数不等式的解法，重点考查了几何概型中的线段型概率的求法，属基础题.10.若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长之比值为m ,则m 的范围是（ ） A. ()2,+∞ B. [)2,+∞C. ()3,+∞D. [)3,+∞【答案】A 【解析】 【分析】设三个角分别为3A π-，3π，3A π+，由正弦定理可得sin()3sin()3A c m a A ππ+==-，利用两角和差，利用单调性求出它的值域．【详解】钝角三角形三内角A 、B 、C 的度数成等差数列，则3B π=，23A C π+=， 可设三个角分别为3A π-，3π，3A π+．()63A ππ<<故1sin()sin 3sin()3A A Ac m a A ππ++====-． 又63A ππ<<，∴tan A <<． 令tan t A =t <<，则1m ==-因为函数1m =-上是增函数，2m ∴>，故选A ．【点睛】本题考查正弦定理、两角和差的正弦公式，利用单调性求函数的值域，得到sin()3sin()3A m A ππ+=-，是解题的关键和难点．11.椭圆C ：22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 交于A ，B两点，F 1A 与y 轴相交于点D ，若BD ⊥F 1A ，则椭圆C 的离心率等于（ ） A.13C.12【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得A ，B 的坐标，且知点D 为1F A 的中点，再由1BD F A ⊥，利用斜率之积等于1-列式求解．【详解】由题意可得，2(,)b A c a ，2(,)b B c a -，则点D 为1F A 的中点，2(0,)2b D a∴，由1BD F A ⊥，得11BD F A k k =-，即222212b b b a a ac c--=-22ac =，∴22)2a c ac-=，2+20e = 解得e =故选D ．【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，考查两直线垂直与斜率的关系，是中档题．12.已知函数2,0()115,024x x f x a x x ⎧>⎪=⎨+-⎪⎩，函数g （x ）＝x 2，若函数y ＝f （x ）﹣g （x ）有4个零点，则实数a 的取值范围为（ ） A. （5，+∞） B. 155,2⎛⎫⎪⎝⎭C. 195,2⎛⎫⎪⎝⎭D. 195,2⎛⎤⎥⎝⎦【答案】B 【解析】 【分析】因为()f x 是分段函数，新函数()()y f x g x =-的零点问题也需要分段研究，每一段上的零点个数加成总和即为函数的零点个数.【详解】分段讨论：当0x >时，()2x f x =与2()g x x =有两个交点(2,4),(4,16)，两个零点. 要使()()y f x g x =-有4个零点, 则当0x ≤时115()24f x a x =+-与2()g x x =有两个交点即可（如图）.过点115(,)24--作2()(0)g x x x =<的切线，设切点为2(,)(0)m m m <, 则=2k m 切，即切线方程为22()y m m x m -=-, 把点115(,)24--代入切线方程，得52m =-或32m =,又0m <，则52m =-，=2=5k m -切 又1150024a ⋅+-<，解得152a <， 所以实数a 的取值范围是15(5,)2故选B.【点睛】分段函数一定要分段研究，不同的取值范围对应不同的解析式．在二次函数与一次函数相交的问题中，巧妙利用图像法可有效解决问题. 二、填空题13.曲线y ＝x 2+lnx 在点（1，1）处的切线方程为_____． 【答案】320x y --= 【解析】 【分析】首先求1x =处的导数，再根据切线公式()()000y y f x x x '-=-求切线方程. 【详解】解析：12y x x'=+，在点（1，1）处的切线斜率为3，所以切线方程为320x y --=. 【点睛】本题考查了导数的几何意义求切线方程，属于简单题型.14.已知抛物线22(0)y px p =>的准线与圆22670x y x +--=相切，则p 的值为_____.【答案】2； 【解析】试题分析：先表示出准线方程，然后根据抛物线y 2=2px （p ＞0）的准线与圆（x ﹣3）2+y 2=16相切，可以得到圆心到准线的距离等于半径从而得到p 的值． 解：抛物线y 2=2px （p ＞0）的准线方程为x=﹣，因为抛物线y 2=2px （p ＞0）的准线与圆（x ﹣3）2+y 2=16相切， 所以3+=4，解得p=2． 故答案为2点评：本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系，理解直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径．15.已知三棱锥P ABC -满足平面PAB ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，1AB =，3APB π∠=，则该三棱锥的外接球的体积为______.【解析】 【分析】先由已知求得三棱锥P ABC -的外接球的球心为ABP ∆的外心，在结合正弦定理求出其半径，然后结合球的体积公式求解即可. 【详解】解：因为AC BC ⊥， 所以ABC ∆的外心为斜边AB 的中点， 又平面PAB ⊥平面ABC ，则该三棱锥的外接球的球心在平面PAB 内， 即球心为ABP ∆的外心，设三棱锥P ABC -的外接球的半径为R ， 在PAB ∆中，由正弦定理得：12sin sin 3AB R APB π===∠，即R =，则该三棱锥的外接球的体积为343π⨯=【点睛】本题考查了正弦定理，重点考查了几何体外接球的体积的求法，属中档题. 16.ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin :sin :sin ln 2:ln 4:ln A B C t =，且2CA CB mc =⋅，有下列结论：①28t <<； ②229m -<<； ③4t =，ln 2a =时，ABC ∆；④当8t <<时，ABC ∆为钝角三角形.其中正确的是__________．（填写所有正确结论的编号） 【答案】①②④ 【解析】 【详解】sin :sin :sin ln 2:ln 4:ln A B C t =，∴::ln 2:ln 4:ln a b c t =，故可设ln 2a k =，ln 42ln 2b k k ==，ln c k t =，0k >.b a c b a -<<+，∴ln 23ln 2k c k <<， 则28t <<，当8t <<时，2220a b c +-<，故ABC ∆为钝角三角形.面2222222225ln 2cos 222a b c a b c k c CA CB ab C ab ab +-+--⋅==⋅==， 又2CA CB mc =⋅，∴222222225ln 25ln 21222k c CA CB k m c c c -⋅===-. ln 23ln 2k c k <<，∴2222222255518ln 222ln 2k k k k c k <<，即22255ln 251822k c <<，∴229m -<<.当4t =，ln 2a =时，ABC ∆，故四个结论中，只有③不正确.填①②④．【点睛】解三角形中运用正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式进边角互换及运算是常见题形，要注意三角形内角和为180来减少角的个数，及两边之和大于第三边，两边第差小于第三边来构造不等关系是常用处理技巧． 三、解答题17.已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且22b =，34b =，11a b =，65a b =. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和n S . 【答案】（1）32n a n =-；（2）23212n n n -+-【解析】【分析】（1）由已知求得等比数列的公比，进一步求出首项，则等比数列的通项公式可求，再求得等差数列的首项与公差，可得等差数列的通项公式；（2）直接利用数列的分组求和求解．【详解】（1）32422bqb===，∴11b=即12nnb-=111a b==，6516a b==，∴61361a ad-==-∴32na n=-（2）1322nnc n-=-+∴(132)12212nnn nS+--=+-23212nn n-=+-【点睛】本题考查等差数列与等比数列的通项公式及前n项和的求法，考查了分组求和的应用，是基础的计算题．18.在多面体ABCDPQ中，平面PAD⊥平面.////,ABCD AB CD PQ AB AD PAD⊥，为正三角形，O为AD中点，且2,1AD AB CD PQ====.(1)求证：平面POB⊥平面PAC；(2)求多面体ABCDPQ 的体积. 【答案】(1)见解析；(2)43. 【解析】 【分析】(1)根据条件得到AC BO ⊥，由面面垂直可知PO ⊥平面ABCD 即AC PO ⊥ 从而AC ⊥平面POB ，所以平面POB ⊥平面PAC ；(2) 取AB 中点为E ，连接,CE QE ，易证AB ⊥平面PAD ，利用割补思想可得BCDPQ PAD QEC Q CEB V V V --=+，从而得到多面体ABCDPQ 的体积.【详解】(1)由条件可知，∆≅∆Rt ADC Rt BAO ，故DAC ABO ∠=∠.DAC AOB ABO AOB 90AC BO ∠∠∠∠∴+=+=︒∴⊥，．PA PD =，且O 为AD 中点，PO AD ∴⊥.平面PAD ⊥平面ABCDPAD ABCD ADPO AD PO PAD ⋂=⎧⎪⊥⎨⎪⊂⎩平面平面平面，PO ∴⊥平面ABCD . 又AC ⊂平面ABCD ,AC PO ∴⊥.又BO PO O ⋂=,AC ∴⊥平面POB .AC ⊂平面PAC ，∴平面POB ⊥平面PAC .(2)取AB 中点为E ，连接,CE QE .由(1)可知，PO ⊥平面ABCD .又AB ⊂平面ABCD ，PO AB ∴⊥.又,0,AB CD PO AD AB ⊥⋂=∴⊥平面PAD .13ABCDPQ PAD QEC Q CEB PAD CEB V V V S AE S PO --∆∆∴=+=⋅+⋅,2311432112332⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯⨯=⎪⎝⎭. 【点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解． (2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．19.为推动实施健康中国战略，树立国家大卫生、大健康概念，手机APP 也推出了多款健康运动软件，如“微信运动”，杨老师的微信朋友圈内有600位好友参与了“微信运动”，他随机选取了40位微信好友（女20人，男20人），统计其在某一天的走路步数，其中，女性好友的走路步数数据记录如下： 5860 8520 7326 6798 7325 8430 3216 7453 11754 9860 8753 6450729048501022397637988917664215980男性好友走路的步数情况可分为五个类别：()02000A -步（说明“02000-”表示大于等于0，小于等于2000，下同），()20015000B -步，()50018000C -步，()800110000D -步，()10001E 步及以上，且,,B D E 三种类别人数比例为1:3:4，将统计结果绘制如图所示的条形图，若某人一天的走路步数超过8000步被系统认定为“卫健型”，否则被系统认定为“进步型”.（1）若以杨老师选取的好友当天行走步数的频率分布来估计所有微信好友每日走路步数的概率分布，请估计杨老师的微信好友圈里参与“微信运动”的600名好友中，每天走路步数在5001~10000步的人数；（2）请根据选取的样本数据完成下面的22⨯列联表并据此判断能否有95%以上的把握认定“认定类型”与“性别”有关？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，.【答案】（1）375（2）列联表见解析，没有95%以上的把握认定“认定类型”与“性别”有关 【解析】 【分析】（1）由条形统计图，男性朋友B 类型设为x ，由总人数为20人，得到各个类型的人数，由此得出每天走路步数在5001~10000步的人数，由此得到600人时符合题意的人数； （2）根据题设所给数据填写22⨯列联表，再计算2K ，对照题设中的表格，得出统计结论. 【详解】解：（1）在样本数据中，男性朋友B 类型设为x ， 则由题意知133420x x x ++++=，可得2x =， 即B 类型有2人，D 类型有6人，E 类型有8人，则男性朋友走路步数在5001~10000步的包括C D 、两类型共计369+=人；又女性朋友走路步数在5001~10000步的共计16人；则用样本数据估计所有微信好友每天走路步数在5001~10000步的人数为91660037540+⨯=； （2）根据题意在抽取的40个样本数据的22⨯列联表如下：由22⨯列联表可得()2240141268403.8412020221811K ⨯-⨯==<⨯⨯⨯， 故没有95%以上的把握认定“认定类型”与“性别”有关.【点睛】本题考查了独立性检验，重点考查了对数据的分析处理能力，属基础题.20.在平面直角坐标系中，点1F 、2F 分别为双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，双曲线C 的离心率为2，点21,3⎛⎫⎪⎝⎭在双曲线C 上，不在x 轴上的动点P 与动点Q 关于原点O 对称，且四边形12PFQF的周长为(1)求动点P 的轨迹W 的方程；(2)过点()2,0M 的直线交P 的轨迹W 于A ，B 两点，N 为W 上一点，且满足OA OB tON +=，其中2t ⎫∈⎪⎪⎝⎭，求AB 的取值范围. 【答案】（1）()22102x y y +=≠（2）AB ⎛∈ ⎝⎭【解析】试题分析：（1）根据题意列出表达式2c a =，又因为点31,2⎛⎫⎪⎝⎭在双曲线C 上，所以229141a b -=，联立两个方程可得到参数值；（2）联立直线和椭圆得到二次方程，又因为OA OB tON +=，得()()22284,1212k k N t k t k ⎛⎫-⎪ ⎪++⎝⎭，代入椭圆方程得2221612k t k =+，根据弦长公式得到AB =. 详解：(1)设点1F ，2F 分别为(),0c -，(),0c ()0c >，由已知2ca=，所以2c a =，224c a =，222b c a =- 23a =，又因为点31,2⎛⎫⎪⎝⎭在双曲线C 上，所以229141a b -=，则222294b a a b -=，即2249334a a a -=，解得214a =，12a =，所以1c =.连接PQ ，因为12OF OF =，OP OQ =，所以四边形12PF QF 为平行四边形，因为四边形12PF QF 的周长为，所以21122PF PF F F +=>=，所以动点P 的轨迹是以点1F 、2F 分别为左、右焦点，长轴长为(除去左右顶点)，可得动点P 的轨迹方程为：()22102x y y +=≠.(2)由题意可知该直线存在斜率，设其方程为()2y k x =-且0k ≠.由()22212y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得()2222128820k x k x k +-+-=， ∴()28120k∆=->，得2102k <<， 设()11,A x y ，()22,B x y ，(),N x y ，则()2122121228124412k x x kk y y k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨⎪+=+-=-⎪+⎩，由OA OB tON +=，得()()22284,1212k k N t k t k ⎛⎫-⎪ ⎪++⎝⎭， 代入椭圆方程得2221612k t k =+2t <<得21142k <<，∴AB==令2112kμ=+，则12,23μ⎛⎫∈⎪⎝⎭，∴0,3AB⎛=⎝⎭.点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．21.已知函数()1()sin02f x ax x a a R a=-∈≠，，（1）讨论()f x在[0,]2π上的单调性.（2）当0a>时，若()f x在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1π-，讨论：函数()f x在(0,)π内的零点个数.【答案】（1）当0a>时，()f x在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；当0a<时，()f x在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减；（2）2个零点【解析】【分析】（1）求得()()sin cosf x a x x x'=+，根据x范围可知sin cos0x x x+>，进而通过对a的正负的讨论得到函数单调性；（2）由（1）可得函数在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性，进而利用最大值构造方程求得2a=，得到函数解析式；利用单调性和零点存在定理可确定()f x在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有1个零点；令()sin cosg x x x x=+，求导后，可确定()g x'在,2上存在零点，从而得到()f x的单调性，通过单调性和零点存在定理可确定零点个数.【详解】（1）()()sin cos sin cosf x a x ax x a x x x'=+=+当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin cos 0x x x +> ∴当0a >，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当0a <，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '< ∴当0a >时，()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；当0a <时，()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 （2）由（1）知，当0a >时，()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 ()max 11sin 122222f x f a a a πππππ-⎛⎫∴==-==- ⎪⎝⎭，解得：2a = ()2sin 1f x x x ∴=- ()()2sin cos f x x x x '∴=+()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，()00110f =-=-<，102f ππ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭ ()f x ∴在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭内有且仅有1个零点 令()sin cos g x x x x =+，,2x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭()cos cos sin 2cos sin g x x x x x x x x '=+-=- 当,2x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，cos 0x ≤，sin 0x >，0x > ()0g x '∴< ()g x ∴在,2内单调递减又sin cos 102222g ππππ⎛⎫=+=> ⎪⎝⎭，()sin cos 0g πππππ=+=-< 0,2x ππ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x = ∴当0,2x x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0g x >，即()0f x '>；当()0,x x π∈时，()0g x <，即()0f x '<()f x ∴在0,2x π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，在()0,x π上单调递减 102f ππ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭ ()f x ∴在0,2x π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上无零点且()00f x > 又()2sin 110f πππ=-=-<()f x ∴在()0,x π上有且仅有1个零点综上所述：()f x 在()0,π上共有2个零点【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到含参数函数单调性的讨论、函数在区间内零点个数的讨论；讨论函数零点个数通常采用零点存在定理来确定零点所在区间，需注意的是，若用零点存在定理说明零点个数，一定要结合单调性来确定零点的个数. 22.在直角坐标系xOy 中，直线1C 的参数方程为32x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（其中t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 3sin ρθθ=.（1）求1C 和2C 的直角坐标方程；（2）设点()0,2P ，直线1C 交曲线2C 于,M N 两点，求22PMPN +的值. 【答案】（1）1C 20y +-=,2C :23x y =（2）90【解析】【分析】（1）消去t 得到直线方程，再利用极坐标公式化简得到答案.（2）将直线的参数方程代入23x y =，化简得到2180t --=，利用韦达定理计算得到答案. 【详解】（1）直线1C 的参数方程为2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（其中t 为参数），消去t 20y +-=； 由2cos 3sin ρθθ=，得22cos 3sin ρθρθ=，则曲线2C 的直角坐标方程为23x y =.（2）将直线1C的参数方程32x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入23x y =，得2180t --=，设,M N 对应的参数分别为12,t t，则121218t t t t ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩ ()2221212290PM PN t t t t +=+-=.【点睛】本题考查了直线的参数方程，极坐标，利用直线的参数方程的几何意义可以快速得到答案，是解题的关键.23.已知函数2()8=-++f x x ax ，()|1||1|g x x x =++-．（1）当0a =时，求不等式()()f x g x 的解集；（2）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[]1,1-，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）[]22-,；（2）[]5,5-.【解析】【分析】（1）利用零点分段法化简()g x 为分段函数的形式，由此解不等式()()f x g x ≥，求得不等式的解集.（2）根据（1）的结论可知当[]1,1x ∈-时，()2g x =，将不等式()()f x g x ≥的解集包含[]1,1-的问题，转化为260--≤x ax 在[]1,1-上恒成立来解决，利用二次函数的性质列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围.【详解】（1）2,1()112,112,1x x g x x x x x x >⎧⎪=++-=-≤≤⎨⎪-<-⎩，当0a =时，2()8=-+f x x ．()()f x g x ≥，2821x x x ⎧-+≥⎨>⎩或28211x x ⎧-+≥⎨-≤≤⎩或2821x x x ⎧-+≥-⎨<-⎩，12x ∴<≤或11x -≤≤或21x -≤<-，22x ∴-≤≤，∴不等式的解集为[]22-,；（2）由（1）知，当11x -≤≤时，()2g x =．∵不等式()()f x g x ≥的解集包含[]1,1-，282x ax ∴-++≥在[]1,1-上恒成立，即260--≤x ax 在[]1,1-上恒成立，∴22(1)60160a a ⎧-+-<⎨--≤⎩，55a ∴-≤≤， ∴a 的取值范围为[]5,5-．【点睛】本小题主要考查零点分段法解绝对值不等式，考查不等式恒成立问题的求解策略，属于中档题.。

