孙子算经《鸡兔同笼解法》

孙子算经《鸡兔同笼解法》

鸡兔同笼问题是中国古代著名的数学问题。那是已知鸡兔的总头数和总足数，求鸡兔各有多少只的一类典型应用题（本博前面曾多次介绍，为便于阅读在本文最后加了链接，有兴趣可点击查看）。它的题型虽然固定，但解题思路方法却多种多样，如假设法、削补法、转化法、分组法、盈亏法、倍比法、设零法、代数法等等，且解法还在不断创新。下面举一例给出几种解法供参考。

例：鸡兔同笼，上有40个头，下有100只足。鸡兔各有多少只？

1、极端假设

解法一：假设40个头都是鸡，那么应有足2×40=80（只），比实际少100-80=20（只）。这是把兔看作鸡的缘故。而把一只兔看成一只鸡，足数就会少4-2=2（只）。因此兔有20÷2=10（只），鸡有40-10=30（只）。

解法二：假设40个头都是兔，那么应有足4×40=160（只），比实际多160-100=60（只）。这是把鸡看作兔的缘故。而把一只鸡看成一只兔，足数就会多4-2=2（只）。因此鸡有

60÷2=30（只），兔有40-30=10（只）。

解法三：假设100只足都是鸡足，那么应有头100÷2=50（个），比实际多50-40=10（个）。把兔足看作鸡足，兔的只数

（头数）就会扩大4÷2倍，即兔的只数增加（4÷2-1）倍。因此兔有10÷（4÷2-1）=10（只），鸡有40-10=30（只）。

解法四：假设100只足都是兔足，那么应有头100÷4=25（个），比实际少40-25=15（个）。把鸡足看作兔足，鸡的只数（头数）就会缩小4÷2倍，即鸡的只数减少1-1÷（2÷4）

=1/2。因此鸡有15÷1/2=30（只），兔有40-30=10（只）。

2、任意假设

解法五：假设40个头中，鸡有12个（0至40中的任意整数），则兔有40-12=28（个），那么它们一共有足

2×12+4×28=136（只），比实际多136-100=36（只）。这说明有一部分鸡看作兔了，而把一只鸡看成一只兔，足数就会多4-2=2（只），因此把鸡看成兔的只数是36÷2=18（只）。那么鸡实际有12+18=30（只），兔实际有28-18=10（只）。

解法六：假设100只足中，有鸡足80只（0至100中的任意整数，最好是2的倍数），则兔足有100-80=20（只），那么它们一共有头80÷2+20÷4=45（个），比实际多45-40=5（个）。这说明把一部分兔足看作鸡足了，而把兔足看成鸡足，兔的只数（头数）就会增加（4÷2-1）倍。因此把兔看作鸡的只数是5÷（4÷2-1）=5（只），那么兔实际有20÷4+5=10（只），鸡实际有40-10=30（只）。

通过比较可知：任意假设是极端假设的一般形式，而极端假设是任意假设的特殊形式，也是简便解法。

3、除减法

解法七：用脚的总数除以2，也就是100÷2=50（只）。这里我们可以设想为，每只鸡都是一只脚站着；而每只兔子都用两条后腿，像人一样用两只脚站着。这样在50这个数里，鸡的头数算了一次，兔子的头数相当于算了两次.因此从50减去总头数40，剩下的就是兔子头数10只。有10只兔子当然鸡就有30只。

这种解法就是《孙子算经》中记载的：做一次除法和一次减法，马上能求出兔子数，多简单！

4、盈亏法

解法八：把总足数100看作标准数。假设鸡有25只，兔则有40-25=15（只），那么它们有足2×25+4×15=110（只），比标准数盈余110-100=10（只）；再假设鸡有32只，兔则有40-32=8（只），那么它们有足2×32+4×8=96（只），比标准数不足

100-96=4（只）。根据盈不足术公式，可以求出鸡的只数。即鸡有（25×4+32×10）÷（4+10）=30（只），兔则有40-30=10（只）。

5、比例分配

解法九：40个头一共100只足，平均每个头有足

100÷40=2.5（只）。而一只鸡比平均数少（2.5-2）只足，一只兔比平均数多（4-2.5）只足。根据平均问题的“移多补少”思想：超出总数等于不足总数，故知：（2.5-2）×鸡的只数=（4-2.5）×兔的只数。因此，

鸡的只数︰兔的只数=（4-2.5）︰（2.5-2）=1.5︰0.5=3︰1 按比例分配可以求出鸡兔各有多少只。即鸡有40×3/（3+1）=30（只），而兔则有40×1/（3+1）=10（只）。

6、布列方程

解法十：设鸡有x只，那么兔有（40-x）只。根据题意列方程：

2x+4（40-x）=100

解这个方程得：x=3040-x=40-30=10那么鸡有30只，兔有10只。

鸡兔的头数关系除了“和”的形式外，还可以把“差”和“倍数”作为已知条件。同样，鸡兔的足数关系除了“和”的形式外，也可以把“差”和“倍数”作为已知条件。如果把鸡兔头数关系的三种条件与足数关系的三种条件交叉组合，除了上面的例题，还可以形成以下变式练习题。

1、鸡兔同笼，它们一共有100只，而鸡足比兔足多80只。鸡兔各有多少只？

2、鸡兔同笼，它们一共有84只，而鸡足是兔足的3倍。鸡兔各有多少只？

3、鸡兔同笼，鸡比兔多26只，它们一共有274只足。鸡兔各有多少只？

4、鸡兔同笼，鸡比兔多3只，兔比鸡多28只足。鸡兔各有多少只？

5、鸡兔同笼，鸡比兔少10只，兔足是鸡足的3倍。鸡兔各有多少只？

6、鸡兔同笼，鸡的只数是兔的3倍，它们一共有120只足。鸡兔各有多少只？

7、鸡兔同笼，鸡的只数是兔的3倍，鸡足比兔足多120只。鸡兔各有多少只？

8、鸡兔同笼，鸡比兔的3倍多6只，鸡足比兔足的2倍少24只。鸡兔各有多少只？

附：鸡兔同笼变式题组的参考答案

以上题组，每道题都有多种解法。下面提供的仅仅是参考答案，其思想方法，还需要读者作进一步的探讨明晰。

1、解一：（2×100-80）÷（4+2）=20（只）----（兔）

解二：（4×100+80）÷（4+2）=80（只）----（鸡）

解三：（100-80÷2）÷（4÷2+1）=20（只）----（兔）

解四：（100+80÷4）÷（4÷2+1）-80÷4=20（只）----（兔）

2、解一：84÷（4×3÷2+1）=12（只）----（兔）

解二：2×84÷（4×3+2）=12（只）----（兔）

3、解一：（274-2×26）÷（4+2）=37（只）----（兔）

解二：（274+4×26）÷（4+2）=63（只）----（鸡）

解三：（274÷2-26）÷（4÷2+1）=37（只）----（兔）

4、解一：（28+2×3）÷（4-2）=17（只）----（兔）