高中数学《函数的单调性》公开课优秀教学设计

1.3.1函数的单调性教学设计

一、教学内容分析:

函数的单调性是学生在掌握了函数的概念，函数的表示方法等基础知识后，学习的函数的第一个性质，主要刻画了函数在其定义域内某区间上图像（上升或下降）的变化趋势，为进一步学习函数其它性质提供了方法依据，如在研究函数的值域、最大值、最小值等性质中有着重要应用，而且在解决比较数的大小、解不等式、证明不等式、数列的性质等数学问题时也有重要的应用。同时它又是后续研究指数函数、对数函数以及三角函数性质的基础。所以函数的单调性在高中数学中具有核心知识地位和承上启下的重要作用。

二、教学目标设置:

（一）知识与技能：

1.用准确的数学语言归纳、抽象概括增函数和减函数的定义，并能正确理解单调性的定义；

2.利用图像和定义判断函数的单调性，能正确书写单调区间，并能用单调性定义证明函数在给定区间上的单调性；

3.培养学生抽象概括能力、类比化归能力及数形结合思想方法的运用能力。

（二）过程与方法：

1. 通过学生熟悉的现实问题创设情境，引出本节课题函数单调性，同时借助多媒体的直观演示，让学生观察图像（上升？下降？）变化趋势，过渡到在区间上用自变量x和相应函数f(x)的变化进行语言表述；

2.设置问题引导学生自主探究、尝试、归纳、总结，师生互相讨论交流，最终形成严格的数学概念；

3.形成概念后，引导学生自主探究，通过生生互动，师生互动，达到让学生从多种形式认识概念的本质含义，从而加深学生对概念的理解；巩固练习问题（1）为了加深学生对单调性定义中自变量取值“任意”性的理解，是一个很好的问题；问题（2）的变式题体现了“逆向思维”，深化对定义的理解；问题（3）通过教师的引导，针对于数学基础较好、思维较为活跃的一部分学生，

对判断方法进行适当的深入和拓展，加深学生对单调性定义的更深层次的理解，同时也为在高三阶段利用导函数研究函数的单调性奠定了良好的知识基础；

4.知识应用部分,首先师生合作完成用单调性定义证明一个一次函数单调性，让学生初步体会用符号语言刻画单调性的代数描述过程，然后由教师演示实验（教材中的例题2）让学生直观感知压强和体积的关系,培养了学生数学建模思想和在物理问题中应用数学知识解决问题的能力,最后让学生运用本节课所学知识进行单调性判定和证明,使学生能够学以致用.

(三)情感态度与价值观:

创设情境引出课题,让学生充分认识到数学源于生活,又能应用于生活,进而激发学生自主学习和主动探究的学习兴趣;在探索概念阶段, 让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，完成对单调性定义的三次认知的提升;在概念应用阶段，通过对定义法证明单调性过程的具体分析，以及证明过程的严格板书，帮助学生掌握用定义证明函数单调性的方法和步骤，培养学生清晰地思维、严谨的数学推理能力；最后先由学生自己独立完成再进行小组合作交流，展示自己用单调性定义证明函数单调性的全过程，培养了学生运用所学知识解决实际问题的能力，增强了学生学好数学的信心.

三、学生学情分析:

本班学生的数学基础和学习能力存在差异，学生在认知过程中主要存在两个方面的困难：第一，把具体的、直观形象的函数单调性的特征抽象出来，用数学的符号语言进行描述,比如把定义域内某区间上“随着x 的增大，相应的函数值)(x f 也随着增大”（单调递增）这一特征用该区间上“任意的21x x <，都有)()(21x f x f <”进行刻画，其中最难理解的是为什么要在区间上“任意”取两个大小不等的1x ，2x ；第二，利用定义证明函数的单调性过程中，

对学生在代数方面严格推理能力的要求较高,教师应该给以适时的点拨和纠正.

四、重难点:

重点：1. 函数单调性的概念；2.判断和证明函数的单调性.

难点：理解函数单调性的概念

五、教学策略分析:

1. 多媒体演示创设情境，让学生通过观察气温变化曲线图的变化趋势，完成对单调性直观上的一种认识，为概念的引入提供了必要性,并让学生带着问题（什么是函数的单调性？）进入新课;

2. 问题串引导学生探究式学习法，小组合作和自主探究相结合，问题作引导，引发积极思考；

3.实验器材的恰当使用,提高了课堂的趣味性,丰富了学生的直

观感受;

4.多媒体展示和学生板演相结合，提高课堂效率的同时兼顾解答的规范性.

六、教学过程:

（一）创设情境,引入新知

第一,先观察一个图形(函数)

(通过多媒体给出承德今年8月8日气温变化曲线图)

师：同学们和我一起来观察承德今年8月8日的气温曲线图，如果用函数观点来分析，设时间为t,温度为T,这条曲线表达的是关于这两个变量的函数关系吗？为什么？

（学生回答，教师结合学生回答追问：如果设时间t 为自变量，能从图中得出自变量的变化范围吗？师追问：这个函数的定义域及它的对应关系）

02468101214161820222451015

20

25303540

T t(h)

【设计意图】回归函数定义，教师总结：该曲线反映了气温T 随时间t 的变化规律，在区间[0,24]内每给一个时间t 的值，根据图象都有唯一确定的温度T 与之对应，是一个函数.

师：观察图象，结合已学过的函数观点,你能说出这一天的气温变化规律吗？

(学生独立思考5秒后回答)

预案:⑴当天的最高气温,最低气温及何时达到;⑵某些时段温度升高,某些时段温度降低

（师追问：最高气温和最低气温是在什么范围研究的？结合学生回答给以及时评价；如果在定义域内一部分一部分地研究，你又会发现什么规律？学生补充）

师：归纳关键点：研究函数性质要在整个定义域内研究；在定义域内的某个区间上，随着时间t 的增加，对应温度升高、降低的变化规律就是函数的单调性——引出课题，板书课题）

师: 除了气温在某一范围的变化规律，你还能举出生活中具有单调性质的实例吗?

预案:⑴承德橡胶坝水库一年中水位随时间的变化;⑵某段时间学生身高的变化.

师归纳:抛开实际背景,从函数观点看,它们都反映了在定义域内的某区间上，随着自变量的变化,函数值变大或变小的规律（即函数的单调性）；同学们在初中就已学会用文字来描述函数的单调性,这节课我们就来学习一种更为方便的定义形式——用符号语言对单调性进行代数刻画.

【设计意图】生活情境引入新课,可以激发学生的学习兴趣,让学生感悟数学来源于生活，运用数学知识可以解决生活中的实际问题，并向学生提出这节课的学习目标.

（二）探索归纳,建构定义

第二,进一步研究

观察下列函数图象，（师：根据我们刚刚对“函数单调性的初步讨论”）说出函数的变化规律.

①x x f =)(②1)(+-=x x f ③2)(x x f =(图象见课件)