2021年常微分方程试题库试卷库
常微分方程试题及答案
常微分方程试题及答案一、单项选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪一项不是常微分方程的特点？A. 未知函数是连续的B. 未知函数是可微的C. 未知函数的导数是未知的D. 方程中包含未知函数的导数答案：A2. 常微分方程的解是指满足方程的函数，下列哪一项不是解的性质？A. 唯一性B. 存在性C. 可微性D. 可积性答案：D3. 一阶线性微分方程的一般形式是：A. \( y' + p(x)y = q(x) \)B. \( y' = p(x)y + q(x) \)C. \( y' - p(x)y = q(x) \)D. \( y' + p(x)y = q(x) \) 或 \( y' - p(x)y = q(x) \)答案：A4. 已知微分方程 \( y'' - y = 0 \) 的一个特解是 \( y = e^x \)，那么它的通解是：A. \( y = C_1e^x + C_2e^{-x} \)B. \( y = C_1e^x + C_2 \)C. \( y = C_1e^x + C_2e^x \)D. \( y = C_1 + C_2e^{-x} \)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 微分方程 \( y'' + y' + y = 0 \) 的通解是 \( y = C_1e^{-x}+ C_2e^{-\frac{1}{2}x} \)，其中 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 是常数。
2. 微分方程 \( y'' - 4y = 0 \) 的通解是 \( y = C_1\cos(2x) +C_2\sin(2x) \)，其中 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 是常数。
3. 微分方程 \( y'' + 4y = 0 \) 的通解是 \( y = C_1\cos(2x) +C_2\sin(2x) \)，其中 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 是常数。
福建师范大学2020年8月《常微分方程》期末试卷A附标准答案
▆ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■▆ 《常微分方程》 试卷 共2页（第 1 页） 答案务必写在对应的作答区域内，否则不得分，超出黑色边框区域的答案无效！ ▆《常微分方程》期末考试A 卷姓名： 专业：标准答案在后面 学号： 学习中心：一、 填空题（每个空格4分，共40分）1、 2230dy dy x y dx dx ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭ 是 阶微分方程，是 方程（填“线性”或“非线性” ）。
2、 给定微分方程2'=y x ，它的通解是 ，通过点（2，3）的特解是 。
3、 微分方程(,)(,)0+=M x y dx N x y dy 为恰当微分方程的充要条件是。
4、方程''21=-y x 的通解为 ，满足初始条件13|2,|5====x x y y 的特解为 。
5、微分方程22250+=d yy dx的通解为 。
6、微分方程22680-+=d y dyy dx dx的通解为 ，该方程可化为一阶线性微分方程组 。
二、求解下列微分方程（每小题8分，共32分）。
1、-=x y dye dx；2、24+=dyxy x dx ；3、22265t d x dxx e dt dt++=；4、2453dxx y dtdy x y dt⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩ .三、（8分）考虑方程2(9)(,),=-dyy f x y dx假设(,)f x y 及'(,)y f x y 在xOy 平面上连续，试证明：对于任意0x 及0||3<y ，方程满足00()y x y =的解都在(,)-∞+∞上存在。
四、（10分）设121111201A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求解方程组dX AX dt=满足初始条件1(0)00ϕ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的解()t ϕ。
五、（10分）叙述一阶微分方程的解的存在唯一性定理的内容，并给出唯一性的证明。
证明：见书。
《常微分方程》试题-5页精选文档
常微分方程试卷1一、填空题（每题3分，共15分）1．一阶微分方程的通解的图像是 维空间上的一族曲线．2．二阶线性齐次微分方程的两个解)(),(21x y x y 为方程的基本解组充分必要条件是3．方程02=+'-''y y y 的基本解组是 ．4．一个不可延展解的存在在区间一定是 区间． 5．方程21d d y xy-=的常数解是 ． 二、单项选择题（每题3分，共15分）6．方程y x xy+=-31d d 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（ ）．（A ）上半平面 （B ）xoy 平面 （C ）下半平面 （D ）除y 轴外的全平面 7. 方程1d d +=y xy （ ）奇解．（A ）有一个 （B ）有两个 （C ）无 （D ）有无数个8．)(y f 连续可微是保证方程)(d d y f xy=解存在且唯一的（ ）条件． （A ）必要 （B ）充分 （C ）充分必要 （D ）必要非充分9．二阶线性非齐次微分方程的所有解（ ）．（A ）构成一个2维线性空间 （B ）构成一个3维线性空间 （C ）不能构成一个线性空间 （D ）构成一个无限维线性空间10．方程323d d y xy=过点(0, 0)有（ ）．(A) 无数个解 (B) 只有一个解 (C) 只有两个解 (D) 只有三个解三、计算题（每题６分，共30分） 求下列方程的通解或通积分：11.y y x yln d d = 12. x yx y x y +-=2)(1d d13. 5d d xy y xy+=14．0)d (d 222=-+y y x x xy 15．32y y x y '+'=四、计算题（每题10分，共20分） 16．求方程255x y y -='-''的通解． 17．求下列方程组的通解．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=x ty ty t x d d sin 1d d五、证明题（每题10分，共20分）18．设)(x f 在),0[∞+上连续，且0)(lim =+∞→x f x ，求证：方程)(d d x f y xy=+ 的一切解)(x y ，均有0)(lim =+∞→x y x ．19．在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，)(),(x q x p 在),(∞+-∞上连续，求证：若)(x p 恒不为零，则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式)(x W 是),(∞+-∞上的严格单调函数．常微分方程试卷1答案及评分标准一、填空题（每题3分，共15分） 1．22．线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）3．x x x e ,e 4．开5．1±=y二、单项选择题（每题3分，共15分） 6．D 7．C 8．B 9．C 10．A 三、计算题（每题６分，共30分）11．解 当0≠y ，1≠y 时，分离变量取不定积分，得 C x y y y+=⎰⎰d ln d （3分）通积分为x C y e ln = （6分）12．解 令xu y =，则xu x u x y d d d d +=，代入原方程，得 21d d u xux-= （3分）分离变量，取不定积分，得 C xxu u ln d 1d 2+=-⎰⎰（0≠C ）通积分为： Cx xyln arcsin= （6分）13．解 方程两端同乘以5-y ，得x y xyy +=--45d d 令 z y =-4，则xzx y y d d d d 45=--，代入上式，得 x z xz=--d d 41（3分） 通解为41e 4+-=-x C z x 原方程通解为41e 44+-=--x C y x （6分）14．解 因为xNx y M ∂∂==∂∂2，所以原方程是全微分方程． （2分）取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为C y y x xy yx=-⎰⎰020d d 2（4分）即C y y x =-3231 （6分）15．解 原方程是克莱洛方程，通解为32C Cx y += （6分）四、计算题（每题10分，共20分）16．解 对应齐次方程的特征方程为052=-λλ，特征根为01=λ，52=λ，齐次方程的通解为x C C y 521e += （4分）因为0=α是特征根。
2021年常微分方程期末选择题题库
