极值点偏移问题专题(三)一一题学懂极值点偏移5大套路

一题弄懂极值点偏移5大套路

已知()2

1ln 2

f x x x mx x =-

-，m ∈R ．若()f x 有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求证：2

12e x x >（e 为自然对数的底数）．

解法一：齐次构造通解偏移套路

证法1：欲证2

12e x x >，需证12ln ln 2x x +>．

若()f x 有两个极值点1x ，2x ，即函数()f x '有两个零点．又()ln f x x mx '=-，所以，1x ，

2x 是方程()0f x '=的两个不同实根．

于是，有1122

ln 0

ln 0x mx x mx -=⎧⎨

-=⎩，解得1212ln ln x x m x x +=+．

另一方面，由1122

ln 0

ln 0x mx x mx -=⎧⎨-=⎩，得()2121ln ln x x m x x -=-，

从而可得，

2112

2112

ln ln ln ln x x x x x x x x -+=-+．

于是，()()22

21211112221

1

1ln

ln ln ln ln 1x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫+ ⎪-+⎝⎭+=

=--．

又120x x <<，设2

1x t x =，则1t >．因此，()121ln ln ln 1

t t x x t ++=-，1t >．

要证12

ln ln 2x x +>，即证：()1ln 21t t t +>-，

1t >．即：当1t >时，有()

21ln 1

t t t ->

+．设函数()()21ln 1t h t t t -=-+，1t ≥，则()()()()

()()2

22

212111011t t t h t t t t t +---'=-=≥++， 所以，()h t 为()1.+∞上的增函数．注意到，()10h =，因此，()()10h t h ≥=． 于是，当1t >时，有()21ln 1

t t t ->+．所以，有12ln ln 2x x +>成立，2

12e x x >． 解法二 变换函数能妙解

证法2：欲证2

12e x x >，需证12ln ln 2x x +>．若()f x 有两个极值点1x ，2x ，即函数()

f x '有两个零点．又()ln f x x mx '=-，所以，1x ，2x 是方程()0f x '=的两个不同实根．显然0m >，否则，函数()f x '为单调函数，不符合题意．

由()

11

1212

22

ln0

ln ln

ln0

x mx

x x m x x

x mx

-=

⎧⇒+=+

⎨-=

⎩

，

解法三构造函数现实力

证法3：由

1

x，

2

x是方程()0

f x

'=的两个不同实根得

ln x

m

x

=，令()ln x

g x

x

=，

()()

12

g x g x

=，由于()2

1ln x

g x

x

-

'=，因此，()

g x在()

1,e↑，()

e,+∞↓．

设

12

1e

x x

<<<，需证明2

12

e

x x>，只需证明()

2

1

2

e

0,e

x

x

>∈，只需证明()

2

1

2

e

f x f

x

⎛⎫

> ⎪

⎝⎭

，即()

2

2

2

e

f x f

x

⎛⎫

> ⎪

⎝⎭

，即()

2

2

2

e

f x f

x

⎛⎫

->

⎪

⎝⎭

．

即()()()

()

2

e

1,e

h x f x f x

x

⎛⎫

=-∈

⎪

⎝⎭

，()

()()

22

22

1ln e

e

x x

h x

x

--

'=>，故()

h x在()

1,e↑，故()()e0

h x h

<=，即()

2

e

f x f

x

⎛⎫

< ⎪

⎝⎭

．令

1

x x

=，则()()

2

21

1

e

f x f x f

x

⎛⎫

=< ⎪

⎝⎭

，因为

2

x，()

2

1

e

e,

x

∈+∞，()

f x在()

e,+∞↓，所以

2

2

1

e

x

x

>，即2

12

e

x x>．

解法四巧引变量（一）

证法4：设()

11

ln0,1

t x

=∈，()

22

ln1,

t x

=∈+∞，则由11

22

ln0

ln0

x mx

x mx

-=

⎧

⎨-=

⎩

得

1

12

2

1

1

22

e

e

e

t

t t

t

t

t m

t m t

-

⎧=

⇒=

⎨

=

⎩

，设

12

k t t

=-<，则

1

e

e1

k

k

k

t=

-

，

2e1

k

k

t=

-

．欲证2

12

e

x x>，