数字信号处理(第三章 离散傅里叶变换DFT)

则 DFT[ax1(n) bx2 (n)] aX1(k) bX 2 (k)
a, b为任意常数
这里，序列长度及DFT点数均为N 若不等，分别为N1，N2，则需补零使两序列长度 相等，均为N，且 N max[N1, N2 ]
2、序列的圆周移位
定义： xm (n) x((n m))N RN (n)
X (k) X ((k))N
X (k) X (k)RN (k)
有限长序列的DFT正变换和逆变换：
N 1
X (k) DFT[x(n)] x(n)WNnk
n0
0 k N 1
x(n)
IDFT[ X (k)]
1 N
N 1
X (k )WNnk
k 0
0 n N 1
N 1
或 X (k ) x(n)WNnk RN (k ) X (k )RN (k )
X (0) 60 X (1) 9 j3 3 X (2) 3 j 3
X (3) 0 X (4) 3 j 3 X (5) 9 j3 3
例：已知序列x(n) R4 (n), 将x(n)以N 8为周期 进行周期延拓成x(n)，求x(n)的DFS。
解法一：数值解
N 1
X (k ) x(n)WNnk
e 24
sin
2
2
8
k
sin
1 2
2
8
k
e
j 3 k 8
sin
2
k
sin
8
k
求x n的16点DFT N 16
X k X e j 2 k 16
j 32 k
e 2 16
sin
2
2
16
k
sin
1 2
2
16
k
j 3k
e 16
sin
4
k
sin
16
k
四、离散傅里叶变换的性质
X2 (k) DFS[x2(n)]
则
DFS[ax1(n) bx2 (n)] aX1(k) bX2(k)
其中，a,b 为任意常数
2、序列的移位
DFS[
x(n
m)]
WN
mk
X
(k
)
e
j
2 N
mk
X
(k
)
N 1
证：DFS[x(n m)] x(n m)WNnk
n0
令i n m
N 1m
1 2j
WNnl
x(n)
WNnl
x(n)
j 2 nl
j 2 nl
e N e N x(n) x(n)sin 2 nl
2j
N
3、共轭对称性
序列的Fourier变换的对称性质中提到： 任意序列可表示成 xe (n) 和 xo (n) 之和:
x(n) xe (n) xo (n)
其中：xe (n) xe*(n) 1/ 2[x(n) x*(n)]
x1(n)和x2 (n)，求两个周期序列的周期卷积和。
N 1
解： y(n) x1(m)x2 (n m)
m0
5
x1(m)x2 (n m)
m0
同样，利用对称性
若
y(n) x1(n)x2 (n)
则
N 1
Y (k) DFS[ y(n)] y(n)WNnk
n0
1 N
N 1
X1(l)X 2(k
了解序列的抽取与插值过程
一、Fourier变换的几种可能形式
时间函数
频率函数
连续时间、连续频率—傅里叶变换 连续时间、离散频率—傅里叶级数 离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换 离散时间、离散频率—离散傅里叶变换
➢ 信号时频域关系图
(a)
Amplitude
Amplitude
Frequency
(b) Frequency Domain
n0
7
3
x(n)W8nk W8nk
n0
n0
j 2 k
j 2 2k
j 2 3k
1 e 8 e 8 e 8
X (0) 4 X (1) 1 j 2 1 X (2) 0 X (3) 1 j 2 1
X (4) 0 X (5) 1 j 2 1 X (6) 0 X (7) 1 j 2 1
DFT正变换和逆变换：
N 1
X (k) DFT[x(n)] x(n)WNnk RN (k) n0
x(n)
IDFT[ X
(k )]
1 N
N 1
X (k )WNnk RN (n)
k 0
其中：
j 2
WN e N
1、线性：
若
X1(k) DFT[x1(n)]
X 2 (k) DFT[x2 (n)]
二 、周期序列的DFS及其性质
周期序列：x(n) x(n rN ) r为任意整数 N为周期