选 择 题1、下列方程中为常微分方程是（ ）(A) 2-210x x += (B) 2' y xy =(C) 2222u u u t x y∂∂∂=+∂∂∂ (D) 2 y x c =+(c 为常数）2、下列微分方程是线性是（ ）(A)22 ' y x y =+ (B)2 " x y y e += (C)2"0 y x += (D)2'-y y xy =3、方程2-2 "3' 2xy y y x e ++=特解形状为( )(A)2-2 1 x y ax ey = (B) 2-21 () x y ax bx c e =++(C)22-2 1 ()x y x ax bx c e =++ (D) 22-21 ()xy x ax bx c e =++4、下列函数组在定义域内线性无关是（ ）(A) 4, x (B) 2,2, x x x (C)225,cos ,sin x x (D) 21,2,,x x5、微分方程2-yxdy ydx y e dy =通解是( )(A)(-) yx y c e = (B)()yx y e c =+ (C)()xy x e c =+ (D) (-)yy x c e =6、下列方程中为常微分方程是（ ）(A)20 t dt xdx += (B)sin 1x =(C) 1 y x c =++(c 为常数） (D) 22220u ux y∂∂+=∂∂ 7、下列微分方程是线性是（ ）(A)2'1y y =+ (B)11dy dx xy=+ (C)2 ' y by cx += (D) 4'0y xy +=8、方程 "-2' 2(cos 2sin )xy y y e x x x +=+特解形状为( )(A) 1[()cos sin ]x y e Ax B x C x =++ (B) y e Ax x C x x1=+[cos sin ](C)y e Ax B x Cx D x x1=+++[()cos ()sin ] (D)y xe Ax B x Cx D x x1=+++[()cos ()sin ]9、下列函数组在定义域内线性无关是（ ）(A)31, , x x (B)222,,x x x(C)21,sin ,cos2x x (D)225,sin (1),cos (1)x x ++10、微分方程2-ydx xdy y exdx =通解是( )(A)() xy x e c =+ (B)( ) xx y e c =+ (C)(-) xx y c e = (D)(-)xy x e c =11、下列方程中为常微分方程是（ ）(A)22-10 x y += (B) 2' x y y=(C) 222222u u u x y∂∂∂=+∂∂∂ (D) 2x y c +=(c 为常数）12、下列微分方程是线性是（ ）(A) dy dx y x= (B)2y '+6y '=1 (C) y '=y 3+sin x (D)y '+y =y 2cos x13、方程y ''+y =2sin x 特解形状为( )(A) )sin cos (1x B x A x y += (B) y Ax x 1=sin (C)y Bx x 1=cos (D)y Ax x x 12=+(cos sin )14、下列函数组在定义域内线性无关是（ ）(A) 0,1，t (B) e t ，2e t ,e -t (C)e t e t t t --3322sin ,cos (D) t t t t ,||,242+15、微分方程ydx-xdy=x 2e x dx 通解是( )(A) y=x(c+e x ) (B) x=y(c+e x ) (C) x=y(c-e x ) (D) y=x(c-e x )16、下列方程中为常微分方程是（ ）(A) x 2+y 2-z 2=0 (B) y ce x=(C) ∂∂∂∂u t u x =22(D) y=c 1cost+c 2sint (c 1,c 2为常数） 17、下列微分方程是线性是（ ）(A))(t x ' -x=f(t) (B)3y '+y=cos x (C) x +2y '=y '' (D) y '+(1/3)y =y 418、方程y ''-2y '+3y =e -x cos x 特解形状为( )(A)y A x B x 1=+cos sin (B) y Aex1=-(C)y e A x B x x1=+-(cos sin ) (D)y Axe x x1=-cos19、下列函数组在定义域内线性无关是（ ）(A)23,,t t t e e e (B) 20,, t t(C) )22cos(),1(sin 12++t t ，(D) 4-t,2t-3,6t+820、微分方程xdx-ydy=y 2e y dy 通解是( )(A) x=y(e y + c) (B) x=y(c-e y ) (C) y=x(e x +c) (D) y=x(c-e y )21、下列方程中为常微分方程是（ ）(A) x 3+1=0 (B) y ce x= (C)∂∂∂∂u t ux=22 (D) ''+=y y e x 2'22、下列微分方程是线性是（ ）(A)y ''+y 2=1+x (B)y '2+y=cosx (C)y '-2y=2x 2 (D) xdx+ydy=023、方程''-+=-y y y e x69163'特解形状为( )(A) 31x y Ae = (B)y Ax e x123=(C) y Axe x 13= (D) y e A x B x x1333=+(sin cos )24、下列函数组在定义域内线性无关是（ ）(A)2,,xxxe xe x e (B) 222,cos , cos x x (C) 21,2,x (D) 5420,,x x e x e x25、微分方程ydx-xdy=2x 2e x dx 通解是( )(A) y=x(c-2e x ) (B) x=y(c+2e x ) (C) x=y(c-2e x ) (D) y=x(c+2e x ) 26、微分方程dy dx y x tg yx=+通解为（ ） (A)1sin y xcx = (B) sin y x =x +c (C) sin yx =c x (D) sin x y =c x 27、微分方程2y y ''=(y ')2通解（）(A) (x-c )2 (B) c 1(x -1)2+c 2(x +1)2 (C) c 1+(x -c 2)2 (D) c 1(x -c 2)228、微分方程xdy-ydx=y 2e y dy 通解为（）(A) y=x(e x +c) (B) x=y(e y +c) (C) y =x(c-e x ) (D) x=y(c-e y )29、微分方程y ''-2y '-3y =0通解*y 为（）(A)c x c x 123+ (B) c x cx123+ (C) c e c e x x 123+- (D) c e c e x x 123-+30、微分方程y ''-3y '+2y =2x -2e x 特解y *形式是（）(A) (ax+b)e x (B) (ax+b)xe x (C) (ax+b)+ce x (D) (ax+b)+cxe x31、通过坐标原点且与微分方程dydxx =+1一切积分曲线均正交曲线方程是( ) (A) e x y -=+1 (B) e x y ++=10 (C) e x y =+1 (D) 222y x x =+32、设y(x)满足微分方程(cos 2x)y ¹+y=tgx 且当x=π/4时y=0，则当x =0时y =( )(A) π/4 (B) -π/4 (C) -1 (D) 133、已知y=y(x) 图形上点M(0,1)处切线斜率k=0，且y(x)满足微分方程''=+y y 12(')，则y(x)=( )(A) sin x (B)cos x (C) shx (D) chx34、微分方程y ''-2y '-3y =0通解是y =( )(A)33x x ++ (B) c x c x123+(C) c e c e x x 123+- (D) c e c e x x123-+ 35、设y x y x y x 123(),(),()是线性非齐次方程d y dxa x dydx b x y f x 22++=()()()特解， 则y c c y x c y x c y x =--++()()()()11211223(A) 是所给微分方程通解 (B) 不是所给微分方程通解 (C) 是所给微分方程特解(D) 也许是所给微分方程通解 也也许不是所给微分方程通解，但必定不是特解36、设 y(x)满足 y 'sinx=yLny ，且y (π/2)=e ，则y (π/4)=（ ）(A) e /2 (B)-1e (C) e 21- (D) e23-37、微分方程2cos 0yn ytgx y x -+=通解是（ ）(A) arctgx c + (B)1x ()arctgx c + (C) 1arctgx c x + (D) 1arctgx c x++38、微分方程(1+y 2)dx=(arctgy-x)dy 通解为（ ）(A) x arctgy ce arctgy=-+-1 (B) x arctgy cearctgy=-++1(C) x arctgy cec arctgy=-++ (D) x arctgy ce c arctgy =-+39、微分方程''+=y y x 4212cos 通解为y=（ ） (A) e c x c x c x +++1223 (B) c x c x c 1223++ (C) c e c x c x 123++ (D) c x c x c 13223++40、微分方程''-''+=y y y x 76sin 通解是 y =（ ）(A) e x x x-++574774sin cos (B) c e c x c e c x x x 1234+++-sin cos(C) ()()c c x e c c x e x x1233+++- (D) ()sin ()cos c c x x c c x x 1233+++41、通过坐标原点且与微分方程dydxx =+1一切积分曲线均正交曲线方程是( ) (A) e x y -=+1 (B) e x y ++=10 (C) e x y =+1 (D) 222y x x =+42、设y(x)满足微分方程xy ¹+y-y 2Lnx=0且当y(1)=1,则y(e)=( )(A) 1/e (B) 1/2 (C) 2 (D) e43、已知()y y x =满足()()x xy y dx y xy x dy 2222220+-++-=，且(1)1y =则y 122+⎛⎝ ⎫⎭⎪=( )(A) 1 (B) 1/2 (C)22 (D) 122+ 44、微分方程''=+y xy x 212'满足初始条件y x ==01，y