线性代数行列式习题课

＝… ＝(ad－bc)n-1D2 ＝(ad－bc)n
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法(二)按中间两行展开——拉普拉斯定理,重复此步骤.
a
b
a
b
O
N
a D2n c
b (1)nn1nn1 d
ab cd
N
O
c
d
c
＝(ad－bc)D2(n-1) ＝(ad－bc)2D2(n-2)
＝… ＝(ad－bc)n-1D2 ＝(ad－bc)n
x1 xn x2 xn
M xn2 1
主对角线上元素去掉1,则 各行分别有公因子x1, x2,…,xn, 提取公因子后各 行元素都是x1, x2,…, xn,故 考虑“加边法”
1 x1 0 x12 1 0 x2 x1 M
0 xn x1
x2 L
x1 x2 L
x
2 2
1
L
xn x2 L
xn
x1 xn
x2 xn
x y 0L 0 0
y 0 0L 0 0
Dx(1)11M
M y(1)n1x y 0L 0 0
0 0 0L x y
M
M
0 0 0L 0 x
0 0 0L x y
xn(1)n1yn
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? ！ 2 4 1 2
例2.计算（1） D 3 7 1 4
5 9 2 7
方法一
2 5 1 2
an
c1
(
1 x
)
c
j
0
Leabharlann Baidu
0
j 2 ,3 ,L ,n 1
0
x 0 0L 0 0 x 0L 0 0 0 xL 0
x n (1 n a j ) j1 x
M
M
0
0 0 0L x
n1
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例11 x12 1
D x2x1 M
x1x2 L x22 1 L
xn x1 xn x2 L
线性代数
数学科学学院 陈建华
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1.5 习题课
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行列式计算方法小结
• 利用行列式的定义 • 化三角形法 • 拆行(列)法
• 按某一行(列)或某k行(列)展开
• 数学归纳法 • 递推法 • 加边法(升阶法) • 利用已知行列式的结论
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＝… n2(D2D1)
n 2 ( )2 ( ) n ①
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D n ()D n 1D n 2
Dn Dn1 n ①
按另一种方式变形为:
D n D n 1(D n 1 D n 2 )＝… n ②
①、②消去Dn-1得
( )D nn 1n 1
0
时,方程左边行列式两行相同,值为0,方程成立,故为根.
a1
a2
a3
L an2 an1x
an
a1
a2
a3
L
an1
an1 an x
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例8 计算 (P23)
a a O
D 2n c
0
N c
0 N ab cd
O
0
b b
0
d d
特点:“0”多
方法: 降阶找递推公式
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n
c 1 c i
D
ai b
i1
a2 b L
an
i 2 , 3 ,L , n
M
M
n
ai b a2 L an b
i1
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n
ai b a2 L an
ri r1
i 1
0 b L 0
i 2 ,3 ,L ,n
M
M
0
0 L b
n
(b)n1( ai b) i1
解：法(一) 按第1行展开, 再 按末行展开，有：
a
b0
0a
b
O
N
O
N
ab
M
M
ab
D2n a
cd
( 1)2n1 b
cd
N
O
M
MN
O
c
d0
0c
d
0
L
L 0d
c0
L
L0
＝adD2(n-1)－bcD2(n-1) ＝(ad－bc)D2(n-1) 递推公式:
D2n＝(ad－bc)D2(n-1) ＝(ad－bc)2D2(n-2)
M
0
0 0L
xn
0
0
n
1 xi2
i 1
M
1
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(92 考研 数四 )
例12 设 A a n
B
b
则
C
O
m
B
A
O
(－1) mnab
(一)按前n行展开得
C A ( 1 ) ( 1 2 L n ) ( m 1 m 2 L m n )B ( 1 ) m n a b
M
x
2 n
1
第2行减去第1行的x1 倍,第3行减去第1行 的x2倍,…,第n+1行减 去第1行的xn倍.
