最新北京昌平区2019高三上学期年末考试-数学理

北京昌平区2019高三上学期年末考试-数学理
数 学 试 卷（理科）
（满分150分，考试时间 120分钟）2018.1
考生须知： 1． 本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。

2． 答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填
写。

3． 答题卡上第I 卷(选择题)必须用2B 铅笔作答，第II 卷(非选择题)必须用黑色字迹的签
字笔作答，作图时可以使用2B 铅笔。

请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。

4． 修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。

保持答题卡整洁，不
要折叠、折皱、破损。

不得在答题卡上做任何标记。

5． 考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （1）设集合{}{}
>1,|(2)0A x x B x x x ==-<，则B A 等于 A ．{|2}x x > B ．
{}20<<x x
C ．
{}21<<x x
D ．{|01}x x <<
（2）“2a =”是“直线
21
4
a
y ax y x =-+=-与垂直”的 A. 充分不必要条件 B 必要不充分条件
C. 充要条件
D.既不充分也不必要条件 （3）已知函数()=ln f x x ，则函数()=()'()g x f x f x -的零点所在的区间是
A.（0,1）
B. （1,2）
C. （2,3）
D. （3,4） （4）设不等式组22,42x y x y -+≥≥-⎧⎪
⎨⎪⎩0≤， 表示的平面区域为D ．在区域D 内随机取一个点，则此点
到直线+2=0y 的距离大于2的概率是
A. 413
B. 513
C. 825
D. 925
（5）设n
S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且124,,S S S 成等比数列，则21
a a 等于
A.1
B. 2
C. 3
D. 4
（6）在高三（1）班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生.如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为
A. 24
B. 36
C. 48
D.60
（7）已知一个空间几何体的三视图如下图，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的全面积为
A. 10432+B ．102342+C. 142342+ D. 14432+（8）已知函数：①2()2f x x x =-+，②
()cos()
22
x f x π
π=-，③1
2()|1|f x x =-.则以
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
（9）若221ai i i =-+-，其中i 是虚数单位，则实数a 的值是____________.
（10）以双曲线2
2
1916
x y -=的右焦点为圆心，并与其渐近线相切的圆的标准方程是 _____.
（11）在ABC △中，若22b =1c =，tan 22B =，则a = . （12）已知某算法的流程图如下图，则程序运行结束时输出的结果为 ．
(13)在Rt ABC ∆中，90C ︒∠=，4,2AC BC ==，D 是BC 的中点，那么
()AB AC AD -•=
____________;若E 是AB 的
中点，P 是ABC ∆（包括边界）内任一点．则AD EP ⋅的取值范围是___________.
（14）在平面直角坐标系中，定义
1212
(,)d P Q x x y y =-+-为两点11(,)P x y ,22
(,)Q x y 之间的“折线距离”. 则
① 到坐标原点O 的“折线距离”不超过2的点的集合所构成的平面图形面积是_________;
O
F
E
D
C
B
A
② 坐标原点O
与直线
20x y --=上任意一点的“折线距离”的最小值是
_____________.
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （15）（本小题满分13分）已知函数
1
sin cos )2sin sin 32()(2+⋅-=x
x x x x f .
（Ⅰ）求()f x 的定义域及最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间[,]42
ππ上的最值.
(16) （本小题满分14分）在四棱锥E ABCD 中，底面ABCD 是正
方形，,AC BD O 与交于点EC
ABCD F 底面，为BE 的中点.
（Ⅰ）求证：DE ∥平面ACF ； （Ⅱ）求证：BD AE ；
（Ⅲ）若
2,AB
CE 在线段EO 上是否存在点G ，使CG
BDE 平面？若存在，求出
EG EO
的值，若不存在，请说明理由．
（17）（本小题满分13分）为了解甲、乙两厂的产品的质量，从两厂生产的产品中随机抽取各10件，测量产品中某种元素的含量（单位：毫克）.下表是测量数据的茎叶图： 甲厂 乙厂 9 0 3 9 6 5 8 1 8 4 5 6 9 0 3 1 5 0 3 2 1 0 3
规定：当产品中的此种元素含量满足≥18毫克时，该产品为优等品. （Ⅰ）试用上述样本数据估计甲、乙两厂生产的优等品率；
（Ⅱ）从乙厂抽出的上述10件产品中，随机抽取3件，求抽到的3件产品中优等品数ξ的分布列及其数学期望()E ξ；
（Ⅲ）从上述样品中，各随机抽取3件，逐一选取，取后有放回，求抽到的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率．
