人教版高中数学必修四学案弧度制(2)

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2020年高中数学人教A版必修4 导学案《弧度制》(含答案)

1．1.2 弧度制[新知初探]1．角的单位制 (1)角度制：规定周角的1360为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．(2)弧度制：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制，它的单位符号是rad ，读作弧度，通常略去不写． (3)角的弧度数的求法：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么角α的弧度数的绝对值|α|＝lr.[点睛] 用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”两个字可以省略不写，如2 rad 的单位“rad”可省略不写，只写2. 2．角度与弧度的换算3．弧度制下的弧长与扇形面积公式[点睛] 由扇形的弧长及面积公式可知：对于α，r ，l ，S“知二求二”，它实质上是方程思想的运用．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)1弧度＝1°.( )(2)每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应．( ) (3)用弧度制度量角，与圆的半径长短有关．( ) 2．若α＝kπ＋π3，k ∈Z ，则α所在的象限是( )A ．第一、二象限B ．第二、三象限C ．第一、三象限D ．第一、四象限3．半径为1，圆心角为2π3的扇形的面积是( )A ．4π3B ．πC ．2π3D ．π34．(1)2π3＝________；(2)－210°＝________.角度与弧度的换算[典例] (1)72°；(2)－300°；(3)2；(4)－2π9.角度与弧度互化技巧在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180°是关键，由它可以得到：度数×π180＝弧度数，弧度数×180π＝度数．[活学活用]将下列角度与弧度进行互化：(1)5116π；(2)－7π12；(3)10°；(4)－855°.用弧度制表示角的集合[典例] 已知角(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角； (2)在[－5π，0)内找出与α终边相同的角．用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用． [活学活用]1．将－1 125°表示成2kπ＋α，0≤α<2π，k∈Z的形式为________．2．用弧度表示终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合．扇形的弧长公式及面积公式1．已知扇形的半径为10 cm，圆心角为60°，求扇形的弧长和面积．题点二：利用公式求半径和弧度数2．扇形OAB的面积是4 cm2，它的周长是8 cm，求扇形的半径和圆心角．题点三：利用公式求扇形面积的最值3．已知扇形的周长是30 cm ，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？弧度制下涉及扇形问题的攻略(1)明确弧度制下扇形的面积公式是S ＝12lr ＝12|α|r 2(其中l 是扇形的弧长，r 是扇形的半径，α是扇形的圆心角)．(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解． [提醒] 运用弧度制下的弧长公式及扇形面积公式的前提是α为弧度．层级一学业水平达标1．把50°化为弧度为( )A ．50B ．5π18C ．185πD ．9 000π2．扇形的周长是16，圆心角是2弧度，则扇形的面积是( ) A ．16π B ．32π C ．16 D ．32 3．角α的终边落在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π，－5π2内，则角α所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 4．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为( ) A ．143π B ．－143π C ．718π D ．－718π5．下列表示中不正确的是( )A ．终边在x 轴上的角的集合是{α|α＝kπ，k ∈Z}B ．终边在y 轴上的角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫αα＝π2＋kπ，k ∈ZC ．终边在坐标轴上的角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫αα＝k ·π2，k ∈ZD ．终边在直线y ＝x 上的角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫αα＝π4＋2kπ，k ∈Z6．－135°化为弧度为________，11π3化为角度为________．7．扇形的半径是6，圆心角是60°，则该扇形的面积为________．8．设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫αα＝kπ2－π3，k ∈Z ，N ＝{α|－π<α<π}，则M∩N＝________.9．一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数．10．将下列各角化成弧度制下的角，并指出是第几象限角． (1)－1 725°；(2)－60°＋360°·k(k∈Z)．层级二应试能力达标1．下列转化结果错误的是( )A ．60°化成弧度是π3B ．－103π化成度是－600°C ．－150°化成弧度是－76πD ．π12化成度是15°2．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫αkπ＋π4≤α≤kπ＋π2，k ∈Z 中角的终边所在的范围(阴影部分)是( )3．若角α与角x ＋π4有相同的终边，角β与角x －π4有相同的终边，那么α与β间的关系为( ) A ．α＋β＝0B ．α－β＝0C ．α＋β＝2kπ(k∈Z)D ．α－β＝2kπ＋π2(k ∈Z)4．圆弧长度等于其所在圆内接正三角形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为( ) A ．π3 B ．2π3C ． 3D ．25．若角α的终边与85π角的终边相同，则在[0,2π]上，终边与α4角的终边相同的角是____________．6．已知一扇形的圆心角为π3rad ，半径为R ，则该扇形的内切圆面积与扇形面积之比为________．7．已知α＝1 690°，(1)把α写成2kπ＋β(k∈Z ，β∈[0,2π))的形式； (2)求θ，使θ与α终边相同，且θ∈(－4π，4π)．8．已知扇形AOB 的圆心角为120°，半径长为6，求： (1)弧AB 的长；(2)扇形所含弓形的面积．参考答案[小试身手]1．答案：(1)× (2)√ (3)× 2．答案：C 3．答案：D4．答案：(1)120° (2)－7π6[典例][解] (1)72°＝72×π180＝2π5.(2)－300°＝－300×π180＝－5π3. (3)2＝2×⎝⎛⎭⎪⎫180π°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫360π°.(4)－2π9＝－⎝⎛⎭⎪⎫2π9×180π°＝－40°.将下列角度与弧度进行互化：解：(1)5116π＝5116×180°＝15 330°.(2)－7π12＝－712×180°＝－105°.(3)10°＝10×π180＝π18.(4)－855°＝－855×π180＝－19π4.[典例][解] (1)2 005°＝2 005×π180 rad ＝401π36 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5×2π＋41π36rad ，又π<41π36<3π2， ∴角α与41π36终边相同，是第三象限的角．(2)与α终边相同的角为2kπ＋41π36(k ∈Z)，由－5π≤2kπ＋41π36＜0，k ∈Z 知k ＝－1，－2，－3.∴在[－5π，0)内与α终边相同的角是－31π36，－103π36，－175π36.[活学活用]1．解析：因为－1 125°＝－4×360°＋315°，315°＝315×π180＝7π4，所以－1 125°＝－8π＋7π4.答案：－8π＋7π42．解：如图，330°角的终边与－30°角的终边相同，将－30°化为弧度，即－π6，而75°＝75×π180＝5π12，∴终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为⎩⎨⎧θ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2kπ－π6<θ<2kπ＋5π12，k ∈Z .1．解：已知扇形的圆心角α＝60°＝π3，半径r ＝10 cm ，则弧长l ＝α·r＝π3×10＝10π3(cm)，于是面积S ＝12lr ＝12×10π3×10＝50π3(cm 2)．2．解：设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l cm ，半径为r cm ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝8， ①12l·r＝4， ②由①②，得r ＝2，∴l ＝8－2r ＝4，θ＝lr ＝2.故所求扇形的半径为2、圆心角为2 rad.3．解：设扇形的圆心角为α(0<α<2π)，半径为r ，面积为S ，弧长为l ，则l ＋2r ＝30，故l ＝30－2r ，从而S ＝12lr ＝12(30－2r)r ＝－r 2＋15r ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫r －1522＋2254⎝ ⎛⎭⎪⎫15π＋1<r<15，所以，当r ＝152 cm 时，α＝2，扇形面积最大，最大面积为2254cm 2.层级一学业水平达标1．解析：选B 50°＝50×π180＝5π18. 2．解析：选C 弧长l ＝2r,4r ＝16，r ＝4，得l ＝8，即S ＝12lr ＝16.3．解析：选C －3π的终边在x 轴的非正半轴上，－5π2的终边在y 轴的非正半轴上，故角α为第三象限角．4．解析：选B 显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了73周，转过的弧度为－73×2π＝－143π.5．解析：选D 终边在直线y ＝x 上的角的集合应是⎩⎨⎧⎭⎬⎫αα＝π4＋kπ，k ∈Z .6．解析：－135°＝－135×π180＝－34π，113π＝113×180°＝660°.答案：－34π 660°7．解析：60°＝π3，扇形的面积公式为S 扇形＝12αr 2＝12×π3×(6)2＝π.答案：π8．解析：由－π<kπ2－π3<π，得－43<k<83.∵k ∈Z ，∴k ＝－1,0,1,2，∴M∩N＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－56π，－π3，π6，23π. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫－56π，－π3，π6，23π9．解：设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4. 根据扇形面积公式S ＝12lR ，得1＝12l·R.联立⎩⎪⎨⎪⎧2R ＋l ＝4，12l·R＝1，解得R ＝1，l ＝2，∴α＝l R ＝21＝2.10．解：(1)－1 725°＝75°－5×360°＝－5×2π＋5π12＝－10π＋5π12，是第一象限角． (2)－60°＋360°·k＝－π180×60＋2π·k＝－π3＋2kπ(k∈Z)，是第四象限角．层级二应试能力达标1．解析：选C 对于A,60°＝60×π180＝π3；对于B ，－103π＝－103×180°＝－600°；对于C ，－150°＝－150×π180＝－56π；对于D ，π12＝112×180°＝15°.故C 错误．2．解析：选C 当k ＝2m ，m ∈Z 时，2mπ＋π4≤α≤2mπ＋π2，m ∈Z ；当k ＝2m ＋1，m ∈Z 时，2mπ＋5π4≤α≤2mπ＋3π2，m ∈Z ，所以选C.3．解析：选D ∵α＝x ＋π4＋2k 1π(k 1∈Z)，β＝x －π4＋2k 2π(k 2∈Z)， ∴α－β＝π2＋2(k 1－k 2)·π(k 1∈Z ，k 2∈Z)．∵k 1∈Z ，k 2∈Z ，∴k 1－k 2∈Z.∴α－β＝π2＋2kπ(k∈Z)．4．解析：选C 如图，设圆的半径为R ，则圆的内接正三角形的边长为3R ，所以圆弧长度为3R 的圆心角的弧度数α＝3RR＝ 3. 5．解析：由题意，得α＝8π5＋2kπ，∴α4＝2π5＋kπ2(k ∈Z)．令k ＝0,1,2,3，得α4＝2π5，9π10，7π5，19π10.答案：2π5，9π10，7π5，19π106．解析：设扇形内切圆的半径为r ，∵扇形的圆心角为π3，半径为R ，∴S 扇形＝12×π3R 2＝π6R 2.∵扇形内切圆的圆心在圆心角的角平分线上， ∴R ＝r ＋2r ＝3r ，∴r ＝R 3.∵S 内切圆＝πr 2＝π9R 2，∴S 内切圆∶S 扇形＝π9R 2∶π6R 2＝2∶3.答案：2∶37．解：(1)1 690°＝4×360°＋250°＝4×2π＋2518π.(2)∵θ与α终边相同，∴θ＝2kπ＋2518π(k∈Z)．又θ∈(－4π，4π)，∴－4π<2kπ＋2518π<4π.解得－9736<k<4736(k ∈Z)，∴k ＝－2，－1,0,1.∴θ的值是－4718π，－1118π，2518π，6118π.8．解：(1)因为120°＝120180π＝23π，所以l ＝α·r＝23π×6＝4π，所以弧AB 的长为4π.(2)因为S 扇形AOB ＝12lr ＝12×4π×6＝12π，如图所示，过点O 作OD ⊥AB ，交AB 于D 点，于是有S △OAB ＝12AB·OD＝12×2×6cos 30°×3＝9 3. 所以弓形的面积为S 扇形AOB －S △OAB ＝12π－9 3.。