连续周期函数：
xa (t) xa (t kT0 ) T0为周期
xa (t) A(k )e jk0t
k
基频：0 2 / T0
k次谐波分量：e jk0t
N为周期的周期序列：
x(n) A(k)e jk0n
解法二：公式解
X
k
DFS
x
n
N
1
x(n)e
j
2 N
kn
n0
7
x
n0
n
j 2 kn
e8
3 n0
e
j kn 4
j k4
1e 4
j k
1e 4
j k j k
j k
e 2 e 2 e 2
j k j k
j k
e 8 e 8 e 8
e
j 3 k 8
sin sin
2
k k
8
X k 与z变换的关系：
X
(
jk
0
)
1 T0
T0 / 2 x(t)e jk0tdt
T0 / 2
x(t) X ( jk0 )e jk0t k
时域连续函数造成频域是非周期的谱， 而频域的离散对应时域是周期函数。
离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换
X (e j ) x(n)e jn n
x(n) 1 X (e j )e jnd
l 0
l)
1 N
N 1
X 2(l)X1(k
l 0
l)
三、离散傅里叶变换（DFT）
长度为N的有限长序列x(n) 周期为N的周期序列x(n)
x(n) x(n)RN (n)
x(n)的主值序列
x(n) x(n rN ) x((n))N
r 百度文库
x(n)的周期延拓
同样：X(k)也是一个N点的有限长序列
时域序列的调制等效于频域的圆周移位
DFT
x(n) cos
2 nl
N
1 X ((k
2
l))N
X ((k
l )) N
RN (k)
DFT
x(n) sin
2 nl
N
1 X
2j
((k
l))N
X
((k
l))N
RN
(k )
证：IDFT
1
2
j
X
((k
l )) N
X
((k
l )) N
RN
(k)
k 0
其中：
WN
j 2
e N
例：已知序列x(n)是周期为6的周期序列， 如图所示，试求其DFS的系数。
解：根据定义求解
N 1
X (k ) x(n)WNnk
n0
5
x(n)W6nk
n0
j 2 k
j 2 2k
14 12e 6 10e 6
j 2 3k
j 2 4k
j 2 5k
8e 6 6e 6 10e 6
解：求x n的DTFT
X
e j
x
n
n
e jn
3
e jn
n0
1 e j4 1 e j
e j2 e j2 e j2
j
j
j
e 2 e 2 e 2
j 3 sin 2 e 2 sin / 2
求x n的8点DFT N 8
X k X e j 2 k 8
j 3 k
WNmk X (k)RN (k)
W mk N
X
(k
)
有限长序列的圆周移位导致频谱线性相移， 而对频谱幅度无影响。
调制特性：
IDFT
[
X
((k
l ))
N
RN
(k
)]
WNnl
x(n)
e
j
2 N
nl
x(n)
证：IDFT[ X ((k l))N RN (k)] IDFT[ X (k l)RN (k)] IDFS[ X (k l)]RN (n) WNnl x(n)RN (n) WNnl x(n)
[ x1(m)WNmk ]X 2 (k )WNkn
k0 m0
N 1 m0
x1
(m)[
1 N
N 1
X 2 (k )WN(nm)k ]
k 0
N 1
x1(m)x2 (n m)
m0
例：已知序列x1(n) R4 (n)，x2 (n) (n 1)R5(n) 分别将序列以周期为6周期延拓成周期序列
2
时域的离散化造成频域的周期延拓， 而时域的非周期对应于频域的连续
离散时间、离散频率—离散傅里叶变换
N 1
j 2 nk
X (k) x(n)e N
n0
x(n)
1
N 1
j 2 nk
X (k)e N
N k0
一个域的离散造成另一个域的周期延拓，
因此离散傅里叶变换的时域和频域都是 离散的和周期的
四种傅里叶变换形式的归纳
令x
n
x
n
0
0 n N 1 其它n
N 1
X
k
x n WN nk X
n0
z
z
WN
k
e
j
2 N
k
