6土中的应力及其分布规律
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土力学：第三章土中应力计算
附加应力的分布规律
平面分布规律
附加应力在平面上的分布呈扩散状，随着深度的 增加而减小。
深度分布规律
在一定深度范围内，附加应力随深度的增加而增 大，达到一定深度后基本保持稳定。
方向分布规律
附加应力在不同方向上的分布不同，与外部荷载 的方向和土体的性质有关。
附加应力的影响因素
01
外部荷载
外部荷载的大小、分布和作用方 式直接影响附加应力的分布和大 小。
在水平方向上，自重应力 表现为均匀分布。
侧向应力
在土体边缘，自重应力表 现为侧向应力，对土体的 稳定性产生影响。
自重应力的影响因素
土的密度
土的密度越大，自重应力越大。
重力加速度
重力加速度越大，自重应力越大。
土体的几何形状和尺寸
土体的几何形状和尺寸对自重应力的分布和大小有显著影响。
04 土中附加应力计算
02
03
土体的性质
边界条件
土体的容重、压缩性、内摩擦角、 粘聚力等性质对附加应力的影响 较大。
土体的边界条件，如固定边界、 自由边界等，对附加应力的分布 和大小也有影响。
05 土中有效应力计算
CHAPTER
有效应力的概念与计算方法
有效应力的概念
有效应力是指土壤颗粒之间的法向应 力，是土壤保持其结构稳定和防止剪 切破坏的主要因素。
土中应力计算的重要性
01
02
03
工程安全
准确的土中应力计算是确 保工程安全的前提，能够 预测可能出现的危险和制 定应对措施。
设计优化
通过土中应力计算，可以 优化设计方案，提高工程 结构的稳定性和经济性。
科学研究
土中应力计算有助于深入 研究土力学性质和规律， 推动土力学学科的发展。
土力学-第四章土中应力
γ1 h1 + γ 2h2 + γ′3h3 + γ′4h4 + γw(h3+h4)
天津城市建设学院土木系岩土教研室
4.2.2
成层土中自重应力
土力学
【例】一地基由多层土组成，地质剖面如下图所示，试计算 一地基由多层土组成，地质剖面如下图所示， 并绘制自重应力σcz沿深度的分布图
天津城市建设学院土木系岩土教研室
天津城市建设学院土木系岩土教研室
4.2.4
土质堤坝自身的自重应力
土力学
为了实用方便，不论是均质的或非均质的土质堤坝， 为了实用方便，不论是均质的或非均质的土质堤坝，其自身任 意点的自重应力均假定等于单位面积上该计算点以上土柱的有 意点的自重应力均假定等于单位面积上该计算点以上土柱的有 效重度与土柱高度的乘积。 效重度与土柱高度的乘积。
土体在自身重力、建筑物荷载、交通荷载或其他因素（ 土体在自身重力、建筑物荷载、交通荷载或其他因素（渗 地震等）的作用力下，均可产生土中应力。 流、地震等）的作用力下，均可产生土中应力。土中应力过大 会导致土体的强度破坏， 时，会导致土体的强度破坏，使土工建筑物发生土坡失稳或使 建筑物地基的承载力不足而发生失稳。 建筑物地基的承载力不足而发生失稳。 土中应力的分布规律和计算方法是土力学的基本内容之一 自重 应力
p0 = p − σ ch = p − γ m h
在沉降计算中，考虑基坑回弱和再压缩而增加沉降，改取p =p-(0～1)σ 在沉降计算中，考虑基坑回弱和再压缩而增加沉降，改取p0=p-(0～1)σch, 此式应保证坑底土质不发生泡水膨胀。 此式应保证坑底土质不发生泡水膨胀。
式中： 基底平均压力， Pa； σch—基底处土中自重应力，kPa； 基底处土中自重应力， 式中：p—基底平均压力，kPa； 基底平均压力 基底处土中自重应力 kPa； γm—基底标高以上天然土层的加权平均重度，水位以下的取浮重度，kN/m3； 基底标高以上天然土层的加权平均重度， 基底标高以上天然土层的加权平均重度 水位以下的取浮重度， h—从天然地面算起的基础埋深，m，h=h1+h2+…… 从天然地面算起的基础埋深， 从天然地面算起的基础埋深
第三章土中的应力
2.偏心荷载下的基底压力 pmax
pm in
F G 6e (1 ) lb l
Dr. Han WX
当e<l/6时，基底压力分布图呈梯形,图(a) 当e=l/6时，则呈三角形，图(b) 当e>l/6时，距偏心荷载较远的基底边缘反力为负
基底边缘最大压力：
pmax
2( F G ) 3bk
矩形基础在双向偏心荷载作用下，如基底最小压力 pmin≥0，则矩形基底边缘四个角点处的压力可按下列公式计算：
土 力 学
第3章 土中的应力
Stress
1
《土力学》 第3章 土中的应力
§3.1 概述
震等)的作用下，均可产生土中应力。
土中应力将引起土体或地基的变形，使土工建筑物(如路堤、土坝等)或建 筑物(如房屋、桥梁、涵洞等)发生沉降、倾斜以及水平位移。
Dr. Han WX
土体在自身重力、建筑物荷载、交通荷载或其他因素(如地下水渗流、地
3
《土力学》 第3章 土中的应力
§3.1 概述
Dr. Han WX
土中应力按其作用原理或传递方式可分为有效应力和孔隙应力两种。
土中有效应力是指土粒所传递的粒问应力，它是控制土的体积(或变形)和 强度两者变化的土中应力。
土中孔隙应力是指土中水和土中气所传递的应力，土中水传递的孔隙水应 力，即孔隙水压力；土中气传递的孔隙气应力，即孔隙气压力。 土是由三相所组成的非连续介质，受力后土 粒在其接触点处出现应力集中现象，即在研究土 体内部微观受力时，必须了解土粒之间的接触应