2019-2020年高中数学《1.3弧度制》教学案新人教版必修4

2019-2020年高中数学《1.3弧度制》教学案新人教版必修4【学习目标】1.理解弧度制的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数；2.掌握弧度制下的弧长公式和扇形的面积公式；【重点、难点】弧度与角度的换算及弧度制下的弧长公式和扇形的面积公式【温故而知新】 1.复习填空（1）角度制规定，将一个圆周分成份，每一份叫做 1 度，故一周等于度，平角等于度，直角等于度.（2）所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合 .【教材助读】1.认真阅读课本P9—11，理解弧度制，并思考完成以下问题 (1)角的弧度制是如何引入的？(2)为什么要引入弧度制？好处是什么？ (3)弧度是如何定义的？(4)规定：周角为1度的角；叫做1弧度的角. (5)角度制与弧度制相互换算： 1弧度= （度）；1度= （弧度） (6)弧长公式：(7)扇形面积公式： lr r r n S 212136022=⋅==απ 【预习自测】1.将下列表格中特殊角的度数转化为弧度制2、下列说法中，叙述错误的是( D ) A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B ．1度的角是周角的，1弧度的角是周角的 C ．根据弧度的定义，一定等于弧度D ．不论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径长短有关 3、求半径为，圆心角为所对应的弧长和扇形的面积。

【我的疑惑】二、课堂互动探究【例1】1.把下列各角从度化为弧度：（1）（2）（3）（4）（5）解：(1) (2) (3) (4) (5)2.把下列各角从弧度化为角度：（1）（2）（3）（4）（5）解：（1）（2）（3）（4）（5）【例2】将下列各角化成)20,(2πααπ<≤∈+Z k k 的形式,并确定其所在的象限．；．解: (1) 而是第三象限的角,是第三象限角.(2) 631,656631ππππ-∴+-=-是第二象限角. 【变式训练1】用弧度制分别表示终边在轴的非正、非负半轴，轴的非正、非负半轴，轴上的角的集合。

新人教版高中数学1-1弧度制教案2必修四

课题：1.1.2弧度制（二）教学目的：1．巩固弧度制的理解，熟练掌握角度弧度的换算；掌握用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式．2．培养运用弧度制解决具体的问题的意识和能力3．通过弧度制的学习，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辩证统一的，而不是孤立、割裂的关系．教学重点：运用弧度制解决具体的问题．教学难点：运用弧度制解决具体的问题．授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1．定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。

它的单位是rad 读作弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．如下图，依次是1rad ， 2rad ， 3rad ，αrad探究：⑴平角、周角的弧度数，（平角=π rad 、周角=2π rad ）⑵正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0 ⑶角α的弧度数的绝对值 rl=α（l 为弧长，r 为半径） ⑷角度制、弧度制度量角的两种不同的方法，单位、进制不同，就像度量长度一样有不同的方法，千米、米、厘米与丈、尺、寸，反映了事物本身不变，改变的是不同的观察、处理方法，因此结果就有所不同。

⑸用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。

2. 角度制与弧度制的换算： ∵ 360︒=2π rad ∴180︒=π rad ∴ 1︒=rad rad 01745.0180≈π'185730.571801=≈⎪⎭⎫ ⎝⎛=πrad在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad ”可以省略3．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住： 604．应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。

任意角的集合实数集R5．初中学过的弧长公式、扇形面积公式：180r n l π=；3602R n S π=扇二、讲解新课：1．弧长公式：α⋅=r l 由公式：⇒=r l α α⋅=r l 比公式180rn l π=简单弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积 2．扇形面积公式 lR S 21= 其中l 是扇形弧长，R 是圆的半径。

人教A版高中数学必修四弧度制教案(2)

4-1.1.2弧度制（2）教学目的：加深学生对弧度制的理解，逐步习惯在具体应用中运用弧度制解决具体的问题。

教学过程：一、复习：弧度制的定义，它与角度制互化的方法。

二、由公式：⇒=r l α α⋅=r l 比相应的公式180rn lπ=简单弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积例一利用弧度制证明扇形面积公式lR S 21=其中l 是扇形弧长，R 是圆的半径。

证：如图：圆心角为1rad 的扇形面积为：221R ππ弧长为l 的扇形圆心角为rad R l ∴lR R R l S 21212=⋅⋅=ππ比较这与扇形面积公式 3602R n S π=扇要简单例二直径为20cm 的圆中，求下列各圆心所对的弧长 ⑴34π ⑵ ο165 解： cm r 10= ⑴： )(3401034cm r l ππα=⨯=⋅= ⑵：rad rad 1211)(165180165ππ=⨯=ο ∴)(655101211cm l ππ=⨯=例三如图，已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。

解：设扇形的半径为r ，弧长为l ，则有⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==+22162l r rl l r ∴ 扇形的面积221rl S ==例四计算4sin π5.1tan解：∵ο454=π∴ 2245sin 4sin==οπ'578595.855.130.571.5rad οο==⨯=•∴ 12.14'5785tan 5.1tan ==οo R S l例五将下列各角化成0到π2的角加上)(2Z k k ∈π的形式⑴π319⑵ ο315- 解：πππ63319+=ππ2436045315-=-=-οοο例六求图中公路弯道处弧AB 的长l （精确到1m ）图中长度单位为：m 解： ∵ 360π=ο∴ )(471514.3453m R l ≈⨯≈⨯=⋅=πα三、练习：四、作业：。

人教版高中数学必修四教案1.1 任意角和弧度制弧度制(2)

一、教学目标重点：角度制与弧度制的互化；弧度制的运用. 难点：:弧度的概念及其与角度的关系.知识点：角度制与弧度制的互化公式；弧长公式；扇形面积公式. 能力点：建立角的集合与实数集R 之间的一一对应关系.教育点：使学生通过弧度制的学习，理解并认识角度制与弧度制是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系.自主探究点：利用对应成比例关系得出结论.训练（应用）点：角度制与弧度制的互化换算，弧度制的运用. 考试点：掌握角度制与弧度制的换算，并熟练的进行换算操作. 易错点：角度与弧度的单位写法易错. 易混点：角度和弧度的转换易混二、引入新课：【师生活动】：教师：我们学习了角的概念的推广知道角可以分为哪几类？学生回答 “正角”与“负角”“0角”教师：要描述一个角的大小，通常用什么表示呢？学生回答：是用度来表示的。

教师引出角度制的概念，那么1︒的角是如何定义的？学生：1︒的角可以理解为将圆周角分成360等份,每一等份的弧所对的圆心角就是1︒.它是一个定值,与所取圆的半径大小无关.有了它，可以计算弧长，公式为180n rl π=. 【设计意图】：温故而知新，引导学生切身感受角的弧度制引入的必要性. 三、探究新知: （一）弧度制的概念【师生活动】：教师：角除了以度为单位，还有分和秒，他们是六十进制的，计算不方便，角的度量是否也能用不同的单位制？学生分组讨论.教师引导：我们能用等于半径的弧所对的圆心角作为角的度量单位吗?这个弧度数是否与圆半径的大小有关?教师引导学生画出图形.在圆内作出AOB COD α∠=∠=当半径为1r 时,弧长1180n r AB π=(n α=︒) ,弧长与半径的比值为111180180n r AB n r r ππ==. 当半径为2r 时,弧长2180n r CD π=, 弧长与半径的比值为222180180n r CD n r r ππ==. 两比值相等.讨论结果:能.当圆心角一定时,它所对弧长与半径的比值是一定的,与半径大小无关.【设计意图】：学生亲手作图，感受角的弧度制与角度制是角的度量单位，都可以刻画角的大小，与角所在的圆半径无关。

弧度制导学案——高一上学期数学人教A版必修4

学习活动1第二课弧度制——帮工人师傅计算水桶的侧面积【学习目标】1.研读教材借助单位圆说明什么是弧度制，能进行角度和弧度的互化；2.用弧度制下的扇形面积公式，帮工人师傅计算水桶的侧面积；3.交流为什么要把角度换成弧度，分享你理解的角度弧度互化的原理.---弧度制度量长度可以用米、英尺、码等不同的单位制,度量重量可以用千克、磅等不同的位制.不同的单位制能给解决问题带来方便.角的度量是否也能用不同的单位制呢?1.度量长度用米、英尺，度量重量用千克、磅，那度量角用什么单位制？2.在半径为r的圆中，圆心角 n所对的弧长l如何计算？3.根据角的动态定义：角是由射线绕它的端点旋转而成的，在旋转的过程中射线上的点必然形成一条圆弧 .关不同的点所形成的圆弧的长度是不同的，但都对应同一个圆心角，探索弧长与其半径之比有什么关系？迁移提升11. 通过以上探究请你写出1弧度的定义.2. 若半径依然为r ，圆弧长l 分别为,3,2,r r r 所对的圆心角α的弧度数是多少？总结出弧度的定义，写出计算公式。

3.正角、负角、零角对应的弧度数的正负是怎样的？由什么决定？一个钟表的分针长5cm ，经过40分钟后，分针外端点转过的弧长是多少cm?---弧度与角度的转化既然角度制、弧度制都是角的度量制，那它们之间如何换算？1.圆心角θ为平角时，对应多少角度，对应多少弧度？迁移提升2 2.由π=180 rad 请你填空.︒180=________ rad ； ︒360=______ rad ；︒1=________ rad ； 1 rad=_______︒n =_________ rad ； αrad=_________.1.下列特殊角的弧度数要求熟记学习活动32.把下列角度和弧度进行互化(1)0322'(2)210- (3) 718π- (4) 103π2.用弧度制分别写出第一、二、三、四象限角、终边在x 、y 轴上的角的集合.角度制下和弧度制下扇形面积公式和弧长公式：学习评价工人在制作圆台形状的水桶时，需要将半径为10，圆心角为π3的扇形铁皮DAE 上截去一个半径为4的小扇形BAC ，如图所示，请你帮工人师傅计算该水桶的侧面积．水平划分水平标准星级评价自我评价水平一理解弧度制水平二能进行角度和弧度的互化水平三能在弧度制下求出弧长和扇形面积。