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1 x1 x2 L xn
x1 1 0 L 0
x2 0 1 L 0
M
M
xn 0 0 L 1
箭形行列式
n
1 xi2 x1 x2 L i 1
0
0
1 0L 0 1L
10 2 3 4
0
1
1
3 =160
0 0 4 4
0 0 0 4
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例3.证明 b1c1 c1a1 a1b1 a1 b1 c1
b2c2 c2a2 a2b2 2a2 b2 c2
b3c3 c3a3 a3b3 a3 b3 c3
证明:
b1 c1a1 a1b1 c1 c1a1 a1b1
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方法二
2 4 1 2
2 4 1 2
3 7 1 D
5 9 2
4 5 r2 ( 1)r1 3
7 9 1 r3 2r1 ,r4 r1
0 0
6 3
2 5 1 2
4 1 0 0
5 3 6
23 5 0
r1 ( 1) r2
＝－ 9 1 3 9 1 3
展
4 1 0
4 1 0
开
降
＝3 2 3 5 ＝9
阶
4 1
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11 1 1 (2) D 1 2 3 4
1 4 9 16 1 8 27 64 =(2-1)(3-1)(4-1)(3-2)(4-2)(4-3)=12
1111
范德蒙行列式
V4
x1
x
2 1
x2
x
2 2
x3
x
2 3
x 4
时
Dn
n1 (
n1 )
时 DnnDn1n(n1D n2)
2n2D n2L(n1)n
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例10 计算
(P26)
xa1 a1
D a1
M
a1
a2 xa2
a2
a2
a3 L a3 L xa3 L
a3 L
an an (n2) an (x0) M xan
(一) 2至n列加至首列,再2至n行减首行得上三角形行列式 (二) 2至n行减首行得箭形行列式 (三) 加边(升阶)法
(二)B的第一行逐行向上交换经n次至C的首行, B的原 第二行逐行向上交换经n次至C的第二行,…,直至B位 于C的左上角, 得
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解：
xa1
a1
Dn a1
M
a2 xa2
a2
a3 L a3 L xa3 L
an an (n2) an (x0) M
a1
a2
a3 L xan
1 a1
a2
a3 L an
0 x a1 a2
a3 L an
0 Dn 0
a1 a1
x a2 a3 L a2 x a3 L
an an
法一: 左＝ b2 c2a2 a2b2 c2 c2a2 a2b2
b3 c3a3 a3b3 c3 c3a3 a3b3
b1 c1 a1 c1 a1 b1 b2 c2 a2 c2 a2 b2 ＝右
b3 c3 a3 c3 a3 b3
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法二: 左
c 1 c 2 c 3 a1 b1 c1
0
0 0L
a 2 a 3L a n (1 a 1i n 2a a 1 i) a 1 a 2L a n (1 i n 1a 1 i)
11
00 00
M 0 an
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例7. 解方程
x a1 a2 L a1 x a2 L a1 a2 x L M
a n1 1
a n1 1
d 2(n1)
法(三)d＝0,用定义；d≠0, 化下三角形行列式.
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例9
1
Dn
1 O O O
1
解:按首行(列)展开, 后一行列式再按首列(行)展开得
D n( )D n 1 Dn-2
变形为: Dn Dn1 (D n1 D n2) 2(Dn2 Dn3)
1 4 2 2
化 上 三 角 形
1 4 2 2
1 c1 c3 7 3 4
r2 ( 1)r1
0 3 5 6
D
2 9 5
7
r3 2r1 ,r4 r1
0 1 9
3
1 5 2 2
0 1 4 0
1 4 2 2
0 r2 r4 1 4 0
0 1 9 3
0 3 5 6
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1 1 1 L 1 1an
[分析]首行乘以(－1)加至2至n行可得箭形行列式
解:
1 a1 1 1 L a1 a2 0 L D a1 0 a3 L M
1 0 0
1
0
c1
(
a1 ai
)ci
1
a1
n i2
a1 ai
0
0
1 a2
1L 0L
i2,3,L ,n
0
M
M
0 a3 L
a1 0 0 L 0 an
2 4 1 2
1 4 2 2
3 7 1 4 D
5 9 2 7
0 r2 r4 1 4 0
0 1 9 3
化
2 5 1 2
0 3 5 6
上
三
角
形
1 0 r3 ( 1 ) r2 0 r4 3 r2
42 1 4 05
2
1 4 2
0
0 r4
(
7 5
) r3
1 4
3
0
05
2
0 ＝9
3
0 076
0 0 0 95
下三角形行列式.