2021年4月2021届高三全国卷Ⅲ衡水金卷先享题信息卷(四)文科数学试卷及解析

2021年4月2021届高三全国卷Ⅲ衡水金卷先享题信息卷(四)文科数学试卷及解析

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2021届河北衡中同卷新高考模拟试卷(三)数学(理)试题

2021届河北衡中同卷新高考模拟试卷(三)数学(理)试题

2021届河北衡中同卷新高考模拟试卷（三）数学试卷（理科）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其字母标号填入下表相应位置）1.若复数z=，则z=（）A. 12B. C. 1 D. 2【答案】C 【解析】试题分析：因为21122z===-所以，1z ==故选C. 考点：复数的概念与运算.2.命题：“若a b >，则a c b c +>+”的否命题是（ ） A. 若a b ≤，则a c b c +≤+ B. 若a c b c +≤+，则a b ≤ C. 若a c b c +>+，则a b > D. 若a b >，则a c b c +≤+ 【答案】A 【解析】 【分析】根据否命题的定义求解.【详解】由否命题的定义得：“若a b >，则a c b c +>+”的否命题是： 若a b ≤，则a c b c +≤+ 故选：A【点睛】本题主要考查四种命题，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 3.已知函数()sin()(0)4f x wx w π=+>的最小正周期为π，则()8f π=（ ）A. 1B.12C. -1D. 12-【答案】A 【解析】试题分析：由题设知：2ππω=，所以，()2,sin 24f x x πω⎛⎫==+ ⎪⎝⎭所以，sin 2sin 18842f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选A. 考点：三角函数的概念与性质.4.设a =b =c = ）A. a b c >>B. b a c >>C. c a b >>D. c b a >>【答案】A 【解析】【分析】 根据33a =，55b =，77c =，取对数得到ln 3ln 5ln 7ln ,ln ,ln 357a b c ===，令()ln xf x x=，用导数法研究其单调性比较即可. 【详解】因为33a =，55b =，77c =，所以ln 3ln 5ln 7ln ,ln ,ln 357a b c ===， 令()ln xf x x =，()21ln xf x x-'=， 当x e >时，()0f x '<，所以()f x 在(),e +∞上是减函数， 因为753>>，所以()()()753f f f <<， 所以ln ln ln a b c >>，即a b c >>. 故选：A【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性比较大小，还考查了构造的方法和运算求解的能力，属于中档题.5.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14a ， 22a ， 3a 成等差数列，若11a =，则4s =（ ） A. 7 B. 8C. 15D. 16【答案】C 【解析】 试题分析：由数列为等比数列，且成等差数列，所以，即，因为，所以，解得：，根据等比数列前n 项和公式．考点：1．等比数列通项公式及前n 项和公式；2．等差中项．6.秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图，给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，其中6kC 表示6选k 的组合数.若输入x 的值为2，则输出v 的值为（ ）A. 621-B. 62C. 631-D. 63【答案】D 【解析】 【分析】根据程序框图的循环功能，依次循环，直至6k >，跳出循环，输出v 的值. 【详解】程序运行过程如下：1,1v k ==，16218,2v C k =⨯+==， 262831,3v C k =⨯+==， 3623182,4v C k =⨯+==， 46282179,5v C k =⨯+==， 562179364,6v C k =⨯+==，66623647293,7v C k =⨯+===，跳出循环，输出v 的值为63.故选：D【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构，还考查了运算求解的能力，属于基础题.7.已知点P ，Q 为圆22:9C x y +=上的任意两点，且4PQ <，若PQ 中点组成的区域为M ，在圆C 内任取一点，则该点在区域M 上的概率为（ ）A. 13B.49 C. 59D. 23【答案】B 【解析】 【分析】根据直线与圆的位置关系，利用“r ，d ”法，求出当4PQ =时，点M 的轨迹，再根据4PQ <，确定平面所区域M ，利用几何概型的概率公式求解.【详解】当4PQ =时，圆心到线段的距离为945d =-=， 此时，点M 在半径为5的圆上，因为4PQ <，所以PQ 中点组成的区域为M 为以5为半径与以3为半径的圆组成的圆环，即2259x y ≤+≤，所以在圆C 内任取一点，则该点在区域M 上的概率为95499p πππ-==. 故选：B【点睛】本题主要考查几何概型的面积类型，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 8B. 2C. 2D. 4【答案】A 【解析】由三视图还原出该几何体为长方体切去一部分，如图所示，所以剩余部分体积为222383V =⨯⨯⨯=，故选A ．9.已知函数()lg f x x =，且()()f a f b =，0a b <<，若函数()f x 在区间2,a b ⎡⎤⎣⎦上的最大值为2，则2a =（ ）A. 1100B.110C.10D. 100【答案】A 【解析】 【分析】根据()lg f x x =，且()()f a f b =，0a b <<，得到01a b <<<，lg lg a b -=，则有2101,a b b a<<<=，再分析函数的单调性，由最大值为2求解. 【详解】因为()lg f x x =，且()()f a f b =，0a b <<， 所以01a b <<<，lg lg a b -=， 所以2101,a b b a<<<=， 所以()f x 在区间2,1a ⎡⎤⎣⎦上递减，在区间[]1,b 上递增， 所以在区间2,a b ⎡⎤⎣⎦上的()f x 最大值为()2f a或fb ，而()()22lg 2lg ,lg lg f aaa fb b a ====，所以()()2f af b >，所以()f x 在区间2,a b ⎡⎤⎣⎦上的最大值为()22lg 2f aa ==，解得110a =， 所以21100a =. 故选：A【点睛】本题主要考查对数函数的单调性，还考查了运算求解的能力，属于中档题.10.已知四面体ABCD 的三组对棱的长分别相等，依次为3，4，x ，则x 的取值范围是( ) A.()5,7B.()7,5C.()5,3D. ()4,7【答案】B 【解析】 【分析】作出图形，设3AB =，4AC =，四面体A ABC '-可以由ABC ∆和在同一平面的△A BC '沿着BC 为轴旋转构成，利用数形结合能求出x 的取值范围． 【详解】解：如图所示，第一排 三个图讨论最短；第二排 三个图讨论最长，设3AB =，4AC =，四面体A ABC '-可以由ABC ∆和在同一平面的△A BC '沿着BC 为轴旋转构成， 第一排，三个图讨论最短：当90ABC ∠<︒向90︒趋近时，BC 逐渐减少，AA BC '<，可以构成x AA BC '==的四面体； 当90ABC ∠︒时构成的四面体AA BC '>，不满足题意； 22437-= 第二排，三个图讨论最长：当90BAC ∠<︒向90︒趋近时，BC 逐渐增大，AA BC '>，可以构成x AA BC '==的四面体； 当90ABC ∠︒时构成的四面体AA BC '<，不满足题意； 22435；综上，(7x ∈5)． 故选B ．【点睛】本题考查了四面体中边长的取值范围问题，也考查了推理论证能力，属于难题．11.已知直线y m =分别与函数11x y e +=-和()220y x x x =+>交于A ，B 两点，则A ，B 两点之间的最短距离是（ ） A. 1ln2- B. 2ln 2- C. 12ln2- D. 22ln 2-【答案】D 【解析】 【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，根据直线y m =分别与函数11x y e +=-和()220y x x x =+>交于A ，B 两点，则有1122212x e x x m +-=+=，化简得到11221x ex +=+，再根据1122111x AB x x ex +=-=--，构造函数()121x f x ex +=--，用导数法求其最小值即可.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，由题意得1122212x e x x m +-=+=，所以()1212222211x e x x x +=++=+， 因为20x >， 所以11221x ex +=+，所以1122111x AB x x e x +=-=--，令()121x f x ex +=--，则()112112x f x e +'=-，令()0f x '=，得2ln 21x =-，当02ln 21x <<-时，()0f x '<当2ln 21x >-时，()0f x '>， 所以当2ln 21x =-时，()f x 取得最小值22ln 2-. 故选：D【点睛】本题主要考查导数与函数的最值，还考查了运算求解的能力，属于难题.12.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且BC 边上的高为6a ，若sin sin C k B =，则当k 取最小值时，内角A 的大小为（ ） A. 2π B. 6π C.3π D.23π 【答案】D 【解析】 【分析】根据sin sin C k B =，由正弦定理得到ck b=，不妨设c b ≥，则1k ，根据BC 边上的高为6a ，结合正弦定理有11sin 22a bc A ⨯=，再由余弦定理可得 22sin 2cosbc A bc A +=+，即2cos 4sin 6b c A A A c b π⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭，令1c b t k b c k =+=+，研究其单调性，再根据k 取最小值时求解.【详解】因为sin sin C k B =，所以ck b=，不妨设c b ≥，则1k ，因为BC ，所以11sin 22a bc A ⨯=，即2sin a A =，由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，所以22sin 2cos b c A bc A +=+，即2cos 4sin 6b c A A A c b π⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭， 令1c b t k b c k =+=+，则211t k'=-， 当1k时，0t '≥，所以t 在[)1,+∞上是增函数，当1k =时，2t =，即4sin 26A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以566A ππ+=， 所以23A π=. 故选：D【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于难题.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）说明：本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题~第23题为选考题，考生根据要求做答. 注意事项：1.用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中.2.答卷前将密封线内项目填写清楚.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.曲线()22xy x x e =+在()0,0处的切线方程是___________.【答案】y x = 【解析】 【分析】直接利用导数的几何意义求解. 【详解】因为()22xy x x e =+， 所以()2251xy x x e '=++， 所以()0|1,00x y y ='==，所以曲线()22xy x x e =+在()0,0处的切线方程是y x =.故答案为：y x =【点睛】本题主要考查导数的几何意义，还考查了运算求解的能力，属于基础题.14.若,x y 满足20,40,0,x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪⎩，则2z y x =-的最小值为____________.【答案】8- 【解析】【分析】数形结合，作出可行域，利用目标函数的等值线2y x =在可行域中平移，根据z 或含z 式子的含义，找到目标函数取最小值的最优解，简单计算，可得结果.【详解】如图令0z =，可得目标函数2z y x =-的一条等值线2y x =则将2y x =移至点()4,0A 处，目标函数取最小值所以最优解为点()4,0A则min 0248z =-⨯=-故答案为：8-【点睛】本题考查线性规划，基本思路：（1）作出可行域；（2）理解z 或含z 式子的意义，然后使用目标函数的一条等值线在可行域中平移找到最优解，最后计算，可得结果.15.赵爽是我国古代数学家大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设AD AB AC λμ=+，若2DF AF =，则可以推出λμ+=_________.【答案】1213【解析】【分析】 利用建系的方法，假设1AF =，根据120ADB ∠=，利用余弦定理可得AB 长度，然后计算cos ,sin DAB DAB ∠∠，可得点D 坐标，最后根据点,B C 坐标，可得结果.【详解】设1AF =，则3,1AD BD AF ===如图由题可知：120ADB ∠=，由2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅⋅∠所以13AB =13AC AB ==所以)133913,0,22B C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()0,0A又39sin sin sin 26BD AB BAD BAD ADB =⇒∠=∠∠ 所以2713cos 1sin BAD BAD ∠=-∠=所以()cos ,sin D AD AD BAD BAD ∠∠即2626D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 所以()2113339,13,026,26ADAB ⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭ 1322AC ⎛=⎝⎭又ADAB AC λμ=+所以913313μλμ⎧==⎪⎪⇒⎨⎪==⎪⎩ 所以1213λμ+=故答案为：1213【点睛】本题考查考查向量的坐标线性表示，关键在于建系，充分使用条件，考验分析能力，属难题. 16.记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，22n n a n a =-，211n n a a +=+，则100S =___________.【答案】2559【解析】【分析】根据22n n a n a =-，211n n a a +=+，得到22121n n a a n +=++，计算的()()()()3597912499698...a a a a a a a a a +++++++++，再用22n n a n a =-，211n n a a +=+递推得到100a 求解.【详解】因为22n n a n a =-，211n n a a +=+，所以22121n n a a n +=++，所以()()()()3597912499698...a a a a a a a a a +++++++++，()50199135 (249125002)+=++++⨯+==， ()100502510010050a a a =-=--，()1265015112a a =++=+-，()363657259a =--=+=.则1002500592559S =+=.故答案为：2559【点睛】本题主要考查数列递推累加求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.三、解答题（本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）（一）必考题：共60分.17.已知等差数列{}n a 中，15422, 15a +a =a =，数列{}n b 满足24log 3,*n n b a n N =-∈.（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）若12(1)n n T nb n b b =+-+⋯+，求数列{}n T 的通项公式.【答案】（1）12n nb -=（2）n T =122n n +-- 【解析】【分析】（1）先设等差数列{}n a 的公差为d ，根据已知条件求出首项与公差，即可得到{}n a 的通项公式，再由24log 34(1)n n b a n =-=-，即可求出{}n b 的通项公式；（2）令数列{}n b 的前n 项和为n S ，由121(1)2n n n T nb n b b b -=+-+⋯++()()11212n b b b b b b =+++⋯+++⋯+，结合等比数列前n 项和公式，即可求出结果.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知可得111422315a a d a d ++=⎧⎨+=⎩，解得134a d =⎧⎨=⎩， 41n a n ∴=-，又24log 34(1)n n b a n =-=-，12n n b -∴=.（2）令数列{}n b 的前n 项和为n S .121(1)2n n n T nb n b b b -=+-+⋯++，()()11212n b b b b b b =+++⋯+++⋯+=()()212(21)2121n n S S S ++⋯+=-+-++-()()212122222212n n n n n n +-=++⋯+-=-=---. 【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的综合，熟记等差数列与等比数列的通项公式与求和公式即可，属于常考题型.18.设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3,1,2b c A B ===.