学案4：1.1.2 弧度制

1.1.2弧度制【课标要求】1．了解角的另外一种度量方法——弧度制．2．能进行弧度与角度的互化．3．掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式．【核心扫描】1．对弧度制概念的理解．(难点)2．弧度制与角度制的互化．(重点、易错点)新知导学1．度量角的单位制(1)角度制用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定1度的角等于周角的1360.(2)弧度制①弧度制的定义长度等于的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制．②任意角的弧度数与实数的对应关系正角的弧度数是一个；负角的弧度数是一个；零角的弧度数是零．③角的弧度数的计算如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝l r.温馨提示：圆心角α所对的弧长与半径的比值lr与半径的大小无关，仅与角的大小有关．2．角度制与弧度制的换算(1)温馨提示：角度制与弧度制是两种不同的度量单位，两者之间可相互转化，并且角度与弧度是一一对应的关系．在表示角时，角度制与弧度制不能混用，在表达式中，要保持单位一致，防止出现π3＋k ·180°或60°＋2k π等这类错误的写法．3．扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0<α<2π)为其圆心角，则温馨提示：扇形的面积公式S ＝12lR 与三角形的面积公式极为相似(把弧长看作底)，可以类比记忆．在弧度制下的弧长公式、面积公式有诸多优越性，但如果已知角是以“度”的单位，则必须先化成弧度后再计算．互动探究探究点1 角α＝2这种表达方式正确吗？探究点2 弧度制与角度制有何区别与联系？探究点3 如何用弧度制表示直角坐标系中的角？题型探究类型一角度制与弧度制的换算【例1】将下列角度与弧度进行互化． (1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－11π5.[规律方法] (1)进行角度与弧度换算时，要抓住关系：π rad ＝180°.(2)熟记特殊角的度数与弧度数的对应值．【活学活用1】 (1)把112°30′化成弧度； (2)把－5π12化成度．类型二用弧度制表示终边相同的角【例2】 (1)将－1 500°表示成2k π＋α(0≤α<2π，k ∈Z )的形式，并指出它是第几象限角； (2)在0°～720°范围内，找出与角2π5终边相同的角．[规律方法] 用弧度制表示终边相同的角2k π＋α(k ∈Z )时，其中2k π是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用．【活学活用2】设α1＝－570°，α2＝750°，β1＝3π5，β2＝－π3.(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限；(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在－720°～0°范围内找出与它们终边相同的所有角．类型三扇形的弧长及面积公式的应用【例3】已知一个扇形的周长为a ，求当扇形的圆心角多大时，扇形的面积最大，并求这个最大值．[规律方法] (1)联系半径、弧长和圆心角的有两个公式：一是S ＝12lr ＝12|α|r 2，二是l ＝|α|r ，如果已知其中两个，就可以求出另一个．(2)当扇形周长一定时，其面积有最大值，最大值的求法是把面积S 转化为r 的函数．【活学活用3】已知一个扇形的周长为8π9＋4，圆心角为80°，求这个扇形的面积．易错辨析角的度量单位不统一及角的大小不清楚【示例】用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在如图所示的阴影部分内的角的集合(不包括边界)．[错解] (1)330°＋2k π<θ<75°＋2k π(k ∈Z )，(2)225°＋2k π<θ<135°＋2k π(k ∈Z )．[错因分析] 在用角度或弧度表示角时，不要混用；此外，对于区域角，要注意旋转方向，并注意把结果写成集合的形式．[正解] (1)∵330°的终边也可看作－30°的终边，∴－30°＝－π6，75°＝5π12，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪－π6＋2k π<θ<5π12＋2k π，k ∈Z . (2)∵225°的终边也可看作－135°的终边，∴－135°＝－3π4，135°＝3π4，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪－3π4＋2k π<θ<3π4＋2k π，k ∈Z . [防范措施] 一定要使用统一的角的度量单位，另外要弄清角的大小，不要出现矛盾不等式.课堂达标1．下列说法中，错误的说法是( )． A ．半圆所对的圆心角是π rad B ．周角的大小等于2πC ．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D ．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度 2．α＝－2，则α的终边在( )． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．－2312π rad 化为角度应为________．4．如果一扇形的弧长变为原来的32倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的________．5．已知集合A ＝{α|2k π<α<π＋2k π，k ∈Z }，B ＝{α|－4≤α≤4}，求A ∩B .课堂小结1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad”这一关系式．易知：度数×π180rad ＝弧度数，弧度数×⎝⎛⎭⎫180π°＝度数． 3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度.参考答案新知导学1．(2)①半径长②正数负数2．角度制与弧度制的换算(1) 2π 360° π 180°(2) 90° 180°3．α·R互动探究探究点1提示正确．用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”通常略去不写，角α＝2就表示α是2 rad的角．探究点2提示(1)区别：①弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制，角度制是以“度”为单位来度量角的单位制．②1弧度的角是指等于半径长的弧所对的圆心角，而1度的角是指等于周角的1360的角，二者大小显然不同．③用弧度制表示角时，单位“弧度”两个字可以省略不写，但用角度制表示角时，单位“°”不能省略．(2)联系：无论是以“弧度”还是以“度”为单位，角的大小都是一个与“半径”大小无关的值．探究点3提示(1)利用弧度制表示终边落在坐标轴上的角的集合.(2)类型一角度制与弧度制的换算【例1】【解】(1)20°＝20π180＝π9.(2)－15°＝－15180π＝－π12.(3)7π12＝712×180°＝105°. (4)－11π5＝－115×180°＝－396°.【活学活用1】【解】(1)112°30′＝⎝⎛⎭⎫2252°＝2252×π180＝5π8. (2)－5π12＝－⎝⎛⎭⎫5π12×180π°＝－75°. 类型二用弧度制表示终边相同的角【例2】【解】(1)－1 500°＝－1 500×π180＝－25π3＝－10π＋5π3.∵5π3是第四象限角，∴－1 500°是第四角限角． (2)∵2π5＝25×180°＝72°，∴终边与角2π5相同的角为θ＝72°＋k ·360°(k ∈Z )，当k ＝0时，θ＝72°；当k ＝1时，θ＝432°，∴在0°～720°范围内，与2π5角终边相同的角为72°，432°.【活学活用2】【解】(1)∵180°＝π rad ， ∴α1＝－570°＝－570π180＝－19π6＝－2×2π＋5π6，α2＝750°＝750π180＝25π6＝2×2π＋π6.∴α1的终边在第二象限，α2的终边在第一象限． (2)β1＝3π5＝35×180°＝108°，设θ＝108°＋k ·360°(k ∈Z )，则由－720°≤θ<0°，即－720°≤108°＋k ·360°<0°，得k ＝－2，或k ＝－1.故在－720°～0°范围内，与β1终边相同的角是－612°和－252°.β2＝－π3＝－60°，设γ＝－60°＋k ·360°(k ∈Z )，则由－720°≤－60°＋k ·360°<0°，得k ＝－1，或k ＝0. 故在－720°～0°范围内，与β2终边相同的角是－420°.类型三扇形的弧长及面积公式的应用【例3】【解】设扇形的弧长为l ，半径为r ，圆心角为α，面积为S . 由已知，2r ＋l ＝a ，即l ＝a －2r . ∴S ＝12l ·r ＝12(a －2r )·r ＝－r 2＋a 2r＝－⎝⎛⎭⎫r －a 42＋a 216. ∵r >0，l ＝a －2r >0，∴0<r <a 2，∴当r ＝a 4时，S max ＝a 216.此时，l ＝a －2·a 4＝a2，∴α＝lr＝2.故当扇形的圆心角为2 rad 时，扇形的面积最大，为a 216.【活学活用3】【解】设扇形的半径为r ，面积为S ，由已知，扇形的圆心角为80×π180＝4π9， ∴扇形的弧长为4π9r ，由已知，得4π9r ＋2r ＝8π9＋4，∴r ＝2， ∴S ＝12·4π9r 2＝8π9.故扇形的面积是8π9.课堂达标1．D【解析】根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A 、B 、C 均正确，D 错误． 2．C【解析】1 rad≈57.30°，∴－2 rad≈－114.60°.故α的终边在第三象限． 3．－345°【解析】－2312π＝－2312×180°＝－345°.4．34【解析】由于S ＝12lR ，若l ′＝32l ，R ′＝12R ，则S ′＝12l ′R ′＝12×32l ×12R ＝34S .5．【解】∵A ＝{α|2k π<α<π＋2k π，k ∈Z }，令k ＝1，有2π<α<3π，而2π>4；令k＝0，有0<α<π；令k＝－1，有－2π<α<－π.而－2π<－4<－π，故A∩B＝{α|－4≤α<－π或0<α<π}．。

