定积分在物理中的应用 课件
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高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度
v(t)＝7－3t＋12＋5 t(t 的单位：s，v 的单位：m/s)行驶至停止.在此期间汽车
继续行驶的距离(单位：m)是( )
A.1＋25ln 5
B.8＋25ln
11 3
C.4＋25ln 5
D.4＋50ln 2
(2)有一动点P沿x轴运动，在时间t时的速度为v(t)＝8t－2t2 (速度的正方向与x轴正方向一致).求： ①P从原点出发，当t＝6时，求点P离开原点的路程和位移；
②P从原点出发，经过时间t后又返回原点时的t值. 解 依题意ʃt0(8t－2t2)dt＝0， 即 4t2－23t3＝0，解得 t＝0 或 t＝6， t＝0对应于P点刚开始从原点出发的情况，t＝6是所求的值.
类型二 求变力做功 例2 如图所示，一物体沿斜面在拉
力F的作用下由A经B、C运动到D，
其中AB＝50 m，BC＝40 m，CD＝ 30 m，变力 F＝14x＋5，0≤x≤90，
20， 90<x≤120 (单位：N)，在AB段运动时F与运动方向成30°角，在BC段运动时F与 运动方向成45°角，在CD段运动时F与运动方向相同，求物体由A运动 到D所做的功.( 3≈1.732， 2≈1.414，精确到1 J)
定积分在物理中的应用
知识点一 变速直线运动的路程
思考 变速直线运动的路程和位移相同吗？
答 不同.路程是标量，位移是矢量，路程和位移是两个不同的概念：
(1)当v(t)≥0时，求某一时间段内的路程和位移均用
t2 t1
v(t)dt求解；
(2)当v(t)<0时，求某一时间段内的位移用
t2 t1
v(t)dt求解，这一时段的路程
跟踪训练1 一质点在直线上从时刻t＝0(s)开始以速度v(t)＝t2－4t＋3(m/s) 运动.求： (1)在时刻t＝4时，该点的位置； 解 由ʃ40(t2－4t＋3)dt＝ t33－2t2＋3t40＝43知，在时刻 t＝4 时，该质点离 出发点43 m.
(2)在时刻t＝4时，该点运动的路程. 解 由v(t)＝t2－4t＋3>0，得t∈(0,1)∪(3,4). 这说明t∈(1,3)时质点运动方向与t∈(0,1)∪(3,4)时运动方向相反. 故 s＝ʃ40|t2－4t＋3|dt＝ʃ10(t2－4t＋3)dt＋ʃ31(4t－t2－3)dt＋ʃ43(t2－4t＋3)dt＝4. 即在时刻t＝4时，该质点运动的路程为4 m.
是位移的相反数，即路程为
t2 t1
v(t)dt.
做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在
时间区间[a，b]上的定积分，即_ʃ_ba_v_(_t)_d_t _.
知识点二 变力做功问题
思考 恒力F沿与F相同的方向移动了s，力F做的功为W＝Fs，那么变力 做功问题怎样解决？ 答 与求曲边梯形的面积一样，物体在变力F(x)作用下运动，沿与F相同 的方向从x＝a到x＝b(a<b)，可以利用定积分得到 W＝ʃbaF(x)dx . 如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方 向从x＝a移动到x＝b(a<b)，那么变力F(x)所做的功为_ʃ_ba_F_(x_)_d_x_.
跟踪训练2 设有一长25 cm的弹簧，若加以100 N的力，则弹簧伸长到30 cm，求使弹簧由25 cm伸长到40 cm所做的功.
v(t)＝7－3t＋12＋5 t(t 的单位：s，v 的单位：m/s)行驶至停止.在此期间汽车
继续行驶的距离(单位：m)是( )
A.1＋25ln 5
B.8＋25ln
11 3
C.4＋25ln 5
D.4＋50ln 2
(2)有一动点P沿x轴运动，在时间t时的速度为v(t)＝8t－2t2 (速度的正方向与x轴正方向一致).求： ①P从原点出发，当t＝6时，求点P离开原点的路程和位移；
②P从原点出发，经过时间t后又返回原点时的t值. 解 依题意ʃt0(8t－2t2)dt＝0， 即 4t2－23t3＝0，解得 t＝0 或 t＝6， t＝0对应于P点刚开始从原点出发的情况，t＝6是所求的值.
类型二 求变力做功 例2 如图所示，一物体沿斜面在拉
力F的作用下由A经B、C运动到D，
其中AB＝50 m，BC＝40 m，CD＝ 30 m，变力 F＝14x＋5，0≤x≤90，
20， 90<x≤120 (单位：N)，在AB段运动时F与运动方向成30°角，在BC段运动时F与 运动方向成45°角，在CD段运动时F与运动方向相同，求物体由A运动 到D所做的功.( 3≈1.732， 2≈1.414，精确到1 J)
定积分在物理中的应用
知识点一 变速直线运动的路程
思考 变速直线运动的路程和位移相同吗？
答 不同.路程是标量，位移是矢量，路程和位移是两个不同的概念：
(1)当v(t)≥0时，求某一时间段内的路程和位移均用
t2 t1
v(t)dt求解；
(2)当v(t)<0时，求某一时间段内的位移用
t2 t1
v(t)dt求解，这一时段的路程
跟踪训练1 一质点在直线上从时刻t＝0(s)开始以速度v(t)＝t2－4t＋3(m/s) 运动.求： (1)在时刻t＝4时，该点的位置； 解 由ʃ40(t2－4t＋3)dt＝ t33－2t2＋3t40＝43知，在时刻 t＝4 时，该质点离 出发点43 m.
(2)在时刻t＝4时，该点运动的路程. 解 由v(t)＝t2－4t＋3>0，得t∈(0,1)∪(3,4). 这说明t∈(1,3)时质点运动方向与t∈(0,1)∪(3,4)时运动方向相反. 故 s＝ʃ40|t2－4t＋3|dt＝ʃ10(t2－4t＋3)dt＋ʃ31(4t－t2－3)dt＋ʃ43(t2－4t＋3)dt＝4. 即在时刻t＝4时，该质点运动的路程为4 m.
是位移的相反数，即路程为
t2 t1
v(t)dt.
做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在
时间区间[a，b]上的定积分，即_ʃ_ba_v_(_t)_d_t _.
知识点二 变力做功问题
思考 恒力F沿与F相同的方向移动了s，力F做的功为W＝Fs，那么变力 做功问题怎样解决？ 答 与求曲边梯形的面积一样，物体在变力F(x)作用下运动，沿与F相同 的方向从x＝a到x＝b(a<b)，可以利用定积分得到 W＝ʃbaF(x)dx . 如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方 向从x＝a移动到x＝b(a<b)，那么变力F(x)所做的功为_ʃ_ba_F_(x_)_d_x_.
跟踪训练2 设有一长25 cm的弹簧，若加以100 N的力，则弹簧伸长到30 cm，求使弹簧由25 cm伸长到40 cm所做的功.