x '==03特解是y=( ) (A)x x 33++ (B) x x 331++ (C) x x 23++ (D) x x 231++45、微分方程''++=y y y 6130'通解是y=( )(A) ec x c x x-+31222(cos sin ) (B) e c x c x x 21233(cos sin )-(C) e c x c x x31222(cos sin )- (D) e c x c x x-+21233(cos sin )46、微分方程y yxc '++=20满足y x ==20特解y =（ ）(A) 4422x x - (B)x x 2244- (C))2ln (ln 2-x x (D))2ln (ln 12-x x47、微分方程y ytgx y x 'cos -+=20通解是（ ）(A)1()cos x c x y=+ (B) ()cos y x c x =+ (C)1cos x x c y=+ (D) cos y x x c =+48、微分方程(y 2-6x )y ' +2y=0通解为（ ）(A) 2x-y 2+cy 3=0 (B) 2y-x 3+cx 3=0 (C) 2x-cy 2+y 3=0 (D) 2y-cx 3+x 3=049、微分方程''+=y y x 4212cos 特解形式是y=（ ） (A) cos2a x (B) cos2ax x(C)sin2cos2 a x b x + (D)sin2cos2 ax x bx x +50、满足微分方程''-''+=y y y x 76sin 一种特解 y*=（ ）(A)e x x x-++574774sin cos (B)e x x x ++574774sin cos(C)ex x x-++6574774sin cos (D)e e x x x x --+++6574774sin cos51、初值问题"40,(0)0,'(0)1y y y y +===解是()y x =（ ）（其中其通解为()sin 2cos2,,y x c x c x c c =+(A)1sin 23x (B)1sin 22x (C)1sin33x （D ）1sin32x52、下列方程中为常微分方程是（ ）(A)42310x x x +-+= (B) 2"'y y x +=(C) 2222u u u t x y∂∂∂=+∂∂∂ (D)2u v w =+53、下列微分方程是线性是（ ）(A)2"'y xy y x++= (B)22'y x y =+ (C)2"()y xy f x -= (D)3"'y y y -=54、已知(,)F x y 具备一阶持续偏导，且(,)()F x y ydx xdy +为某一函数全微分，则（ ）(A)F F x y ∂∂=∂∂ (B)F F x y x y ∂∂=∂∂ (C)F F x y x y ∂∂-=∂∂ (D)F Fy x x y∂∂=∂∂55、设123(),(),()y x y x y x 是二阶线性非齐次微分方程"()'()()y P x y Q x y f x ++=三个线性无关解，12,c c 是任意常数，则微分方程解为( )(A)11223c y c y y ++ (B)1122123(1)c y c y c c y ++-- (C)1122123()c y c y c c y +-+ (D)1122123(1)c y c y c c y +--- 56、若持续函数()f x 满足关系式20()ln 22x t f x f dt ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰，则()f x 为（ ） (A)2xe ln (B)22xe ln (C)2xe ln + (D)22xe ln +57、若3312,x xy e y xe ==，则它们所满足微分方程为（ ）(A)"6'90y y y ++= (B)"90y y -= (C)"90y y += (D)"6'90y y y -+=58、设123,,y y y 是二阶线性微分方程"()'()()y p x y q x y r x ++=三个不同特解，且1223y y y y --不是常数，则该方程通解为（ ）(A)11223c y c y y ++ (B)1122231()()c y y c y y y -+-+ (C)11232c y c y y ++ (D)112223()()c y y c y y -+- 59、设()f x 持续，且满足方程()1()()f tx dt nf x n N =∈⎰，则()f x 为（ ）(A)1n ncx - (B)(c c 为常数） (C)sin c nx (D)s cco nx60、设12,y y 是方程"()'()0y p x y q x y ++=两个特解，则1122y c y c y =+（12,c c 为任意常数）（ ）(A)是此方程通解 (B)是此方程特解 (C)不一定是该方程解 (D)是该方程解61、方程22(2)"(2)'(22)0x x y x y x y ---+-=通解为（ ）(A)12xy c e c =+ (B)12x x y c e c e -=+ (C)212x y c e c x =+ (D)12x y c e c x =+62、微分方程"'1xy y e -=+一种特解形式为（ ）(A)x ae b + (B)x axe bx + (C)x ae bx + (D)xaxe b + 63、方程22()(2)0pxy y dx qxy x dy --+=是全微分充要条件是（ ）(A)4,2p q == (B)4,2p q ==- (C)4,2p q =-= (D)4,2p q =-=-64、表达式22[cos()][cos()3]x y ay dx by x y x dy +++++是某函数全微分，则（ ）(A)2,2a b == (B)3,2a b == (C)2,3a b == (D)3,3a b ==65、方程"'"'xy y y y xe -+++=是特解形式为（ ）(A)()x ax b e-+ (B)()xx ax b e -+(C)2()xx ax b e -+ (D)[()cos 2()sin 2]xe ax b x cx d x +++66、方程"2'xy y y xe -+=特解*y 形式为（ ）(A) xaxe (B)()x ax b e + (C)()xx ax b e + (D)2()xx ax b e +67、已知1cos y wx =与23cos y wx =是微分方程2"0y w y +=解，则1122y c y c y =+是（ ）(A) 方程通解 (B)方程解，但不为通解 (C)方程特解 (D)不一定是方程解68、方程"3'232xy y y x e -+=-特解*y 形式为（ ）(A) ()x ax b e + (B)()x ax b xe + (C)()x ax b ce ++ (D)()xax b cxe ++69、方程22"3'2xy y y x e -++=特解形式为（ ）(A) 22xy ax e-= (B)22()xy ax bx c e-=++(C)22()xy x ax bx c e -=++ (D)222()xy x ax bx c e-=++70、下列函数在定义域内线性无关是（ ）(A) 4x (B)22x x x ⋅⋅ (C)225cos sin x x ⋅⋅ (D)212x x ⋅⋅⋅71、微分方程2yxdy ydx y e dy -=通解是（ ）(A)()yx y c e =- (B)()yx y e c =+ (C)()xy x e c =+ (D)()yy x c e =- 72、方程5,3dx dyx y x dt dt=-+-=-奇点为（ ） (A)（0,0） (B) (0,5) (C) (5,5) (D) (5,0)73、（0,0）为系统,23dx dyy x y dt dt==--（ ） (A) 鞍点 (B) 结点 (C) 中心 (D) 焦点74、方程dx dy dz xz yz xy==初次积分是（ ） (A)2xy z c -= (B)2x c y= (C)2x yz c -= (D)2xz x c -= 75、方程22222dx dy dz x y z xy xz==--初次积分是（ ） (A) 2x y z c x ++= (B)222x y z c y++= (C)y c x = (D)z c x =76、系统22dx x y dt dy x y dt⎧=-+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩奇点类型为（ ） (A) 稳定结点 (B) 不稳定结点 (C) 稳定焦点 (D) 不稳定焦点77、系统3474dx x y dt dy x y dt⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩奇点类型为（ ） (A) 鞍点 (B) 焦点 (C) 中心 (D) 结点78、方程"x y y xe -+=有形如（ ）特解(A)x y Axe -= (B)21()x y Ax Bx c e -=++(C)1()x y Ax B e -=+ (D)x Ae -79、方程2"6'13(512)t x x x e t t ++=-+特解形状为（ ）(A)21()t x At Bt c e =++ (B)1()t x At B e =+（C)1t x Ate = (D)1t x Ae =80、方程"2'2cos x y y y e x --+=特解形状为（ ）(A)1cos x y A xe -= (B)1sin x y A xe -=(C)1(cos sin )x y e A x B x -=+ (D)1x y Ae -=81、方程"2'2cos t x x x te t -+=特解形状为（ ）(A)21()cos t x At Bt c e t =++ (B)21()sin t x At