线性代数习题相似矩阵及二次型

5-1向量的内积与方阵的特征值
1．设λ为矩阵A 的特征值，且0≠λ，则
λ
A
为 的特征值。

;.;
.;
.;
.1*1--A d A c A b A a λλ
2．设A 为n 阶实对称阵，21,x x 为A 的不同特征值对应的特征向量，则 。

1.21=x x a T 1.x b 与2x 线性相关； 1.x c 与2x 线性无关；
0.21=+x x d
3．设21,λλ都为n 阶矩阵A 的特征值)(21λλ≠，且21,x x 分别为对应于21,λλ的特征向量，则当 满足时，2211x k x k x +=必为A 的特征向量。

0.1=k a 且02=k ； 0.1=k b 且02≠k ； 0.1≠k c 且02≠k ； 0.21=⋅k k d
4．设n 阶方阵A 的特征值全不为零，则 。

n A r d n A r c n A r b n A r a <≤≠=)(.;)(.;)(.;)(.
5.设矩阵⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛--=314020112A ,求A 的特征值及特征向量.
6．试用施密特法把向量组⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡---=011
101110
11
1),,(321a a a 正交化。

7．设A 与B 都为n 阶正交阵，证明：AB 也是正交阵。

8．证明：正交阵的行列式必定等于1或—1。

9．设x 为n 维列向量且1=x x T ，而T xx E H 2-=，试证H 是对称的正交矩阵。

习题5-2 相似矩阵与对称矩阵的对角化
1．设A 与B 为n 阶方阵，则B A =是A 与B 相似的 。

.a 充分条件； .b 必要条件； .c 充要条件； .d 无关
条件
2.对实对称阵⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢
⎣⎡=10
01,10
01
B A ，有A 与B 。

.a 互为逆矩阵； .b 相似； .c 等价； .d 正交
3. n 阶矩阵A 与对角阵相似的充要条件是 。

a. 矩阵A 有n 个特征值；
b. 矩阵A 有n 个线性无关的特
征向量；
c. 矩阵A 的行列式0≠A ；
d. 矩阵A 的特征多项式有重根
4. 设n 阶矩阵A 与B 相似，则 。

a.A 与B 正交；
b. A 与B 有相同的特征向量；
c. A 与B 等价；
d. A 与B 相同的特征值。

5.若A 与B 是相似矩阵，证明T A 与T B 也相似。

6.设方阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=12
4
22
421
x A 与⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣
⎡-=Λ45
y
相似，求x 与y 。

7.设三阶方阵A 的特征值1，—2，2，且235A A B -=，求B 的特征值与B 。

8.设矩阵⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡--=3113A ，①求A 的特征值，②求E+1
-A 的特征值。