圆锥曲线中的焦点三角形

焦点三角形

焦点三角形问题是重要考点，考到的内容有：椭圆或双曲线定义和正余弦定理以及面积公式等。常与曲线的离心率相结合，注意平面几何知识的应用。

一：椭圆的焦点三角形

椭圆的焦点三角形是指以椭圆的两个焦点12,F F 与椭圆上任意一点P

为顶点组成的三角形。)0(122

22>>=+b a b

y a x

性质有：

（1）12||||2PF PF a +=

（2）2221212124||||2||||cos c PF PF PF PF F PF =+-∠

（3）椭圆上的点与两焦点连线的夹角以椭圆短轴顶点与两焦点连线

的夹角最大.

证明：设P 是椭圆22

221x y a b

+= （0a b >>，c 为半焦距）上的一点，O

为原点，E 、F 是椭圆的两焦点，PE m =，PF n =

则222222

244222cos 1122m n c b mn b b EPF mn mn mn a

+--∠=

==-≥-，由余弦函数图象性质知EPF ∠有最大值，当且仅当P 在短轴端点时取到该最大值。

（4）设P 为椭圆上的任意一点，角12F F P α∠=，21F F P β∠=，21F PF θ∠=，则有离心率sin()sin sin e αβαβ+=

+，122sin 1cos PF F S b θθ∆=+2=b tan 2

θ

证明：由正弦定理得：

β

α

βαsin sin )

180sin(122

1PF PF F F o =

=

--

由等比定理得：

β

αβαsin sin )

sin(212

1++=

+PF PF F F

而)sin(2)sin(2

1βαβα+=+c F F ，β

αβαsin sin 2sin sin 21+=++a

PF PF ∴β

αβαsin sin )

sin(++==

a c e 。 例题：

1、椭圆22

221(,0)x y a b a b

+=>的两个焦点12,F F ，点P 在椭圆上，且

1212414

,||,||33

PF PF PF PF ⊥==.求椭圆的方程22194x y +

= 2、设P 为椭圆122

22=+b y a x )0(>>b a 上一点，F 1、F 2为焦点，如果 7521=∠F PF ，

1512=∠F PF ，则椭圆的离心率为( )

A ．

2

2

B ．

2

3 C ．

3

2 D ．

3

6 3、1F 、2F 是椭圆17

92

2=+y x 的两个焦点，A 为椭圆上一点，且

∠02145=F AF ，则

12AF F ∆的面积为（ ）

A ．7

B ．4

7 C ．27 D ．

2

5

7 4、1F 、2F 是椭圆22

12516

x y +=的两个焦点，A 为椭圆上一点，且

1290,F AF ∠=，则A 到x 轴的距离为

A ．

163 B ．165 C ．1616

35

or D ．非上述答案

5、设21F F ，分别是椭圆116252

2=+y x 的左、右焦点，P 为椭圆上一点，

12,F F P ， 是直角三角形的一个顶点，则P 点到x 轴的距离是

A.

163 B . 165 C. 1616

53

或 D. 非上述答案 6、设21F F ，分别是椭圆22

1259x y +=的左、右焦点，P 为椭圆上一点，

12,F F P ， 是是直角三角形的三个顶点，则P 点到x 轴的距离是

A.94

B. 95 C . 9954

或 D. 非上述答案 7、过椭圆左焦点F ，倾斜角为

3

π

的直线交椭圆于A ，B 两点，若FB FA 2=，则椭圆的离心率为 （构造焦点三角形，两次应

用余弦定理，整体处理余弦定理的结果）

8、已知Rt ABC ∆，1,AB AC ==点C 为椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的右焦点，

且AB 为经过椭圆左焦点的弦，求椭圆的离心率。

9、已知椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，

若椭圆上存在一点P 使1221

sin sin a c

PF F PF F =∠∠，则该椭圆的离心率的取

值范围为( )

A .)1,12(- B. )1,13(- C. )1,23(- D.

)1,2

2(

二：双曲线的焦点三角形

双曲线的焦点三角形是指以双曲线的两个焦点12,F F 与双曲线上任意

一点

P为顶点组成的三角形。

22

22

1(0,0)

x y

a b

a b

-=>>

性质有：

（1）

12

||||2

PF PF a

+=

（2）222

121212

4||||2||||cos

c PF PF PF PF F PF

=+-∠

（3）设P为椭圆上的任意一点，角

12

F F Pα

∠=，21

F F Pβ

∠=，21

F PFθ

∠=，

则有离心率sin()

sin sin

e

αβ

αβ

+

=

-

(αβ

>)，

12

2

sin

1cos

PF F

S b

θ

θ

∆

=

-

2

=

tan

2

b

θ

（4）

例题：

1、设P为双曲线2

21

12

y

x-=上的一点，12

F F

，是该双曲线的两个焦点，

若

12

||:||3:2

PF PF=，则12

PF F

△的面积为（）

A．63B．12C．3D．24

2、已知

12

,

F F为双曲线22

:2

C x y

-=的左右焦点，点P在C上，12

||2||

PF PF

=，则12

cos F PF

∠=

A．1

4

B．3

5

C．3

4

D．4

5 3、双曲线2

21

2

y

x-=的焦点为1F、2F，点M在双曲线上且120

MF MF

⋅=，则点M到x轴的距离为（）