（1）求a 的值；（2）求cos(2)6A π+的值.【答案】（Ⅰ）. 【解析】【分析】(Ⅰ)由题意结合正弦定理可得22222a c b a b ac+-=⋅，代入边长求解a 的值即可； (Ⅱ)由余弦定理可得：1cos 3A =-，则sin A =cos 26A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值即可. 【详解】(Ⅰ)由2A B =可得sin sin22sin cos A B B B ==， 结合正弦定理可得：2222cos 22a c b a b B b ac+-==⋅， 即：21962a a a+-=⨯，据此可得212,a a ==. (Ⅱ)由余弦定理可得：22291121cos 22313b c a A bc +-+-===-⨯⨯，由同角三角函数基本关系可得sin A ==故227cos 2cos sin 9A A A =-=-，sin 22sin cos A A A ==4273cos 2cos 2cos sin 2sin 66618A A A πππ-⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查余弦定理的应用，两角和差正余弦公式，二倍角公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19.为提高产品质量，某企业质量管理部门经常不定期地对产品进行抽查检测，现对某条生产线上随机抽取的100个产品进行相关数据的对比，并对每个产品进行综合评分（满分100分），将每个产品所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为80分及以上的产品为一等品.（1）求图中a 的值，并求综合评分的中位数；（2）用样本估计总体，视频率作为概率，在该条生产线中随机抽取3个产品，求所抽取的产品中一等品数的分布列和数学期望.【答案】（1）0.040a =，82.5；（2）分布列见解析，()95E X =. 【解析】【分析】（1）由频率分布直方图的性质，即可解得a 的值，再利用中位数的计算，求得综合评分的中位数； （2）由（1）与频率分布直方图可知，一等品的频率为0.6，得出所抽取的产品为一等品的【详解】（1）由频率分布直方图的性质，可得()0.0050.0100.0250.020101a ++++⨯=，解得0.040a =.令中位数为x ，则()()0.0050.0100.025100.040800.5x ++⨯+⨯-=，解得82.5x =，所以综合评分的中位数为82.5.（2）由（1）与频率分布直方图可知，一等品的频率为()0.0400.020100.6+⨯=，即概率为0.6，设所抽取的产品为一等品的个数为X ，则33,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()303280C 5125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()21332361C 55125P X ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭， ()22332542C 55125P X ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，()3333273C 5125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. 所以X 的分布列为X 01 2 3 P8125 36125 54125 27125所抽取的产品为一等品的数学期望()39355E X =⨯=. 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的性质及应用，以及二项分布的求解及数学期望的计算，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及计算能力，属于基础题.20.如图，三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥底面ABC ，点D 是棱11B C 的中点.（Ⅰ）求证：1//AC 平面1A BD ；（Ⅱ）若2AB AC ==12BC BB ==，在棱AC 上是否存在点M ，使二面角1B A D M --的大小为45︒，若存在，求出AM AC的值；若不存在，说明理由. 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）存在，23AM AC =. 【解析】分析】（Ⅰ）连接1A B ，与1AB 相交于点O ，根据O ，D 是中点，由三角形中位线得到1//AC OD ，再由线面平行的判定定理证明.（Ⅱ）由AB AC ⊥，又因为1A A ⊥底面ABC ，建立空间直角坐标系：设AM ACλ=，即AM AC λ=，分别求得平面1BA D 和平面1MA D 的一个法向量，根据二面角1B A D M --的大小为45︒，代入1111cos 45n n n n ⋅︒=⋅求解.【详解】（Ⅰ）如图所示：连接1A B ，与1AB 相交于点O ，连接OD ， 因为点D 是棱11B C 的中点，所以 1//AC OD ，且1AC ⊄平面1A BD ，OD ⊂平面1A BD ， 所以1//AC 平面1A BD ；（Ⅱ）因为2AB AC ==12BC BB ==， 所以AB AC ⊥，又因为1A A ⊥底面ABC ，建立如图所示空间直角坐标系：设AM ACλ=，即AM AC λ=， 则())()()1220,0,0,2,0,0,2,00,0,2,222A B C A D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， ()()11222,0,2,,,0,0,2,0,22A B A D AC ⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭()1112,2A M A A AM A A AC λλ=+=+=-，设平面1BA D 的一个法向量为()1111,,n x y z =， 则111100n A B n A D ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以111122022022x z x y ⎧-=⎪+=⎪⎩， 取11z =，则()12,2,1n =-， 设平面1MA D 的一个法向量为()2222,,n x y z =，则212100n A M n A D ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以2222220220y z x y λ-==， 取22x =-，则()22,2n λ=-，因为二面角1B A D M --的大小为45︒，所以111125cos 452n n n n λ⋅⋅===⋅︒， 即2316120λλ+-=，解得23λ=或6λ=-(舍去)， 所以存在点M ，有23AM AC =，使二面角1B A D M --的大小为45︒. 【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，二面角的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.21.已知函数()1xf x x ae =-+ （1）讨论()f x 的单调性；（2）设12,x x 是()f x 的两个零点，证明：124x x +>．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】分析：（1）求导，对参数a 分0,0a a ≥<两种情况进行讨论，令()0f x '>得函数()f x 的单调递增区间，令()0f x '<得函数()f x 的单调递减区间；（2）令()0f x =，分离参数得1x e a x=-，令1()x x g x e -=，研究函数()g x 的性质，可将证明124x x +>转化为证明21()(4)g x g x >-，即证明12411(3)10x x e x --+-<成立，令24()(3)1,(1,2)x h x x ex x -=-+-∈，利用导数研究函数()h x 的增减性，可得()(2)0h x h <=，问题得证. 详解：（1）()1xf x ae ='+， 当0a ≥时，()0f x '>，则()f x 在R 上单调递增．当0a <时，令()0f x '>，得1ln x a ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，则()f x 单调递增区间为1,ln a ⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令()0f x '<，得1ln x a ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，则()f x 的单调递减区间为1ln ,a ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （2）证明：由()0f x =得1x x a e -=，设()1x x g x e -=，则()2x x g x e ='-． 由()0g x '<，得2x <；由()0g x '>，得2x >．故()()2min 120g x g e ==-<的最小值． 当1x >时，()0g x <，当1x <时，()0g x >，不妨设12x x <，则()()121,2,2,x x ∈∈+∞，124x x +>等价于214x x >-，142x ->且()g x 在()2,+∞上单调递增，要证：124x x +>，只需证()()214g x g x >-，()()12g x g x a ==，只需证()()114g x g x >-，即1111413x x x x e e --->， 即证()12411310x e x x --+-<；设()()()2431,1,2x h x e x x x -=-+-∈，则()()24251x h x e x --'=+，令()()m x h x ='，则()()2442x m x e x -'=-，()()1,2,0x m x '∈∴<，()m x ∴在()1,2上单调递减，即()h x '在()1,2上单调递减，()()20h x h ''∴>=，()h x ∴在()1,2上单调递增，()()()1241120,310x h x h e x x -∴<=∴-+-<，从而124x x +>得证．点睛：本题主要考查导数的应用，第一问属于易得分题，只需对参数a 进行分类讨论，再分别令()0,()0f x f x ''><，即可求解函数的增、减区间，进而判断其单调性；第二问解题时，首先对a 进行参数分离，再构造新函数()g x ，利用函数()g x 的单调性，将原问题转化为不等式恒成立问题，进而再利用导数证明.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答.如果多做，则按所做的第一题计分.【选修4-4】坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为,2x t y t=⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos240ρθ+=.（Ⅰ）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点A ，直线l 与曲线C 相交于点,M N ，求11||||AM AN +的值. 【答案】（Ⅰ）直线l的普通方程为：20x y -+=，曲线C 的直角坐标方程为：2240x y -+=；（Ⅱ）4【解析】【分析】（Ⅰ）使用代入法消参，可得直线l 的普通方程，根据cos ,sin x y ρθρθ==，结合二倍角的余弦公式，可得曲线C 的直角坐标方程（Ⅱ）写出直线l 参数方程的标准形式，然后联立曲线C 的方程，可得关于参数t 的一元二次方程，根据t 的几何意义，可得结果. 【详解】（Ⅰ）由,2x t y t=⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），所以2y x =+ 则直线l的普通方程为：20x y -+= 由2cos240ρθ+=，所以()222cos s 40in θθρ+-= 又cos ,sin x y ρθρθ==，所以2240x y -+= 则曲线C 的直角坐标方程为：2240x y -+=（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：直线l参数方程标准形式为：,x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）将该方程代入曲线C 的直角坐标方程化简可得：232050t t ++=设点,M N 所对应的参数分别为12,t t 所以1212205,33t t t t +=-=，则120,0t t << 所以1212111111||||AM AN t t t t ⎛⎫+=+=-+ ⎪⎝⎭则1212114||||t t AM AN t t ++=-= 【点睛】本题考查参数方程，极坐标方程，普通方程之间的转换，还考查直线参数方程参数的几何意义，熟练公式以及直线参数方程参数的几何意义，注意直线参数方程的标准化，属中档题【选修4-5】不等式选讲23.已知f （x ）＝﹣x+|2x+1|，不等式f （x ）＜2的解集是M ．（Ⅰ）求集合M ；（Ⅱ）设a ，b∈M，证明：|ab|+1＞|a|+|b|．【答案】（Ⅰ）M ＝{x|﹣1＜x ＜1}；（Ⅱ）见解析【解析】【分析】 （Ⅰ）分12≥-，x 12-＜去绝对值可得M ＝{x|﹣1＜x ＜1}．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得|a|＜1，|b|＜1，将不等式作差即可得证．【详解】（Ⅰ）当12≥-时，f （x ）＝﹣x+2x+1＝x+1． 由f （x ）＜2，得x ＜1，所以12-≤x ＜1． 当x 12-＜时，f （x ）＝﹣x ﹣2x ﹣1＝﹣3x ﹣1． 由f （x ）＜2，得x ＞﹣1，所以﹣11x 2-＜＜ 综上可知，M ＝{x|﹣1＜x ＜1}．（Ⅱ）因为a ，b∈M，所以﹣1＜a ，b ＜1，即|a|＜1，|b|＜1所以|ab|+1﹣（|a|+|b|）＝（|a|﹣1）（|b|﹣1）＞0故|ab|+1＞|a|+|b|．【点睛】本题考查了绝对值不等式解法，考查了作差法证明不等式，准确计算是关键，属于中档题．。

河北衡水金卷2021-2022学年高三下学期联合考试数学试题含解析

河北衡水金卷2021-2022学年高三下学期联合考试数学试题含解析

2021-2022高考数学模拟试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知i 为虚数单位，则()2312ii i +=-（ ） A ．7455i + B ．7455i - C ．4755i + D ．4755i - 2．已知向量,a b 满足||1,||3a b ==,且a 与b 的夹角为6π,则()(2)a b a b +⋅-=( ) A ．12B ．32-C ．12-D ．323．已知直线30x y m -+=过双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点F ，且与双曲线C 在第二象限交于点A ，若||||FA FO =（O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为A ．2B ．31+C ．5D ．51-4．执行如图所示的程序框图后，输出的值为5，则P 的取值范围是（ ）.A ．37,48⎛⎤⎥⎝⎦B ．59,610⎛⎤⎥⎝⎦C ．715,816⎛⎤⎥⎝⎦D ．1531,1632⎛⎤⎥⎝⎦5．设函数()(1x g x e x a =+--（a R ∈，e 为自然对数的底数）,定义在R 上的函数()f x 满足2()()f x f x x -+=，且当0x ≤时，'()f x x <．若存在01|()(1)2x x f x f x x ⎧⎫∈+≥-+⎨⎬⎩⎭，且0x 为函数()y g x x =-的一个零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．2⎛⎫+∞ ⎪⎪⎝⎭B ．)+∞C ．)+∞D ．2⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭6．若复数221a ii++（a R ∈）是纯虚数，则复数22a i +在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．在ABC 中，角、、A B C 的对边分别为,,a b c ，若tan 2sin()a B b B C =+．则角B 的大小为( ) A ．π3B ．π6C ．π2D ．π48．已知集合2{|1}M x x ==．N 为自然数集，则下列表示不正确的是（ ） A ．1M ∈B ．{1,1}M =-C ．M ∅⊆D ．M N ⊆9．M 是抛物线24y x =上一点，N 是圆()()22121x y -+-=关于直线10x y --=的对称圆上的一点，则MN 最小值是（ ）A ．12- B 1 C ．1D ．3210．已知向量(,1)a m =，(1,2)b =-，若(2)a b b -⊥，则a 与b 夹角的余弦值为（ ）A ．13-B ．13C ．65-D ．6511．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ B ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n C ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥ D ．若m α⊥，//m n ，//n β，则αβ⊥12．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（π0,0,2A >><ωϕ）的部分图象如图所示，且()()0f a x f a x ++-=，则a 的最小值为（ ）A ．π12B ．π6 C ．π3D ．5π12二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

全国卷Ⅲ衡水金卷2021年高三数学先享题信息卷三文

全国卷Ⅲ衡水金卷2021年高三数学先享题信息卷三文

（全国卷Ⅲ，某某金卷）2021年高三数学先享题信息卷（三）文本试卷共4页，23题(含选考题)。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1.答题前，先将自己的某某、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将某某号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域无效。