Bt c e t =++(C)1(cos sin )t x e A t B t =+ (D)221()cos ()sin t t x At Bt c e t Dt Et F e t =++++82、微分方程()()0x y y x ye e dx xe e dy ---++=通解为（ ）(A)x y ye xe c -= (B)y x ye xe c -= (C)x y ye xe c --= (D)x y ye xe c --=83、微分方程(sin 2sin )(cos 2cos )0x x e y y x dx e y x dy -++=通解为（ ）(A)sin 2cos x e y y x c += (B)s 2cos xe co y y x c +=(C)sin cos x e y y x c += (D)s 2cos x e co y y x c +=84、微分方程(2)0y y e dx x xy e dy -+=通解为（ ） (A)2y xe y c += (B)2y e y c x += (C)y xe xy c += (D)y y e c x +=85、方程2(3)20x e y dx xydy ++=通解为（ ）(A)32x xe x y c += (B)232(2)x x x e x y c -+=(C)232(22)x x x e x y c --+= (D)232(2)x x e x y c -+=86、下列方程为常微分方程是（ ） (A)2220x y z ++= (B)22u u u x y y ∂∂∂+=∂∂∂ (C)sin sin y A t B t =+ (D)'x y Ae =87、方程432422(22)(3)0y y xy e xy y dx x y e x y x dy +++--=积分因子为（ ） (A)21()x x μ=(B)1()x x μ= (C)41()y y μ= (D)21()y y μ= 88、方程(2)0y y e x xy e dy -+=积分因子为（ ） (A)21()x x μ=(B) 1()x x μ= (C)21()y y μ= (D) 1()y y μ= 89、方程2(3)20x e y dx xydy ++=积分因子为（ ） (A) 1()x xμ= (B)2()x x μ= (C) 1()y y μ= (D) 2()y y μ= 90、方程(1)0y xy dx xdy --+=积分因子为（ ）(A)()x x e μ= (B)()x x e μ-= (C)()y y e μ= (D)()y y e μ-=91、方程23(225)(22)0x y y dx x x dy ++++=积分因子为（ ） (A) 1()x x μ=(B)21()1x x μ=+ (C) 1()y y μ= (D)21()1y y μ=+ 92、方程3222(1)0xy dx x y dy +-=积分因子为（ ） (A) 1()x x μ=(B) 21()x x μ= (C) 1()y y μ= (D) 21()y y μ= 93、方程(2cos )0x x e dx e ctgx y y dy ++=积分因子为（ ）(A)()sin x x μ= (B)()s x co x μ= (C)()sin y y μ= (D)()s y co y μ=94、方程22()0ydx x y x dy -++=积分因子为（ ） (A) 21()x xμ= (B) 21()y y μ= (C)221(,)x y x y μ=+ (D)1(,)x y x y μ=+95、方程3222()0y dx x xy dy +-=积分因子为（ ）(A) 21x μ=(B)1xy μ= (C)221x y μ= (D)21x y μ= 96、方程36330x y x dx dy y yx ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭积分因子为（ ） (A)x μ= (B)y μ= (C)xy μ= (D)2x y μ=97、下列方程中为常微分方程是（ ）(A) 2-210x x +=(B) 2 ' y xy = (C) 2222uu ut x y ∂∂∂=+∂∂∂(D) 2 y x c =+(c 为常数）98、下列微分方程是线性是（ ）(A)22 ' y x y =+ (B)2 "x y y e += (C)2"0 y x += (D)2 '-y y xy =。
1076常微分方程-国家开放大学2021春(2021年7月)期末统一考试试卷真题及答案
试卷代号：1076国家开放大学2021年春季学期期末统一考试常微分方程 试题2021年7月一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1.一阶变量可分离微分方程M (x )N (y )d x -+P (x )Q (y )d y =0的积分因子是( ). A.μ=1M (x )N(y) B. μ=1M (x )P(y)C. μ=1P (x )Q(y)D. μ=1M (x )Q(y)2.方程dy dx=√1−y 2+1( ).A.有奇解y =±1B.有奇解y =lC.无奇解D.有奇解y =-l3.方程dydx =y 2过点(1，1)的解的存在区间是( ).A.（-∞，+∞）B.(-∞,2)C.(0，+∞)D.(1，+∞)4.三阶线性齐次微分方程的所有解构成一个( )线性空间. A.1维 B.2维 C.3维 D.4维5.方程组{dxdt=−y dydt=x的奇点(0，0)的类型是( ).A.中心B.焦点C.鞍点D.结点二、填空题（每小题3分，本题共15分）6.微分方程x (y ′)2-2yy ′+x =O 是 阶微分方程. 7.方程dydx =√y 满足初值解的存在且惟一性的区域是 . 8.二阶方程y ″+f (x )y ′+g (x )y =O 的等价方程组是 . 9.二阶线性方程y ″+y =O 的基本解组是 .10.平面系统{dx dt=x +2ydy dt=x的奇点类型是 .三、计算题（每小题8分，本题共40分）求下列方程的通解或通积分：11.求变量可分离方程(1+x)y d x+(1-y)x d y=0的通积分.12.求一阶线性非齐次方程dydx+2xy=4x的通解.13.求全微分方程e-y d x-(2y+x e-y)d y=O的通积分。
14.求恰当导数方程yy″+(y′)2=O的通积分.15.求可降阶的高阶方程y3y″+1=O的通积分，四、计算题（本题共15分）16.求下列常系数线性微分方程组的通解：{dxdt=x+y dydt=4x+y五、证明题（本题共15分）17.若f(u)在(-∞，+∞)上连续可微，且当u≠O时，uf（u）＜0，求证：方程dydx=x2f(sin y)的任一解y=y(x)均在(一∞，+∞)上存在.试卷代号：1076国家开放大学2 0 2 1年春季学期期末统一考试常微分方程试题答案及评分标准（供参考）2021年7月一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1．B 2．C 3．B 4．C 5．A二、填空题（每小题3分，本题共15分）6．一7．满足y>0的上半平面8．{dydx=y1dy1dx=−f(x)y1−g(x)y 9．cos x，sin x10.鞍点三、计算题（每小题8分，本题共40分） 11.解 当x ≠0，y ≠0时，将方程改写为y−1yd y =x+1xdx （4分）积分得y -ln I y l=x +ln I x I+C即通积分为y -x -ln I xy I=C （8分） 12.解 对应的齐次方程dy dx+2xy =0的通解为：y =Ce −x 2（4分） 令非齐次方程解为：y =C (x ) e −x 2代人原方程，得C (x ) =2e x 2+C原方程通解为：y =Ce −x 2+2 （8分） 注：直接用通解公式正确求出方程通解，参照给分． 13.解 M (x ，y )=e -y ，N (x ，y )=-(2y +x e -y )∂M ∂y=−e −y =ðN ðx因此，原方程是全微分方程． （3分） 取(x 0，y 0)=(0，0)，原方程的通积分为∫e −y x0dx −∫2ydy y0=C （6分） 即e −y −y 2=C (8分） 14.解 原方程为恰当导数方程，可改写为(yy ')'=0即yy ' =C （4分） 积分得通积分y 2=C 1x +C 2 （8分） 15．解 令y '=p ,y ″=p dpdx （3分）积分，得12p 2 =12y -2+ C 1，p 2 =1y 2+C =1+Cy 2y 2 dydx =±√1+Cy 2y（5分）分离变量，积分得，√1+Cy 2=±∫dx +C 2原方程的通积分为1 +C y 2 =(Cx +C 3)2 （8分） 四、计算题（本题共15分）16．解 特征方程为|A -λE |=|1−λ141−λ|=(λ−3)(λ+1)=0 （5分） 特征根λ1 =3，λ2 =-1 （7分）λ1 =3对应的特征向量为(12)λ2 =-1对应的特征向量为(1−2) （12分）原方程组的通解为(xy )=C 1(e 3t 2e3t )+C 2(e −t −2e −t ) (15分，五、证明题(本题共15分)17.证明 由已知条件，方程在全平面上满足存在惟一性定理及解的延展定理条件．（6分）由已知条件容易证明地f (0)=0．于是方程有无穷多个常数解y =n π，n =0，±l ，±2， …，它们是平面上的一族平行直线． （9分） 设(x 0，y 0)是任一初始点，则相应的初值解y =y (x )的函数图像或者是上述平行线中的一条，或是介于某两条平行线之间，由解的准一性和延展定理易知其存在区间为（-∞，+∞）． （15分）。