9
Dr. Han WX
《土力学》 第3章 土中的应力
§3.2 土中自重应力
3.2.1 均质土中的自重力
[例题4-1]某建 筑场地的地质柱 状图和土的有关 指标列于图4-5中。 试计算地面下深
pm in
F G 6e (1 ) lb l
Dr. Han WX
当e<l/6时，基底压力分布图呈梯形,图(a) 当e=l/6时，则呈三角形，图(b) 当e>l/6时，距偏心荷载较远的基底边缘反力为负
基底边缘最大压力：
pmax
2( F G ) 3bk
矩形基础在双向偏心荷载作用下，如基底最小压力 pmin≥0，则矩形基底边缘四个角点处的压力可按下列公式计算：
土 力 学
第3章 土中的应力
Stress
1
《土力学》 第3章 土中的应力
§3.1 概述
震等)的作用下，均可产生土中应力。
土中应力将引起土体或地基的变形，使土工建筑物(如路堤、土坝等)或建 筑物(如房屋、桥梁、涵洞等)发生沉降、倾斜以及水平位移。
Dr. Han WX
土体在自身重力、建筑物荷载、交通荷载或其他因素(如地下水渗流、地
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《土力学》 第3章 土中的应力
§3.1 概述
Dr. Han WX
土中应力按其作用原理或传递方式可分为有效应力和孔隙应力两种。
土中有效应力是指土粒所传递的粒问应力，它是控制土的体积(或变形)和 强度两者变化的土中应力。
土中孔隙应力是指土中水和土中气所传递的应力，土中水传递的孔隙水应 力，即孔隙水压力；土中气传递的孔隙气应力，即孔隙气压力。 土是由三相所组成的非连续介质，受力后土 粒在其接触点处出现应力集中现象，即在研究土 体内部微观受力时，必须了解土粒之间的接触应
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《土力学》 第3章 土中的应力
§3.2 土中自重应力
3.2.1 均质土中的自重力
[例题4-1]某建 筑场地的地质柱 状图和土的有关 指标列于图4-5中。 试计算地面下深
第三章 土中应力
课程辅导 >>> 第三章、土中应力和地基应力分布第三章土中应力和地基应力分布一、内容简介土中应力是指自重、建筑物和构筑物荷载以及其他因素（如土中水的渗流、地震等）在土体中产生的应力。
土中应力过大时，会使土体发生破坏乃至发生滑动，失去稳定。
此外，附加应力会引起土体变形，使建筑物发生沉降、倾斜以及水平位移。
土是三相体，具有明显的非线性特征。
为简便起见，将地基土视作连续的、均匀的、各向同性的弹性半无限体，采用弹性理论公式计算土的应力。
这种假定同土体的实际情况有差别，不过其计算结果尚能满足实际工程的要求。
二、基本内容和要求1 ．基本内容（ 1 ）土中一点的应力状态；（ 2 ）弹性力学平衡方程及边界条件；（ 3 ）均匀满布荷载及自重应力作用下的应力计算；（ 4 ）垂直集中荷载、线状荷载、带状荷载、局部面积荷载作用下的应力计算；（５）基底接触压力；（６）刚性基础基底压力的简化计算方法。
2 ．基本要求★ 概念及基本原理【掌握】自重应力及附加应力； Winkler 假定；截面核心。
【理解】基底压力的分布规律。
★ 计算理论及计算方法【掌握】均匀满布荷载及自重作用下地基应力的计算；刚性基础基底压力简化算法的基本假定及计算；垂直集中、垂直线状荷载及带状荷载作用下地基应力的简化计算法；角点法；截面核心的计算。
三、重点内容介绍1 ．土中一点的应力状态土中一点的应力可用 6 个独立分量即、、、、、来表示。
其中，总可以找到三个相互正交的面，其上的 6 个剪应力分量均为 0 ，相应的法向应力称为主应力，并有。
对平面问题，设坐标系为x - z ，则有（ 3-1 ）最大主应力的作用方向与竖直线间的夹角θ由下式确定（ 3-2 ）2 ．弹性力学平衡方程设土体的重度为，则相应的平衡方程为在 x 轴方向（ 3 -3a ）在 y 轴方向（ 3-3b ）在 z 轴方向（ 3 -3c ）3 ．饱和土的有效应力原理外荷载在饱和土体内某点所产生的正应力由水和颗粒承担：其中，由水承担的应力称为孔隙水压力，颗粒之间的作用力所对应的应力称为有效应力，并有或（ 3-4 ）上式即为饱和土的有效应力公式。
土力学-土中应力和地基应力分布
M
x
R =r +z =x +y +z
3
2
σz =
3P z 3 1 P = 2π R5 2π [1 + (r / z)2 ]5/ 2 z 2
y z
集中力作用下的应 力分布系数
P σz = K (r / z) ⋅ 2 z
查表3－1
31
特
P σz = K ⋅ 2 z
K=
点 3
1
2π [1 + (r / z )2 ]5 / 2
x
σz τ zx τ xy σ y τ yz
r / z = tgβ
y z
σx
R 2 = r 2 + z 2 = x2 + y 2 + z 2
σx σy
σ z τ xy τ yz τ zx（P；x,y,z；R, α, β)
30
3P z3 σz = 2π R5
P o
2 2 2 2 2
αr x
R M’
y βz
1、 影响因素
•大小 •方向 •分布
荷载条件 基础条件 基底压力
•刚度 •形状 •大小 •埋深
地基条件
•土类 •密度 •土层结构等
11
2、刚性基础基底压力分布规律