第I卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A＝{x|x2－2x－3<0}，B＝{x|x≤－1}，则A∪B＝A. B.(－∞，3) C.(－∞，－1] D.(－∞，－1]∪(3，＋∞)2.若复数z满足(1＋i)z＝3－2i，则z的虚部为A.－52B.－52i C.12D.523.已知偶函数y＝f(x)在区间(－∞，0]上是减函数，则下列不等式一定成立的是A.f(2)>f(－3)B.f(－2)<f(1)C.f(－1)>f(2)D.f(－1)<f(2)4.下图是我国2016年第1季度至2020年第2季度重点城市分季度土地供应统计图，针对这些季度的数据，下列说法错误的是A.各季度供应规划建筑面积的极差超过15000万平方米B.各季度供应规划建筑面积的平均数超过15000万平方米C.2019年第4季度与2018年第4季度相比，供应规划建筑面积上涨幅度高于10%D.2020年第1季度与2019年第1季度相比，供应规划建筑面积下降幅度高于10%5.已知双曲线C ：22221x y a b-=(a>0，b>0)，则“C 的渐近线的方程为y ＝±3x ”是“C 的方程为2219y x -=”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.2020年8月，总书记针对触目惊心、令人痛心的餐饮浪费现象，作出重要指示强调，要进一步加强宣传教育，切实培养节约习惯，在全社会营造浪费可耻、节约为荣的氛围。

新高考2021年高三数学高考三模试题卷三附答案解析

新高考2021年高三数学高考三模试题卷三附答案解析

2．已知复数 z 满足 z z 2i ，则 z 的虚部是（ ）
A． 1
B．1
C． i
3．“ m 0 ”是“函数 f (x) ln x mx 在 0,1 上为增函数”的（
D．i ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件
4．函数 y 2sin2 x 2 cos x 3 的最大值是（ ）
（2）企业产品的质量是企业的生命，该企业为了生产优质的产品投放市场，对于生产的每一件产品必须
要经过四个环节的质量检查，若每个环节中出现不合格产品立即进行修复，且每个环节是相互独立的，前
三个环节中生产的产品合格的概率为
1 2
，每个环节中不合格产品所需要的修复费用均为100 元，第四个
环节中产品合格的概率为 3 ，不合格产品需要的修复费用为 50 元，设每件产品修复的费用为 元，写出 4
6
所以，四边形
AODC
为平行四边形，所以，
AD
AO
AC
1
a
b
，
2
故选 D．
7．【答案】D
【解析】由于函数
y
1 a
x
(a
0
，且
a
1
）向右平移两个单位得
y
1 a
x2
(a
0
，且
a
1
），
即为函数 y a2x (a 0 ，且 a 1 ），所以定点 A2,1 ，
由于点 A 在椭圆 x2 y2 1，所以 4 1 1，且 m 0 ， n 0 ，
12．已知函数
f
(x)
ln x ,
x
1,
（）
x0 x0
，若函数
y
f

河北省衡水市2021届新高考数学三月模拟试卷含解析

河北省衡水市2021届新高考数学三月模拟试卷含解析

河北省衡水市2021届新高考数学三月模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知236a b ==，则a ，b 不可能满足的关系是（） A ．a b ab += B ．4a b +>C ．()()22112a b -+-< D ．228a b +>【答案】C 【解析】 【分析】根据236a b ==即可得出21l 3og a =+，31l 2og b =+，根据23log log 132⋅=，33log log 222+>，即可判断出结果． 【详解】 ∵236a b ==；∴226log 1og 3l a ==+，336log 1og 2l b ==+；∴2332log 2log 4a b +=++>，2332log og 42l ab =++>，故,A B 正确；()()()()2322223211log log 2log 323log 22a b =>⋅-+-+=，故C 错误；∵()()()22232223log log 2log 2323log 2a b =+++++23232324log log l 23og log 82>+⋅+=⋅，故D 正确故C ． 【点睛】本题主要考查指数式和对数式的互化，对数的运算，以及基本不等式：2a b ab +≥和不等式222a b ab +≥的应用，属于中档题2．函数sin()(0y A x ωϕω=+>，||2ϕπ<，)x R ∈的部分图象如图所示，则函数表达式为（ ）A ．4sin()84y x ππ=-+ B ．4sin()84y x ππ=-C ．4sin()84y x ππ=--D ．4sin()84y x ππ=+ 【答案】A【解析】 【分析】根据图像的最值求出A ，由周期求出ω，可得4sin()8y x πϕ=+，再代入特殊点求出ϕ，化简即得所求.【详解】 由图像知4A =，6(2)82T =--=，216T πω==，解得8πω=， 因为函数4sin()8y x πϕ=+过点(2,4)-，所以4sin(2)48πϕ⨯+=-， sin(2)18πϕ⨯+=-，即22()82k k Z ππϕ=-π⨯++∈，解得32()4k k Z πϕπ=-+∈，因为||2ϕπ<，所以54πϕ=，54sin()4sin()8484y x x ππππ=+=-+.故选：A 【点睛】本题考查根据图像求正弦型函数的解析式，三角函数诱导公式，属于基础题. 3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．53π B ．43π C ．223π+D ．243π+【答案】A 【解析】 【分析】观察可知，这个几何体由两部分构成,：一个半圆柱体，底面圆的半径为1，高为2；一个半球体，半径为1，按公式计算可得体积。