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1 常微分方程一、填空题1．微分方程0)(22=+-+x y dxdy dx dy n 的阶数是____________ 答：12．若),(y x M 和),(y x N 在矩形区域R 内是),(y x 的连续函数,且有连续的一阶偏导数,则方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 有只与y 有关的积分因子的充要条件是_________________________答：)()1)((y Mx N y M φ=-∂∂-∂∂3．_________________________________________ 称为齐次方程.答：形如)(x y g dx dy =的方程4．如果),(y x f ___________________________________________ ,则),(y x f dxdy =存在唯一的解)(x y ϕ=,定义于区间h x x ≤-0上,连续且满足初始条件)(00x y ϕ=,其中=h _______________________ .答：在R 上连续且关于y 满足利普希兹条件),min(mb a h =5．对于任意的),(1y x ,),(2y x R ∈(R 为某一矩形区域),若存在常数)0(>N N 使______________________ ,则称则称),(y x f 在R 上关于y 满足利普希兹条件.答：2121),(),(y y N y x f y x f -≤-6．方程22y x dxdy +=定义在矩形区域R :22,22≤≤-≤≤-y x 上,则经过点)0,0(的解的存在区间是___________________ 答：4141≤≤-x 7．若),.....2,1)((n i t x i=是齐次线性方程的n 个解,)(t w 为其伏朗斯基行列式,则)(t w 满足一阶线性方程___________________________________答：0)(1'=+w t a w8．若),.....2,1)((n i t x i =为齐次线性方程的一个基本解组，)(t x 为非齐次线性方程的一个特解,则非齐次线性方程的所有解可表为_____________________答：x x c x n i i i +=∑=1 9．若)(x ϕ为毕卡逼近序列{})(x n ϕ的极限，则有≤-)()(x x n ϕϕ __________________答：1)!1(++n nh n ML 10．______________________称为黎卡提方程，若它有一个特解)(x y ，则经过变换，则经过变换 ___________________ ，可化为伯努利方程．，可化为伯努利方程．答：形如)()()(2x r y x q y x p dxdy ++=的方程的方程 y z y += 11．一个不可延展解的存在区间一定是．一个不可延展解的存在区间一定是 区间．区间．答：开答：开12．方程1d d +=y x y 满足解的存在唯一性定理条件的区域是满足解的存在唯一性定理条件的区域是． 答：}0),{(2>∈=y R y x D ，（或不含x 轴的上半平面）轴的上半平面）13．方程y x x ysin d d 2=的所有常数解是的所有常数解是 ．答：Λ,2,1,0,±±==k k y π14．函数组)(,),(),(21x x x n ϕϕϕΛ在区间I 上线性无关的上线性无关的 条件是它们的朗斯基行列式在区间I 上不恒等于零．上不恒等于零．答：充分答：充分15．二阶线性齐次微分方程的两个解)(),(21x y x y 为方程的基本解组充分必要条件是 ．答：线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）答：线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）16．方程02=+'-''y y y 的基本解组是的基本解组是 ．答：x x x e ,e17．若)(x y ϕ=在),(∞+-∞上连续，则方程y x xy )(d d ϕ=的任一非零解的任一非零解 与x 轴相交．轴相交．答：不能答：不能18．在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，如果)(x p ，)(x q 在),(∞+-∞上连续，那么它的任一非零解在xoy 平面上平面上 与x 轴相切．轴相切．答：不能答：不能19．若)(),(21x y x y ϕϕ==是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们则它们 共同零点．零点．答：没有答：没有20．方程21d d y xy -=的常数解是的常数解是 ． 答：1±=y21．向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y Λ在其定义区间I 上线性相关的上线性相关的 条件是它们的朗斯基行列式0)(=x W ，I x ∈．答：必要答：必要22．方程22dd y x x y +=满足解的存在唯一性定理条件的区域是满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ． 答：答： xoy 平面平面23．方程0d )1(1)d (22=-+-y x y x y x 所有常数解是所有常数解是 ．答：1,1±=±=x y24．方程04=+''y y 的基本解组是的基本解组是 ．答：x x 2cos ,2sin25．一阶微分方程的通解的图像是．一阶微分方程的通解的图像是 维空间上的一族曲线．维空间上的一族曲线． 答：2二、单项选择题1．n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（ A ）个．）个．（A ）n （B ）n -1 （C ）n +1 （D ）n +22．如果),(y x f ，y y x f ∂∂),(都在xoy 平面上连续，那么方程),(d d y x f x y =的任一解的存在区间（区间（ D ）． （A ）必为),(∞+-∞ （B ）必为),0(∞+（C ）必为)0,(-∞ （D ）将因解而定）将因解而定3．方程y x x y +=-31d d 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（ DD D ））． （A ）上半平面）上半平面 （（B ）xoy 平面平面（C ）下半平面）下半平面 （（D ）除y 轴外的全平面轴外的全平面4．一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（．一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（ C ）． （A ）不是其对应齐次微分方程组的解）不是其对应齐次微分方程组的解 （B ）是非齐次微分方程组的解）是非齐次微分方程组的解 （C ）是其对应齐次微分方程组的解）是其对应齐次微分方程组的解 （D ）是非齐次微分方程组的通解）是非齐次微分方程组的通解5. 方程21d d y x y -=过点)1,2(π共有（共有（B ）个解．）个解． （A ）一）一 （B ）无数）无数 （C ）两）两 （D ）三）三 6. 6. 方程方程2dd +-=y x x y （ B B ）奇解．）奇解．）奇解． （A ）有三个）有三个 （（B ）无）无 （（C ）有一个）有一个 （（D ） 有两个有两个7．n 阶线性齐次方程的所有解构成一个（阶线性齐次方程的所有解构成一个（ A A A ）线性空间．）线性空间．）线性空间．（A ）n 维 （（B ）1+n 维 （（C ）1-n 维 （（D ）2+n 维8．方程323d d y x y =过点（过点（ A A A ））． （（A ）有无数个解）有无数个解 （（B ）只有三个解）只有三个解 （（C ）只有解0=y （（D ）只有两个解）只有两个解 9. ),(y x f y '连续是保证),(y x f 对y 满足李普希兹条件的（满足李普希兹条件的（ B B B ）条件．）条件．）条件．（A ）充分）充分 （（B ）充分必要）充分必要 （（C ）必要）必要 （（D ）必要非充分）必要非充分1010．二阶线性非齐次微分方程的所有解（．二阶线性非齐次微分方程的所有解（．二阶线性非齐次微分方程的所有解（ C C C ））． （（A ）构成一个2维线性空间维线性空间 （（B ）构成一个3维线性空间维线性空间（C ）不能构成一个线性空间）不能构成一个线性空间 （（D ）构成一个无限维线性空间）构成一个无限维线性空间11．方程y x y =d d 的奇解是（的奇解是（ D ）． （A ）x y = （B ）1=y （C ）1-=y （D ）0=y1212．若．若)(1x y ϕ=，)(2x y ϕ=是一阶线性非齐次微分方程的两个不同特解，则该方程的通解可用这两个解表示为（通解可用这两个解表示为（ C C C ））． （（A ）)()(21x x ϕϕ- （（B ）)()(21x x ϕϕ+（C ）)())()((121x x x C ϕϕϕ+- （（D ）)()(21x x C ϕϕ+1313．．),(y x f y '连续是方程),(d d y x f xy =初值解唯一的（初值解唯一的（ D D D ）条件．）条件．）条件． （A ）必要）必要 （（B ）必要非充分）必要非充分 （（C ）充分必要）充分必要 （（D ）充分）充分14.14. 方程方程1dd+=y x y （ C C ）奇解．）奇解．）奇解． （A ）有一个）有一个 （（B ）有两个）有两个 （（C ）无）无 （（D ）有无数个）有无数个1515．方程．方程323d d y x y =过点过点(0, 0)(0, 0)(0, 0)有（有（有（ A A ）． (A) (A) 无数个解无数个解无数个解 (B) (B) 只有一个解只有一个解只有一个解 (C) (C) (C) 只有两个解只有两个解只有两个解 (D) (D) 只有三个解只有三个解只有三个解三、求下列方程的通解或通积分1．