X k 可看作是对 xn 的 一个周期 xn 做 z 变换
然后将 z 变换在 z 平面
单位圆上按等间隔角 2
N 取样得到
DFS的性质
1、线性：
若
X1(k) DFS[x1(n)]
第三章 离散傅里叶变换
DFT: Discrete Fourier Transform
学习目标
理解傅里叶变换的几种形式
了解周期序列的傅里叶级数及性质，掌握 周期卷积过程
理解离散傅里叶变换及性质，掌握圆周移 位、共轭对称性，掌握圆周卷积、线性卷 积及两者之间的关系
了解频域取样理论
理解频谱分析过程
n0
x(n)
1 N
N 1
X (k )WNnk RN (n)
k 0
x(n)RN (n)
其中：
WN
j 2
e N
DFT与序列的DTFT和z变换的关系：
N 1
X (e j ) x(n)e jn n0
N 1
X (z) x(n)zn n0
N 1
X (k ) x(n)WNnk
n0
X (z)
z
WN
xo (n) xo*(n) 1/ 2[x(n) x*(n)]
xe
(n)
1 2
[x(n)
x* ( n )]
x((n))N
xe (n)
1 2
[x(n)
x* ( n )]
x*((N n))N
任意周期序列：x(n) xe (n) xo (n)
其中： 共轭对称分量：
xe (n) xe*(n) 1/ 2[x(n) x*(n)] 1/ 2[x((n))N x*((N n))N ]
共轭反对称分量：
时间函数
傅里叶变换
连续和非周期
傅里叶级数
连续和周期(T0)
序列的傅里叶变换 离散(T)和非周期
离散傅里叶变换 离散(T)和周期(T0)
频率函数 非周期和连续 非周期和离散(Ω0=2π/T0) 周期(Ωs=2π/T)和连续 周期(Ωs=2π/T)和离散(Ω0=2π/T0)
(DFS：离散傅里叶级数，DTFT：序列的傅里叶变换， DFT：离散傅里叶变换）
周期 移位
取主值
x(n)
x(n)
延拓
x(n m) x((n m))N 序列
xm (n)
X m (k) DFT[xm (n)] DFT[x((n m))N RN (n)]
W mk N
X
(k
)
证：DFT [x((n m))N RN (n)] DFT[x(n m)RN (n)]
DFS[x(n m)]RN (k )
k
e
j
2 N
k
X (e j ) 2 k N
x(n)的N点DFT是x(n)的z变换在单位圆上的N点等间隔取样；
x(n)的DTFT在区间[0，2π]上的N点等间隔取样。
(DFT：离散傅里叶变换，DTFT：离散时间信号的傅里叶变换）
例：已知序列x(n) R4 (n),求x(n)的8点和16点DFT。
x(i)WNk (im)
im
N 1
WNmk x(i)WNki WNmk X (k )
i0
3、调制特性
DFS[WNnl x(n)] X (k l)
N 1
证：DFS[WNln x(n)] WNln x(n)WNnk
n0 N 1
x(n)WN(lk )n
n0
X (k l)
4、周期卷积和
f1
f2
Frequency
Amplitude
Time
(c) Time Domain Time
连续时间、连续频率—傅里叶变换
X ( j) x(t)e jtdt
x(t) 1 X ( j)e jtd
2
时域连续函数造成频域是非周期的谱， 而时域的非周期造成频域是连续的谱密度函数。
连续时间、离散频率—傅里叶级数
若 Y (k) X1(k) X2(k)
N 1
则 y(n) IDFS[Y (k)] x1(m)x2 (n m)
m0
N 1
x2 (m)x1(n m)
m0
证： y(n) IDFS[X1(k) X2(k)]
1 N
N 1
X1(k ) X 2 (k )WNkn
k 0
1 N
N 1 N 1
k
基频：0 2 / N
k次谐波分量：e jk0n
周期序列的DFS正变换和逆变换：
X (k)
DFS[x(n)]
N 1
j 2 nk
x(n)e N
N 1
x(n)WNnk
n0
n0
x(n)
IDFS[ X (k)]
1 N
N 1
j 2 nk
X (k)e N
k 0
1 N
N 1
X (k )WNnk