2021届河北衡水密卷新高考模拟试卷(十三)文科数学

2021届河北衡水密卷新高考模拟试卷(十三)文科数学

2021届河北衡水密卷新高考模拟试卷（十三）数学试卷（文科）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题（共12小题）.1.已知集合2{|6}=0A x x x --≤，函数()=(1)f x ln x -的定义域为集合B ，则AB =（ ）A.[21]-， B. [21)-， C. [1]3， D. (13]，【答案】B 【解析】 【分析】求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可.【详解】解：∵{|23}A x x =-≤≤，=10{|}{|}1B x x x x >=<- ∴21[)AB ＝﹣，.故选：B .【点睛】本题考查了描述法、区间的定义，对数函数的定义域，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题.2.已知i 为虚数单位,复数Z 131ii-=+,则其共轭复数z 的虚部为（ ） A. 2 B. ﹣2C. 2iD. ﹣2i【答案】A 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,再由共轭复数的概念得答案. 【详解】解：∵z ()()()()1311312111i i i i i i i ---===--++-, ∴12z i =-+,则共轭复数z 的虚部为2. 故选：A .【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题. 3.已知向量()1,1a =-，(),2b x =，且a b ⊥，则a b +的值为（ ）A.B.C. D.【答案】D 【解析】【详解】由a b ⊥得20a b x ⋅=-=，解得2x =． ∴(3,1)a b +=，∴23110a b +=+=．选D ．4.现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为 A.12B.13C.16D.112【答案】B 【解析】 【分析】求得基本事件的总数为222422226C C n A A =⨯=，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为2222222m C C A ==,利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，现有甲乙丙丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，基本事件的总数为222422226C C n A A =⨯=， 其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为2222222m C C A ==,所以乙丙两人恰好参加同一项活动的概率为13m p n ==，故选B. 【点睛】本题主要考查了排列组合的应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中合理应用排列、组合的知识求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.5.甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测： 甲预测说：获奖者在乙、丙、丁三人中； 乙预测说：我不会获奖，丙获奖 丙预测说：甲和丁中有一人获奖； 丁预测说：乙的猜测是对的成绩公布后表明，四人的猜测中有两人的预测与结果相符.另外两人的预测与结果不相符，已知有两人获奖，则获奖的是（） A. 甲和丁 B. 乙和丁 C. 乙和丙 D. 甲和丙 【答案】B 【解析】 【分析】从四人的描述语句中可以看出，乙、丁的表述要么同时与结果相符，要么同时与结果不符，再进行判断 【详解】若乙、丁的预测成立，则甲、丙的预测不成立，推出矛盾．故乙、丙预测不成立时，推出获奖的是乙和丁 答案选B【点睛】真假语句的判断需要结合实际情况，作出合理假设，才可进行有效论证 6.设函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当01<x <时，()4x f x =，则5(2019)2f f ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭（ ）A. 2-B. 2C. 4D. 6【答案】A 【解析】 【分析】利用周期性得到5122f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭及()()20191f f =，再利用奇偶性得到12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值从而得到要求的函数值的和．【详解】因为()f x 的周期为2，所以5122f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且()()20191f f =， 由()f x 为奇函数，则11222f f ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()11f f -=-，但()()11f f -=， 故()()110f f -==，故()5201922f f ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，选A ．【点睛】一般地，对于定义在R 的奇函数()f x ，如果其周期为T ，那么02T f ⎛⎫=⎪⎝⎭．另外，对于奇函数、周期函数的求值问题，应利用周期性将所求的值归结为给定区间上的求值问题． 7.已知m ,n ,l 是三条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题正确的是（ ） A. 若m ⊂α,n ⊂α,l ⊂β,m ∥l ,n ∥l ,则α∥β B. 若m ∥α,n ∥α,m ∥β,n ∥β,则α∥β C. 若m ⊂α,m ∩n ＝A ,l ⊥m ,l ⊥n ,l ⊥β,则α∥β D. 若m ∥n ,m ⊥α,n ⊥β,则α∥β 【答案】D 【解析】 分析】在A 中,α与β相交或平行；在B 中,α与β相交或平行；在C 中,α与β相交或平行；在D 中,由面面平行的判定定理得α∥β.【详解】解：由m ,n ,l 是三条不同的直线,α,β是两个不同的平面,知： 在A 中,若m ⊂α,n ⊂α,l ⊂β,m ∥l ,n ∥l ,则α与β相交或平行,故A 错误； 在B 中,若m ∥α,n ∥α,m ∥β,n ∥β,则α与β相交或平行,故B 错误； 在C 中,若m ⊂α,m ∩n ＝A ,l ⊥m ,l ⊥n ,l ⊥β,则α与β相交或平行,故C 错误； 在D 中,若m ∥n ,m ⊥α,n ⊥β,则由面面平行的判定定理得α∥β,故D 正确.故选：D .【点睛】本题考查命题真假的判断,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.8.已知函数f （x ）=﹣sinωx （ω＞0）的最小正周期为π,则该函数图象（ ） A. 关于点（6π,0）对称 B. 关于直线x 6π=对称 C. 关于点（3π,0）对称 D. 关于直线x 3π=对称【答案】A 【解析】 【分析】由两角和的余弦函数公式可得f （x ）＝2cos （ωx 6π+）,利用周期公式可求ω的值,进而根据余弦函数的图象和性质即可求解.【详解】解：f （x ）=﹣sin ωx ＝2cos （ωx 6π+）, ∵f （x ）的最小正周期为T 2πω==π,∴ω＝2,∴f （x ）＝2cos （2x 6π+）, ∴f （6π）＝2cos 2π=0,可得函数关于点（6π,0）对称,故A 正确,B 错误,f （3π）＝2cos56π=可得C 错误,D 错误. 故选：A .【点睛】本题主要考查了两角和的余弦函数公式,周期公式,余弦函数的图象和性质,考查了函数思想,属于基础题.9.已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）上一点M （x 0,4）到焦点F 的距离|MF |54=x 0,则p ＝（ ） A. 2 B. 4C. 1D. 5【答案】A 【解析】 【分析】由抛物线的定义可知,|MF |＝x 02p+,与已知条件结合,得x 0＝2p ①；把点M 的坐标代入抛物线方程可得42＝2p •x 0②,结合①②即可解出p 的值.【详解】解：由抛物线的定义可知,|MF |＝x 02p +, ∵|MF |54=x 0, ∴x 0524p +=x 0,即x 0＝2p ①,∵点M （x 0,4）在抛物线y 2＝2px 上, ∴42＝2p •x 0②,由①②解得,p ＝2或﹣2（舍负）, 故选：A .【点睛】本题考查抛物线的定义,考查学生的分析能力和运算能力,属于基础题. 10.已知曲线e ln x y a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则（ ） A. ,1a e b ==- B. ,1a e b == C. 1,1a e b -== D. 1,1a e b -==-【答案】D 【解析】 【分析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得a ，将点的坐标代入直线方程，求得b ． 【详解】详解：ln 1,xy ae x '=++1|12x k y ae ='==+=，1a e -∴=将(1,1)代入2y x b =+得21,1b b +==-，故选D ．【点睛】本题关键得到含有a ，b 的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系． 11.已知sin 2cos 5sin 2cos αααα+=-，则21cos sin 22αα+=（ ）A. 25-B. 3C. 3-D.25【答案】D 【解析】 【分析】将已知等式弦化切，求得tan 3α=， 21cos sin 22αα+分母用22cos sin αα+代替，弦化切后，将tan 3α=代入即可得结果. 【详解】因为sin 2cos 5sin 2cos αααα+=-，所以tan 25tan 3tan 2ααα+=⇒=-，22221cos sin cos cos sin 22cos sin ααααααα++=+ 21tan 1321tan 195αα++===++，故选D.【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．12.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，点(4，1)在双曲线上，则该双曲线的方程为A. 2214x y -=B. 221205x y -=C. 221123y x -=D. 2218x y -=【答案】C 【解析】 【分析】根据离心率可得一个方程，结合双曲线过点(4，1)得另一个方程，联立可得.，所以c a ①；因为点(4，1)在双曲线上，所以221611a b-=②；因为222c a b =+③；联立①②③可得2212,3a b ==，故选C.【点睛】本题主要考查双曲线方程的求解，根据已知条件建立方程组是求解的关键，注意隐含关系的挖掘使用.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知x ,y 满足203010y x x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩,则14y x --的取值范围是_____.【答案】51,7⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】首先画出平面区域,根据14y x --的几何意义求范围. 【详解】解：不等式组对应的平面区域如图：14y x --的几何意义是过（4,1）和区域内的点的直线的斜率,所以最大值是过A （﹣3,﹣4）与（4,1）连接的直线斜率为415347--=--, 最小值是过B （3,2）与（4,1）连接的直线斜率为21134-=--, 所以14y x --的取值范围是51,7⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故答案为：51,7⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查了简单线性规划的问题解答,关键是正确画出平面区域以及明确目标函数的几何意义.属于基础题.14.某中学从甲乙丙3人中选1人参加全市中学男子1500米比赛,现将他们最近集训中的10次成绩（单位：秒）的平均数与方差制成如表的表格：根据表中数据,该中学应选_____参加比赛. 【答案】乙 【解析】 【分析】根据题意,分析可得三人中乙的平均数最小且方差最小,由平均数、方差的统计意义分析可得答案. 【详解】解：根据题意,由图中的表格：甲的平均数高于乙和丙的平均数,而甲乙的方差小于丙的方差,则三人中乙的平均数最小且方差最小,故应该选乙参加比赛； 故答案为：乙【点睛】本题考查平均数、方差的统计意义,属于基础题. 15.如图，在ABC 中,D 是边BC 上一点，AB =2AD AC=,1cos 3BAD ∠=，则sin C =_________.【答案】33【解析】 【分析】设2AC =，利用余弦定理求得BD ，然后在ABC 中利用正弦定理可求得sin C 的值. 【详解】由题意不妨取2AC =,则2AB AD ==且13cos BAD ∠=, 由余弦定理，可得22262BD AB AD AB AD cos BAD =+-⋅⋅∠=,2sin 3BAD ∠=,由正弦定理得sin 6sin AD BAD B BD ⋅∠==，从而sin 3sin AB B C AC ⋅==. 3【点睛】此题主要考查解三角形中余弦定理、正弦定理方面等知识的综合应用，属于中档题.根据题目中的条件“AB =22AD AC =”，可有多种方法假设，比如：设()20AC t t =>，则2AB AD t ==；或者取2AC =,则有AD AB =，…，代入余弦定理、正弦定理进行运算，注意在取值时候要按照题目所给的比例合理进行，更要注意新引入参数t 的范围.16.如图,圆锥型容器内盛有水,水深3dm ,水面直径23dm 放入一个铁球后,水恰好把铁球淹没,则该铁球的体积为________dm【答案】125π【解析】 【分析】通过将图形转化为平面图形，然后利用放球前后体积等量关系求得球的体积.【详解】作出相关图形，显然3AH =,因此30ACH ∠=，因此放球前()211=33=33V ππ⋅⋅，球O 与边1A C 相切于点M ，故OM r =，则2OC r =，所以13CH r =，113A H r=,所以放球后()2321=33=33V r r r ππ⋅⋅，而12+=V V V 球，而34=3V r π球，解得12=5V π球.【点睛】本题主要考查圆锥体积与球体积的相关计算，建立体积等量关系是解决本题的关键，意在考查学生的划归能力，计算能力和分析能力.三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.） （一）必考题：共60分.17.在等差数列{a n }中,已知a 1+a 3＝12,a 2+a 4＝18,n ∈N *. （1）求数列{a n }的通项公式； （2）求a 3+a 6+a 9+…+a 3n .【答案】（1）a n ＝3n ,n ∈N *（2）()292n n + 【解析】 【分析】（1）依题意a 1+a 3＝12,a 2+a 4＝18,两式相减得d ＝3,将d ＝3代入一式可得a 1,则通项公式可求.（2）因为数列{a n }是等差数列,所以数列{a 3n }也是等差数列,且首项a 3＝9,公差d '＝9,则其前n 项和可求. 【详解】解：(1)因为{a n }是等差数列,a 1+a 3＝12,a 2+a 4＝18,所以1122122418.a d a d +=⎧⎨+=⎩，1122122418.a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得d ＝3,a 1＝3.则a n ＝3+（n ﹣1）×3＝3n ,n ∈N *. (2)a 3,a 6,a 9,…,a 3n 构成首项为a 3＝9,公差为9的等差数列. 则()()236931991922n a a a a n n n n n ++++=+-⨯=+.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式,等差数列的前n 项和公式,等差数列的定义等,考查分析解决问题的能力和计算能力,属于基础题.18.如图,四边形ABCD 是直角梯形,AB ＝2CD ＝2PD ＝2,PC 2=,且有PD ⊥AD ,AD ⊥CD ,AB ∥CD.（1）证明：PD ⊥平面ABCD ； （2）若四棱锥P ﹣ABCD 的体积为12,求四棱锥P ﹣ABCD 的表面积. 【答案】（1）证明见解析；（2）53222【解析】 【分析】（1）推导出PD ⊥CD ,PD ⊥AD ,由此能证明PD ⊥平面ABCD. （2）由PD ⊥面ABCD ,四棱锥P ﹣ABCD 的体积为12,求出AD ＝1,由PD ⊥AB ,AB ⊥AD ,得AB ⊥平面P AD ,AB ⊥P A ,P A 2=由此能求出四棱锥P ﹣ABCD 的表面积.【详解】解：（1）证明：在△PCD 中,PD ＝1,CD ＝1,PC =∵12+122=,∴∠PDC ＝90°,即PD ⊥CD ,又PD ⊥AD ,AD ∩CD ＝D ,∴PD ⊥平面ABCD. （2）由（1）得PD ⊥面ABCD , V P ﹣ABCD ()111322AB CD AD PD =⨯⨯+⨯⨯=, ∴AD ＝1,∵PD ⊥AB ,AB ⊥AD ,PD ∩AD ＝D ,∴AB ⊥平面P AD ,∴AB ⊥P A ,∴P A =由题意得BC ＝PC =PB ==,△PBC 中,由余弦定理得cos ∠PCB 12==-.∴∠PCB ＝120°,∴S △PCB 11202sin =︒=122PABS=⨯=S △P AD ＝S △PCD 111122=⨯⨯=,()1312122ABCD S =+⨯=,∴四棱锥P ﹣ABCD 的表面积S 52=+. 【点睛】本题考查线面垂直的证明,考查四棱锥的表面积的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.19.将某产品投入甲、乙、丙、丁四个商场进行销售，五天后，统计了购买该产品的所有顾客的年龄情况以及甲商场这五天的销售情况如频率发布直方图所示：甲商场五天的销售情况 销售第x 天 1 2 3 4 5 第x 天的销量y 1113121514（1）试计算购买该产品的顾客的平均年龄；（2）根据甲商场这五天的销售情况，求x 与y 的回归直线方程ˆˆy bx a =+. 参考公式：回归直线方程ˆˆybx a =+中，()()()121niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆa y bx =-.【答案】（1）38.5（2）453ˆ55yx =+ 【解析】 【分析】（1）根据平均值公式计算平均值.（2）根据公式计算回归直线方程ˆˆy bx a =+. 【详解】（1）购买该产品的顾客的平均年龄为：27.50.01532.50.04537.50.07542.50.06547.50.02538.5⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=（2）1234535x ++++== 1113121514135y ++++==()()()12122222(13)(1113)(23)(1313)(33)(1213)(43)(1513)(53)(1413)4(13)(23)(33)(43)(53)5niii ni i x x y y b x x ==--=---+--+--+--+--==-+-+-+-+-∑∑453ˆ13355ay bx =-=-⨯= 回归方程为：453ˆ55yx =+ 【点睛】本题考查了平均值的计算，线性回归方程，意在考查学生的计算能力. 20.已知函数()21xf x e x x =---.（1）求函数()y f x ='的单调区间；（2）函数()()21g x x a x =-+-，求()()g x f x =的解的个数.【答案】（1）函数()y f x ='在(),ln 2-∞上单调递减，在()ln 2,+∞上单调递增，（2）(]{},01a ∈-∞⋃时，()()g x f x =有1个解，当()()0,11,a ∈⋃+∞时，()()g x f x =有2个解.【解析】 【分析】 （1）求出fx 和()f x ''，然后可得答案；（2）令()()()h x g x f x =-，则()xh x a e '=-，然后分0a ≤和0a >两种情况讨论，分别求出()h x 的单调性，然后结合()h x 的函数值即可得出答案.【详解】（1）由()21xf x e x x =---，得()21xf x e x '=--，故()2xf x e ''=-，令()0f x ''>，解得ln 2x >，令()0f x ''<，解得ln 2x <，故函数()y f x ='在(),ln 2-∞上单调递减，在()ln 2,+∞上单调递增； （2）令()()()1xh x g x f x ax e =-=+-，则()xh x a e '=-，若0a ≤，则()0h x '<，()h x 在R 上单调递减，而()00h =，故()h x 有1个零点， 若0a >，可得(),ln x a ∈-∞时，()0h x '>，()ln ,x a ∈+∞时，()0h x '<，∴()h x 在(),ln a -∞上单调递增，在()ln ,a +∞上单调递减， ∴()()max ln 1ln h x h a a a a ==-+， 令()1ln t a a a a =-+，则()ln t a a '=，当()0,1a ∈时，()0t a '<，当()1,a ∈+∞时，()0t a '>， ∴()t a 在0,1上单调递减，在1,上单调递增，而()10t =，故()()0,11,a ∈⋃+∞时，()max 0h x >，()h x 有2个零点， 当1a =时，()max 0h x =，()h x 有1个零点， 综上，(]{},01a ∈-∞⋃时，()()g x f x =有1个解， 当()()0,11,a ∈⋃+∞时，()()g x f x =有2个解.【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道常规题.21.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的四个顶点围成的菱形的面积为()1,0.（1）求椭圆的方程；（2）若M ，N 为椭圆上的两个动点，直线OM ，ON 的斜率分别为1k ，2k ，当1234k k =-时，MON △的面积是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，说明理由.【答案】（1）22143x y +=（2【解析】 【分析】（1）由题设条件，列出方程组，结合222a b c =+，求得22,a b 的值，即可求解.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，当直线MN 的斜率存在时，设方程为y kx m =+，联立方程组，结合根与系数的关系和弦长公式，及三角形的面积公式，求得三角形的面积；当直线MN 的斜率不存在时，结合椭圆的对称性和三角形的面积公式，即可求解.【详解】（1）由椭圆22221x y a b+=四个顶点围成的菱形的面积为()1,0，可得2ab =，1c =，即221ab a b ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，解得24a =，23b =， 故椭圆的方程为22143x y +=.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，当直线MN 的斜率存在时，设方程为y kx m =+，由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消y 可得，()2223484120k x kmx m +++-=， 则()()222264434412k m km∆=-+-()2248430k m =-+>，即2243m k <+，且122834km x x k -+=+，212241234m x x k-=+，所以12MN x x =-===又由点O 到直线MN的距离d =所以12MON S MN d =△=又因为12121234y y k k x x ==-， 所以()22121112k x x km x x m x x +++222228334412434km km m k k m k -⎛⎫+ ⎪+⎝⎭=+=--+，化简整理可得22243m k =+，满足>0∆，代入222MCNmS ===△， 当直线MN 的斜率不存在时，由于1234k k =-，考虑到OM ，ON 关于x轴对称，不妨设12k =，22k =-，则点M ，N的坐标分别为2M ⎭，2N -⎭，此时12MON S ==△ 综上可得，MON △【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为()1,0，曲线C 的参数方程是244x m y m ⎧=⎨=⎩（m 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线lcos +104πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；（2）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求11MA MB+. 【答案】（1）:10l x y --=，2:4C y x =；（2）1.【解析】 【分析】（1）cos +104πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭得cos sin 10ρθρθ--=，然后可得直线l 的直角坐标方程为：10x y --=，消去244x m y m⎧=⎨=⎩中的m 可得曲线C 的普通方程；（2）直线l参数方程为122x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入方程24y x =可得280t --=，然后可得12t t +=，128t t =-，然后利用121211t t MA MB t t -+=求解即可. 【详解】（1cos +104πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭得cos sin 10ρθρθ--= 因为x cos y sin ρθρθ=⎧⎨=⎩，所以直线l 的直角坐标方程为：10x y --=.曲线C 的参数方程是244x m y m⎧=⎨=⎩（m 为参数），消去参数m ，转换为普通方程为24y x =；（2）直线l的参数方程为122x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入方程24y x =可得280t --=， 设其根为12,t t，则有12t t +=128t t =-，所以12121118t t MA MB t t -+====.【点睛】本题考查的知识要点：参数方程与普通方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化，直线参数方程的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中等题型. 23.已知函数()31f x x m x m =---- （1）若1m =，求不等式()1f x <的解集.（2）对任意的x ∈R ，有()()2f x f ≤，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）{}3x x <（2）11,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】（1）当1m =时，()14f x x x =---34251431x x x x >⎧⎪=-≤≤⎨⎪-<⎩，，，，然后分段解不等式即可. （2）由绝对值的三角不等式可得()max 21f x m =+，对任意的x ∈R ，有()()2f x f ≤，即21312m m m++-≤-，令()2131f m m m=++-15211 223153m mm mm m⎧-<-⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩，，，，()2g m m=-，利用()f m，()g m在同一坐标系中的图象求解即可.【详解】（1）当1m=时，()14f x x x=---34251431xx xx>⎧⎪=-≤≤⎨⎪-<⎩，，，因为()1f x<，所以25114xx-<⎧⎨≤≤⎩或1x<所以3x<，所以不等式的解集为：{}3x x<；（2）因为()()313121x m x m x m x m m----≤----=+所以()max21f x m=+，因为任意的x∈R，有()()2231f x f m m≤=---，所以21231m m m+≤---，即21312m m m++-≤-，设()2131f m m m=++-15211223153m mm mm m⎧-<-⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩，，，，()2g m m=-，()f m，()g m在同一坐标系中的图象如下：所以11 23m-≤≤，所以实数m的取值范围为：11,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法和利用绝对值的三角不等式求最值、考查了数形结合思想和分类讨论思想，属于中档题.。