3yx y dx dy += 解：23y y x y y x dy dx +=+= ，则，则 )(121⎰+⎰⎰=-c dy e y e x dy y dy y 所以所以 cy y x +=23 另外另外 0=y 也是方程的解也是方程的解2．求方程2y x dxdy +=经过)0,0(的第三次近似解的第三次近似解 解：0)(0=x ϕ[]2020121)()(x dx x x x x =+=⎰ϕϕ []52021220121)()(x x dx x x x x +=+=⎰ϕϕ[]81152022316014400120121)()(x x x x dx x x x x +++=+=⎰ϕϕ 3．讨论方程2y dx dy = ，1)1(=y 的解的存在区间的解的存在区间 解：dx ydy =2 两边积分两边积分 c x y+=-1 所以所以 方程的通解为方程的通解为 cx y +-=1 故 过1)1(=y 的解为的解为 21--=x y 通过点通过点 )1,1(的解向左可以延拓到∞-，但向右只能延拓到，但向右只能延拓到 ２，２， 所以解的存在区间为所以解的存在区间为 )2,(-∞4． 求方程01)(22=-+y dxdy 的奇解的奇解 解: 利用p 判别曲线得判别曲线得⎩⎨⎧==-+020122p y p 消去p 得 12=y 即 1±=y 所以方程的通解为所以方程的通解为 )sin(c x y += , 所以所以 1±=y 是方程的奇解是方程的奇解5．0)1()1(cos 2=-++dy yx y dx y x 解: y M ∂∂=2--y , xN ∂∂=2--y , y M ∂∂=xN ∂∂ , 所以方程是恰当方程. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=∂∂+=∂∂211cos y x y y v y x x u 得 )(sin y y x x u ϕ++=)('2y xy y u ϕ+-=∂∂- 所以y y ln )(=ϕ 故原方程的解为故原方程的解为 c y y x x =++ln sin6． x x x y y y 22'sin cos sin 2-=-+解: x x x y y y 22'sin cos sin 2-++-= 故方程为黎卡提方程.它的一个特解为它的一个特解为x y sin = ,令x z y sin += , 则方程可化为2z dx dz -= , c x z +=1 即 c x x y +=-1sin , 故 c x x y ++=1sin 7．0)37()32(232=-+-dy xy dx y xy解: 两边同除以2y 得037322=-+-xdy dy y ydx xdx0732=--yd xy d dx 所以所以 c y xy x =--732, 另外另外 0=y 也是方程的解也是方程的解 8．21d d xxy x y += 解 当0≠y 时，分离变量得时，分离变量得 x x xy yd 1d 2+=等式两端积分得等式两端积分得C x y ln )1ln(21ln 2++= 即通解为即通解为 21x C y +=9. x y xy 2e 3d d =+ 解 齐次方程的通解为齐次方程的通解为 x C y 3e -= 令非齐次方程的特解为令非齐次方程的特解为x x C y 3e)(-=代入原方程，确定出代入原方程，确定出 C x C x +=5e 51)( 原方程的通解为原方程的通解为x C y 3e-=+x2e 51 10. 5d d xy y xy += 解 方程两端同乘以5-y ，得，得x yx y y+=--45d d 令 z y =-4，则x z x y yd d d d 45=--，代入上式，得，代入上式，得 x z x z =--dd 41 通解为通解为41e4+-=-x C z x 原方程通解为原方程通解为41e 44+-=--x C yx11．0)d (d 222=-+y y x x xy 解 因为xN x y M ∂∂==∂∂2，所以原方程是全微分方程．，所以原方程是全微分方程． 取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为，原方程的通积分为C y y x xy yx =-⎰⎰020d d 2 即 C y y x =-323112． y y x y ln d d = 解：当0≠y ，1≠y 时，分离变量取不定积分，得时，分离变量取不定积分，得 C x y y y +=⎰⎰d ln d 通积分为通积分为 x C ye ln =13．03)(22=+'+''x y y y解 原方程可化为原方程可化为0)(2='+'x y y 于是于是 12d d C x x y y =+积分得通积分为积分得通积分为23123121C x x C y +-= 14．x y x y x y+-=2)(1d d解：令xu y =，则x u x u x y d d d d +=，代入原方程，得，代入原方程，得 21d d u x u x -= 分离变量，取不定积分，得分离变量，取不定积分，得 C xx u uln d 1d 2+=-⎰⎰ （0≠C ） 通积分为：通积分为： Cx x yln arcsin =15． x y x y xy tan d d += 解 令u x y =，则x u x u x y dd d d +=，代入原方程，得，代入原方程，得 u u x u x u tan d d +=+，u x u x tan d d = 当0tan ≠u 时，分离变量，再积分，得时，分离变量，再积分，得C xx u u ln d tan d +=⎰⎰ C x u ln ln sin ln +=即通积分为：即通积分为： Cx xy =sin 16． 1d d +=xy x y 解：齐次方程的通解为解：齐次方程的通解为Cx y = 令非齐次方程的特解为令非齐次方程的特解为x x C y )(=代入原方程，确定出代入原方程，确定出 C x x C +=ln )( 原方程的通解为原方程的通解为Cx y =+x x ln 17. 0d d )e (2=+-y x x y x y解 积分因子为积分因子为 21)(xx =μ 原方程的通积分为原方程的通积分为1012d d )(e C y x x y y x x =+-⎰⎰ 即 1e ,e C C C x y x +==+18．0)(2='+''y y y解：原方程为恰当导数方程，可改写为解：原方程为恰当导数方程，可改写为 0)(=''y y 即1C y y =' 分离变量得分离变量得x C y y d d 1= 积分得通积分积分得通积分21221C x C y += 19．1)ln (='-'y x y解 令p y ='，则原方程的参数形式为，则原方程的参数形式为⎪⎩⎪⎨⎧='+=py p p x ln 1 由基本关系式由基本关系式y x y '=d d ，有，有p p p p x y y )d 11(d d 2+-⋅='=p p )d 11(-=积分得积分得 C p p y +-=ln得原方程参数形式通解为得原方程参数形式通解为⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=Cp p y p p x ln ln 1 20．022=+'+''x y y y解 原方程可化为原方程可化为0)(2='+'x y y于是于是 12d d C x xyy =+ 积分得通积分为积分得通积分为23123121C x x C y +-= 21． 0)d (d )(3223=+++y y y x x xy x解：由于x N xy y M ∂∂==∂∂2，所以原方程是全微分方程．，所以原方程是全微分方程． 取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为，原方程的通积分为103023d d )(C y y x xy x y x =++⎰⎰即 C y y x x =++42242 四、计算题1．求方程xy y e 21=-''的通解．的通解． 解 对应的齐次方程的特征方程为：对应的齐次方程的特征方程为：012=-λ特征根为：特征根为： 1,121-==λλ故齐次方程的通解为：故齐次方程的通解为： x x C C y -+=e e 21因为1=α是单特征根．所以，设非齐次方程的特解为是单特征根．所以，设非齐次方程的特解为 xAx x y e )(1=代入原方程，有代入原方程，有 x x x x Ax Ax A e 21e e e 2=-+， 可解出可解出 41=A ． 故原方程的通解为故原方程的通解为 x x x x C C y e 41e e 21++=-2．求下列方程组的通解．求下列方程组的通解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=y x t y y x t x 43d d 2d d ． 解 方程组的特征方程为方程组的特征方程为04321=----=-λλλE A即 0232=+-λλ特征根为特征根为 11=λ，22=λ11=λ对应的解为对应的解为t b a y x e 1111⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡其中11,b a 是11=λ对应的特征向量的分量，满足对应的特征向量的分量，满足⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡----0014321111b a 可解得1,111-==b a ．同样可算出22=λ对应的特征向量分量为对应的特征向量分量为 3,212-==b a ．所以，原方程组的通解为所以，原方程组的通解为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡t tt t C C y x 2221e 32e e e 3．求方程x y y 5sin 5='-''的通解．的通解．解：方程的特征根为01=λ，52=λ齐次方程的通解为齐次方程的通解为 x C C y 521e +=因为i i 5±=±βα不是特征根。