在研究地基沉降时,不论基础的刚度如何,均可近似地视为刚性基础
（1）理论解
P
e
x
σ ( x) =
P π b2 − 4 x2
e x 1 + ( )( ) 2P b b σ ( x) = ⋅ π b 1 − (2 x / b) 2
开挖前 开挖 →卸载 完成后
−γ d
应力场σ cz
p
σ cz −σ z (γ d )
x
R =r +z =x +y +z
3
2
σz =
3P z 3 1 P = 2π R5 2π [1 + (r / z)2 ]5/ 2 z 2
y z
集中力作用下的应 力分布系数
P σz = K (r / z) ⋅ 2 z
查表3－1
31
特
P σz = K ⋅ 2 z
K=
点 3
1
2π [1 + (r / z )2 ]5 / 2
x
σz τ zx τ xy σ y τ yz
r / z = tgβ
y z
σx
R 2 = r 2 + z 2 = x2 + y 2 + z 2
σx σy
σ z τ xy τ yz τ zx（P；x,y,z；R, α, β)
30
3P z3 σz = 2π R5
P o
2 2 2 2 2
αr x
R M’
y βz
1、 影响因素
•大小 •方向 •分布
荷载条件 基础条件 基底压力
•刚度 •形状 •大小 •埋深
地基条件
•土类 •密度 •土层结构等
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2、刚性基础基底压力分布规律
在研究地基沉降时,不论基础的刚度如何,均可近似地视为刚性基础
（1）理论解
P
e
x
σ ( x) =
P π b2 − 4 x2
e x 1 + ( )( ) 2P b b σ ( x) = ⋅ π b 1 − (2 x / b) 2
开挖前 开挖 →卸载 完成后
−γ d
应力场σ cz
p
σ cz −σ z (γ d )
土力学_第4章(土体中的应力)
①平衡微分方程；②几何方程；③物理方程（本构关系）；④边界条件
z
zx
① 6个应 力分量
xy
② 3个位 移分量
z
zy
zx
yx
xz
x
y
x
y
③ 6个应 变分量 ④边界条件：应力边界；位移边界和混合边界 15个未知数，15个方程。
（二）土体的自重应力
（1）土体中的应力产生的原因有两个：自身重量引起的自重应力
处的地基土中附加应力？
y
（3）均匀分布水平荷载作用下
z Kh ph
ph—均布水平荷载 Kh— 均布水平荷载对矩形地基角点A和C下的
附加应力分布系数，无因次（查表）
L Z K h f ( m, n ) f ( , ) B B
z
ph
A B C
L x
问题：（1）水平分布荷载作用下，矩形基础短边B的中心连线处的附加
（2）有效应力原理的基本概念（太沙基1923年发现这个问题，1936年发表英文论文提出。）
①饱和土中两种应力形态
外荷载 总应力 孔隙水压力—承担法向应力，不能承担剪应力。 颗粒间应力—颗粒之间接触面承担并传递的应力。
A： 土单元的a-a断面积 As： 颗粒接触点的面积 Aw： 孔隙水的断面积
u A = wH2
孔隙水压力 u ：静水压强
u = w (z- H1)
sat H2
（-)
u=wH2
有效应力 σ ：σ
=-u
(u=0)
水位线以上： σ = = z
A σ=σ-u u=wH2
Z
H1 sat H 2
水位线以下：σ = - u = H1+(sat-w)（z-H1）- w (z- H1) A点 ：σ A = H1+(sat-w)H2 = H1+H2
土力学与地基基础-第三章.土中应力分布及计算解析
从上式可知，自重应力随深度z线性增
加，呈三角形分布图形。
2019/8/25
土中自重应力的计算
8
3.2 土中自重应力的计算
2. 成层土的压力计算
地基土通常为成层土。当地基为成层土体时，设各土层
的厚度为hi，重度为 ，则在i 深度z处土的自重应力计算公式 为：
n
cz ihi i 1
剪应力
xy
yx
3Q xyz
2
R5
1 2 3
xy(2R z)
R3
(
R
z)2
yz
zy
3Q 2
yz 2 R5
ZX
XZ
3Q 2
xz 2 R5
3.4 集中力作用下土中应力计算
X、Y、Z轴方向的位移
分别为：
刚性基础在中心载荷作用下，地基反力呈马鞍形，随着外 力的增大，其形状相应改变。如下图
2019/8/25
基础底面压力的分布和计算
15
3.3 基础底面压力的分布和计算
2019/8/25
基础底面压力的分布和计算
16
3.3 基础底面压力的分布和计算
2. 地基反力的简化计算方法
根据弹性理论的圣维南原理及土中实测结果，当作用在 基础上的总载荷为定值时，地基反力分布的形状对土中 应力分布的影响，只在一定深度范围内，当基底的深度 超过基础宽度的1.5-2.0倍时，它的影响已不显著。因此， 在实用上采用材料力学方法，即将地基反力分布认为是 线性分布的简化计算方法。
因此，基底附加压力p0是上部结构和基础传到基底的地基反力 与基底处原先存在于土中的自重应力之差(新增加的应力)(如图)
第三章 土中应力分布及计算
如图所示，在半无限土体表面作用一分 布荷载p(x,y)，为了计算土中某点M(x,y,z) 的竖向正应力sz值，可以在基底范围内 取单元面积dF=dxdh，作用在单元面积上 的分布荷载可以用集中力dQ表示， dQ=p(x,y) dxdh。