（18）（本小题满分13分）已知函数32()4f x x ax =-+-（a ∈R ）.
（19）（本小题满分13分）已知椭圆M 的对称轴为坐标轴, 离心率为
2
且抛物线
2y =的焦点是椭圆M 的一个焦点．
（Ⅰ）求椭圆M 的方程；
（Ⅱ）设直线l 与椭圆M 相交于A 、B 两点，以线段,OA OB 为邻边作平行四边形OAPB ，其中点P 在椭圆M 上，O 为坐标原点. 求点O 到直线l 的距离的最小值．
（20）（本小题满分14分）
已知每项均是正整数的数列123100,,,
,a a a a ，其中等于i 的项有i k 个(1,2,3)i =，设
j j k k k b +++= 21(1,2,3)j =，12()100m g m b b b m =++
+-(1,2,3).m =
（Ⅰ）设数列1240,30,k k ==34510020,10,...0k k k k =====，求(1),(2),(3),(4)g g g g ； （Ⅱ）若123100,,,,a a a a 中最大的项为50， 比较(),(1)g m g m +的大小； （Ⅲ）若12100200a a a +++=，求函数)(m g 的最小值．
昌平区2018－2018学年第一学期高三年级期末质量抽测
G B
C D
E
F
O
数 学 试卷 参考答案（理科）
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)
题 号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 答案
C
A
B
D
C
D
B
C
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．） （9）
4 （10）22(5)16x y -+=
（11） 3 （12）4 （13） 2; [-9,9] （14）
三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
（15）(本小题满分13分)
解：（Ⅰ）由sin 0x ≠得πx k ≠(k ∈Z )，
故()f x 的定义域为{x ∈R |π,x k ≠k ∈Z }．…………………2分 因为
1
sin cos )2sin sin 32()(2+⋅-=x
x x x x f
2cos )cos 1x x x =-⋅+
2cos 2x x
-
π2sin(2)
6
x =-，………………………………6分
所以()f x 的最小正周期
2π
π
2
T ==．…………………7分 （II ）由
5[,],2[,],2[,],422
636
x x x
πππ
ππππ…………..9分
当
52,,()1
662x x f x πππ
-==即时取得最小值，…………….11分 当
2,,()2
623
x x f x πππ
-==即时取得最大值.……………….13分 （16）(本小题满分14分)
解：（I ）连接OF .
由ABCD 是正方形可知,点O 为BD 中点. 又F 为BE 的中点，
y
所以OF ∥DE ………………….2分 又,,OF
ACF DE
ACF 平面平面
所以DE ∥平面ACF ………….4分 (II) 证明：由EC
ABCD BD
ABCD 底面，底面，
所以,EC BD
由ABCD 是正方形可知, ,AC
BD
又=,,AC
EC C AC EC
ACE 平面，
所以,BD ACE 平面………………………………..8分
又AE
ACE 平面，
所以BD
AE …………………………………………..9分
(III)解法一：
在线段EO 上存在点G ，使CG
BDE 平面. 理由如下：
如图，取EO 中点G ，连接CG . 在四棱锥E
ABCD 中，
22,2
AB CE CO
AB CE
，
所以CG EO .…………………………………………………………………..11分
由（II ）可知，,BD ACE 平面而,BD
BDE 平面
所以，,ACE BDE ACE BDE
EO 平面平面且平面平面，
因为,CG EO CG
ACE 平面，
所以CG
BDE 平面…………………………………………………………. 13分
故在线段EO 上存在点G ，使CG
BDE 平面.
由G 为EO 中点，得1.2
EG
EO
…………………………………………… 14分
解法二： 由EC
ABCD 底面，且底面ABCD 建立空间直角坐标系,C
DBE
由已知
2,
AB CE 设(0)CE
a a
，
则
(0,0,0),,0,0),,0),(0,0,),C D B E a
22
(
,,0),(2,2,0),(0,2,),(
,,).22
22
O a a BD a a BE
a a EO a a a 设G 为线段EO 上一点，且(01)
EG
EO
λλ，则
22(,,),22
EG EO
a a a λλλλ 22(,,(1)),22
CG
CE
EO
a a a λλλλ…………………………..12分
由题意，若线段EO 上存在点G ，使CG BDE 平面，则CG BD ，CG BE .
所以，
2
2
1
(1)0,0,12
a
a
λλλ
解得，（）， 故在线段EO 上存在点G ，使CG BDE 平面，且1.2
EG
EO …………………… 14分 （17）(本小题满分13分)
解：（I ）甲厂抽取的样本中优等品有6件，优等品率为6
3.105
=
乙厂抽取的样本中优等品有5件，优等品率为5
1.102
=………………..2分 （II ）ξ的取值为0，1，2，3.
031
2555533
10101
5(0),(1),1212C C C C P P C C ξξ⋅⋅======
21355533
101051
(2),(3)1212
C C C P P C C ξξ⋅======
所以ξ的分布列为
故
15513
0123.121212122
E ξξ=⨯+⨯+⨯+⨯=的数学期望为（）……………………9分