解：
1 a1 a2 L an
r1 ri
n 1 x a2 L an
D( i2,3,L ,n1
x
i1
ai
)
1 M
a2
xL
an M
1 a2 a3 L x
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10
0L 0
ci (ai1)c1
n 1 xa1 0 L 0
(x
i2,3,Ln1
i1
ai
)
1 a2 M
注:本题首行乘以(-1)加至2至n 行可得箭形行列式
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x a1 a2 L an
a1 x a2 L an
例5 计算行列式 D a 1 a 2 x L a n
M
M
a1 a2 a3 L x
[分析]每行元素之和相同,2至末列加至首列.此后无法通过2至末
行减首行化上三角形,可首列提取公因子后利用第一列的元素1化
a1
xa2 L
0 M
1 a2 a1 a3 a2 L xan
n
(x ai)(xa1)(xa2)L(xan)
i1
n
n
(xai )(xai )
i1 i1
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1a1 1 1 L 1
1 1a2 1 L 1
例6 计算 D 1 1 1a3 L 1
M
1 1 1 (ai 0,i1,2,L,n) M
(xj xi )
x
2 4
1i j4
x
3 1
x
3 2
x
3 3
x
3 4
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1234
(3) D 2 3 4 1
3412 4123
观察：每行元素 之和都等于10
解：
10 2 3 4 10 2 3 4
10 D
3
4
1 0
10 4 1 2 0
1 1 3 2 2 2
10 1 2 3 0 1 1 1
M
M
0 a1
a2
a3 L x an n1
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1 a1 a2 a3 L an 1 x 0 0 L 0
1 0 ri (1)r1 x 0 L 0
1 i2,3,L ,n1 0 0 x L 0
箭形行列式
M
M
1 0 0 0 L x n1
1 n a j j1 x
a1 a2 a3 L
c1 c3
a1 b1 c1
2 a 2 b 2 c 2 ＝右
c2 c3
a3 b3 c3
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a1 b a2 L 例4.计算 D a1 a2 b L
M
an
an 每行元素之和相同， M 2—n列加至首列
a1
a2 L an b
解:
n
ai b a2 L
an
i1
c1 2
2a2 b2 c2
a3 b3 c3
c1 a1 c2 a2 c3 a3
a1 b1 a2 b2 a3 b3
b1 c 1 c 2 2 b2
c1 a1 c2 a2
a1 b1 a2 b2
c3 c1
b1 2 b2
c1 c2
a1 a2
b3 c3 a3 a3 b3 c 2 c 3
b3 c3 a3
x y 0 0L 0 0
例1.计算n阶行列式
0 x y 0L 0 0
[分析] 0 较多,用行列
式定义或展开定理.
D M 0 0 0 0L y 0 0 0L
M xy 0x
解(一)由行列式定义
D x n ( 1 ) ( 2 3 L n 1 )y n x n ( 1 ) n 1 y n
(二)按第一列展开此行列式, 得
a n1
1 0
M
a1 a2 a3 L x 1
a1 a2 a3 L an 1
1.aa解211例法a((解1二一方))a末a末22程行列x××((--1a)i)加加aa至至33 1第至i列n行L L(i,=再1,2由,…行,naa)列nn得11式上定三义角或形按. 末aa列nn 展开.
a1 M
(三)a末2 行起,每a2行减a3其上x行L,再由行列an式1定义或按末列an展开. (四)方程为一元n次方程,最多有n个实根,而当x =a1,aM 2,…,an