这时土中M点的竖向正应力sz值可用式（3－7） 在基底面积范围内积分求得，即
其中
这里l、b为基底平面的长边与短边尺寸。 将W的表达式代入（3-4）式得 （3-5） 1）当 e<l/6 时，基底地基反力呈梯形分布， pmin＞0； 2）当e＝l/6 时，基底地基反力呈三角形分布， pmin ＝0； 3）e>1/6 时，即荷载作用点在截面核心外， pmin＜0；基底地基反力出现拉力。由于地基土 不可能承受拉力，此时基底与地基土局部脱开， 使基底地基反力重新分布。
当上层土的压缩性比下层土的压缩性高 时（薄压缩层情况），即E1＜E2时，则 土中附加应力分布将发生应力集中的现 象。当上层土的压缩性比下层土的压缩 性低时（即硬壳层情况），即E1＞E2， 则土中附加应力将发生扩散现象，如图3 －14所示。
图3－14 双层地基中界面上附加应力的分布规律 (a) 应力集中 (b) 应力扩散
min
bl 2 W 6
pmax
N 6e (1 ) lb l
此时，由于地基土不可能承受拉力，此 时基底与地基土局部脱开，使基底地基 反力重新分布。根据偏心荷载与基底地 基反力的平衡条件，地基反力的合力作 用线应与偏心荷载作用线重合得基底边 缘最大地基反力p'max为：
p 'max 2N l 3( e)b 2
式中 （3-6） p——基底地基反力，为区别于附加压力，又称基底总压力； sc ——基底处自重应力； g ——基底标高以上天然土层按 分层厚度的加权重度；基础底面在地下水位以下，地下水 位以下的土层用有效重度计算； d —— 基础理置深度，简称基础埋深。
土中的应力和有效应力原理
荷载
(刚性基础基底压力分布)例如：箱形基础 混凝土坝
14
二、基底压力的简化计算
1. 轴心荷载下的基底压力
Pk = Fk + Gk A
A Lb
式中
Fk— 作用任基础上的竖向力标准值(kN)； Gk — 基础自重设计值及其上回填土重标准值的总重(kN)；
Gk=GAd ,G 其中为基础及回填土之平均重度，一般取
20kN/m3，但在地下水位以下部分应扣去浮力，即取
10kN/m3；
d —基础埋深，必须从设计地 面或室内外平均设计地面算起(m)；
A — 基底面积(m2)，对矩形基础A＝lb，l和b分别为其的长和宽
对于荷载沿长度方向均匀分布的条形基础，取单位长度进行基底平均压
4
土体中任意深度处的竖向自重应力 等于单位面积上土柱的有效重量
天然地面
z
cy
cz cx
cz z
1 1
z
cz σcz= z
5
当地基土由多个不同重度的土层（成层土）时：
n
c 1z1 2z2 ...... n zn i zi i 1
§ 4.2 基础底面压力
分析地基中 应力、变形 及稳定性的 外荷载
基地压力：建筑荷载在基础底
面上产生的压应力，
荷载
地基反力：地基支撑基础
的反力。
基底附加应力
大小相等、 方向相反的 作用力与 反作用力
基底压力 分布规律
基底压力 简化计算
重要的工程意义
11
一、基底压力的分布规律
1、（1）基底接触压力的产生
建筑物荷重基础地基在地基与基础的接触面上产生的 压力（地基作用于基础底面的反力）
(刚性基础基底压力分布)例如：箱形基础 混凝土坝
14
二、基底压力的简化计算
1. 轴心荷载下的基底压力
Pk = Fk + Gk A
A Lb
式中
Fk— 作用任基础上的竖向力标准值(kN)； Gk — 基础自重设计值及其上回填土重标准值的总重(kN)；
Gk=GAd ,G 其中为基础及回填土之平均重度，一般取
20kN/m3，但在地下水位以下部分应扣去浮力，即取
10kN/m3；
d —基础埋深，必须从设计地 面或室内外平均设计地面算起(m)；
A — 基底面积(m2)，对矩形基础A＝lb，l和b分别为其的长和宽
对于荷载沿长度方向均匀分布的条形基础，取单位长度进行基底平均压
4
土体中任意深度处的竖向自重应力 等于单位面积上土柱的有效重量
天然地面
z
cy
cz cx
cz z
1 1
z
cz σcz= z
5
当地基土由多个不同重度的土层（成层土）时：
n
c 1z1 2z2 ...... n zn i zi i 1
§ 4.2 基础底面压力
分析地基中 应力、变形 及稳定性的 外荷载
基地压力：建筑荷载在基础底
面上产生的压应力，
荷载
地基反力：地基支撑基础
的反力。
基底附加应力
大小相等、 方向相反的 作用力与 反作用力
基底压力 分布规律
基底压力 简化计算
重要的工程意义
11
一、基底压力的分布规律
1、（1）基底接触压力的产生
建筑物荷重基础地基在地基与基础的接触面上产生的 压力（地基作用于基础底面的反力）
第3章土体中的应力
基础底面处由于建造建筑物而增加的压力，等于基础底 面实际受到的压力减去原有压力（一般为自重应力）
p0 p D
(3-13)
3.4 地基中的附加应力 Section 4 Increased stress in foundation
3.4.1 附加应力的空间问题 Spacial problem of additional stress
2P pmax 3KL B K e 2
(3-10)
2. 条形基础（L>10B）(Strip footing)
p max
min
P1 6e 1 B B
(3-11)
3.3.3 偏心斜向荷载 Eccentric inclined load