2022-2021学年高一数学人教A版必修4学案：1.1.2 弧度制 Word版含答案

1．1.2弧度制明目标、知重点 1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系.3.把握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．1．度量角的单位制(1)角度制用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定1度的角等于周角的1 360.(2)弧度制①弧度制的定义长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制．②任意角的弧度数与实数的对应关系正角的弧度数是一个正数；负角的弧度数是一个负数；零角的弧度数是零．③角的弧度数的计算假如半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的确定值是|α|＝lr. 2．角度制与弧度制的换算(1)角度化弧度弧度化角度360°＝2π rad2π rad＝360°180°＝π radπ rad＝180°1°＝π180rad≈0.017 45 rad 1 rad＝⎝⎛⎭⎫180π°≈57.30°(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系度0°1°30°45°60°90°弧度0π180π6π4π3π2度120°135°150°180°270°360°弧度2π334π5π6π3π22π3.扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则度量单位类别α为角度制α为弧度制扇形的弧长l＝απR180l＝α·R扇形的面积S＝απR2360S＝12l·R＝12α·R2[情境导学]学校几何争辩过角的度量，规定周角的1360作为1°的角．我们把用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，在角度制下，当两个带着度、分、秒各单位的角相加、相减时，由于运算进制非十进制，总给我们带来不少困难．那么我们能否重新选择角单位，使在该单位制下两角的加减运算与十进制下的加减法运算一样呢？今日我们就来争辩这种新的单位制—弧度制．探究点一弧度制思考11弧度的角是怎样规定的？1弧度的角和圆半径的大小有关吗？你能作出一个1弧度的角吗？答把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度的角是一个定值，与所在圆的半径无关．如图所示，∠AOB就是1弧度的角．思考2假如一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长是l，那么α的弧度数与l、r之间有着怎样的关系？请你完成下表，找出某种规律．AB的长OB旋转的方向∠AOB的弧度数∠AOB的度数0没旋转00°π2r顺时针方向－π2－90°πr逆时针方向π180°2πr顺时针方向－2π－360°πr180逆时针方向π1801°r逆时针方向1⎝⎛⎭⎫180π°（规律：假如一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长为l ，那么α的弧度数的确定值是l r ，即|α|＝lr.小结一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.假如半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么，角α的弧度数的确定值是|α|＝lr .这里，α的正负由角α的终边的旋转方向打算．思考3 角度制与弧度制换算时，机敏运用下表中的对应关系，请补充完整．例1 (1)把67°30′化成弧度； (2)把－7π12化成角度．解 (1)∵67°30′＝⎝⎛⎭⎫6712°， ∴67°30′＝π180rad ×6712＝38π rad.(2)－7π12＝－7π12×⎝⎛⎭⎫180π°＝－105°.反思与感悟将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记π rad ＝180°即可求解．把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以⎝⎛⎭⎫180π°即可．跟踪训练1 将下列角按要求转化： (1)－22°30′＝________rad ； (2)8π5＝________°. 答案 (1)－π8(2)288探究点二弧度制下的弧长公式和扇形面积公式思考我们已经学习过角度制下的弧长公式和扇形面积公式，请依据“一周角(即360°)的弧度数为2π”这一事实化简上述公式．(设半径为r ，圆心角弧度数为α)．答半径为r ，圆心角为n °的扇形弧长公式为l ＝n πr180，扇形面积公式为S 扇＝n πr 2360.∵l 2πr ＝|α|2π，∴l ＝|α|r . ∵S 扇S 圆＝S 扇πr 2＝|α|2π，∴S 扇＝12|α|r 2.∴S 扇＝12|α|r 2＝12lr .例2 已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ，则l ＋2r ＝40，∴l ＝40－2r . ∴S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100.∴当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为100 cm 2，此时θ＝l r ＝40－2×1010rad ＝2 rad.所以当扇形的圆心角为2 rad ，半径为10 cm 时，扇形的面积最大为100 cm 2.反思与感悟机敏运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r 的二次函数的最值问题．跟踪训练2 一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数．解设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4， ∴l ＝4－2R ，依据扇形面积公式S ＝12lR ，得1＝12(4－2R )·R ，∴R ＝1，∴l ＝2，∴α＝l R ＝21＝2，即扇形的圆心角为2 rad.探究点三利用弧度制表示终边相同的角导引在弧度制下，与α终边相同的角连同α在内可以表示为2k π＋α(k ∈Z )，其中α的单位必需是弧度．思考1 利用弧度制表示出终边落在坐标轴上的角的集合．终边所在的位置角的集合 x 轴 {α|α＝k π，k ∈Z } y 轴 {α|α＝k π＋π2，k ∈Z }坐标轴{α|α＝k π2，k ∈Z }思考2 利用弧度制表示出终边落在各个象限的角的集合．α终边所在的象限角α的集合 Ⅰ {α|2k π<α<2k π＋π2，k ∈Z }Ⅱ {α|2k π＋π2<α<2k π＋π，k ∈Z }Ⅲ {α|2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z }Ⅳ{α|2k π＋3π2<α<2k π＋2π，k ∈Z }例3 把下列各角化成2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式，并指出是第几象限角： (1)－1 500°； (2)23π6； (3)－4.解 (1)∵－1 500°＝－1 800°＋300°＝－5×360°＋300°. ∴－1 500°可化成－10π＋5π3，是第四象限角．(2)∵23π6＝2π＋11π6，∴23π6与11π6终边相同，是第四象限角． (3)∵－4＝－2π＋(2π－4)，π2<2π－4<π.∴－4与2π－4终边相同，是其次象限角．反思与感悟在同一问题中，单位制度要统一，角度制与弧度制不能混用．跟踪训练3 (1)把－1 480°写成α＋2k π(k ∈Z )的形式，其中0≤α<2π； (2)若β∈[－4π，0]，且β与(1)中α的终边相同，求β. 解 (1)∵－1 480°＝－74π9＝－10π＋16π9，又0<169π<2π，∴－1 480°＝169π＋2×(－5)π.(2)∵β与α终边相同，∴β＝α＋2k π＝169π＋2k π(k ∈Z )．又β∈[－4π，0]，∴β1＝169π－2π＝－29π，β2＝169π－4π＝－209π.∴β＝－29π或β＝－209π.1．时针经过一小时，时针转过了( ) A.π6 rad B ．－π6 rad C.π12 rad D ．－π12 rad 答案 B解析时针经过一小时，转过－30°，又－30°＝－π6rad ，故选B.2．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的中心角的弧度数是( ) A ．1 B ．1或2 C ．1或4 D ．2或4 答案 C解析设扇形半径为r ，中心角弧度数为α，则由题意得⎩⎨⎧2r ＋αr ＝6，12αr 2＝2，解得{ r ＝1，α＝4或{r ＝2，α＝1.3．已知两角的和是1弧度，两角的差是1°，则这两个角分别为____________．答案 12＋π360，12－π360解析设这两个角为α，β弧度，不妨设α>β，则⎩⎨⎧α＋β＝1，α－β＝π180，解得α＝12＋π360，β＝12－π360.4．把－114π表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ值是________．答案－34π解析－114π＝－2π＋⎝⎛⎭⎫－34π ＝2×(－1)π＋⎝⎛⎭⎫－34π. ∴θ＝－34π.[呈重点、现规律]1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad ”这一关系式．角的度数与弧度数换算关系：度数×π180rad ＝弧度数，弧度数×⎝⎛⎭⎫180π°＝度数． 3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要留意角的单位取弧度．一、基础过关1．－300°化为弧度是( ) A ．－43π B ．－53πC ．－54πD ．－76π答案 B2．集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π＋π2，k ∈Z 与集合B ＝{α|α＝2k π±π2，k ∈Z }的关系是( )A ．A ＝B B ．A ⊆BC ．B ⊆AD ．以上都不对答案 A3．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( ) A ．2 B ．sin 2 C.2sin 1 D ．2sin 1 答案 C解析 r ＝1sin 1，∴l ＝|α|r ＝2sin 1.4．下列表示中不正确的是( )A ．终边在x 轴上的角的集合是{α|α＝k π，k ∈Z }B ．终边在y 轴上的角的集合是{α|α＝π2＋k π，k ∈Z }C ．终边在坐标轴上的角的集合是{α|α＝k π2，k ∈Z }D ．终边在直线y ＝x 上的角的集合是{α|α＝π4＋2k π，k ∈Z }答案 D解析终边在直线y ＝x 上的角的集合应是{α|α＝π4＋k π，k ∈Z }．5．设角α、β满足－180°<α<β<180°，则α－β的范围是________．答案 (－360°，0°) 解析 ∵α<β，∴α－β<0°，又－180°<α<180°，－180°<－β<180°， ∴－360°<α－β<360°，综上可知α－β的范围是－360°<α－β<0°.6．假如一扇形的弧长变为原来的32倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的________．答案 34解析由于S ＝12lR ，若l ′＝32l ，R ′＝12R ，则S ′＝12l ′R ′＝12×32l ×12R ＝34S .7．用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(包括边界，如图所示)．解 (1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π－π6≤α≤2k π＋5π12，k ∈Z .(2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|k π＋π6≤α≤k π＋π2，k ∈Z .二、力气提升8．扇形圆心角为π3，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( )A ．1∶3B ．2∶ 3C ．4∶3D ．4∶9 答案 B解析设扇形的半径为R ，扇形内切圆半径为r ，则R ＝r ＋rsin π6＝r ＋2r ＝3r .∴S 内切圆＝πr 2.S 扇形＝12αR 2＝12×π3×R 2＝12×π3×9r 2＝32πr 2.∴S 内切圆∶S 扇形＝2∶3.9．设扇形的周长为6，面积为2，则扇形的圆心角(单位：弧度)是( ) A ．1 B ．4 C ．π D ．1或4 答案 D解析设扇形的半径为x ，所以弧长为6－2x ，扇形的圆心角为6－2x x ，由于扇形的面积为2，所以12(6－2x )x＝2，解得x ＝1或x ＝2，所以扇形的圆心角为4或1.10．已知集合A ＝{x |2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z }，集合B ＝{x |－4≤x ≤4}，则A ∩B ＝______________. 答案 [－4，－π]∪[0，π] 解析如图所示，∴A ∩B ＝[－4，－π]∪[0，π]．11．用30 cm 长的铁丝围成一个扇形，应怎样设计才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解设扇形的圆心角为α，半径为r ，面积为S ，弧长为l ，则有l ＋2r ＝30，∴l ＝30－2r ，从而S ＝12·l ·r ＝12(30－2r )·r＝－r 2＋15r ＝－⎝⎛⎭⎫r －1522＋2254. ∴当半径r ＝152 cm 时，l ＝30－2×152＝15 cm ，扇形面积的最大值是2254 cm 2，这时α＝lr＝2 rad.∴当扇形的圆心角为2 rad ，半径为152 cm 时，面积最大，最大面积为2254cm 2.12.如图所示，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P 从点A (1,0)动身，依逆时针方向等速沿单位圆周旋转，已知P 点在1 s 内转过的角度为θ (0<θ<π)，经过2 s 达到第三象限，经过14 s 后又回到了动身点A 处，求θ.解由于0<θ<π，且2k π＋π<2θ<2k π＋3π2(k ∈Z )，则必有k ＝0，于是π2<θ<3π4，又14θ＝2n π(n ∈Z )，所以θ＝n π7，n ∈Z ，从而π2<n π7<3π4，即72<n <214，所以n ＝4或5，故θ＝4π7或5π7.三、探究与拓展13．已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R .(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是确定值c (c >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？解 (1)设弧长为l ，弓形面积为S 弓， ∵α＝60°＝π3，R ＝10，∴l ＝αR ＝10π3(cm)．S 弓＝S 扇－S △＝12×10π3×10－2×12×10×sin π6×10×cos π6＝50⎝⎛⎭⎫π3－32 (cm 2)．(2)扇形周长c ＝2R ＋l ＝2R ＋αR ，∴α＝c －2RR ，∴S 扇＝12αR 2＝12·c －2R R ·R 2＝12(c －2R )R＝－R 2＋12cR ＝－⎝⎛⎭⎫R －c 42＋c 216. 当且仅当R ＝c4，即α＝2时，扇形面积最大，且最大面积是c 216.。

