第三章集中量数

16
Mg = N −1
XN
X1
= 6−1 97
40
1 97 lg 5 40 ⇒ Mg = 1.1938 lg Mg =
调和平均数
调和平均数 （harmonic mean）是一组 数据倒数的算术 平均数的倒数， 平均数的倒数， 故又称倒数平均 数，用符号MH 表示。 表示。
主要用来求学习速度。 主要用来求学习速度。 平均速度一般用单位时 间内的工作量来表示。 间内的工作量来表示 。
N 2
Mdn =
+X
N +1 2
6
解：1、排序 例3-6：五名 学生的物理成 绩分别55,64, 89,98,34请问 五名学生的平 均成绩是多 少？
2、 N=5，为奇数 为奇数 3、中数位置=
N +1 2
=3
4、中位数是 中位数是64
例3-7:六架直升飞机的最大速度分别为450km/h、 420km/h、 500km/h 、 530km/h 、600km/h 、1100km/h，请问平均速 度是多少?
1）求总平均数
2）归一化均数
i
X
t
=
∑ nX ∑n
X = ∑Wi X i
n
=群组人数
X i =群组平均数
例3-3：某校初三期末物理考试后， 某校初三期末物理考试后，经初步统计得知 一班55人的平均成绩为80.5，二班52人的平均成绩 为78.2，三班56人的平均成绩为83。试问该年级的 平均物理成绩是多少？ 平均物理成绩是多少？
数据的分布特征
集中趋势 (位置) 离中趋势 (分散程度) 偏态和峰度 （形状） 形状）
数据的特征和测量
数据的特征和测量
集中趋势
众 众 数 中位数 中位数 均 均 值
离散程度
分布的形状
偏 偏 态 态 峰 峰 度 度
异众比率 异众比率 四分位差 四分位差 方差和标准差 方差和标准差 离散系数 离散系数
1
13
例3-4：某生的统计成绩， 某生的统计成绩，平时为90，期中为84分， 期末为83分，该学科平时、 该学科平时、期中、 期中、期末分数之比 为2:3:5。试问该生统计的学期成绩是多少？ 试问该生统计的学期成绩是多少？
二、几何平均数
定义： 定义：是N个数值连乘积 的N次方根， 次方根，用符号Mg 表示。 表示。 计算的基本公式：
1、排序：420、450、500、530、600、1100
2、N=6，为偶数
中数位置=
N 2
3 、中位数的数值： 中位数的数值：排在第3、4位上的数分别为500与530
Mdn = 1 X 2 +X
N 2
N +1 2
=(500+530) ÷2=515
7
2、中数附近有重复数时
ONE
TWO
THREE
FOUR
了解数据的分布特征 掌握集中量数的计算
正确选择种种集中量数 理解集中量数的含义
第一节 算术平均数
一 、 定义： 定义： 所有观测值（ 所有观测值（ 或变量值） 或变量值） 的总和, 的总和, 除以观 测值个数的商。 测值个数的商。简称平均数、 简称平均数、均数或均值。 均数或均值。 样本统计量符号为 X ，英文符号M M（Mean） 英文符号 Mean） µ 表示总体参数的希腊字符 。
例3-8:2，17 ，3，4，6，9，4，9，10，14， 9
解:1、排序 2、中位数的位 置在第六个位置 3、但第六个位 置的数为9，但9 有三个
第一个9
8.50
第二个9
9.166
第三个9
9.499
8.833
（8.50+8.833) ÷2=8.666
Mdn = Lb +
i N − Fb f 2
重复次数与次 数分布表中位 数的公式
Mdn = La −
i N − Fa f 2
8
二、 众数
一组数据中出 现次数最多的 数值
符号 ：
众众众众 数数数数
Mo
观察法
• 原始数据： 原始数据： 次数最多的 数值 • 次数分布表： 次数分布表： 次数最多一 组的组中值
计算法
众数 的确定 方法
最先的原始数 据（基数） 基数）
【3-5】有一研究者想研究介于s1与s2两感觉之间 的感觉的物理的物理刺激是多少。随机抽取10名 被试，让其调节一个可变的物理刺激， 激，使产生的 感觉愉介于s1与s2之间，然后测量所调节刺激的 物理量。10名被试的结果为：5.7， 5.7，6.2， 6.2，6.7， 6.7， 6.9， 7.5， 8.0， 7.6， 10.0， 15.6， 18.0。 6.9 ，7.5 ，8.0 ，7.6 ，10.0 ，15.6 ，18.0 。问这 个被试让其两感觉之间的那个感觉的物理刺激量 的平均值是多少？
正偏态分布
正态分布
负偏态分布
10
二、集中量数的比较
(一)优良集中量数的条件 1、反应灵敏
2、计算严密 3、意义简明， 意义简明，易于理解 4、容易计算 5、适合代数运算及进一步的统计处理 6、受抽样变动的影响小
均数 优 点 缺 点 应 用 符合条件①②③ 符合条件①②③ ④⑤⑥ 易受极端值影响 数据模糊不清时 加权平均、 加权平均、相关 等
集中趋势
集中趋势：一组数据向其中心值靠拢的 集中趋势 一组数据向其中心值靠拢的倾向和程度 一组数据向其中心值靠拢的倾向和程度 集中量数： 集中量数：一组数据一般水平的代表值或中心值 一组数据一般水平的代表值或中心值
第三章 集中量数
1
算术平均数
中位数与百度文库数 集中量数的选择与应用 其它集中量数
3
1
4
2