1. 铅直向基底压力 Vertical Contact pressure
p( x , y ) My P Mx y x A Ix Iy
LB 3 Iy 12
(3-8)
BL3 Ix 12
单向偏心时（例如 x 轴）
p max
min
P 6e 1 A B
(3-9)
讨论（Discussion）： B 基底压力分布为梯形（Trapezoid） e 6 B 基底压力分布为三角形（Triangular） e 6 B 基底一侧的压力将出现零值，基底压力分布仍为 e 6 三角形（Triangular）
i 1
图3-1 土体中的自重应力分布
竖直向自重应力：土体中无剪应力存在，故地基中Z深 度处的竖直向自重应力等于单位面积上的土柱重量
• 均质地基：
• 成层地基：
sz z
sz
地面
i Hi
1 H1 2 H2 3 H3 sy
p0 p D
(3-13)
3.4 地基中的附加应力 Section 4 Increased stress in foundation
3.4.1 附加应力的空间问题 Spacial problem of additional stress
2P pmax 3KL B K e 2
(3-10)
2. 条形基础（L>10B）(Strip footing)
p max
min
P1 6e 1 B B
(3-11)
3.3.3 偏心斜向荷载 Eccentric inclined load
1. 铅直向基底压力 Vertical Contact pressure
p( x , y ) My P Mx y x A Ix Iy
LB 3 Iy 12
(3-8)
BL3 Ix 12
单向偏心时（例如 x 轴）
p max
min
P 6e 1 A B
(3-9)
讨论（Discussion）： B 基底压力分布为梯形（Trapezoid） e 6 B 基底压力分布为三角形（Triangular） e 6 B 基底一侧的压力将出现零值，基底压力分布仍为 e 6 三角形（Triangular）
i 1
图3-1 土体中的自重应力分布
竖直向自重应力：土体中无剪应力存在，故地基中Z深 度处的竖直向自重应力等于单位面积上的土柱重量
• 均质地基：
• 成层地基：
sz z
sz
地面
i Hi
1 H1 2 H2 3 H3 sy
第4章 土中应力
19×3＝57.0kPa 57+10.5×2.2=80.1kPa 80.1+9.2×2.5=103.1kPa 103.1+10×4.7=150.1kPa 150.1+22×2=194.1kPa
§4.2 土中自重应力
例4-2：某地基土层情况及其物理性质指标如图所示， 试计算a，b，c3个点处的自重应力σz度（m）。
则基底压力p按下式计算：
§4.3 基底压力
2.偏心荷载下的基底压力
对于单向偏心荷载下的矩形基础
（如图），通常基底长边方向和偏心
方向一致，基底两边缘的最大、最小
压力pmax、pmin按下式计算：
pmax
pm
in
F G lb
M W
式中：M - 作用于的矩形基础底面的力矩，kN m；
§4.1 概 述
（3）土体可视为半无限体 所谓半无限体就是无限空间体的一半。即该物 体在水平方向是无限延伸的，而在竖直方向仅在向 下的方向是无限延伸的，向上的方向为零。地基土 在水平方向和深度方向相对于建筑物地基的尺寸而 言，可认为是无限延伸的。因此，可以认为地基土 体是符合半无限体的假定。
§4.1 概 述
§4.3 基底压力
荷载条件 基底压力分布
地基条件
•大小 •方向 •分布
基础条件
•土类 •密度 •土层结构等
•刚度 •形状 •大小 •埋深
§4.3 基底压力
1. 基础刚度的影响 基础刚度是指其抗弯刚度，基础按刚度可划分 为如下三种类型： （1）柔性基础 柔性基础刚度很小，在荷载作用下，基础的变 形与地基的变形一致，如土坝、土堤、路基等土工 建筑物，其基底压力分布和大小与作用在基底上的 荷载分布和大小相同。
§4.4 地基附加应力
§4.2 土中自重应力
例4-2：某地基土层情况及其物理性质指标如图所示， 试计算a，b，c3个点处的自重应力σz度（m）。
则基底压力p按下式计算：
§4.3 基底压力
2.偏心荷载下的基底压力
对于单向偏心荷载下的矩形基础
（如图），通常基底长边方向和偏心
方向一致，基底两边缘的最大、最小
压力pmax、pmin按下式计算：
pmax
pm
in
F G lb
M W
式中：M - 作用于的矩形基础底面的力矩，kN m；
§4.1 概 述
（3）土体可视为半无限体 所谓半无限体就是无限空间体的一半。即该物 体在水平方向是无限延伸的，而在竖直方向仅在向 下的方向是无限延伸的，向上的方向为零。地基土 在水平方向和深度方向相对于建筑物地基的尺寸而 言，可认为是无限延伸的。因此，可以认为地基土 体是符合半无限体的假定。
§4.1 概 述
§4.3 基底压力
荷载条件 基底压力分布
地基条件
•大小 •方向 •分布
基础条件
•土类 •密度 •土层结构等
•刚度 •形状 •大小 •埋深
§4.3 基底压力
1. 基础刚度的影响 基础刚度是指其抗弯刚度，基础按刚度可划分 为如下三种类型： （1）柔性基础 柔性基础刚度很小，在荷载作用下，基础的变 形与地基的变形一致，如土坝、土堤、路基等土工 建筑物，其基底压力分布和大小与作用在基底上的 荷载分布和大小相同。
§4.4 地基附加应力
土体中的应力.