人教版高中数学必修四第2课时弧度制含解析

第2课时弧度制课时目标1.了解度量角的单位制，即角度制与弧度制．2．理解弧度制的定义，能够对弧度和角度进行正确的换算．识记强化1．我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，即用弧度制度量时，这样的圆心角等于1 rad.2．弧长计算公式：l ＝|α|·r (α是圆心角的弧度数)；扇形面积公式S ＝12l ·r 或S ＝12|α|·r 2(α是弧度数且0<α<2π)．3．角度与弧度互化度数 360° 180° 1° (180π)°弧度数 2π π π1801课时作业一、选择题 1．－315°化为弧度是( )A ．－43πB ．－5π3C ．－7π4D ．－76π答案：C解析：－315°×π180＝－7π42．在半径为2 cm 的圆中，有一条弧长为π3cm ，它所对的圆心角为( )A.π6B.π3C.π2D.2π3 答案：A解析：设圆心角为θ，则θ＝π32＝π6.3．与角－π6终边相同的角是( )A.5π6B.π3C.11π6D.2π3 答案：C解析：与角－π6终边相同的角的集合为αα＝－π6＋2k π，k ∈Z ，当k ＝1时，α＝－π6＋2π＝11π6，故选C. 4．下列叙述中正确的是( )A ．1弧度是1度的圆心角所对的弧B ．1弧度是长度为半径的弧C ．1弧度是1度的弧与1度的角之和D ．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位答案：D解析：由弧度的定义，知D 正确．5．已知集合A ＝{x |2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z }，B ＝{α|－4≤α≤4}，则A ∩B 为( ) A ．∅B ．{α|－4≤α≤π}C ．{α|0≤α≤π}D ．{α|－4≤α≤－π}∪{α|0≤α≤π} 答案：D解析：求出集合A 在[－4,4]附近区域内的x 的数值，k ＝0时，0≤x ≤π；k ＝1时，4<2π≤x ≤3π；在k ＝－1时，－2π≤x ≤－π，而－2π＜－4，－π＞－4，从而求出A ∩B .6．下列终边相同的一组角是( )A ．k π＋π2与k ·90°，(k ∈Z )B ．(2k ＋1)π与(4k ±1)π，(k ∈Z )C ．k π＋π6与2k π±π6，(k ∈Z )D.k π3与k π＋π3，(k ∈Z ) 答案：B解析：(2k ＋1)π与(4k ±1)π，k ∈Z ，都表示π的奇数倍．二、填空题7．在半径为2的圆中，弧长为4的弧所对的圆心角的大小是________rad. 答案：2解析：根据弧度制的定义，知所求圆心角的大小为42＝2 rad.8．设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫αα＝k π2－π3，k ∈Z ，N ＝{α|－π<α<π}，则M ∩N ＝________.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫－56π，－π3，π6，23π解析：由－π<k π2－π3<π，得－43<k <83.∵k ∈Z ，∴k ＝－1,0,1,2，∴M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－56π，－π3，π6，23π.9．时钟从6时50分走到10时40分，这时分针旋转了________弧度．答案：－23π3解析：时钟共走了3小时50分钟，分针旋转了－⎝⎛⎭⎫3×2π＋56·2π＝－23π3三、解答题10．一条铁路在转弯处成圆弧形，圆弧的半径为2 km ，一列火车以30 km/h 的速度通过，求火车经过10 s 后转过的弧度数．解：∵圆弧半径R ＝2 km ＝2 000 m ，火车速度v ＝30 km/h ＝253m/s ，∴经过10 s 后火车转过的弧长l ＝253×10＝2503(m)，∴火车经过10 s 后转过的弧度数|α|＝l R ＝25032 000＝124.11．已知角α＝2010°.(1)将α改写成θ＋2k π(k ∈Z,0≤θ<2π)的形式，并指出α是第几象限角； (2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角； (3)在区间[0,5π)上找出与α终边相同的角．解：(1)2 010°＝2 010×π180＝67π6＝5×2π＋7π6.又π<7π6<3π2，角α与角7π6的终边相同，故α是第三象限角．(2)与α终边相同的角可以写为r ＝7π6＋2k π(k ∈Z )．又－5π≤r <0，∴k ＝－3，－2，－1.∴与α终边相同的角为－296π，－176π，－56π.(3)令0≤r ＝76π＋2k π＜5π，∴k ＝0,1，∴与α终边相同的角为76π，196π.能力提升12．如下图所示，在某机械装置中，小正六边形沿着大正六边形的边顺时针方向滚动，小正六边形的边长是大正六边形边长的一半．如果小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置，在这个过程中，射线OA 围绕点O 旋转了θ角，其中O 为小正六边形的中心，则θ等于( )A ．－4πB ．－6πC ．－8πD ．－10π 答案：B解析：小正六边形沿着大正六边形滚动一条边并且到下一条边上时，射线OA 旋转了π3＋2π3＝π，则小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置时，共旋转了π×6＝6π.又射线OA 按顺时针方向旋转，则θ＝－6π，故选B.13．已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝m π＋π6，m ∈Z ， N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝n π2－π3，n ∈Z ， P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k π2＋π6，k ∈Z ，试确定M 、N 、P 之间满足的关系．解：解法一：集合M ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝m π＋π6，m ∈Z ； N ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝n π2－π3，n ∈Z ＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2m π2－π3或x ＝2m ＋12π－π3，m ∈Z＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝m π－π3或x ＝m π＋π6，m ∈Z ； P ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k π2＋π6，k ∈Z ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2m 2π＋π6或x ＝2m －12π＋π6，m ∈Z＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝m π＋π6或x ＝m π－π3，m ∈Z . 所以M N ＝P .解法二：M ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝m π＋π6，m ∈Z ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝6m ＋16π，m ∈Z＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝3·(2m )＋16π，m ∈Z ；N ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝n π2－π3，n ∈Z ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝3n －26π，n ∈Z ；P ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k π2＋π6，k ∈Z ＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝3k ＋16π，k ∈Z＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝3n －26π，n ∈Z ＝N .所以M ⊆N ＝P .附赠材料答题六注意：规范答题不丢分提高考分的另一个有效方法是减少或避免不规范答题等非智力因素造成的失分,具体来说考场答题要注意以下六点:第一,考前做好准备工作。

人教版必修四学案：1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算(无答案)

追求卓越，成功便在不经意间追上你高一（2017级）数学学案 1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算一〖自学指引〗 1. 用度作单位来度量角的制度叫做_________,规定：周角的_________为1度的角， __________分等于1度，_________秒等于1分. 2. （1）1弧度角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做________的角，与所有圆的半径_____.用符号 _________表示，读作_________. （2）弧度制：以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做___________.圆心角不变，则弧长与半径的比值不变，这表示____________________,只与角α的大小有关，当α为定值时，这个______也是定值。

3.1800=______rad ,10=____π5. 扇形弧长公式：l =_________；面积公式：S =_________ = _________. （其中r 为半径，α为圆心角的弧度数，l 为弧长，S 为面积）二〖典型例题〗 1. 111230'();2157.5().o o ππ例（）把化成弧度用表示（）把化成弧度用表示。

5 2. - 6π例把化成度.班级：姓名：学号：o 3. AOB AB 6050 ABl 例如图,扇形中,弧所对的圆心角是,半径为米,求弧的长三〖随堂训练〗 1. 3157777 . ; . ; . ; . .24164o A B C D ππππ----化为弧度数为（）2．29___________6π-与角终边相同的最小正角为3. 用弧度制表示：（1 ）终边在x 轴上的角的集合（2）终边在y 轴上的角的集合2 2 . . ; . 2 . 2 A B C D 4.若圆的半径为原来的倍，而弧长也增加到原来的倍，则（）扇形面积不变；扇形的圆心角不变扇形的面积增大到原来的倍；扇形的圆心角增大到原来的倍. 5.已知度数为2的圆心角所对弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（） 2A. 2 ; B. ; C. 2sin1 ; D. sin 2 .sin1 l x S S x 6.长为定值的铁丝弯成一个扇形，设扇形的半径为，面积为，写出关于的函数并说明当圆心角为多少时，面积最大。

