最新一元二次不等式恒成立问题(1)教学讲义ppt

子路率尔而对曰：“千乘之国，摄乎大国之间，加之以师 旅，因（加）之以饥馑；由也为之，比及三年，可使有勇， 且知方也。”夫子哂之。
子路急忙回答说：“一个拥有一千辆战车的国家，夹在大 国之间，外有军队入侵，接着内又遇上饥荒；如果让我治 理这个国家，等到三年功夫，就可以使人人勇敢善战，而 且还懂得做人的道理。”孔子听了，微微一笑。
孔子说：“何必感伤呢？来自百度文库过是各自谈谈自己的志向！” （曾点）说：“暮春时节（天气和暖），春天的衣服已经
穿上。（约上）五六个成年人，六七个孩子，到沂河里洗 澡，在舞雩台上吹风，然后唱着歌回家。” 孔子长叹一声说：“我赞成曾点的想法！”
三子者出，曾晳后。曾晳曰：“夫三子者 之言何如？”
子曰：“亦各言其志也已矣！”
上恒成立,则实数m的取值范围是_m___≤__9_.
解：构造函数 f(x ) 2 x 2 9 x m ,x [2 ,3 ],
问题等价于f(x)max≤0,
y
f(x)2 (x9)2m 8 1,x [2 ,3 ], 48
fm a x (x )f(3 ) m 9 ≤ 0 , o
m≤9.
（2）转换求函数的最值
“点，尔何如？” 鼓瑟希，铿尔，舍瑟而作，对曰：“异乎三子者之撰。” 子曰：“何伤乎？亦各言其志也！”
曰：“莫春者，春服既成，冠者五六人，童子六七人，浴 乎沂，风乎舞雩，咏而归。”
夫子喟然叹曰：“吾与点也！”
“曾点，你怎么样？” （曾点）弹瑟的声音渐渐稀疏，铿的一声，放下瑟直起身，
回答说：“我和他们三人的才能不一样呀！”
解：m≤-2x2+9x在区间［2，3］上恒成立，
记 g (x) 2 x2 9 x ,x [2 ,3 ],
则问题转化为 m≤g(x)min
gm in(x)g(3)9,m≤9.
分离参数法
【评注】对于一些含参数的不等式恒成立问题，如果能够将 不等式中的变量和参数进行剥离，即使变量和参数分别位于不 等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归 为解关于参数的不等式的问题．
练习1：若不等式 x2-2x+m>0 对于x∈(0,3)恒 成立,则实数m的取值范围是_______.
练习2：若不等式 mx2-2x+1>0 对于x∈(0,3)恒 成立,则实数m的取值范围是_______.
练习3：若不等式 x2-mx+4>0 对于x∈(0,3)恒 成立,则实数m的取值范围是_______.
. 2
3x
.
例2. 关于x的不等式 2x29xm≤ 0在区间[ 2, 3]
上恒成立,则实数m的取值范围是_m___≤__9_.
解：构造函数 f(x)2 x2 9 xm ,x [2 ,3 ],
则
f (2) ≤ 0
f
(3) ≤
0
y
10 m ≤ 0 9 m ≤ 0
m≤9.
o
. 2
3x
.
（３）数形结合思想
对任意实数x恒成立，求m取值范围。
分 析 ： 函 数 f(x)x22xm 开 口 向 上 f(x)0恒 成 立 需 0
= （ - 2 ） 2 - 4 m 0 ， 解 得 m 1
题型二 定义域不为R时
例2. 关于x的不等式 2x29xm≤ 0在区间[ 2, 3]
上恒成立,则实数m的取值范围是_m___≤__9_.
练习：若不等式 x2+ (a-4)x+4-2a>0 对于
a ∈[-1,1]恒成立,则实数x 的取值范围是_______.
x1或x3
g (a ) x 2 (a 4 )x 4 2 a
(x2)ax24x4
g g
(1) (1)
0
0
题型二方法小结
(1)与一元二次不等式有关的恒成立问题，可通过二次函数求最 值，也可通过分离参数，再求最值．
“求，尔何知？” 对曰：“方六七十，如五六十，求也为之，
比及三年，可使足民。如其礼乐，以俟君 子。” “冉求，你怎么样？” （冉求）回答说：“一个方圆各六七十里 或者五六十里的国家，如果让我去治理， 等到三年，就可以使老百姓富足起来。至 于修明礼乐，那就只有等待君子了。”
“赤，尔何如？”
子路、曾皙、冉有、公西华侍坐
《论语》
子路、曾晳、冉有、公西华侍坐。子曰：“以吾一日长乎 尔，毋吾以也。居则曰：‘不吾知也！’如或知尔，则何 以哉？”
子路、曾晳、冉有、公西华陪（孔子）坐着。孔子说： “不要因为我年纪比你们年长一点点，（就不敢和我讲话 了）。（你们）平时在家时常说：‘没有人了解我呀！’ 假如有人了解你们，（请你们去辅佐他），那么（你们） 打算怎么做呢？”
(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地， 知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．
(3)对于二次不等式恒成立问题，恒大于 0 就是相应的二次函数 的图象在给定的区间上全部在 x 轴上方，恒小于 0 就是相应的二 次函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴下方．
例2. 关于x的不等式 2x29xm≤ 0在区间[ 2, 3]
探究文本
众弟子言志
孔子态度
子路（由）：三年治 子路（由）：不谦虚， 大国，人人有勇知方 太自大
一元二次不等式恒成立 问题(1)
△>0 y
△=0 y
x1 O x2 x
O x1
x
有两相异实根 x1, x2 (x1<x2)
有两相等实根
x1=x2=
b 2a
{x|x<x1,或 x>x2}
{x|x≠
b
}
2a
{x|x1< x <x2 }
Φ
△<0 y
x O 没有实根
R Φ
题型一 定义域为R时
例1：若不等式 x22xm0
变式：若对于任意 a [1,1] ，函数 f ( x) x2 ax 2 的值恒小
于 0，则 x 的取值范围是_______1____x____1_________．
g(a)xax22
g(1) g(1) 0
0
此题若把它看成关于x的二次函数,由于a, x都要 变,则函数的最小值很难求出,思路受阻.若视a为主元, 则给解题带来转机.
曰：“夫子何哂由也？”
曰：“为国以礼，其言不让，是故哂之。 唯求则非邦也与？安见方六七十如五六十 而非邦也者？唯赤则非邦也与？宗庙会同， 非诸侯而何？赤也为之小，孰能为之大？”
子路、冉有、公西华都出去了，曾晳最后 走。曾晳问：“他们三个人的话怎么样？”
孔子说：“也不过是各自谈谈自己的志向 罢了！”