的应力增量。
2、基本假定
地基土是各向同性的、均质的线性变形体，而且在 深度和水平方向上都是无限延伸的。
二· 竖向集中力作用时的地基附加应力 布辛奈斯克解答
P
x
r x2 y2
r
y
R r2 z2
x
dz
y
Rz
dzy
dzx dxz
M
dyz dy dyx
dxy
dx
z
z
A AS Aw
断面竖向力平衡：
A Psv uAw Psv Aw u
AA
' u
P 接触点
h
自重应力下的两种力系
' u
' γ’z u γw(z+h)
z
2. 有效应力原理及其意义
（1） u
（2）土的变形和强度取决于有效应力而不是总应力。
P z2
z
P z2
竖向集中荷载下地基中附加应力的分布规律：
rP
地面
o
r=0
P
z1 z2 z3
z
z
(1) 地基附加应力的扩散分布性； (2) 在离基底不同深度处各个水平面上，以基底中心点下轴
线处最大，随着距离中轴线愈远愈小；
(3) 在荷载分布范围内之下沿垂线方向的任意点，随深度愈 向下附加应力愈小。
z
lb
]
(l 2 + b 2 + z 2 )
令
c
1
2
(m2
mn(m2 2n2 1) n2 )(1 n2 ) m2 n2
arctan
1
n
2、基本假定
地基土是各向同性的、均质的线性变形体，而且在 深度和水平方向上都是无限延伸的。
二· 竖向集中力作用时的地基附加应力 布辛奈斯克解答
P
x
r x2 y2
r
y
R r2 z2
x
dz
y
Rz
dzy
dzx dxz
M
dyz dy dyx
dxy
dx
z
z
A AS Aw
断面竖向力平衡：
A Psv uAw Psv Aw u
AA
' u
P 接触点
h
自重应力下的两种力系
' u
' γ’z u γw(z+h)
z
2. 有效应力原理及其意义
（1） u
（2）土的变形和强度取决于有效应力而不是总应力。
P z2
z
P z2
竖向集中荷载下地基中附加应力的分布规律：
rP
地面
o
r=0
P
z1 z2 z3
z
z
(1) 地基附加应力的扩散分布性； (2) 在离基底不同深度处各个水平面上，以基底中心点下轴
线处最大，随着距离中轴线愈远愈小；
(3) 在荷载分布范围内之下沿垂线方向的任意点，随深度愈 向下附加应力愈小。
z
lb
]
(l 2 + b 2 + z 2 )
令
c
1
2
(m2
mn(m2 2n2 1) n2 )(1 n2 ) m2 n2
arctan
1
n
《土力学》第六章习题集及详细解答.