1-02学案·弧度制

年月日班级、姓名1—02 弧度制【学习目标】1．理解1弧度的角、弧度制的定义，理解引入弧度制度意义； 2．熟练地进行角度与弧度的换算； 3．熟记和应用特殊角的弧度数；4．应用弧度制下的弧长公式、扇形面积公式．第一课时【阅读思考】（阅读教材P 6—7，回答下列问题）（一）温故知新 1．与任意角α终边相同（共射线），连同角α在内的所有角的集合S ＝． 2．与任意角α终边共线（共直线），连同角α在内的所有角的集合S ＝． 3．“1°”的角等于角的，用“度”作单位度量一个角的大小的制度叫制． 4．理解：我们把长度等于的对角叫做1弧度的角，符号表示，读作．已知⊙O 的半径为1，若1AB =，则∠AOB ＝、若2AB =，则∠AOB ＝． 5．思考：1弧度大小的角与圆的半径是否有关？6．应用：如图，半径为r 的圆的圆心与x 原点重合，角α的始边与x 轴的非负半轴重合，交圆于点A ，终边叫圆于点B ，请填充下表：AB 的长旋转方向 ∠AOB 的弧度数∠AOB 的度数πr 逆时针方向 2πr 逆时针方向r 1 2r －2 －π 0 180︒360︒6．归纳：弧长l ＝4πr ，其所对的圆心角的弧度数＝、弧长l ＝4rπ，其所对的圆心角的弧度数＝、一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长为l ，则α的弧度数是．（二）弧度制1．正角的弧度数是一个数，负角的弧度数是一个数，零角的弧度数是；2．任一角α的弧度数的绝对值lrα=，其中l 是以角α为圆心角时所对，r 是 . 这种以作为单位来度量角的单位制叫做弧度制. （三）角度与弧度的换算 1．识记360_____rad 180______rad 1_________rad _________rad ︒=︒=︒=≈ 2r a d =_______r a d =_____1r a d =______________________π︒π︒︒≈︒=︒O2．理解：①今后用弧度制表示角时，或者说“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或符号“rad ”可以省略不写，而只写这个角的弧度数．如α＝2，即α是2 rad 的角，sin3表示3 rad 角的正弦，π＝180︒即π rad ＝180︒），但用角度制表示角时，或者用“度”为单位度量角时，“度”即“︒”不能省去.②用弧度制表示角时，或者说用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数．③今后在表示与角α终边相同的角时，有弧度制与角度制两种单位制，要根据角α的单位来决定另一项的单位，即两项所用的单位制必须一致，绝对不能出现k ·360︒＋3π或者2k π－60︒一类的写法． 3．实践：（1）根据教材P7给出的计算流程，完成例1和例2的解答，并检查结果是否一致．（2）用计算器比较sin1.5与cos5︒的大小． 4．填充下表，并熟记：度 0︒ 30︒ 45︒ 90︒ 120︒ 150︒ 180︒ 270︒ 360︒弧度3π34π【课堂练习】P9之1、2、3 、4 【交流思考】1．计算2214tancos sin sin cos043262ππππ-++⋅的值．2．把下列各角化成2k π＋α（0≤α＜2π，k ∈Z ）的形式，并指出是第几象限角？（1）－1500°；（2）236π．【巩固练习】（）1．若α＝－3，则角α的终边在（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限（）2．下列各式中正确的是（A ）π＝180 （B ）π＝3.14 （C ）90︒＝2πrad （D ）1 rad ＝π（）3．下列表示中不正确．．．的是（A ）终边在x 轴上角的集合是{},Z k k αα=π∈（B ）终边在y 轴上角的集合是,2Z k k ⎧⎫παα=+π∈⎨⎬⎩⎭（C ）终边在坐标轴上角的集合是,2Z k k ⎧⎫παα=∈⎨⎬⎩⎭ （D ）终边在直线y ＝x 上角的集合是2,4Z k k ⎧⎫παα=+π∈⎨⎬⎩⎭（）4．将分针拨慢10分钟，则分针转过的弧度数是（A ）3π （B ）－3π （C ）5π （D ）－5π （）5．把－114π表示成θ＋2k π（k ∈Z ）的形式，使θ最小的θ值是（A ）4π （B ）－4π （C ）34π （D ）－34π 6．在半径为1的圆中，长度为1的弦所对的圆心角为 rad 、长度为1的弧所对的圆心角为rad 、长度为3的弦所对的圆心角为 rad 、长度为3的弧所对的圆心角为 rad.7．三角形三内角之比为3:4:5，则三内角的弧度数分别为 . 8．把下列各角从度化成弧度（用π表示）：①18︒＝； ②－120︒＝；③735︒＝；④1080︒＝ . 9．把下列各角从弧度化成度：①－76π＝； ②－83π＝；③1.4＝ . 10．求值：sin tan tan cos tan cos 336642ππππππ+-．第二课时【阅读思考】（阅读教材P 8，回答下列问题）（一）弧长公式1．回顾：在初中角度制下，扇形弧长计算公式 .2．识记：在弧度制下扇形弧长计算公式，其中l 表示扇形的弧长，r 表示圆半径，α表示圆心角的弧度数．（二）扇形面积公式1．回顾：角度制下扇形面积公式___________S =2．识记：在弧度制下扇形面积计算公式___________S =．其中l 是扇形的弧长，r 是圆的半径，α表示圆心角的弧度数．3．理解：扇形面积公式类似于的面积公式4．应用：已知扇形AOB 的圆心角为60︒，弦AB 长为4，求弧AB 的长以及弓形AB 的面积.【课堂练习】P9页练习5、6．【交流思考】1．用弧度制表示终边与已知角α关于x 轴对称的角的集合．2．直径为1.4m 的飞轮，每小时按逆时针方向旋转24000圈.求：（1）飞轮每秒转过的弧度数；（2）轮周上一点P 每秒钟经过的弧长.【能力提升】1．已知222,33Z A k k k ⎧⎫ππ=απ-≤α<π+∈⎨⎬⎩⎭，{}2870B x x x =-+≤，求A B .2．已知扇形的周长为20 cm ，当扇形的中心角为多大时，它有最大面积?【巩固练习】（）1．已知扇形的弧含有54︒，半径为20cm ，则扇形的周长为（A ）6πcm （B ）60cm （C ）(40＋6π)cm （D ）(40＋3π)cm （）2．若2rad 的圆心角所对的弧长为4cm ，则这个圆心角所夹扇形的面积为（A ）4cm 2 （B ）2 cm 2 （C ）4πcm 2 （D ）2πcm 2（）3．集合,,2,22A k k B k k ⎧⎫⎧⎫ππ=αα=π+∈=αα=π±∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭Z Z ，则A 与B 的关系是（A ）A ＝B （B ）A B （C ）A B （D ）A B4．直径为20cm 的轮子以45 rad s （弧度秒）的速度旋转，则轮子上一点经过5s 所转过的弧长为 .5．要在半径OA ＝100cm 的圆形金属板上截取一块扇形板，使其弧AB 的长为112cm ，则圆心角∠AOB 的度数是 .（精确到1︒）6．蒸汽机飞轮的直径为1.2m ，以300r min （转／分）的速度作逆时针旋转，求：（1）飞轮每1s 转过的弧度数；（2）轮周上一点每1s 所转过的弧长.7．★已知集合{}22,Z A k k k =απ≤α≤π+π∈，{}44B =α-≤α≤，求A B .【学后随笔】⊂ /。

高二数学必修四《任意角和弧度制》教案

高二数学必修四《任意角和弧度制》教案高二数学必修四《任意角和弧度制》教案什么是教案？教案是老师为顺当而有效地开展教学活动，依据课程标准，教学大纲和教科书要求及同学的实际状况，以课时或课题为单位，对教学内容、教学步骤、教学方法等进行的详细设计和支配的一种有用性教学文书。

教案包括教材简析和同学分析、教学目的、重难点、教学预备、教学过程及练习设计等。

高二数学必修四《任意角和弧度制》教案作为一位无私奉献的人民老师，往往需要进行教案编写工作，教案是备课向课堂教学转化的关节点。

那么大家知道正规的教案是怎么写的吗？以下是我帮大家整理的高二数学必修四《任意角和弧度制》教案，供大家参考借鉴，期望可以帮忙到有需要的朋友。

高二数学必修四《任意角和弧度制》教案1教学目标一、学问与技能（1）理解并把握弧度制的定义;（2）领悟弧度制定义的合理性;（3）把握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式;（4）娴熟地进行角度制与弧度制的换算;（5）角的集合与实数集之间建立的一一对应关系。

（6）使同学通过弧度制的学习，理解并熟悉到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系。

二、过程与方法创设情境，引入弧度制度量角的大小，通过探究理解并把握弧度制的定义，领悟定义的合理性。

依据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形面积公式。

以详细的实例学习角度制与弧度制的互化，能正确使用计算器。

三、情态与价值通过本节的学习，使同学们把握另一种度量角的单位制———弧度制，理解并熟悉到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系。

角的概念推广以后，在弧度制下，角的集合与实数集之间建立了一一对应关系：即每一个角都有唯一的一个实数（即这个角的弧度数）与它对应;反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应，为下一节学习三角函数做好预备。

教学重难点重点：理解并把握弧度制定义;娴熟地进行角度制与弧度制地互化换算;弧度制的运用。

人教版高中必修4(B版)1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算课程设计 (2)

人教版高中必修4(B版)1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算课程设计一、课程背景及目标弧度制是高中数学学习中一项非常重要的知识点，是学习三角函数和圆周运动等知识的基础。

本课程旨在帮助学生深入理解弧度制的定义、性质及与角度制的换算，并能够熟练地进行弧度制和角度制的换算，以达到以下目标：1.掌握弧度制的定义、性质以及与角度制的换算方法；2.能够正确地应用弧度制和角度制进行计算；3.培养学生认真、细心，探究问题的能力。

二、课程内容及教学方法1. 课程内容本课程将分为以下几个部分：1.弧度制的定义及性质；2.弧度制与角度制的换算；3.探究：弧度制和角度制的关系以及运用。

2. 教学方法本课程将采取以下教学方法：1.通过教师讲解、演示以及举例等方式，帮助学生全面理解弧度制和角度制的定义、性质和换算方法；2.在教师的引导下，让学生自主探究弧度制和角度制之间的关系，并且在探究的过程中加深对知识点的理解；3.借助计算机等辅助工具，进行弧度制和角度制的换算练习以及应用实例分析，帮助学生掌握该知识点的运用技巧。

三、教学重点与难点1. 教学重点：1.弧度制的定义及性质；2.弧度制与角度制的换算方法；3.弧度制和角度制的应用。

2. 教学难点：1.熟练地进行弧度制和角度制的换算；2.弧度制和角度制的应用。

四、教学过程设计1. 引入教师通过引进本章主题、介绍本章知识点的重要性等方式，引导学生进入本节课程内容。

2. 讲解弧度制的定义及性质1.通过实物演示圆周，引出圆周的弧长与半径的关系；2.引出“弧度”概念，并讲解弧度的定义及性质；3.通过实例说明弧度的大小，帮助学生加深对弧度的理解。

3. 弧度制与角度制的换算1.引导学生理解弧度和角度之间的关系；2.通过教师演示和学生举例等方式，介绍弧度制和角度制的换算方法；3.让学生进行练习及交流。

4. 探究：弧度制和角度制的关系以及运用1.让学生自主进行探究，理解弧度制和角度制的关系；2.设计几道弧度制和角度制的问题，让学生运用所学知识进行解答。

人教A版高中数学必修四人教任意角和弧度制教案(2)