课堂练习
1.请就下列各组数据选择最佳的集中量指标， 请就下列各组数据选择最佳的集中量指标，并计算 出结果。 出结果。 ① 7，10，4，8，9，10，6，8 ② 8，5，9，10，11，14，11，12，40 ③ 17，19，12，17，17，10，52，17，17
12
第四节 其它集中量数
一、加权平均数
中数 符合条件③④ 符合条件③④ ⑥ 少受极端值影 违反①②⑤ 违反 ①②⑤ 数据不清 出现极端数据 快速估计代表 值
众数 符合条件③ 符合条件③
违反①②④⑤⑥ 违反①②④⑤⑥ 快速粗略估计代表 值与数据分布 不同质数据 有极端数据
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数据类型和所适用的集中趋势测度值
数据类型 适 用 的 测 度 值 类别变量 ※众数 — — — 顺序变量 ※中位数 四分位数 众数 — 等距变量 ※均值 众数 中位数 四分位数 比率变量 ※均值 中位数 四分位数 众数
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1 1 1 1 1 + + ⋅⋅⋅ + N X1 X 2 XN 1 N = = 1 1 1 ∑ ∑ N X X MH =
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本章学习要求
这节课你学到了什么知识？ ？ 这节课你学到了什么知识 ☆ 本章学习要求： 本章学习要求：
理解各集中量数的意义与作用 算术平均数、 算术平均数、加权平均数的计算与应用 集中量数的选择
思考： 思考：
某企业有一名总经理， 某企业有一名总经理，两名经理， 两名经理， 八名员工， 八名员工，总经理的工资是12000 总经理的工资是12000 元，经理的工资为4000 经理的工资为4000元 4000元，员工的 工资为1000 工资为1000元 1000元。试问这个企业的平 均工资为多少？ 均工资为多少？
5
第二节
一、中位数： 中位数：
中位数与众数
一组数据排序后处于中间位置上的数值。 一组数据排序后处于中间位置上的数值。符号 为
Md 或 Mdn
50%
Md
50%
中位数的计算
(一）原始数据 1、中数附近无重复数时 无重复数时 N为奇数时 N为偶数时
中数位置 =
N +1 2 N 中数位置 = 2
1 X 2
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解:部分数据偏大， 部分数据偏大，可用基本公式
lg Mg = =
∑ lg X
N
i
1 (lg 5 . 7 + lg 6 . 2 + L + lg 18 . 0 ) 10 = 0 . 932
Mg = 8.552
【例3-6 】在一项有关阅读能力的实验中， 在一项有关阅读能力的实验中，得 到如下结果， 到如下结果，阅读数与每遍理解的程度依次是 第一遍为40% 第一遍为40%， 40%，第二遍为52% 第二遍为52%， 52%，第三遍为65% 第三遍为65%， 65%， 第四遍为75% 第四遍为75%， 75%，第五遍为86% 第五遍为86%， 86%，第六遍为97% 第六遍为97%。 97%。 在该实验中被试阅读能力的平均进步率是多少？ 在该实验中被试阅读能力的平均进步率是多少？ 阅读能力的平均增加比率又是多少
X =
∑
Xi
N
3
例3-1：10名学生的心理与教育 统计成绩为68，77，63，79， 70，79，70，79，86，80。 试问这组数的平均数为多少？ 试问这组数的平均数为多少？
二、算术平均数的性质
一组变量值的和等于变量的个数与其平均数的乘 积， 即
∑ X = NX
一组变量值的离均差之和等于零， 一组变量值的离均差之和等于零，即 除以常数
Mg = N X 1 ⋅ X 2 ⋅ X 3 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ X i
N为数据个数， 为数据个数， Xi为数据（ 为数据（变量） 变量）值
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计算的对数公式：
用于分布中有少 数数据偏大或偏小
lg X ∑ lg Mg = N
i
计算的变式
数据间几乎成 比较关系变化
Mg = N −1
XN
X1
最后的原 始数据
∑ (X − X ) = 0
在一组变量值中， 在一组变量值中，每个变量值加上或减去、 每个变量值加上或减去、乘以或 加上， 加上，除以或乘以常数
c ，所得的平均数等于原平均数减去或
c
。
4
三、平均数应用的原则
1
2
3
同质性原则 （P60)
平均数与个 体数值相结 合的原则
平均数与标 准差、 准差、方差 相结合
Mo = 3Mdn− 2 X
M o = Lb +
fa ⋅i fb
9
1
集中量数的选择与应用
一、均数、中数、众数的关系 正态分布时 ：
X = Mdn = Mo
数据分布为偏态分布时，
(X − Mdn) : (X − Mo) = 1 : 3
众数、中位数和均值的关系图
均值 中位数 众数 均值 = 中位数 = 众数 众数 中位数 均值