《土力学》第六章习题集及详细解答第6章土中应力一填空题1．分层总和法计算地基沉降量时，计算深度是根据应力和应力的比值确定的。
2．饱和土的有效应力原理为：总应力σ=有效应力σˊ+孔隙水压力u ，土的和只随有效应力而变。
地下水位上升则土中孔隙水压力有效应力。
3．地基土层在某一压力作用下，经历时间t所产生的固结变形量与最终固结变形量之比值称为。
二选择题1．对非压缩性土，分层总和法确定地基沉降计算深度的标准是（ D ）。
(A) ；(B) ；(C) ；(D)2．薄压缩层地基指的是基底下可压缩土层的厚度H与基底宽度b的关系满足（ B ）。
(A) ；(B) ；(C) ；(D)3．超固结比的土属于（ B ）。
(A) 正常固结土；(B) 超固结土；(C) 欠固结土；(D) 非正常土4．饱和黏性土层在单面排水情况下的固结时间为双面排水的（ C ）。
(A) 1倍；(B) 2倍；(C) 4倍；(D) 8倍5．某黏性土地基在固结度达到40%时的沉降量为100mm，则最终固结沉降量为（ B ）。
(A) 400mm ； (B) 250mm ； (C) .200mm ； (D) 140mm6．对高压缩性土，分层总和法确定地基沉降计算深度的标准是（ C ）。
(A) ；(B) ；(C) ；(D)7．计算时间因数时，若土层为单面排水，则式中的H取土层厚度的（ B ）。
(A)一半； (B) 1倍； (C) 2倍； (D) 4倍8．计算地基最终沉降量的规范公式对地基沉降计算深度的确定标准是（ C ）。
(A) ；(B) ；(C) ；(D)9．计算饱和黏性土地基的瞬时沉降常采用（ C ）。
(A) 分层总和法； (B) 规范公式； (C) 弹性力学公式；10．采用弹性力学公式计算地基最终沉降量时，式中的模量应取（ A ）(A) 变形模量； (B) 压缩模量； (C) 弹性模量； (D) 回弹模量11．采用弹性力学公式计算地基瞬时沉降时，式中的模量应取（ C ）。
土和地基中的应力及分布
应用弹性力学关于弹性半空间的理论解答
第24页/共52页
位 移
应 力
图3-26 集中荷载作用下的应力
一、垂直集中荷载
第25页/共52页
法国著名物理家和数学家，对数学物理、流体力学和固体力学都有贡献。
Valentin Joseph Boussinesq (1842-1929)
第26页/共52页
第18页/共52页
P
矩形面积中心荷载
§3.4 刚性基础基底压力简化计算
第19页/共52页
e<b/6: 梯形分布
x
y
b
a
P
矩形面积单向偏心荷载
e<b/6: 三角形分布
第20页/共52页
e>b/6: 出现拉应力区
基底压力合力与总荷载相等
压力调整
矩形面积单向偏心荷载
x
y
b
a
P
第21页/共52页
条形基础取单位长度计算
第46页/共52页
分析步骤Ⅱ:
2.基底附加压力计算
基底标高以上天然土层的加权平均重度
基础埋置深度
第47页/共52页
分析步骤Ⅲ:
3.基底中点下附加压力计算
第48页/共52页
分析步骤Ⅳ:
地基附加应力分布曲线
第49页/共52页
⑵梯形分布的矩形荷载
【例3-3】 有一矩形均布面积荷载，平面尺寸为3m×4m，单位面上压力p=300kPa，如图3-44所示。试计算在矩形短边延长线上，离角点外侧1m、地面下4m处A点的σz：
第2页/共52页
二 地基中的几种应力状态
1. 三维应力状态
图 3.2 地基中的三维应力状态
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位 移
应 力
图3-26 集中荷载作用下的应力
一、垂直集中荷载
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法国著名物理家和数学家，对数学物理、流体力学和固体力学都有贡献。
Valentin Joseph Boussinesq (1842-1929)
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P
矩形面积中心荷载
§3.4 刚性基础基底压力简化计算
第19页/共52页
e<b/6: 梯形分布
x
y
b
a
P
矩形面积单向偏心荷载
e<b/6: 三角形分布
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e>b/6: 出现拉应力区
基底压力合力与总荷载相等
压力调整
矩形面积单向偏心荷载
x
y
b
a
P
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条形基础取单位长度计算
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分析步骤Ⅱ:
2.基底附加压力计算
基底标高以上天然土层的加权平均重度
基础埋置深度
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分析步骤Ⅲ:
3.基底中点下附加压力计算
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分析步骤Ⅳ:
地基附加应力分布曲线
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⑵梯形分布的矩形荷载
【例3-3】 有一矩形均布面积荷载，平面尺寸为3m×4m，单位面上压力p=300kPa，如图3-44所示。试计算在矩形短边延长线上，离角点外侧1m、地面下4m处A点的σz：
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二 地基中的几种应力状态
1. 三维应力状态
图 3.2 地基中的三维应力状态
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承受该截面以上土和水的重量
ci ' ci w hw
自重应力随深度变化的分布情况，可以用应力分布线来表示 纵坐标——计算点的深度 横坐标——自重应力值
γ σ
1
1
h1
