第三章随机向量_二维随机变量1PPT课件
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yx
1
dx
2(x2 xy )dy 17
0
x
3
24
1
01
x
3
例2 将两封信随机地往编号为I、II、III、IV的4个 邮筒内投。ξi表示第i个邮筒内信的数目(i=1,2)写 出(ξ1, ξ2)的联合分布以及ξ1, ξ2的边缘分布。
解:试验共有42种不同的等可能结果。
p00
P(1
0, 2
0)
4 16
点数。ξ与η是否独立。
ξη
12
34
5 6 pi
1
1 36
1 36
1 36
1 36
1 36
11 36 6
2
1 36
1 36
1 36
1 36
1 36
11 36 6
3
1 36
1 36
1 36
1 36
1 36
11 36 6
41
1
1
1
1
11
36 36 36 36 36 36 6
3e3y
13
例8 在例2中ξ1与ξ2是否相互独立? 解:已经得到
ξ2 ξ1
0 1 2
pj
由于
即
0
1
4
4
16
16
4
2
16
16
1 16
0
9
6
16
16
1 1 0 16 16
p2 p 2 p22
2
pi
9
1 16
16
6
0
16
0
1 16
1 16
故ξ1与ξ2不是相互独立的。
14
例9 掷两颗骰子,用ξ与η分别表示第一颗与第二颗的
1
解:试验结果由4个基本事件组成。
P(ξ1=0, ξ2=0) P(ξ1=0, ξ2=1)
=P(ξ1=0)P(ξ2=0| ξ1=0) 2 1 =0.1
54
2 3 =0.3
54
P(ξ1=1, ξ2=0) P(ξ1=1, ξ2=1)
3 5
2 4
=0.3
32 54
=0.3
列成联合概率分布表:
ξ1ξ2
1
c
0dy
d
1
dy
c (b a)(d c)
0dy
d
ba
在其它点
1(x)
故
(x, y)dy
1
1
(
x)
b
a
0dy
=0
axb
0
其它
同理
1
2
(
y)
d
c
cyd
7
0
其它
例7 已知(, )
(x,
y)
x 2
xy 3
0
求关于和的边缘概率密度。
0 x 1, 0 y 2 其它
解:当0≤x≤1时
也可用一系列等式来表示
P(ξ=xi,η=yj)=pij,,(i,j=1,2,…)
称为ξ与η的联合分布律。 联合分布有如下性质:
(1) pij≥0
(2) pij 1 i,j
例1 同一品种的5个产品中,有2个正品。每次从中取 1个检验质量,不放回地抽取,连续2次。设“ξk=0”表 示第k次取到正品,而“ξk=1”为第k次取到次品。(k=1,2 写出(ξ1, ξ2)的联合分布律。
0
1
0
0.1
0.3
1
0.3
0.3
2
例5 已知(,)
(x,
y)
x 2
xy 3
0 x 1,0 y 2
0
其它
求P( 1)及P(>)
y
解:P(ξ+ η>1) (x, y)dxdy2
x y1
1
dx
2 (x2 xy )dy 65
0
1x
3
72
1
同样地
0 y
1
x
P( η >ξ) (x, y)dxdy 2
2(y)
(x, y)dx
是关于η的边缘概率密度。
而
x
F(x) 1(s)ds
y
F(y) 2(t)dt
6
例6 已知(, )
1
(x,
y)
(b
a)(d
c)
0
a x b, c y d 其它
称为二元连续型均匀分布。求边缘概率密度。
解:当a<x<b时
1(x)
(x, y)dy
P( | i)
4 6
24 6 6
...
2 j1 4 6 6
...
12
例1:设二维随机变量(X,Y)的 概率密度为
6e2x3y , x 0, y 0
f (x, y)
0 , 其他
求 fY X ( y x).
解:fY X ( y x)
f (x, y) fX (x)
6e2x3 y 2e 2 x
p01 p10
P(1 0,2
p01
4 16
1)
4 16
p11
2 16
p02
p20
1 16
p12=p21=p22=0
4
列成联合分布表:
ξ2 ξ1
0
1
0
4
4
16
16
1
4
2
16
16
2
1 16
0
pj
9 16
6 16
即边缘分布为
2
pi
9
1
16
16 6
0
16
0
1 16
1 16
1 0 1 2 2 0 1 2
96 1 16 16 16
96 1 16 16 16
5
x
F(x) P( x, )
ds (s, t)dt
y
F(y) P( , y)
dt
(s, t)ds
分别称为二元随机变量(ξ,η)中关于ξ及关于η的
边缘分布函数。
求导可得相应的概率密度:
1(x)
(x, y)dy
是关于ξ的边缘概率密度。
2 3
1 3
9
例4 反复掷一颗骰子,直到出现小于5点为止。 ξ表 示最后一次掷出的点数, η表示投掷次数。求(ξ,η) 的联合分布律,边缘分布律及条件分布。
解:ξ的取值是1,2,3,4
η的取值是1,2,…
“ξ=i,η=j”表示掷了j次,而最后一次掷出i点。
前j-1次掷出5点或6点。
由于各次掷骰子是相互独立的。
...
2 j1 1 6 6
...
1 4
4
1 6
21 6 6
2
2
1
6 6
...
2 j1 1 6 6
...
1 4
pj
4 6
24 6 6
2
2
4
6 6
...
2
j1
4
6 6
...
条件分布为:
11
1234
P( | j) 1 1 1 1 4444
1 2 ... j ...
解: ξ1ξ2
0
1
2
0
4
4
1
16
16
16
1
4 16
2 16
0
2
1 16
0
0
pj
Байду номын сангаас
9 16
6 16
1 16
P(1 P(1 P(1
0 | 2 1| 2 2 | 2
1) 1)
1)
p01 4 2
p p11
1
2
6
3 1
pp211
6
=0
p1
3
1
0
1
故ξ2=1时, ξ1的条件分布为 P(1 | 2 1)
P(
i,
j)
2 6
j1
1 6
故联合分布表为
10
η ξ
1
2
3 ... j ...
1
1 6
21 6 6
2
2
1
6 6
...
2 j1 1 6 6
...
pi
1 4
2
1 6
21 6 6
2 2 1 6 6
...
2 j1 1 6 6
...
1 4
3
1 6
21 6 6
2 2 1 6 6
1(x)
(x, y)dy
= 0 0dy
2(x2 xy )dy
0dy
2x2 2 x
0
3
2
3
当x<0或x>1时,1(x)=
+ 0dy
=0
故
1 ( x )
2x 2
2 3
x
0 x 1
0
其它
同理可求出
2
(y)
1
3
1 6
y
0y2
0
其它
8
例3 求出例2中在ξ2=1条件下关于ξ1的条件分布。