高一数学必修4任意角和弧度制第一课时 1.1.1 任意角教学要求：理解任意大小的角正角、负角和零角，掌握终边相同的角、象限角、区间角、终边在坐标轴上的角.教学重点：理解概念，掌握终边相同角的表示法. 教学难点：理解角的任意大小. 教学过程：一、复习准备：1.提问：初中所学的角是如何定义？角的范围？（角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；0°～360°）2.讨论：实际生活中是否有些角度超出初中所学的范围？ → 说明研究推广角概念的必要性（钟表；体操，如转体720°；自行车车轮；螺丝扳手）二、讲授新课： 1.教学角的概念：① 定义正角、负角、零角：按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，未作任何旋转所形成的角叫零角.② 讨论：推广后角的大小情况怎样？（包括任意大小的正角、负角和零角） ③ 示意几个旋转例子，写出角的度数.④ 如何将角放入坐标系中？→定义第几象限的角.（概念：角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合. 那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角. ）⑤ 练习：试在坐标系中表示300°、390°、－330°角，并判别在第几象限？ ⑥ 讨论：角的终边在坐标轴上，属于哪一个象限？结论：如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角. 口答：锐角是第几象限角?第一象限角一定是锐角吗?再分别就直角、钝角来回答这两个问题.⑦ 讨论：与60°终边相同的角有哪些？都可以用什么代数式表示？与α终边相同的角如何表示？⑧ 结论：与α角终边相同的角，都可用式子k ×360°＋α表示，k ∈Z ，写成集合呢？ ⑨ 讨论：给定顶点、终边、始边的角有多少个？注意：终边相同的角不一定相等；但相等的角，终边一定相同；终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍2.教学例题：① 出示例1：在0°～360°间，找出下列终边相同角：－150°、1040°、－940°. （讨论计算方法：除以360求正余数 →试练→订正）② 出示例2：写出与下列终边相同的角的集合，并写出－720°～360°间角. 120°、－270°、1020°（讨论计算方法：直接写，分析k 的取值 →试练→订正） ③ 讨论：上面如何求k 的值？（解不等式法）④ 练习：写出终边在x 轴上的角的集合，y 轴上呢？坐标轴上呢？第一象限呢？ ⑤ 出示例3：写出终边直线在y =x 上的角的集合S , 并把S 中适合不等式360720α︒-≤<︒的元素β写出来. （师生共练→小结）3. 小结：角的推广；象限角的定义；终边相同角的表示；终边落在坐标轴时等；区间角表示.三、巩固练习：1. 写出终边在第一象限的角的集合？第二象限呢？第三象限呢？第四象限呢？直线y =-x 呢？2. 作业：书P6 练习 3 ③④、4、5题.第二课时：1.1.2 弧度制（一）教学要求：掌握弧度制的定义，学会弧度制与角度制互化，并进而建立角的集合与实数集R 一一对应关系的概念.教学重点：掌握换算.教学难点：理解弧度意义. 教学过程：一、复习准备：1. 写出终边在x 轴上角的集合 .2. 写出终边在y 轴上角的集合 .3. 写出终边在第三象限角的集合 .4. 写出终边在第一、三象限角的集合 .5. 什么叫1°的角？计算扇形弧长的公式是怎样的？二、讲授新课：1. 教学弧度的意义：① 如图：∠AOB 所对弧长分别为L 、L ’，半径分别为r 、r ’，求证：lr＝''l r .② 讨论：l r 是否为定值？其值与什么有关系？→结论：lr ＝180n π=定值.③ 讨论：l r 在什么情况下为值为1？lr是否可以作为角的度量？④ 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫1弧度的角. 用rad 表示，读作弧度. ⑤ 计算弧度：180°、360°→ 思考：－360°等于多少弧度？⑥ 探究：完成书P7 表1.1-1后，讨论：半径为r 的圆心角α所对弧长为l ，则α弧度数=？⑦ 规定：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. 半径为r 的圆心角α所对弧长为l ，则α弧度数的绝对值为|α|＝lr. 用弧度作单位来度量角的制度叫弧度制.⑧ 讨论：由弧度数的定义可以得到计算弧长的公式怎样？⑨ 讨论：1度等于多少弧度？1弧度等于多少度？→度表示与弧度表示有啥不同？－720°的圆心角、弧长、弧度如何看？ 2 .教学例题：①出示例1：角度与弧度互化：6730' ；35rad π.分析：如何依据换算公式？（抓住：180︒=π rad ） → 如何设计算法？→ 计算器操作：模式选择 MODE MODE 1(2)；输入数据；功能键SHIFT DRG 1(2)=② 练习：角度与弧度互化：0°；30°；45°；3π；2π；120°；135°；150°；54π③ 讨论：引入弧度制的意义？（在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系）④ 练习：用弧度制表示下列角的集合：终边在x 轴上；终边在y 轴上. 3. 小结：弧度数定义；换算公式（180︒=π rad ）；弧度制与角度制互化. 三、巩固练习：1. 教材P10 练习1、2题.2. 用弧度制表示下列角的集合：终边在直线y =x ；终边在第二象限；终边在第一象限.3. 作业：教材P11 5、7、8题. 第三课时：1.1.2 弧度制（二）教学要求：更进一步理解弧度的意义，能熟练地进行弧度与角度的换算. 掌握弧长公式，能用弧度表示终边相同的角、象限角和终边在坐标轴上的角. 掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式教学重点：掌握扇形弧长公式、面积公式. 教学难点：理解弧度制表示. 教学过程：一、复习准备： 1. 提问：什么叫1弧度的角？1度等于多少弧度？1弧度等于多少度？扇形弧长公式？2. 弧度与角度互换：－43π、310π、－210°、75°3. 口答下列特殊角的弧度数：0°、30°、45°、60°、90°、120°、135°、… 二、讲授新课： 1. 教学例题：① 出示例：用弧度制推导：S 扇＝12LR ；212S R α=扇.分析：先求1弧度扇形的面积（12ππR 2）→再求弧长为L 、半径为R 的扇形面积？方法二：根据扇形弧长公式、面积公式，结合换算公式转换.② 练习：扇形半径为45，圆心角为120°，用弧度制求弧长、面积.③ 出示例：计算sin3π、tan1.5、cos 4π （口答方法→共练→小结：换算为角度；计算器求） ② 练习：求6π、4π、3π的正弦、余弦、正切. 2. 练习：①. 用弧度制写出与下列终边相同的角，并求0～2π间的角.193π、－675° ② 用弧度制表示终边在x 轴上角的集合、终边在y 轴上角的集合？终边在第三象限角的集合？③ 讨论：α＝k ×360°＋3π与β＝2k π＋30°是否正确？ ④ α与－94π的终边相同，且－2π<α<2π，则α＝ . ⑤ 已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积. 解法：设扇形的半径为r ，弧长为l ，列方程组而求. 3. 小结：扇形弧长公式、面积公式；弧度制的运用；计算器使用. 三、巩固练习：1. 时间经过2小时30分，时针和分针各转了多少弧度？2. 一扇形的中心角是54°，它的半径为20cm ，求扇形的周长和面积.3. 已知角α和角β的差为10°，角α和角β的和是10弧度，则α、β的弧度数分别是 .4. 作业：教材P10 练习4、5、6题.。

【学案】人教版高中数学必修四弧度制(解析版)