2021届河北衡水金卷新高考仿真考试(十九)数学(文)试题

2021届河北衡水金卷新高考仿真考试(十九)数学(文)试题

2021届河北衡水金卷新高考仿真考试（十九）文科数学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合{}23A xx =<∣，{}23B x x x =<∣则A B =（ ）A. (B.C. (D. (0,3)【答案】B 【解析】 【分析】首先解不等式确定集合,A B ，再由交集定义计算．【详解】因为{}{}223(3(0,3)A xx B x x x =<==<=∣∣，所以A B ⋂=， 故选：B .【点睛】本题考查集合的交集运算，确定集合中的元素是解题关键． 2.已知ABC 中，3,5,7AB BC CA ===，则sin B =（ ）A. 12-B. C.12D.2【答案】D 【解析】【分析】根据余弦定理求出cos B ，即可得出sin B . 【详解】因为3AB =，5BC =，7CA =，由余弦定理可得：2223571cos 2352B +-==-⨯⨯，所以3sin 2B =； 故选：D.【点睛】本题主要考查解三角形，熟记余弦定理即可，属于基础题型.3.若(,,)1a ix yi a x y R i-=+∈+，则xy 的最大值为（ ） A. 1- B. 14- C. 14D. 1【答案】C 【解析】 【分析】 先对复数1a i i -+化简得11122a i a a i i --+=-+，再由已知可得11,22a a x y -+==-，从而可求出xy 的值，进而求出其最大值.【详解】解：因为()(1)111222a i a i i a a i i ----+==-+，(,,)1a ix yi a x y R i-=+∈+ 所以11,22a a x y -+==-， 所以21144a xy -=， 故选：C.【点睛】此题考查复数的运算，考查相等的复数，属于基础题.4.已知下图为2020年1月10日到2月21日我国新型冠状肺炎累计确诊人数及现有疑似人数趋势图，则下面结论不正确的是（ ）A. 截至2020年2月21日，我国新型冠状肺炎累计确诊人数已经超过70000人B. 从1月28日到2月3日，现有疑似人数超过累计确诊人数C. 从2020年1月22日到2月21日一个月的时间内，新型冠状肺炎累计确诊人数上升幅度一直在增加D. 2月21日与2月9日相比较，现有疑似人数减少超过50% 【答案】C 【解析】 【分析】根据统计图表所给定信息判断各选项．【详解】由图表易知A ，B 正确，从2020年1月22日到2月21日，新型冠状肺炎累计确诊人数上升幅度最大的在2月9日到2月15日之间，C 错，2月9日现有疑似人数超过20000人，2月21日现有疑似人数不足10000人，人数减少超过50%，D 正确， 故选：C【点睛】本题考查统计图表的认识，考查学生的数据处理能力，阅读理解能力，识图能力，属于基础题．5.当m 变化时，对于双曲线22:1(0)2x yC m m m-=>，值不变的是（ ）A. 实轴长B. 虚轴长C. 焦距D. 离心率【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线方程求出,,a b c ，再计算离心率可得．【详解】由题意可得2222,,3,2c a m b m c m e a ======， 故选：D .【点睛】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的离心率，实轴、虚轴、焦距等几何性质，属于基础题． 6.已知实数x ，y 满足||2|1|2x y +-=，则3x y -的最小值为（ ） A. 0 B. 1-C. 6-D. 9-【答案】C 【解析】 【分析】由||2|1|2x y +-=可知其表示的可行域是以(2,1),(0,0),(2,1),(0,2)A O C D -为顶点的四边形，由目标函数得133z y x =-，可得其截距最大时，目标函数的值最小，平移直线13y x =可得结果.【详解】满足约束条件的可行域是以(2,1),(0,0),(2,1),(0,2)A O C D -为顶点的四边形， 设3z x y =-，则133z y x =-，作出直线13y x =，向上平移，当该直线经过点D 时min 6z =-， 所以3x y -的最小值为6-，故选：C.【点睛】此题考查简单的线性规划，考查了数形结合的数学思想，属于基础题.7.函数2||()22xxx x f x -+=+的部分图象大致是（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】 【分析】研究函数的奇偶性，排除A ，探究当x →+∞时，函数值的变化趋势，又排除一些选项，从而确定正确选项．【详解】函数的定义域为R ，因为2||()()22x xx x f x f x -+-==+，所以()f x 是偶函数，排除选项A ；当x →+∞时，考虑到2||y x x =+和22x x y -=+的变化速度，知x →+∞时，()0f x →，故排除选项C ，D .所以选项B 正确.． 故选：B ．【点睛】本题考查由函数解析式先把函数图象，解题时可通过研究函数的性质如奇偶性、单调性、对称性排除一些选项，再研究函数的特殊值，与坐标轴的交点坐标，函数值的正负，函数值的变化趋势等排除选项，从而得出正确结论．8.已知长方体1111ABCD A B C D -的顶点,,,A B C D 在球O 的表面上，顶点1111,,,A B C D ，在过球心O 的一个平面上，若11,3,4AB AD AA ===，则球O 的表面积为（ ） A. 26π B. 29πC. 53πD. 74π【答案】D 【解析】 【分析】把两个这样的长方体叠放在一起，构成一个长宽高分别为1，3，8的长方体，则球O 就是该长方体的外接球，根据长方体外接球的直径等于体对角线的长，求出直径，即可得出球的表面积. 【详解】把两个这样的长方体叠放在一起，构成一个长宽高分别为1，3，8的长方体， 则球O 就是该长方体的外接球，根据长方体的结构特征可得，其外接球直径等于体对角线的长， 所以球O的半径满足2R == 所以球O 的表面积2474S R ππ==. 故选：D.【点睛】本题主要考查几何体外接球的表面积，熟记长方体结构特征，以及球的表面积公式，属于常考题型.9.关于圆周率π，我国古代祖冲之曾用227作为约率，355113作为密率，其中约率与密率提出了用有理数最佳逼近实数的问题，如3553.1415929113≈，惊人精密地接近于圆周率，准确到6位小数，约率与密率可通过用连分数近似表示的方法得到，如：111223. 14159265333170.0625160770.14159265=+≈+≈+=+，舍去0.0625160，得逼近π的一个有理数为122 377 +=，类似的，我们可以得1211212122-≈+++，如图是121212122+++的程序框图，图中①②可以分别填入（）A.13?;2k AA≤=+B.14?;2k AA≤=+C.13?;2k AA≤=+ D.14?;2k AA≤=+【答案】A【解析】【分析】写出每次循环的运行结果即可求解.【详解】第一次执行循环：1,2122A k==+；第二次执行循环：1,312122A k==++；第三次执行循1:,41212122A k==+++，不满足条件，结束循环，故选：A.【点睛】本题考查了循环结果的程序框图，考查了基本运算，属于基础题.10.如图是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A. 52522412π⎛⎫+++- ⎪ ⎪⎝⎭B. 12522452π⎛⎫+++-⎪⎝⎭C. 25224(51)π+++-D. (51)252242π-+++【答案】D 【解析】 【分析】由几何体的三视图可知，如图，原几何体为一个四棱锥P ABCD -，挖去半个圆锥，其表面积为四棱锥的的三个侧面加上圆锥的半个侧面，再加上四棱锥的底面面积减去半个圆的面积即可.【详解】解：可将由三视图还原的几何体放到正方体模型中来观察，容易看出原几何体为一个四棱锥P ABCD -，挖去半个圆锥，点P 为正方体的一条棱的中点，平面AB CD -恰为正方体的底面，平面PCD ⊥平面ABCD ，圆锥底面直径为CD ，P 为顶点，母线22215l =+=，且为前后两个侧面三角形的高，故其表面积21111(51)25222241152522422222S πππ-=⨯⨯⨯+⨯⨯+-⨯⨯+⨯⨯⨯=+++，故选：D.【点睛】此题考查的是由几何体的三视图求几何体的表面积，解题的关键是由三视图还原几何体，属于中档题.11.已知椭圆22:1(0)2x y E a a a +=>+的离心率为2，若面积为4的矩形ABCD 的四个顶点都在椭圆E 上，点O 为坐标原点，则2||OA =（ ）A.12B. 3C. 132±D. 32±【答案】D 【解析】 【分析】由离心率的值先求出椭圆方程，然后设出点A 的坐标(2cos )0,2A πθθθ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再由椭圆的对称性和题意可得2cos 1θθ=，从而可求出sin 2θ=2||OA 的值.【详解】解：由椭圆E 2=， 所以椭圆E 的方程为22142x y +=，不失一般性，设(2cos )0,2A πθθθ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由椭圆与矩形的对称性可得该矩形的面积2cos 1S θθ==，所以sin 22θ=24πθ=或34π，可得cos 22θ=±所以2222||4cos 2sin 2cos 2cos 2332OA θθθθ=+=+=+=±， 故选：D.【点睛】此题考查椭圆的离心率和椭圆的简单的几何性质，考查转化能力和计算能力，属于中档题.12.已知[]x 表示不超过x 的最大整数，若函数()()202 xx f x m m=>+的图象关于点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，且方程()2020f x n +=⎡⎤⎣⎦有实根，则mn 的取值集合为（ ）A. (]2019,2020B. ()2019,2021C. []2020,2021D. []2019,2021【解析】 【分析】由函数的对称性可得()()1f x f x +-=，令0x =，可得1m =，可得()01f x <<，即可得到20192021n <<，从而求出mn 的取值范围；【详解】解：由()f x 的图象关于点10,2⎛⎫⎪⎝⎭对称，得()()1f x f x +-=，取0x =，得()22011f m ==+，所以1m =，所以()2112121x x xf x -==+++，所以211x +>，所以11021x --<<+，所以()01f x <<，所以()1n f x n n <+<+，由[]2020x =，20202021x ∴≤<，可得(),1n n +⋂[)2020,2021≠∅，所以20192021n <<时，方程()2020f x n +=⎡⎤⎣⎦有实根，所以mn 的取值范围是()2019,2021， 故选：B .【点睛】本题考查函数的值域、函数的对称性的应用，属于中档题.二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数()cos f x x x =的图象在2x π=处的切线方程为___________. 【答案】0x y -= 【解析】 【分析】求出导函数()f x '，计算出切线斜率(2)f π'，同时计算出函数值(2)f π，然后可得切线方程．【详解】由()cos f x x x =得()cos sin f x x x x '=-，所以(2)2,(2)1f f πππ'==，所以()f x 的图象在2x π=处的切线方程为22y x ππ-=-，即0x y -=.故答案为：0x y -=．【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题，函数()y f x =图象在点00(,())x f x 处的切线方程是000()()()y f x f x x x '-=-．14.tan θ，tan 4πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭是方程230x ax +-=的两个根，则a =___________. 【答案】4- 【解析】根据根与系数关系，得到tan tan 4a πθθ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭，tan tan 34πθθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，再由两角和的正切公式，即可计算出结果.【详解】因为tan θ，tan 4πθ⎛⎫-⎪⎝⎭是方程230x ax +-=的两个根， 所以tan tan 4a πθθ⎛⎫+-=-⎪⎝⎭，tan tan 34πθθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 所以tan tan 4tan tan 14441tan tan4a πθθππθθπθθ⎛⎫+- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭=+-==-= ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎣⎦-- ⎪⎝⎭，所以4a =-. 故答案为：4-.【点睛】本题主要考查三角恒等变换的应用，熟记两角和的正切公式即可，属于常考题型. 15.已知向量a ，b 满足||3,||2a b ==，且34,55||||a b a b ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则||a b -=___________. 【解析】 【分析】 由已知等式34,55||||a b a b ⎛⎫-= ⎪⎝⎭平方后求出a b ⋅，然后再计算2()a b a b -=-可得． 【详解】因为34||3,||2,,55||||a b a b a b ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，两边平方得2222163a a b b a ba b ⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪ ⎪-+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以3a b ⋅=，22296a b a a b b -=-⋅+=-=【点睛】本题考查求向量的模，解题关键是把模转化为数量积的运算．16.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，点E 为BD 中点，点F 为棱BC 上的动点，点G 为棱1BB 上的动点，点H 在对角线1AB 上，13AH HB =，则EF FG GH ++的最小值为___________.【答案】34【解析】【分析】画出该正方体展开后的平面图形，由图像即可确定最小值，再由题中数据计算，即可得出结果.【详解】如图，由展开后的平面图形可得EF FG GH++最小值为图中的EH，因为正方体棱长为4，所以22223534EH PE PH=+=+=.34【点睛】本题主要考查求棱柱表面上距离的最值问题，根据棱柱的结构特征即可，属于基础题型. 三､解答题：共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共60分.17.已知数列{}n a满足215,(1)3n na na n a+==-+，前n项和为nS.（1）求,n na S；（2）设244nnnbS+=，求数列{}nb的前n项和nT.【答案】（1）21,(2)n na n S n n=+=+；（2）22252654(1)(2)n nn n++-++.【解析】 【分析】（1）由1(1)3n n na n a +=-+，得到12(1)3n n n a na +++=+，两式相减求得212n n n a a a +++=， 进而求得得出数列的首项和公差，进而求得其通项公式和前n 项和公式； （2）由（1）求得2224411(2)n n n b S n n +==-+，利用“裂项法”，即可求解. 