(III) 抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多2件包括2个事件，即A=“抽取的优等品数甲厂2件，乙厂0件”，B=“抽取的优等品数甲厂3件，乙厂1件”
220
0333321127()()()()()5522500
P A C C =⨯=
33112
3331181()()()()5221000
P B C C =⨯=
抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率为
278127()().
5001000200
P A P B +=+=…13分
（18）(本小题满分13分)
解：（I ）.23)(2ax x x f +-=' …………………………. ……………1分
根据题意，
(1)tan 1,321, 2.
4
f a a π
'==∴-+==即 …………………3分 此时，32()24f x x x =-+-,则2()34f x x x '=-+. 令
124'()00,.
3f x x x ===，得
…………………………………………………………………………………………. 6分
∴当[]
1,1x ∈-时，
()
f x 最小值为
()04
f =-. ………………………7分
（II ）
).
3
2(3)(a x x x f --='
①若0,0,()0,()(0,)a x f x f x '><∴+∞≤当时在上单调递减. 又(0)4,0,() 4.f x f x =-><-则当时
000,0,()0.a x f x ∴>>当≤时不存在使…………………………………………..10分
②若
220,0,()0;,()0.
33
a a
a x f x x f x ''><<>><则当时当时
从而)(x f 在（0，23
a ）
上单调递增，在（23
a ，+)∞上单调递减.
.
427
4494278)32()(,),0(3
33max
-=-+-==+∞∈∴a a a a f x f x 时当
根据题意，3
3
440,27. 3.
27
a a a ->>∴>即 …………….............................. 13分
综上，a 的取值范围是(3,)+∞. （19）(本小题满分13分)
解：（I ）
由已知抛物线的焦点为
,故设椭圆方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>，
则
2
2, 2.
c e a b ====由得所以椭圆M 的方程为22
1.42x y +=……5分 （II ）当直线l 斜率存在时，设直线方程为y kx m =+，
则由
22
,
1.42
y kx m x y =+⎧⎪⎨+
=⎪⎩
消去y 得，222(12)4240k x kmx m +++-=， …………………6分
222222164(12)(24)8(24)0k m k m k m ∆=-+-=+->， ①…………7分
设A B P 、、点的坐标分别为112200(,)(,)(,)x y x y x y 、、，则：
0120121222
42,()21212km m x x x y y y k x x m k k =+=-=+=++=++，…………8分 由于点P 在椭圆M 上，所以2
20
0142
x y += . ……… 9分 从而
222
2222
421(12)(12)
k m m k k +=++，化简得22212m k =+，经检验满足①式.
………10分 又点O 到直线l 的距离为：
2d ===≥=
………11分 当且仅当0k =时等号成立 ………12分
当直线l 无斜率时，由对称性知，点P 一定在x 轴上，
从而点P 的坐标为(2,0)(2,0)-或，直线l 的方程为1x =±，所以点O 到直线l 的距离为1 .
所以点O 到直线l 的距离最小值为2
. ………13分 （20）(本小题满分14分)
解: (I) 因为数列1240,30,k k ==320,k =410k =， 所以123440,70,90,100b b b b ====，
所以(1)60,(2)90,(3)100,(4)100g g g g =-=-=-=- …………………4分 (II) 一方面，1
(1)()100m g m g m b
++-=-，
根据j b 的含义知1100m b +≤，
故0)()1(≤-+m g m g ，即 )1()(+≥m g m g ， ① 当且仅当1
100m b +=时取等号.
因为123100,,,
,a a a a 中最大的项为50，所以当50m ≥时必有100m b =，
所以(1)(2)(49)(50)(51)g g g g g >>
>===
即当149m ≤<时，有()(1)g m g m >+； 当49m ≥时，有()(1)g m g m =+ …9分 （III ）设M 为{}12100,,
,a a a 中的最大值.
由（II ）可以知道，()g m 的最小值为()g M . 根据题意，123100,M M b k k k k =++++=
12312310023....M k k k Mk a a a a +++
+=++++
下面计算()g M 的值.
123()100M g M b b b b M =+++
+-
1231(100)(100)(100)(100)M b b b b -=-+-+-++- 233445()()()()
M M M M k k k k k k k k k k =---
-+---
-+---
-+
+-
23[2(1)]M k k M k =-++
+-
12312(23)()M M k k k Mk k k k =-+++++++
+
123100()M a a a a b =-+++
++123100()100a a a a =-+++
++，
∵123
100200a a a a +++
+= ， ∴()100g M =-，
∴()g m 最小值为100-. ………………………………………….14分
混凝土开盘鉴定记录。