γ 1h1 γ 2' h2 hw
γ σ 2'
w w
h γ 2'h2
γ 1h1
σ
2
γ σ γ
3 3sat 3
c 2 ' c 2 w hw 35.8 9.8 2 55.4kpa
第三层 ' h 55.4 20.8 3 117.8kpa c3 c2 3 sat 3
三、土中附加应力及其分布规律：
（一）、附加应力的分布规律 在具体谈及附加应力的计算之前，先粗略地说明一 下附加应力在土中的分布特点。为便于说明，可以 把构成土骨架的土粒假定为一个个大小相同的小圆 柱，并假定它们分层迭码。设地面有集中力P＝1 作用，此力开始由第一层的一个小圆柱承受，然后 此圆柱将受到的P＝1的力传给第二层的两个小圆 柱，这两个小圆柱各受到1/2的力，它们又把力传
z
i
i
ci i hi
i 1
【例 2.2.1】 某土层及其物理性质指标如图 算土中自重应力。
a
2.2.2所示。试计
5m
细砂
γ =19kN/m 3 95kPa γ =20kN/m 3
b
3m
黏土 c
155kPa
解： 如图，各点自重应力为：
a点： z 0, cz z 0, b点： cz h 19 5 95kPa 2 c点： cz i hi 19 5 20 3 155kPa
3sat
h3
h
γ 2'h2
γ 1h1
γ whw
地基土及资料如图，求深度6m处的自重应力，并作出自 重应力分布图
1m 细砂 2m γ =16kN/m3 γ '=9.9kN/m3
3m
饱和 粘土
γ
sat=20.8kN/m3
解：
第一层 c1 1h1 161 16kpa 第二层 c 2 c1 2 ' h2 16 9.9 2 35.8kpa
i 1
土层中的自重应力分布如图2.2.2所示。
γ的取值要求：
Ⅰ. 位于地下水位以上的土层
土粒之间没有自由水存在， 计算自重应力时——用天然状态下的容重
Ⅱ. பைடு நூலகம்于地下水位以下的土层
地下水位以下的土层处于饱和状态
⑴ 透水性土
土的孔隙中为自由水，土颗粒受到各向均等的静水
压力作用，静水压力不应包括在砂土的自重应力中，
二、土中自重应力及其分布规律： 土的自重应力计算有如下假定：①地面为水平并无限延伸；
②同一土层内的土为匀质的，具有相同的天然重度；③不 考虑土的黏聚力。 自重应力既然由土的自重引起，应力的大小自然与土的重度 有关。这里所讲的重度，是指土的有效重度，即能在土体中 产生应力的重度。在不同的情况下，土的有效重度是不同的， 可能是天然重度、浮重度或饱和重度，自重应力除了与有效 重度有关外，还与土的深度有关。 我们以最简单的天然地基—无水时单层土为例来观察土中自 重应力的分布规律。 在无水的情况下，土的天然重度就是有效重度。在土层中取 一截面面积为A的土柱，此土柱底面离地面的深度为z（见 图2.2.1），由于不考虑土的黏聚力，故土柱底面的垂直应 力（即竖向自重应力）应等于土柱自重除以土柱底面面积， 即
在设计建筑物的基础时，必须保证基础处的地基土
具有足够的强度和稳定性，同时也要把地基的变形 控制在容许范围之内。为此，必须认知土中应力及 其分布规律，了解土中应力计算方法。 土中应力分为竖向自重应力和竖向附加应力两种。 由土的自重引起的应力称为自重应力，它随深度增 加而增大。由外荷载（如建筑物、堆载等）引起的 应力称为附加应力，它随深度增加而减小。一般情 况下，在自重应力的作用下，地基的变形早已结束， 只有外荷载引起的应力才会使地基再次变形，但在 某些情况下，如新填土在其自重应力作用下、老土 层在因地下水位下降而增大的自重应力作用下，也 会使地基产生变形。
复习旧课
1.铁路桥梁工程中，土被分为哪几类？ 2.在我国，哪些土是特殊土？并找出它们各自的 特殊性质。
学习任务2.2.1 认知土中应力及其分布规律
一、建筑物满足两个基本要求：
1、地基变形在容许范围之内
——与土的物理力学性质有关
2、地基具有足够的强度和稳定性
——与土中应力状态的变化情况有关
一、概述
给第三层的3个小圆柱，如此下去，每个小圆柱都 把自己受到的力传给下层的两个小圆柱，于是可得 到如图2.2.3所示的各层小圆柱的受力图。由此可大 致看出附加应力的分布有如下特点：
（1）土中应力的扩散范
围随深度逐渐加大。 （2）应力随深度变化的 总趋势是越深越小。 （3）在同一水平面上， 离集中力作用线（如为 分布荷裁，则为荷载重 心线）的水平距离越远， 应力越小，位于作用线 上者最大。 当然，地基中土的结构 比图2.2.3的假想排列要 复杂得多，土中附加应 力的实际分布也不会如 此简单，但总的分布规 律大致如此。
刚性基础
刚性基础 ——指本身刚度相对地基土来说很
大，在受力后底面不发生挠曲变形的基础。
如扩大基础。
柔性基础——刚度极小的基础。如地基。
课后习题
1.填空：天然地基土中只有
，建筑物基础下土中应力
有 和 。 2.什么是自重应力？它有什么样的分布规律？ 3.什么是附加应力？它的分布规律又如何？
P=1 地面 1
1 4 4 16 1 2 3 8 2 4 6 16 1 2 3 8 1 4 4 16
z
1 16
1 8
1 8
1 16
图2.2.3 附加应力扩散示意图
基础底面的压力分布
一、基底压力（接触压力）：指基础底面和地基土两者 相接触面上的法向应力。 F
建筑物荷载通过基础把压力传到地基面上， 地基对基础的反力与接触压力的大小相等，方 向相反。 按与地基土的相对刚度大小，建筑物基 础分类为 柔性基础
w
式（2.2.1）表 明，任意深度处 土的自重应力为 土的有效重度与 土深的乘积，即 自重应力随深度 呈线形分布；
z
σ cz A
σ =γ z
cz
图2.2.1 无水时单层土的自重应力分布
cz
A z
A
z （2.2.1）
自重应力公式：
深度内共 n 层性质不同的土 层，令第 i 层土厚为 h ，容重为 则 n
而且土颗粒还受到浮力作用。 计算自重应力时——用浮容重 '
⑵ 不透水性土
土的孔隙中充满结合水，对土粒不产生浮力作用。 计算自重应力时——用饱和容重 sat
注意：透水与不透水界面处的自重应 力有一个突变—— 深 hw 的水 加在此截面上的满布压力 w hw
可设想不透水层截面为一个盆底，