2021国家开放大学电大本科《常微分方程》期末试题及答案(试卷号：1076)
2021国家开放大学电大本科《常微分方程》期末试题及答案（试卷号：1076）一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）3. 二阶方程/ + 2x>r"xy=0的等价方程组是（，）. A l y=义 计=2.+”/ =yty /- 2jr>, — x>4.三阶线性齐次微分方程的所有解构成-个<A ・】维 & C, 3 维D.方程D 心二（，+l>dy =0唐有曾栽尊是 了•方S ^=1 y 偏呈FJffiW 存在且暗一的KM> & RIBftS m,匕也〉・•••.>」”线性将关的9. 方程；+1 +* -e 的任 争的图煤星三维空向“口 J ）中的[Ai _...2・豆1・・贝）呈方程貌dy奇电的充分条件垦求下列方程的IS 攀或通物分,1. 一阶线性微分方程亏+ p （«r ）y 二q （」〉的枳分因于是〈 J“・wA. 〃 =e •C.、=2. 方程芸=5 HA.无奇解" B- C •有奇解，—ID.D.w 奇耕》=土I 有奇解y=-\y =>i板｝' = 一 4-J-v ）线性空间.2维4维5.方程组，的奇点（（）•（））的类型是（A.焦点 C .鞍点a D. 中心 结点二安翘（每小题3分.尊磨共15分）D.三■计H8U 每小超8分.太廷共，分）11・求费■祁分H 力程tan^dj — eoLf ■。
的H. R 求一阶成.ft 使井次Zf fl! £ + y ■• Xre ,的■. I3・术全flt 分方fV’tlr > （jr 14- In/ ）d> 一0 的tl. M.衣H 眼偌方的■.15.求的亨峰欢方筮4»lr ・■。
的■.l «. 4tT «AWffl 的通・.・d ，17.征聊：一阶Wt 分力程如_ ・inydr —」y* + I的任-饼的存在区间必足（-g.i ）.试题答案及评分标准一・・qi 盘胃・（・小・，分.*■乳is 分）Lt ） 2・A XB 4.CS.H二.单空・（■小・3分.孝■共“分）6. , ■ — I — I r 金平at &必* «. »ati10. P （>«•>.） »Q （x tv y t > ・0 三JtH ・（•小AU 分.本■共4。
(完整版)常微分方程试题及答案
第十二章 常微分方程(A)一、是非题1．任意微分方程都有通解。
( X )2．微分方程的通解中包含了它所有的解。
( X )3．函数x x y cos 4sin 3-=是微分方程0=+''y y 的解。
( O )4．函数x e x y ⋅=2是微分方程02=+'-''y y y 的解。
( X )5．微分方程0ln =-'x y x 的通解是()C x y +=2ln 21(C 为任意常数)。
(O ) 6．y y sin ='是一阶线性微分方程。
( X )7．xy y x y +='33不是一阶线性微分方程。
( O )8．052=+'-''y y y 的特征方程为0522=+-r r 。
( O )9．221xy y x dx dy+++=是可分离变量的微分方程。
( O )二、填空题1．在横线上填上方程的名称①()0ln 3=-⋅-xdy xdx y 是可分离变量微分方程。
②()()022=-++dy y x y dx x xy 是可分离变量微分方程。
③x yy dx dyx ln ⋅=是齐次方程。
④x x y y x sin 2+='是一阶线性微分方程。
⑤02=-'+''y y y 是二阶常系数齐次线性微分方程。
2．x x y x y cos sin =-'+'''的通解中应含 3 个独立常数。
3．x e y 2-=''的通解是21241C x C e x ++-。
4．x x y cos 2sin -=''的通解是21cos 2sin 41C x C x x +++-。
5．124322+=+'+'''x y x y x y x 是 3 阶微分方程。
6．微分方程()06='-''⋅y y y 是 2 阶微分方程。
华中师范大学《常微分方程》2021-2022第二学期期末试卷
华中师范大学《常微分方程》2021-2022第二学期期末试卷课程代码：试卷编号：考试日期：年月日答题时限：120分钟考试形式：闭卷笔试得分统计表：题号得分一二三四五一、单项选择题（每题2分，共16分）1.哪个统计量是用来描述数据集中程度的？（）A.标准差B.均值C.方差D.众数2.哪个分布是连续型概率分布？（）A.正态分布B.泊松分布C.二项分布D.均匀分布3.在假设检验中，通常使用的假设是什么？（）A.原假设和备择假设B.单侧假设和双侧假设C.独立假设和依赖假设D.正确假设和错误假设4.哪个参数用于描述因变量与自变量之间的关系强度？（）A.斜率B.截距C.判定系数D.标准误差得分评卷人5.以下哪个统计检验方法适用于两个独立样本？（）A.t 检验B.F 检验C.卡方检验D.Z 检验6.在时间序列分析中，以下哪个方法用于预测未来的趋势？（）A.移动平均法B.指数平滑法C.ARIMA 模型D.SARIMA 模型7.通常使用哪个准则来判断是否拒绝原假设？（）A.P 值准则B.t 检验准则C.F 检验准则D.Z 检验准则8.在方差分析中，以下哪个统计量用于描述各个组之间的变异程度？（）A.组内方差B.组间方差C.总方差D.组内均方和组间均方之比二、填空题（每空2分，共20分）1.在假设检验中，拒绝域是由性水平和值决定的。
2.在简单随机抽样中，每个样本单位被选中的概率应该是的。
3.样本均值是一种估计总体均值的统计量。
4.在回归分析中R-squared（决定系数）衡量了自变量对因变量变异性的程度。
5.方差分析是一种用于比较个或个以上样本均值是否相等的统计方法。
6.置信水平为95%，则置信区间的面积为。
7.样本标准差的平方称为。
8.二项分布的均值为乘以样本容量。
得分评卷人三、简答题（每题10分，共20分）1.请解释标准偏差和方差之间的关系。
2.简述正态分布及其重要性。
四、论述题（每题12分，共24分）1.论述t 检验和z 检验之间的区别。
2021国家开放大学电大本科《常微分方程》期末试题及答案(试卷号：1076)
2021国家开放大学电大本科《常微分方程》期末试题及答案（试卷号：1076）一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1. 积分方程 火工）=1 +「：“火。
山的解是（）・A, > ~ I R S C. y =D- y =/2. 若/（r.y ）在全平面上注续且对.y 淆足李代希兹条件,那么方程实=/仁5）的任一 itrM 的存在区间C>.A.囚解而定B.必为（一B ,0）C.必为（一5.+叫）D .必为（。
・+—）.L 一阶找性非齐次方程坦乎=.4M ）y + FCr ）.Y = S ・・・・y.）'的任 T 的图像是” * 1维空间（八刀，・・・7.）中的 < ）・ A. 一个曲面 B. 一条曲技 C. 一族曲线 D. 一族曲面4已知方百的一个特解为k.又时应齐次方程1/十），'=。
有一个特航为 1口，删峨方程的通解为（ LA. y =C|X + C|lnx + x 2C. ynCj+C 打心 +7d-r 丁. = 十，a 不柩定结点 a 税定焦点& ZfW xsmydx + yco%xdy ^0 的所 _________________ .7. U ■分方0的 个不可的存企14㈣一定是 ___________________________ UM. 8. -□的慕奉•！堪li ___ ____________ ・9.代薪找性齐次健分力同的所甫ti 帕成一个 _ ________________ t attn 空间.<lr万99零值现dy dt本下料方IV 的述・或遇艮分XB. y ~C|X 2 4- C 山LT + r 4 I), y - CiX* C ： hu + 】'5.平面系统， A.鞍点（L 不椽定焦点7的奇点代.0>的类型是<<9 分 if CA小■ 3 分.本■共）5 分）IO.・ 小■-■共s 分）11.求金It可分高方程+ 的•iz. *阶tttre卉次方程半+的第. dx x】3.R金■分方Wc dx-<2> + ^c v>dy-0的*. *.求免”海方W *-』，‘十/ +（/）'的虬15.未可胃阱的禺盼方W >•/ > 1 *0的»L仰分^9 K <£<16.求下刊方舛知的遇」五.ii胴■（本■共V分）17.若/<«•）企（/ •+->上崖祓WI••旦当酎■。
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常微分方程期终考试试卷(1)一、 填空题（30%） 1、方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=有只含x 积分因子充要条件是（ ）。
有只含y 积分因子充要条件是______________。
２、_____________称为黎卡提方程，它有积分因子______________。
３、__________________称为伯努利方程，它有积分因子_________。
４、若12(),(),,()n X t X t X t 为n 阶齐线性方程n 个解，则它们线性无关充要条件是__________________________。
５、形如___________________方程称为欧拉方程。
６、若()t φ和()t ψ都是'()x A t x=基解矩阵，则()t φ和()t ψ具备关系是_____________________________。
７、当方程特性根为两个共轭虚根是，则当其实部为_________时，零解是稳定，相应奇点称为___________。