【详解】（1）因为1(1)3n n na n a +=-+，所以12(1)3n n n a na +++=+， 两式相减得212n n n na na na +++=，所以212n n n a a a +++=， 所以数列{}n a 是等差数列，令1n =，可得13a =，又由25a =，所以212d a a =-= 即数列{}n a 的公差2d =，所以数列的通项公式为32(1)21n a n n =+-=+， 前n 项和1(1)(1)23(2)22n n n d n n S na n n n --⨯=+=⨯+=+. （2）由244n n n b S +=2222222244(2)11(2)(2)(2)n n n n n n n n n ++-===-+++， 所以2222222211111111132435(2)n T n n =-+-+-++-+ 2211114(1)(2)n n =+--++22252654(1)(2)n n n n ++=-++.【点睛】本题主要考查了等差数列的判定，等差数列通项公式和前n 项和公式的求解，以及“裂项法”求和的应用，其中解答中根据数列的递推关系式求得数列的通项公式，合理利用“裂项法”求和是解答的关键，着重考查推理与运算能力.18.某家电企业生产一种智能音箱，在其官网上销售，根据以往销售数据绘制出一周内销售数量的频率分布直方图如图所示.（1）估计每周销量的平均数(结果保留整数，同一组中的数据用该组区间的中点值代表)； （2）用一周销量不低于100件的频率作为每周销量不低于100件的概率. ①估计未来10周内周销量不低于100件的有多少周？②现采用随机模拟的方法估计未来3周恰有2周周销量不低于100件的概率，先由计算机产生0到9之间的随机整数，用0,1,2,,k 表示周销量低于100件，1,2,,9k k ++表示周销量不低于100件，再以3个随机整数为1组表示3周周销量的结果，经随机模拟产生如下20组随机数： 807 966 191 925 271 932 812 458 569 683 489 257 394 027 552 488 740 113 537 741确定k 的值，并根据以上数据估计未来3周恰有2周周销量不低于100件的概率. 【答案】（1）104；（2）①6周；②3k =，920P =. 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图中的每个小矩形的面积乘以该组区间的中点值相加即可求出结果；（2）①先求周销量不低于100件的概率，再求次数；②先求k 的值，从20组随机数中找到3周恰有2周周销量不低于100件的频数，即可得到结果. 【详解】（1）每周销售数量的平均数为85100.01595100.025105100.030115100.020125100.010104⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯≈（2）①由频率分布直方图可知周销量不低于100频率33(0.0300.0200.010)100.6,10655p =++⨯==⨯=所以估计未来10周内周销量不低于100件的有6周. ②根据周销量不低于100件的频率为0.6，可得3k =， 这20组数据中表示3周恰有2周周销量不低于100件的有： 807，925，683，257，394，552，740，537，741共9组， 所以估计所求概率920P =.【点睛】本题主要考查利用频率分布直方图估计样本的数字特征以及利用随机数法求概率.属于中档题. 19.在三棱锥P ABC -中，2,22,2,BC AB PA PC AP PC ====⊥，平面PAC ⊥平面ABC ，E 是PB的中点.（1）求证：BC PA ⊥；（2）求点B 到平面ACE 的距离. 【答案】（1）证明见解析；（225. 【解析】 【分析】（1）首先利用勾股定理得到AC BC ⊥，再利用面面垂直的性质得到BC ⊥平面PAC ，从而得到BC PA ⊥. （2）首先根据题意得到点P ，B 到平面ACE 的距离相等，设为d ，从而得到12B ACE P ACE B PAC V V V ---==，化简得到1ACESd ⨯=，再计算ACES即可得到答案.【详解】（1）因为2PA PC ==，AP PC ⊥，所以2222(2)(2)2AC PA PC =+=+=因为2BC =，22AB =222AB AC BC =+，即AC BC ⊥. 因为平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =，所以BC ⊥平面PAC ， 又因PA ⊂平面PAC ，所以BC PA ⊥.（2）因为E 是PB 的中点，所以点P ，B 到平面ACE 的距离相等，设为d ， 所以12B ACE P ACE B PAC V V V ---==，即11112223232ACE S d ∆⨯⨯=⨯⨯，化简得1ACESd ⨯=由（1）可得BC PC ⊥，所以()22226PB =+=162CE PB ==因为222AB AP PB =+，所以PA PB ⊥.所以2AE===.因为2222222cos26AC CE AEACEAC CE+-+-∠===⨯，所以sin6ACE∠=所以11sin222262ACES CE AC ACE∆=⨯∠=⨯⨯=，故1ACEdS∆==即点B到平面ACE.【点睛】本题第一问考查面面垂直的性质，同时考查了线线垂直，第二问考查了点到面的距离，同时考查学生的计算能力，属于中档题.20.已知纵坐标分别为M，N是抛物线2:2(0)C y px p=>上的两点，且点M，N到直线2px=的距离相等.（1）求抛物线C的方程；（2）若直线l与抛物线C交于点A，B，与抛物线C的准线交于点D，BO(点O为坐标原点)的延长线与准线交于点E，且2DA DE DE⋅=，求证：直线AB过定点P，并求出定点P的坐标.【答案】（1）28y x=；（2）证明见解析，()2,0.【解析】【分析】（1）求出,M N的横坐标，利用它们到直线2px=的距离相等可求得p，得抛物线方程；（2）设221212,,,88y yA yB y⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设直线AB的方程为x my n=+，与28y x=联立得2880y my n--=，应用韦达定理得128y y n=-，由向量数量积得AE DE⊥，得1(2,)E y-，再由,,B O E共线得一关系式12y y，结合韦达定理中的12y y，可求得参数n，从而知直线AB所过定点P的坐标．【详解】解：（1）因为点M ，N 在抛物线C上，且纵坐标分别为所以点M ，N 的横坐标分别为824,22p p因为点M ，N 到直线2px =的距离相等， 所以8242222p p p +=⨯，解得4p =， 所以抛物线C 的方程为28y x =. （2）设直线AB 的方程为x my n =+，与28y x =联立得2880y my n --=，设221212,,,88y y A y B y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则128y y n =-， 由2DA DE DE ⋅=得()0DA DE DE -⋅=，即0AE DE ⋅=， 所以AE DE ⊥，抛物线准线方程是2x =-，故()12,E y -，由B ，O ，E 三点共线得212228y y y =-，即816,2n n -=-=，直线AB 的方程为2x my =+ 所以直线AB 过定点()2,0，点P 的坐标为()2,0.【点睛】本题考查求抛物线的标准方程，考查直线与抛物线相交问题与定点问题．解题方法是“设而不求”的思想方法，设交点坐标，设直线方程x my n =+，直线方程与抛物线方程联立消元应用韦达定理得12y y ，12y y +，代入由题中其他条件得一个参数值或参数间的关系，从而可通过直线方程判断所过定点．21.已知函数21()(0)xax x f x a e-+=> （1）讨论()f x 的单调性；（20(0)x >>恒成立，求证：1425()32f a e <. 【答案】（1）当102a <<时，()f x 的增区间是12,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，减区间是(,2)-∞，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，12a =时，()f x 的减区间是(,)-∞+∞，当12a >时，()f x 的增区间是1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，减区间是1,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，(2,)+∞；（2）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）求出导函数()f x '，求出()0f x '=的解，按两根的大小分类讨论得单调区间； （2）首先得出102a <<，不等式恒成立等价于2()10g x ax x =-+>(0)x >恒成立，由此可得a 的取值范围是1142a <<，31()a a a f a e -+=，引入新函数31()x x x h x e-+=，11()42x <<，利用导数证明它是减函数，从而14125()()432h x h e <<，从而证得结论成立． 【详解】（1）22(21)(1)(2)(1)()x x x xax e ax x e x ax f x e e---+--'==-， 由()0f x '=得2x =或1x a=， 当102a <<时，12a >，在2x <或1x a >时，()0f x '<，12x a <<时，()0f x '>，()f x 的增区间是12,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，减区间是(,2)-∞，1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭， 12a =时，()0f x '≤，()f x 的减区间是(,)-∞+∞，无增区间， 当12a >时，在1x a <或2x >时，()0f x '<，12x a <<时，()0f x '>，()f x 的增区间是1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭，减区间是1,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，(2,)+∞； （20(0)x >>恒成立，首先120a ->，12a <，即102a <<，不等式转化为102a <<时，2()10g x ax x =-+>(0)x >恒成立， ()g x 的对称轴是112x a =>，所以0x >时，min 11()()124g x g a a ==-， 由题意min11()()1024g x g a a ==->，14a >，所以1142a <<，此时31()aa a f a e -+=，令31()x x x h x e -+=，11()42x <<，则3232()xx x x h x e-++-'=， 令32()32u x x x x =-++-，则22()3613(1)4u x x x x '=-++=--+，当1142x <<时，211()361044u x ⎛⎫'>-+⨯+> ⎪⎝⎭，()u x 在11(,)42上递增，11317()()2028428u x u <=-++-=-<，所以()0h x '<，所以()h x 是减函数，所以114414925()()46432h x h e e <=<． 综上，1425()32f a e<．【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性，用导数证明不等式，含有参数的函数在求单调区间时必须分类讨论．用导数证明不等式，实质还是转化为求函数的最值，由最值满足不等关系得出不等式成立．考查了转化与化归思想，运算求解能力，逻辑推理能力．(二)选考题：共10分，请考生在第22､23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为sin x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩(ϕ为参数)，在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （1）求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； （2）求曲线C 上的点P 到直线l 的距离的最大值.【答案】（1）2213x y +=，40x y -+=； （2）【解析】 【分析】（1）化简曲线C的参数方程为cos sin y ϕϕ==⎩(ϕ为参数)，平方相加，即可求得曲线C 的普通方程，根据两角差的正弦函数和极坐标的互化公式，即可求解直线l 的直角坐标方程；（2）设点,sin )P ϕϕ，求得点P 到直线l的距离为d =即可求解.【详解】（1）由曲线C的参数方程为sin x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩(ϕ为参数)，可得cos sin y ϕϕ==⎩(ϕ为参数)， 平方相加，可得2213x y +=，即曲线C 的普通方程为2213x y +=，又由直线l的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin cos 4ρθρθ-=， 因为cos ,sin x y ρθρθ==，可得40x y -+=， 即直线l 的直角坐标方程为40x y -+=.（2）由曲线C的参数方程，可设点,sin )P ϕϕ，则点P 到直线l的距离为d ==当cos()16πϕ+=时，d取得最大值，最大值为max d =.【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程，以及曲线的参数方程的应用，其中解答中合理消去参数以及熟记极坐标与直角坐标的互化公式，准确计算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.23.已知函数()|||1|f x x a x =-+-. （1）若0a =，求不等式|2|()x f x x>的解集； （2）若2()f x a <的解集包含[0,1]，求a 的取值范围.【答案】（1）3(,0),2⎛⎫-∞+∞⎪⎝⎭；（2）11,,22⎛⎫⎛⎫--∞⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）0a =时，函数()|||1|f x x x =+-，分类讨论去掉绝对值号，即可求解；（2）由2()f x a <的解集包含[]0,1，得到2||1x a x a -+-<恒成立，在根据绝对值的定义，得到2211a x x a a x -+-<-<-+恒成立，列出不等式组，即可求解.【详解】（1）当0a =时，函数()|||1|f x x x =+-，当0x <时，|2|()x f x x >等价于|||1|2x x +->-，该不等式恒成立， 当01x <≤时，|2|()x f x x>等价于12>，该不等式不成立，当1x >时，|2|()x f x x >等价于1212x x >⎧⎨->⎩，解得32x >. 所以不等式|2|()x f x x >的解集为3(,0),2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭. （2）由2()f x a <的解集包含[]0,1，即[0,1]x ∈时2()f x a <恒成立，即2||1x a x a -+-<恒成立， 即2||1x a a x -<-+恒成立，即2211a x x a a x -+-<-<-+恒成立，所以221010a a a a ⎧+->⎨-++<⎩，解得12a +>或12a -<所以a 的取值范围是⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的求解，以及含绝对值不等式的应用，其中解答中熟记绝对值不等式的解法，绝对值的定义，合理分类讨论是解答的关键，着重考查推理与运算能力.。