1.1.2弧度制一、重点难点解读知识点一弧度制的概念1.角度制：将圆周的1360作为1度的角，记作1°，这种用度作单位来度量角的单位制叫角度制．2.弧度制：将长度等于半径长的弧所对的圆心角叫1弧度的角，记作1 rad.这种用弧度作单位来度量角的单位制叫做弧度制．知识点二角度与弧度的换算1.正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0．如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么角α的弧度数的绝对值|α|＝_lr__．2.设一个角的弧度数为α，角度为n°，则α＝⎝⎛⎭⎫180απ°，n°＝n180π. 3.角度与弧度的互化．4.一些特殊角与弧度数的对应关系．3．角度制与弧度制的比较角度制用度作为单位来度量角的单位制角的大小与半径无关单位“°”不能省略角的正负与方向有关六十进制弧度制用弧度作为单位来度量角的单位制角的大小与半径无关单位“rad” 可以省略角的正负与方向有关十进制知识点三用弧度制表示弧长及扇形面积公式二、常考题型归类题型一弧度制概念及应用例1 下列四个命题中，不正确的一个是( )A ．半圆所对的圆心角是 πradB ．周角的大小是2πC ．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D ．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度【答案】 D例2 下列各种说法中，错误的是( )A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B ．1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12πC ．根据弧度的定义，180°的角一定等于π rad 的角D ．利用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径长短有关 [自主解答] A ，B ，C 正确，D 中角的大小只与弧长与半径的比值有关，与圆半径无关．答案：D例3 将下列角转化为另一种形式表示：(1)－300°； (2)85π.【解析】 (1)－300°＝－300×π180＝－53π；(2)85π＝85×180°＝288°. 例4 将下列各角化成0到2π的角加上2kπ(k ∈Z)的形式，并指出它们所在的象限．(1)193π；(2)－315°；(3)－15π4；(4)32π3. 【解析】 (1)193π＝π3＋6π，是第一象限角．(2)－315°＝45°－360°＝π4－2π，是第一象限角．(3)－15π4＝－4π＋π4，是第一象限角．(4)32π3＝10π＋2π3，是第二象限角．例5 用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如下图所示)．【思路分析】首先可以利用弧度制与角度制间的关系将有关角化为弧度数，同时在表示所给角的范围时还要注意正角和负角之间的转化．【解析】 (1)如题图①中以OB 为终边的角330°，可看成为－30°，化为弧度，即－π6，而75°＝75×π180＝5π12.∴{θ|2kπ－π6<θ<2kπ＋5π12，k ∈Z }．(2)如题图②中以OB 为终边的角225°，可看成是－135°，化为弧度，即－34π，而135°＝135×π180＝3π4，∴{θ|2kπ－3π4<θ<2kπ＋3π4，k ∈Z }．(3)如题图③，∵30°＝π6，210°＝7π6，∴{θ|2kπ＋π6<θ<2kπ＋π2，k ∈Z }∪{θ|2kπ＋7π6<θ<2kπ＋3π2，k ∈Z }＝{θ|2kπ＋π6<θ<2kπ＋π2，k ∈Z }∪{θ|(2k ＋1)π＋π6<θ<(2k ＋1)π＋π2，k ∈Z }＝{θ|kπ＋π6<θ<kπ＋π2，k ∈Z }．变式题1 下列命题中，假命题是( )A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B ．1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12πC ．1 rad 的角比1°的角要大D ．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关【答案】 D变式题2 下列说法正确的是( )A ．1弧度是1度的圆心角所对的弧B ．1弧度是长度为半径的弧C ．1弧度是1度的弧与1度的角之和D ．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位解析：根据1弧度的定义，我们把长度等半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．角度 0° 45° 60° 90° 135° 150° 180°弧度π6 5π12 3π22π 【答案】角度：30° 75° 270° 360°弧度：0 π4 π3 π2 3π4 5π6π变式题4 把下列角化成2kπ＋α，k ∈Z ，0≤α<2π的形式，并判断该角是第几象限角？(1)134π；(2)－1 104°. 【解析】 (1)134π＝2π＋5π4，第三象限角．(2)－1 104°＝－1 104×π180＝－9215π＝－8π＋2815π，第四象限角．变式题5 把下列各角化成2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z)的形式，并指出是第几角限角？(1)－1 725°；(2)64π3.解：(1)因为－1 725°＝－5×360°＋75°，所以－1 725°＝－10π＋5π12.所以－1 725°角与5π12角的终边相同．又因为5π12是第一象限角，所以－1 725°是第一象限角．(2)因为64π3＝20π＋4π3，所以64π3角与4π3角的终边相同．又因为4π3是第三象限角，所以64π3是第三象限角．变式题6 如下图所示：(1)分别写出终边落在OA ，OB 位置上的角的集合； (2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．【答案】 (1)终边在OA 上的角的集合为{α|α＝3π4＋2kπ，k ∈Z }．终边在OB 上的角的集合为{β|β＝－π6＋2kπ，k ∈Z }．(2) {α|－π6＋2kπ≤α≤3π4＋2kπ，k ∈Z }．题型二与弧长、扇形面积有关的问题例1 (1)已知扇形的周长为10 cm ，面积为4 cm 2，求扇形的圆心角的弧度数．(2)已知一扇形的圆心角为108°，半径等于30 cm ，求扇形的面积．(3)已知一扇形的周长为16 cm ，当它的半径和圆心角取何值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？【解析】 (1)设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l ，半径为r ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝10， ①12lr ＝4， ② 由①得l ＝10－2r ，将它代入②，得r 2－5r ＋4＝0，解得r 1＝1，r 2＝4.当r ＝1时，l ＝8(cm)，此时θ＝8 rad>2π rad ，舍去．当r ＝4时，l ＝2(cm)，此时θ＝24＝12rad.(2)设扇形弧长为l.∵108°＝108×π180＝35π，∴l ＝αR ＝35π×30＝18π(cm)．∴S ＝12lR ＝12×18π×30＝270π(cm 2)．(3)设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ，则l ＋2r ＝16.∴l ＝16－2r.∴S ＝12lr ＝12×(16－2r)·r ＝8r －r 2＝－(r －4)2＋16.∴当半径r ＝4 cm 时，扇形的面积最大，这个最大值为16 cm 2，此时θ＝l r ＝16－2×44＝2 rad.变式题1 一条弦的长度等于半径r ，则①这条弦所对的劣弧长为________．②这条弦和劣弧所组成的弓形的面积为________．【答案】 ①π3r ②(π6－34)r 2变式题2 (变换条件、改变问题)已知一扇形的圆心角是72°，半径为20，求扇形的面积．解：设扇形弧长为l ，因为圆心角72°＝72×π180＝2π5rad ，所以扇形弧长l ＝|a |·r ＝2π5×20＝8π，于是，扇形的面积S ＝12l ·r ＝12×8π×20＝80π.变式题3 (变换条件、改变问题)已知一扇形的周长为4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？解：设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l ，半径为r ，面积为S ，则l ＋2r ＝4，所以l ＝4－2r ⎝⎛⎭⎫21＋π<r <2，所以S ＝12l ·r ＝12×(4－2r )×r ＝－r 2＋2r ＝－(r －1)2＋1，所以当r ＝1时，S 最大，且S max ＝1，因此，θ＝l r ＝4－2×11＝2(rad)．三、课后强化训练A 级基础巩固一、选择题1．下列说法中，错误的是( ) A ．半圆所对的圆心角是π rad B ．周角的大小等于2πC ．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D ．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度解析：根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A 、B 、C 均正确，D 错误．答案：D2．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为( ) A.143π B ．－143π C.718 π D ．－718π 解析：显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了73周，转过的弧度为－73×2π＝－143π.答案：B3．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为( ) A.403π B.203π C.2003π D.4003π 解析：240°＝240180π＝43π，所以弧长l ＝|α|·r ＝43π×10＝403π.答案：A4．把－11π4表示成θ＋2k π(k ∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是( )A ．－3π4B ．－π4C.π4D.3π4解析：令－11π4＝θ＋2k π(k ∈Z)，则θ＝－11π4－2k π(k ∈Z)．取k ≤0的值，k ＝－1时，θ＝－3π4，|θ|＝3π4；k ＝－2时，θ＝5π4，|θ|＝5π4>3π4；k ＝0时，θ＝－11π4，|θ|＝11π4>3π4.答案：A5．一段圆弧的长度等于其圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数为( ) A.π2 B.π3 C. 3 D. 2解析：设圆内接正方形的边长为a ，则该圆的直径为2a ，所以弧长等于a 的圆弧所对的圆心角为α＝l r ＝a22a ＝ 2.答案：D 二、填空题6．π12rad ＝________度，________ rad ＝－300°. 解析：π12＝180°12＝15°；－300°＝－300×π180＝－5π3.答案：15 －5π37．已知扇形的圆心角为60°，半径为3，则扇形的面积是________．解析：因为60°＝π3 rad ，则扇形的面积S ＝12×π3×32＝32π.答案：32π8．(1)1°的圆心角所对弧长为1米，则此圆半径为________米； (2)1 rad 的圆心角所对弧长为1米，则此圆半径为______米．解析：(1)因为|α|＝1°＝π180，l ＝1，所以r ＝l |α|＝1π180＝180π.(2)因为l ＝1，|α|＝1，所以r ＝l|α|＝1.答案：(1)180π(2)1三、解答题9．已知α＝2 000°.(1)把α写成2k π＋β [k ∈Z ，β∈[0，2π)]的形式； (2)求θ，使得θ与α的终边相同，且θ∈(4π，6π)．解：(1)α＝2 000°＝5×360°＋200°＝10π＋109π.(2)θ与α的终边相同，故θ＝2k π＋109π，k ∈Z ，又θ∈(4π，6π)，所以k ＝2时，θ＝4π＋109π＝46π9.10．用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合．解：(1)如题图①，330°角的终边与－30°角的终边相同，将－30°化为弧度，即－π6，而75°＝75×π180＝5π12，所以终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪2k π－π6＜θ＜2k π＋5π12，k ∈Z .(2)如题图②，因为30°＝π6，210°＝7π6，这两个角的终边所在的直线相同，因此终边在直线AB 上的角为α＝k π＋π6，k ∈Z ，又终边在y 轴上的角为β＝k π＋π2，k ∈Z ，从而终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪k π＋π6＜θ＜k π＋π2，k ∈Z . B 级能力提升1．集合⎩⎨⎧α⎪⎪⎭⎬⎫k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中角的终边所在的范围(阴影部分)是( )解析：当k ＝2m ，m ∈Z 时，2m π＋π4≤α≤2m π＋π2，m ∈Z ；当k ＝2m ＋1，m ∈Z 时，2m π＋5π4≤α≤2m π＋3π2，m ∈Z ，所以选C. 答案：C2．钟表的时间经过了一小时，则时针转过了________rad.解析：钟表的时针是按顺时针的方向旋转的，经过12小时，时针转过－2π rad ，所以经过一小时，时针转过－π6rad.答案：－π63．已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10.求α(∠AOB )所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S .解：由⊙O 的半径r ＝10＝AB ，知△AOB 是等边三角形，所以α＝∠AOB ＝60°＝π3.所以弧长l ＝a ·r ＝π3×10＝10π3，所以S 扇形＝12lr ＝12×10π3×10＝50π3，又S △AO B ＝12·AB ·53＝12×10×53＝5032，所以S ＝S 扇形－S △AOB ＝50⎝⎛⎭⎫π3－32.。

【新导学案】高中数学人教版必修四：112《弧度制》(2).doc

1.1.2《弧度制》导学案【学习目标】1.理解弧度制的意义；2.能正确的应用弧度与角度Z间的换算；3.记住公^\a\=-（/为以Q作为圆心角吋所对圆弧的长，厂为圆半径）；r4.熟练掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式及其应用。

【重点难点】弧度与角度之间的换算；弧t公式、扇形面积公式的应用。

【学法指导】1.了解弧度制的表示方法：2.知道弧长公式和扇形面积公式.【知识链接】初中学习中我们知道角的度量单位是度、分、秒，它们是60进制，角是否可以用其它单位度量, 是否可以采用10进制？自学课本第7、8页.通过自学回答以下问题：1、角的弧度制是如何引入的？2、为什么要引入弧度制？好处是什么？3、弧度是如何定义的？4、角度制与弧度制的区别与联系？三、提出疑惑1、平角、周角的弧度数？2、角的弧度制与角的大小有关，与角所在圆的半径的大小是否有关？3、角的弧度与角所在圆的半径、角所对的弧长有何关系？【学习过程】（一）复习：初屮时所学的角度制，是怎么规定1°角的？角度制的单位有哪些，是多少进制的？（二）为了使用方便，我们经常会用到一种十进制的度量角的单位制一一弧度制。

＜我们规定〉 _____________________________________ 叫做］弧度的角，用符号 _____________ 表示，读作 _________ o练习：圆的半径为厂，圆弧长为2厂、3厂、工的弧所对的圆心角分别为多少？2V，思考〉：圆心角的弧度数与半径的大小有关吗？由上可知：如果半径为r的园的圆心角Q所对的弧长为/,那么，角Q的弧度数的绝对值是：_____________________________________ , a 的正负由 ___________________________ 决定。

正角的弧度数是一个 ___________ ,负角的弧度数是一个 ____________ ，零角的弧度数是 __________ 」 v 说明〉：我们用弧度制表示角的时候，“弧度”或％〃经常省略，即只写一实数表示角的度量。

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学习目标：加深对弧度制的理解，逐步习惯在具体应用中运用弧度制解决具体的问题。

学习过程：
一、复习：弧度制的定义，它与角度制互化的方法。

二、由公式：⇒=r
l α α⋅=r l 比相应的公式180r n l π=简单弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积
例1: 利用弧度制证明扇形面积公式lR S 2
1=其中l 是扇形弧长，R 是圆的半径。

证：如图：圆心角为1rad 的扇形面积为：221R ππ
弧长为l 的扇形圆心角为rad R l ∴lR R R l S 2
1212=⋅⋅=ππ 比较这与扇形面积公式 3602
R n S π=扇
要简单例2: 直径为20cm 的圆中，求下列各圆心所对的弧长 ⑴
34π ⑵ 165
例3: 如图，已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形
的中心角是1弧度，求该扇形的面积。

例4: 计算4
sin π 5.1tan o R
S o A B
例5: 将下列各角化成0到π2的角加上)(2Z k k ∈π的形式
⑴ π
319 ⑵ 315-。