二、计算题（６０％）1、3()0ydx x y dy -+=２、sin cos2x x t t ''+=-３、若2114A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦试求方程组x Ax '=解12(),(0)t ηϕϕηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦并求expAt４、32()480dy dyxy ydx dx-+=５、求方程2dyx ydx=+通过（0，0）第三次近似解6.求1,5dx dyx y x ydt dt=--+=--奇点,并判断奇点类型及稳定性.三、证明题（１０％）１、n阶齐线性方程一定存在n个线性无关解。
常微分方程期终试卷(2) 一、填空题 30%1、形如____________方程，称为变量分离方程，这里.)().(yxfϕ分别为x.y持续函数。
2、形如_____________方程，称为伯努利方程，这里xxQxP为)().(持续函数.n ，可化为线性方程。
是常数。
引入变量变换-------≠1.03、 如果存在常数使得不等式,0 L _____________对于所有称为利普希兹常数。
都成立，（L R y x y x ∈),(),,21函数),(y x f 称为在R 上关于y 满足利普希兹条件。
4、 形如_____________-方程，称为欧拉方程，这里是常数。
,,21a a5、 设是的基解矩阵，是)()(t Ax x t ϕφ=')()(t f x t A x +='某一解，则它任一解可表为)(t γ_____________-。
一、计算题40%1.求方程的通解。
26xy x ydx dy -= 2.求程xye x y dxdy =+通解。
3.求方程te x x x 25'6''=++隐式解。
4.求方程）的第三次近似解。
、通过点（002y x dxdy+=二、证明题30%1.实验证()t Φ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡122t t t 是方程组x '=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-t t 22102x,x=⎥⎦⎤⎢⎣⎡21x x ，在任何不包括原点区间a b t ≤≤上基解矩阵。
2.设()t Φ为方程x '=Ax （A 为n ⨯n 常数矩阵）原则基解矩阵（即Φ（0）=E ），证明：()t Φ1-Φ(t 0)=Φ(t- t 0)其中t 0为某一值.常微分方程期终试卷(3)一 . 解下列方程(10%*8=80%)2. dx dy =6x y -x 2y3. 'y =22)12(-++y x y4. x 'y =22y x ++y 6. {y-x(2x +2y )}dx-xdy=08. 已知f(x)⎰xdtt f 0)(=1,x ≠0,试求函数f(x)普通表达式。
二． 证明题(10%*2=20%)9. 试证：在微分方程Mdx+Ndy=0中，如果M 、N 试同齐次函数，且xM+yN ≠0,则)(1yN xM +是该方程一种积分因子。
常微分方程期终试卷（4）一、填空题1、（ ）称为变量分离方程,它有积分因子( )。
２、当（ ）时，方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 称为恰当方程，或称全微分方程。
３、函数),(y x f 称为在矩形域Ｒ上关于y 满足利普希兹条件，如果（ ）。
４、对毕卡逼近序列，())()(1≤--x x k k ϕϕ。
５、解线性方程惯用办法有（ ）。
６、若),,2,1)((n i t X i =为齐线性方程n 个线性无关解，则这一齐线性方程所有解可表为（ ）。
７、方程组x t A x )(='（ ）。
８、若)(t φ和)(t ψ都是x t A x )(='基解矩阵，则)(t φ和)(t ψ具备关系：（ ）。
９、当方程组特性根为两个共轭虚根时，则当其实部（ ）时，零解是稳定，相应奇点称为（ ）。
１０、当方程组特性方程有两个相异特性根时，则当（ ）时，零解是渐近稳定，相应奇点称为（ ）。
当（ ）时，零解是不稳定，相应奇点称为（ ）。
１１、若)(t φ是x t A x )(='基解矩阵，则x t A x )(=')(t f =满足η=)(0t x 解（ ）。
二、计算题 求下列方程通解。
１、1sin 4-=-x e dx dyy 。
２、1)(122=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-dx dy y 。
３、求方程2y x dx dy+=通过)0,0(第三次近似解。
求解下列常系数线性方程。
４、0=+'+''x x x 。
５、te x x =-'''。
试求下列线性方程组奇点，并通过变换将奇点变为原点，进一步判断奇点类型及稳定性：６、5,!--=+--=y x dt dyy x dt dx 。
三、证明题。
１、１、设)(t φ为方程Ax x ='（Ａ为n n ⨯常数矩阵）原则基解矩阵（即))0(E =φ，证明)(t φ)()(001t t t -=-φφ其中0t 为某一值。
常微分方程期终考试试卷（5）一． 填空题 （30分）1．)()(x Q y x P dx dy+=称为一阶线性方程，它有积分因子 ⎰-dxx P e )( ，其通解为_________ 。
2．函数),(y x f 称为在矩形域R 上关于y 满足利普希兹条件，如果 _______ 。
3． 若)(x ϕ为毕卡逼近序列{})(x n ϕ极限，则有)()(x x n ϕϕ-≤______ 。
4．方程22y x dx dy+=定义在矩形域22,22:≤≤-≤≤-y x R 上，则通过点（0，0）解存在区间是 _______ 。
5．函数组tt t e e e 2,,-伏朗斯基行列式为 _______ 。
6．若),,2,1)((n i t x i =为齐线性方程一种基本解组，)(t x -为非齐线性方程一种特解，则非齐线性方程所有解可表为 ________ 。
7．若)(t Φ是x t A x )('=基解矩阵，则向量函数)(t ϕ= _______是)()('t f x t A x +=满足初始条件0)(0=t ϕ解；向量函数)(t ϕ= _____是)()('t f x t A x +=满足初始条件ηϕ=)(0t 解。
8．若矩阵A 具备n 个线性无关特性向量n v v v ,,,21 ，它们相应特性值分别为n λλλ ,,21，那么矩阵)(t Φ= ______ 是常系数线性方程组Ax x ='一种基解矩阵。
9．满足 _______ 点),(**y x ，称为驻定方程组。
二． 计算题 （60分）10．求方程0)1(24322=-+dy y x dx y x 通解。
11．求方程0=-+x e dx dydx dy通解。
12．求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=--=0)1(22y y x dxdy1,11:≤≤+y x R 解存在区间，并求第二次近似解，给出在解存在区间误差预计。
13．求方程t t x x 3sin 9''=+通解。
14．试求方程组)('t f Ax x +=解).(t ϕ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1)(,3421,11)0(t e t f A ϕ 15．试求线性方程组52,1972+-=+-=y x dt dyy x dt dx 奇点，并判断奇点类型及稳定性。
三．证明题 （10分）16．如果)(t ϕ是Ax x ='满足初始条件ηϕ=)(0t 解，那么[]ηϕ)(ex p )(0t t A t -=常微分方程期终考试试卷(6)三． 填空题 （共30分，9小题，10个空格，每格3分）。
1、 当_______________时，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0称为恰当方程，或称全 微分方程。
2、________________称为齐次方程。
3、求dxdy=f(x,y)满足00)(y x =ϕ解等价于求积分方程____________________持续解。
4、若函数f(x,y)在区域G 内持续，且关于y 满足利普希兹条件，则方程),(y x f dx dy=解y=),,(00y x x ϕ作为00,,y x x 函数在它存在范畴内是__________。
5、若)(),...(),(321t x t x t x 为n 阶齐线性方程n 个解，则它们线性无关充要条件是__________________________________________。
6、方程组x t A x )(/=_________________称之为x t A x )(/=一种基本解组。
7、若)(t φ是常系数线性方程组Ax x =/基解矩阵，则expAt =____________。
8、满足___________________点（**,y x ），称为方程组奇点。
9、当方程组特性根为两个共轭虚根时，则当其实部________时，零解是稳定 ，相应奇点称为___________。
二、计算题（共6小题，每题10分）。
1、求解方程：dx dy =312+++-y x y x2、 2、解方程： (2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=03、讨论方程23=dx dy 31y 在如何区域中满足解存在唯一性定理条件，并求通过点（0，0）一切解4、求解常系数线性方程：t e x x x t cos 32///-=+-5、试求方程组Ax x =/一种基解矩阵，并计算⎪⎪⎭⎫⎝⎛3421,为其中A e At 6、试讨论方程组cy dt dyby ax dt dx=+=, （1）奇点类型，其中a,b,c 为常数，且ac ≠0。