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2021届河北衡水金卷新高考模拟试卷（三）数学（文科）试卷★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

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9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}220A x x x =--≤，{}0B x x =>，则A B =（ ）A. [1-，2]B. （1，2]C. （0，2]D. （2，+∞）【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得{}12A x x =-≤≤，再由集合交集的概念即可得解.【详解】由题意{}()(){}{}22021012A x x x x x x x x =--≤=-+≤=-≤≤，所以{}{}{}(]120020,2A B x x x x x x ⋂=-≤≤⋂>=<≤=. 故选：C.【点睛】本题考查了一元二次不等式的求解及集合的运算，属于基础题. 2.已知复数z 满足()11z i i +=-（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A. i - B. iC. 1D. 1-【答案】D 【解析】 【分析】根据复数z 满足()11z i i +=-，利用复数的除法求得z ，再根据复数的概念求解. 【详解】因为复数z 满足()11z i i +=-，所以()()()211111i i z i i i i --===-++-， 所以z 的虚部为1-. 故选：D.【点睛】本题主要考查复数的概念及运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 3.已知10.330.3log 22,2a b c -===，，则a b c 、、的大小关系是（ ）A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D. b c a <<【答案】A 【解析】 【分析】由题意结合对数函数、指数函数的性质可得01a b c <<<<，即可得解. 【详解】由题意0.30.3log 2log 10a =<=，1030221b ，0.30221c =>=，所以01a b c <<<<. 故选：A.【点睛】本题考查了对数式、指数式的大小比较，考查了对数函数、指数函数单调性的应用，属于基础题. 4.已知某企业2020年4月之前的过去5个月产品广告投入与利润额依次统计如下：由此所得回归方程为ˆ12yx a =+，若2020年4月广告投入9万元，可估计所获利润约为（ ） A. 100万元 B. 101 万元C. 102万元D. 103万元．【答案】C 【解析】 【分析】由题意计算出x 、y ，进而可得12a y x =-，代入9x =即可得解. 【详解】由题意()18.27.887.98.185x =++++=，()19289898793905y =++++=， 所以12901286a y x =-=-⨯=-，所以ˆ126y x =-， 当9x =时，ˆ1296102y=⨯-=. 故选：C.【点睛】本题考查了线性回归方程的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 5.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3644a a a +=+，则9S =（ ） A. 18 B. 24C. 48D. 36【答案】D 【解析】 【分析】由题意结合等差数列的性质可得54a =，再由等差数列前n 项公式结合等差数列的性质可得1995992a a S a +=⨯=，即可得解. 【详解】数列{}n a 是等差数列，∴365444a a a a a +=+=+，∴54a =，∴199599362a a S a +=⨯==. 故选：D.【点睛】本题考查了等差数列的性质及其前n 项和公式的应用，属于基础题.6.人们通常以分贝（符号是dB ）为单位来表示声音强度的等级，30~40分贝是较理想的安静环境，超过50分贝就会影响睡眠和休息，70分贝以上会干扰谈话，长期生活在90分贝以上的嗓声环境，会严重影响听力和引起神经衰弱、头疼、血压升高等疾病，如果突然暴露在高达150分贝的噪声环境中，听觉器官会发生急剧外伤，引起鼓膜破裂出血，双耳完全失去听力，为了保护听力，应控制噪声不超过90分贝，一般地，如果强度为x 的声音对应的等级为()f x dB ，则有12()10lg110x f x -=⨯⨯，则90dB 的声音与50dB 的声音强度之比为（ ） A. 10 B. 100 C. 1000 D. 10000【答案】D 【解析】 【分析】设90dB 的声音与50dB 的声音对应的强度分别为1x 、2x ，由题意1219010lg 110x -=⨯⨯，1225010lg 110x -=⨯⨯，计算即可得解.【详解】设90dB 的声音与50dB 的声音对应的强度分别为1x 、2x ， 由题意1219010lg110x -=⨯⨯，1225010lg110x -=⨯⨯，所以3110x -=，7210x -=，所以3417210101000010x x --===. 故选：D.【点睛】本题考查了对数运算的应用，考查了对于新概念的理解，属于基础题. 7.函数tan 2y x =图象的对称中心坐标为（ ） A. (2,0),k k Z π∈ B. (,0),k k Z π∈C. (,0),2k k Z π∈ D. (,0),4k k Z π∈ 【答案】D 【解析】 【分析】由题意结合正切函数的图象与性质可得2,2k x k Z π=∈，即可得解. 【详解】令2,2k x k Z π=∈，则,4k x k Z π=∈， 所以函数tan 2y x =图象对称中心坐标为,0,4k k Z π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 故选：D.【点睛】本题考查了正切函数图象与性质应用，属于基础题.8.中国古代名著《孙子算经》中的“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”即“有数被三除余二，被五除余三，被七除余二，问该数为多少？”为解决此问题，现有同学设计如图所示的程序框图，则框图中的“菱形”处应填入（ ）A.221a -∈Z B.215a Z -∈ C.27a -∈Z D.23a -∈Z 【答案】A 【解析】由题意可知，该程序框图的功能是使得实数a ，使得3除余2，被5除余3，被七除余2的数值， 其中53a n =⨯+表示除5除余3的数，再使得3除余2，被7除余2的数，所以是除21余2的数，所以判断框应填入221a -∈Z ，故选A ． 9.已知函数228,1()4,1x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨++>⎪⎩，若()f x 的最小值为(1)f ，则实数a 的值不可能是（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】A 【解析】 【分析】由题意结合基本不等式可得当1x >时，()4f x a ≥+；由二次函数的性质可得1a >，进而可得924a a -≤+，即可得解.【详解】由题意当1x >时，()444f x x a x a a x x=++≥⋅=+， 当且仅当2x =时，等号成立；当1x ≤时，()228f x x ax =-+，图象为二次函数图象的一部分，对称轴为x a =，当1a <时，()f a 为函数()f x 在(],1-∞上的最小值，不合题意；当1a ≥时，()1f 为函数()f x 在(],1-∞上的最小值，()192f a =-， 由题意可得924a a -≤+，解得53a ≥； 综上，实数a 的取值范围为53a ≥. 故选：A.【点睛】本题考查了分段函数最值相关问题的求解及基本不等式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.10.已知三棱锥A BCD -中，侧面ABC ⊥底面BCD ，ABC 是边长为3的正三角形，BCD 是直角三角形，且90BCD ∠=︒，2CD =，则此三棱锥外接球的体积等于（ ） A. 43π B.323πC. 12πD.643π【答案】B 【解析】 【分析】取BD 的中点1O ，BC 中点G ，连接1GO 、AG ，过点1O 作直线垂直平面BCD ，可知三棱锥外接球的球心在该直线上，设为O ，过点O 作OH AG ⊥于H ，连接AO 、BO ，设1OO m =，由勾股定理可得22134OD m =+、223312OA m ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭，利用22OD OA =即可得3m =，进而可得外接球半径2R =，即可得解.【详解】取BD 的中点1O ，BC 中点G ，连接1GO 、AG ，由题意可得1O 为BCD 的外心，AG ⊥平面BCD ，过点1O 作直线垂直平面BCD ，可知三棱锥外接球的球心在该直线上，设为O ， 过点O 作OH AG ⊥于H ，连接AO 、OD ，可知四边形1OHGO 为矩形，ABC 是边长为3，2CD =，∴AG =，BD =11O G =，设1OO m =，则2HA m =-，∴222211134OD DO OO m =+=+，22221OA OH HA m ⎫=+=+-⎪⎪⎝⎭，由22OD OA =可得221314m m ⎫+=+⎪⎪⎝⎭，解得2m =，∴三棱锥A BCD -外接球的半径2R ==， ∴此三棱锥外接球的体积343233V R ππ==. 故选：B.【点睛】本题考查了三棱锥几何特征的应用及外接球的求解，考查了面面垂直性质的应用和空间思维能力，属于中档题.11.已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于A B ，两点，线段AB 的延长线交抛物线的准线l 于点C ，若2BC =，1FB =，则AB =（ ） A. 3 B. 4C. 6D. 6【答案】B 【解析】 【分析】分别过点B 、A 作准线l 的垂线，垂足分别为G 、H ，由抛物线的性质可得1BG FB ==，设AF AH x ==，由平面几何的知识即可得解.【详解】分别过点B 、A 作准线l 的垂线，垂足分别为G 、H ，由题意1BG FB ==，2BC =，设AF AH x ==，由三角形相似可得BG BC AH AC =即1212x x=++，解得3x =， 则4AB AF BF =+=. 故选：B.【点睛】本题考查了抛物线性质的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.12.已知2()2(ln )x e f x t x x x x=-++恰有一个极值点为1，则t 的取值范围是（ ）A. 1(]46e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭， B. 1(,]6-∞C. 1[0]46e ⎧⎫⋃⎨⎬⎩⎭，D. 1(,]4-∞【答案】D 【解析】 【分析】由题意结合导数转化条件得()22x t e x =+在()0,∞+上无解，令()()()022xe g x x x =≥+，求导后确定函数()g x 的值域即可得解.【详解】由题意，函数()f x 的定义域为()0,∞+， 对函数()f x 求导得()()()2221212()2(1)21x x x e x e f x t x x x t x x ⎡⎤-+⎣⎦'--=-+-=，2()2(ln )x e f x t x x x x=-++恰有一个极值点为1，∴()220xe x t +=-在()0,∞+上无解，即()22xt e x =+在()0,∞+上无解，令()()()022xe g x x x =≥+，则()()()()()222222102222x x x e x e e x g x x x +-+'==>++， ∴函数()g x 在[)0,+∞单调递增，当()0,x ∈+∞时，()()104g x g >=， ∴14a ≤. 故选：D.【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力与推理能力，属于基础题.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.己知x ，y 满足约束条件1020x y x y y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2x y -的最小值是______．【答案】2- 【解析】 【分析】由题意作出可行域，转化目标函数为2y x z =-，数形结合即可得解. 【详解】由题意画出可行域，如图阴影所示：令2z x y =-，目标函数可转化为2y x z =-，上下平移直线2y x z =-，数形结合可得，当直线2y x z =-过点A 时，z 取最小值，由010y x y =⎧⎨-+=⎩可得()1,0A -，此时min 2z =-. 故答案为：2-.【点睛】本题考查了简单线性规划的应用，属于基础题. 14.已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________． 【答案】如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m 或如果l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α. 【解析】 分析】将所给论断，分别作为条件、结论加以分析.【详解】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题： （1）如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m . 正确； （2）如果l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α.正确；（3）如果l ⊥m ，m ∥α，则l ⊥α.不正确，有可能l 与α斜交、l ∥α.【点睛】本题主要考查空间线面位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力. 15.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，121n n S a +=+则n S =______．【答案】()11312n -+ 【解析】 【分析】由题意利用数列n a 与n S 的关系可转化条件为131n n S S +=-，进而可得111322n n S S +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，利用等比数列的通项公式即可得解. 【详解】121n n S a +=+，11a =，∴111S a ==，11211n n n n S a S S ++=+=-+,∴131n n S S +=-即113133222n n n S S S +⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭， 又11122S -=，∴数列12n S ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为12，公比为3的等比数列，∴111322n n S --=⋅，∴()11111331222n n n S --=⋅+=+. 故答案为：()11312n -+. 【点睛】本题考查了数列n a 与n S 关系的应用，考查了通过构造新数列求数列的通项，属于中档题.16.已知椭圆1C 与双曲线2C 有相同的焦点12F F ，，点P 是1C 与2C 的一个公共点，12PF F △是一个以2PF 为底的等腰三角形，24PF =，1C 的离心率为37，则2C 的离心率是______． 【答案】3 【解析】 【分析】设椭圆1C 的长轴为12a ，双曲线2C 的实轴为22a ，122F F c =，由椭圆的离心率结合题意可得1123PF F F ==，再由双曲线的离心率公式即可得解.【详解】设椭圆1C 的长轴为12a ，双曲线2C 的实轴为22a ，122F F c =， 由题意椭圆1C 的离心率12111122327F F c c e a a PF PF ====+， 又12PF F △是一个以2PF 为底的等腰三角形，24PF =，∴1212347F F F F =+，解得1123PF F F ==，∴双曲线2C 的离心率1222212232F F c ce a a PF PF ====-. 故答案为：3.【点睛】本题考查了椭圆性质、双曲线性质的综合应用，考查了运算求解能力，属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知(2cos ,sin ),(cos ,23)m x x n x x ==，且()f x m n =⋅． （1）求()f x 在[0,]2π上的值域；（2）已知,,a b c 分别为ABC 的三个内角A ，B ，C 对应的边长，若()32Af =，且2a =，4b c +=，求ABC 的面积．【答案】（1）[0,3]（2【解析】 【分析】（1）由题意结合平面向量数量积运算、三角恒等变换可得()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，根据0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，进而可得1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即可得解； （2）由题意可得3A π=，利用余弦定理可得24()3b c bc =+-，求得4bc=后，利用三角形面积公式即可得解.【详解】（1）由题意可得2()2cos cos f x m nx x x=⋅=+1cos 222cos 2212sin 2126x x x x x π+⎛⎫=⨯+=++=++ ⎪⎝⎭ 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∴()f x 的值域为[0,3]；（2）因为32A f ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以2sin 136A π⎛⎫ ⎪⎝+⎭+=，sin 16A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭因为0A π<<，所以3A π=，由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，即224b c bc =+-∴24()3b c bc =+-，由4b c +=可得4bc =，1sin 32ABC S bc A ∴==△．【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标运算、三角恒等变换与解三角形的综合应用，考查了运算求解能力，属于中档题.18.已知正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，D 是BC的中点.（1）求证：1//A B 平面1ADC ； （2）求三棱锥11C A AD -的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）33【解析】 【分析】（1）连结1A C ，设11AC AC M =，再连接DM ，可证1A B ∥DM ，即可证明；（2）根据等体积法可转化为1111C A AD D AC A V V --=，即可求其体积.【详解】证明：（1）连结1A C ，设11AC AC M =，再连接DM ,如图，则M 是1A C 的中点，DM 是1A BC 的中位线， 所以1A B ∥DM ， 又因为1A B ⊄平面1ADC ，MD ⊂平面1ADC ，所以1A B ∥平面1ADC（2）过点作DH AC ⊥，垂足为H ，如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥平面ABC ， ∴1A A AD ⊥， 又∵DH AC ⊥，1A AAD A =∴CH ⊥平面11ACC A ，32DH =，∴111111111332233223CA ADD AC A AC A V V SDH --==⨯=⨯⨯⨯⨯=. 【点睛】本题主要考查了线面平行的判定，等体积法，三棱锥的体积，属于中档题.19.环境问题是当今世界共同关注的问题，且多种多样，中国环境十大问题是指大气污染问题、水环境污染问题、垃圾处理问题、土地荒漠化和沙灾问题、水土流失问题、旱灾和水灾问题、生物多样性破坏问题、WTO 与环境问题、三峡库区的环境问题、持久性有机物污染问题.其中大气环境面临的形势非常严峻，大气污染物排放总量居高不下，我国环保总局根据空气污染指数PM 2.5浓度，制定了空气质量标准（前者是空气污染指数，后者是空气质量等级）：（1）(0,50]优；（2）(50,100]良；（3）(100,150]轻度污染；（4）(150,200]中度污染；（5）(200,300]重度污染；（6）(300,)+∞严重污染.辽宁省某市政府为了改善空气质量，节能减排，从2012年开始考察了连续六年12月份的空气污染指数，绘制了频率分布直方图如图，经过分析研究，决定从2018年12月1日起在空气质量重度污染和严重污染的日子对机动车辆施行限号出行，请根据这段材料回答以下两个问题：①若按分层抽样的方法，从空气质量等级为优与良的天气中抽取5天，再从这5天中随机抽取2天，求至少有一天空气质量是优的概率；②该市环保局为了调查汽车尾气排放对空气质量的影响，对限行两年来的12月份共60天的空气质量进行统计，其结果如下表： 空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 天数 122811621根据限行前6年180天与限行后60天的数据，计算并填写22⨯列联表，并回答是否有95%的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关.参考数据：参考公式22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】①710②计算及填表见解析；有95%的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关 【解析】 【分析】(1)利用分层抽样空气质量优的天气被抽取2天,空气良的天气被抽取3天，分 别标记，再利用古典概型的概率公式即可算出结果；（2）根据题目所给的数据填写2x2列联表，计算K 的观测值K 2,对照题目中的表格，得出统计结论. 【详解】（1）因为空气质量优与良的天气的概率之比为0.004:0.0062:3=按分层抽样从中抽取5天，则空气质量优的天气被抽取2天，记作1A ，2A ，空气良的天气被抽取3天，记作1B ，2B ，3B ，从这5天中随机抽取2天，所包含的基本事件有：()12,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()13,A B ，()21,A B ，()22,A B ，()23,A B ，()12,B B ，()13,B B ，()23,B B 共10个，记事件A 为“至少有一天空气质量优”，则事件A 所包含的基本事件有：()11,A B ，()12,AB ，()21,A B ，()22,A B ，()13,A B ，()22,A B ，()23,A B ，共7个，故7()10P A =，即至少有一天空气质量优的概率为710.（2）限行前空气质量为优良的概率为（0.004+0.006）×50=0.5， 则限行前空气质量为优良的天数为180×0.5=90， 列联表如下：由表中数据可得22240(90204090) 5.035 3.84118060130110K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有95%的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关.【点睛】本题主要考查了独立性检验的应用问题,以及古典概型的概率公式，也考查了计算能力的应用问题，属于中档题.20.己知椭圆22221(0)y x C a b a b +=>>：过点,1)2P ，1(0,1)F -，2(0,1)F 是两个焦点．以椭圆C 的上顶点M 为圆心作半径为()0r r >的圆， （1）求椭圆C 的方程；（2）存在过原点的直线l ，与圆M 分别交于A ，B 两点，与椭圆C 分别交于G ，H 两点（点H 在线段AB 上），使得AG BH =，求圆M 半径r 的取值范围．【答案】（1）22:12y C x +=（2）【解析】 【分析】（1）由题意结合椭圆性质可得122|a PF PF =+=2221b a c =-=，即可得解；（2）当直线斜率不存在时，r =当直线斜率存在时，设直线l 方程为：y kx =， ()11,G x y ，()22,H x y ，联立方程后利用弦长公式可得||GH=||AB =||||AB GH =，可得24212132r k k ⎛⎫=+ ⎪++⎝⎭，即可得解. 【详解】（1）设椭圆的焦距为2c ，由题意1c =，122|a PF PF =+=，所以22a =，2221b a c =-=，故椭圆C 的方程为2212y x +=；（2）当直线斜率不存在时，圆M 过原点，符合题意，r =当直线斜率存在时，设直线l 方程为：y kx =，()11,G x y ，()22,H x y ， 由直线l 与椭圆C 交于G 、H 两点，则2212y kx y x =⎧⎪⎨+=⎪⎩，所以()22220k x +-=，>0∆， 则1212220,2x x x x k+==-+，所以||H G ==点M到直线l的距离d=，则||AB =， 因为AG BH =，点H 在线段AB 上，所以点G 在线段AB 的延长线上， 只需||||AG BH =即||||AB GH =，所以()2222812421k r k k +⎛⎫=- ⎪++⎝⎭， 则()()2422224242212332*********k k k r k k k k k k +++⎛⎫=+==+ ⎪++++++⎝⎭因为24223132224k k k ⎛⎫++=+-≥ ⎪⎝⎭，所以42110322k k <≤++，所以(]22,3r ∈，r ∈；综上，r 的取值范围为.【点睛】本题考查了椭圆方程的确定，考查了直线、圆、椭圆的综合应用，属于中档题. 21.已知函数()ln f x x =，()x g x e =. （1）若21()()(1)2h x af x x a x =+-+，a R ∈，求函数()h x 的单调区间； （2）不等式1()12()m m g x x f x x ⎛⎫⎡⎤+≥+⎪⎣⎦⎝⎭对于0x >恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）2m e≥ 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数(1)()()x x a h x x--'=，对a 分类讨论即可求出函数的单调区间；（2）不等式恒成立可转化为()()2211ln mxmx exx ++，即()()221ln 1ln mx mxe e xx ++，令()(1)ln (0)F x x x x =+>，研究其单调性即可求解.【详解】（1）21()ln (1)2h x a x x a x =+-+，(0)x > 2(1)(1)()()(1)a x a x a x x a h x x a x x x-++--'=+-+==（ⅰ）当1a >时，增区间为(0,1)和(,)a +∞，减区间(1,)a （ⅱ）当1a =时，增区间(0,)+∞，无减区间（ⅲ）当01a <<时，增区间(0,)a 和(1,)+∞，减区间(,1)a （ⅳ）当0a ≤时，增区间(1,)+∞，减区间(0,1)（2）不等式1()12()mm g x x f x x ⎛⎫⎡⎤+≥+⎪⎣⎦⎝⎭，即()112ln mxm e x x x ⎛⎫+≥+ ⎪⎝⎭恒成立 ()()2211ln mx mx e x x +≥+，即()()221ln 1ln mx mx e e x x +≥+，设函数()(1)ln (0)x x x x ϕ=+>，1()1ln x x xϕ'=++， 1()1ln U x x x =++，22111()x U x x x x-'=-=，在(0,1)上，()0U x '<，在(1,)+∞上，()0U x '>，()x ϕ'在（(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， ∴()(1)0x ϕϕ''≥=，所以()x ϕ在(0,)+∞上单调递增， 所以2mx e x ≥两边取自然对数，得ln 2m x x≥在0x >上恒成立. 设ln ()x F x x =，21ln ()xF x x-'=，在(0,)e 上，()0F x '>，()F x 在(,)e +∞上，()0F x '<，()F x 单调递减，所以1()()F x F e e≤=所以12m e ≥，即2m e≥【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.已知平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为221162x y +=，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2cos()6πρθ+=1C 上的所有点的横坐标缩小到原来的倍，得曲线2C ． （1）写出直线l 和曲线2C 的直角坐标方程；（2）设点(1,0)P ， 直线l 与曲线2C 的两个交点分别为A ，B ，求11PA PB+的值．【答案】（10y --=，224x y +=（2 【解析】 【分析】（1）转化直线l 的极坐标方程为12sin 22ρθθ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，利用极坐标方程与直角坐标方程转化公式得直线l 的直角坐标方程；设点(),P x y 在曲线1C 上，点(),Q x y ''为坐标变换后点(),P x y 的对应点，由题意得12x x y ⎧=⎪⎨⎪='⎩'，代入化简即可得解； （2）写出直线的参数方程112x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,(t 为参数)，代入2C 的直角坐标方程，由根与系数的关系可得1A B t t +=-，30A B t t =-<，转化条件11PA PB +=即可得解.【详解】（1）直线l的极坐标方程可化为12cos sin 22ρθθ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，∴直线l0y --=；设点(),P x y 在曲线1C 上，点(),Q x y ''为坐标变换后点(),P xy 的对应点，则12x x y ⎧=⎪⎨⎪='⎩'，∴()22221162x ⎛⎫' ⎪'⎝⎭+=，化简得()()224x y ''+=， ∴曲线2C 的直角坐标方程为224x y +=；（2）由题意点(1,0)P 在直线l 上，则直线l 的参数方程为1122x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,(t 为参数)， 将直线l 的参数方程代入曲线2C 的直角坐标方程可得：230t t +-=，112130∆=+=>，则1A B t t +=-，30A B t t =-<，∴1111A B A B A B A B A B t t t t PA PB t t t t t t +-+=+====⋅⋅. 【点睛】本题考查了极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的转化，考查了直线参数方程t 的几何意义的应用，属于中档题.23.已知函数()ln(12)f x x x m =--+-．（1）当2m =时，求函数()y f x =的定义域；（2）己知函数()f x 的定义域为R ，求实数m 的取值范围．【答案】（1）3|2x x ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭（2）3m <-【解析】【分析】（1）由题意，分类讨论求解不等式|1||2|2x x --+>，即可得解；（2）转化条件得|1||2|m x x <--+恒成立，由绝对值三角不等式求得|1||2|x x --+的最小值即可得解.【详解】（1）当2m =时，由题意可得|1||2|2x x --+>， 所以2122x x x <-⎧⎨-++>⎩或21122x x x -≤<⎧⎨--->⎩或1122x x x ≥⎧⎨--->⎩，解得32x <-， 所以函数()y f x =的定义域为3|2x x ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭；（2）由题意可得|1||2|0x x m --+->恒成立即|1||2|m x x <--+恒成立，又因为()()()|1||2||2||1||21|3x x x x x x --+=-+--≥-+--=-，当且仅当1x ≥时，等号成立.所以实数m 的取值范围为3m <-.【点睛】本题考查了绝对值不等式的求解及绝对值三角不等式的应用，考查了运算求解能力，属于中档题.。

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