北京邮电大学版线性代数课后题答案

习题 六

（A 类）

1. 检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间.

(1) 2阶反对称(上三角)矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法；

(2) 平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法：

k ·αα=；

(3) 2阶可逆矩阵的全体，对于通常矩阵的加法与数量乘法；

(4) 与向量(1，1，0)不平行的全体3维数组向量，对于数组向量的加法与数量乘法.

【解】（1）是.由于矩阵加法和数量乘法满足线性空间定义中的1-8条性质，因此只需考虑反对称（上三角）矩阵对于加法和数量乘法是否封闭即可.下面仅对反对称矩阵验证：设A ，B 均为2阶反对称矩阵，k 为任一实数，则

(A +B )′=A ′+B ′=-A -B =-(A +B ),

(k A )′=k A ′=k (-A )=-(k A ),

所以2阶反对称矩阵的全体对于矩阵加法和数量乘法构成一个线性空间.

（2） 否.因为(k +l )·αα=,而2k l ⋅+⋅=+=ααααα,所以这种数量乘法不满足线性空间定义中的第7条性质.

（3） 否.因为零矩阵不可逆（又因为加法和数量乘法都不封闭）.

（4） 否.因为加法不封闭.例如，向量（1，0，0），（0，1，0）都不平行于（1，1，0），但是它们之和（1，0，0）+（0，1，0）=（1，1，0）不属于这个集合.

2. 设U 是线性空间V 的一个子空间，试证：若U 与V 的维数相等，则U ＝Ｖ.

【证明】设U 的维数为m ，且m ,,,ααα 21是U 的一个基，因U ⊂V ,且V 的维数也是m ，自然

m ,,,ααα 21也是V 的一个基，故U =V . 3. 在R ４

中求向量α＝(0,0,0,1)在基

1ε＝(1,1,0,1),2ε＝(2,1,3,1), 3ε＝(1,1,0,0), 4ε＝(0,1,－1,－1)下的坐标. 【解】设向量α在基

1234,,,εεεε下的坐标为(1234,,,x x x x ),则

即为 解之得(1234,,,x x x x

)=(1,0,-1,0).

4. 在R ３中，取两个基 1α＝(1，2，1)，2α＝(2，3，3)，3α＝(3，7，1)；

1β＝(3，1，4)，2β＝(5，2，1)，3β＝(1，1，－6)，

试求123,,ααα到123,,βββ的过渡矩阵与坐标变换公式.

【解】取R ３中一个基（通常称之为标准基）

1ε=(1,0,0),

2ε=(0,1,0), 3ε=(0,0,1).

于是有 所以由基12

3,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵为 坐标变换公式为

其中(123,,x x x )与（123,,x x x '''）为同一向量分别在基123,,ααα与123,,βββ下的坐标.

5. 设α1,α2,α3与β1,β2,β3为R 3的两个基，且由基α1,α2,α3到基β1,β2,β3的过渡矩阵为

121012111A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ ，

(1) 求由基β1，β2，β3到基α1,α2,α3的过渡矩阵B ；

(2) 若向量α在基β1,β2,β3下的坐标为(2，3，1)′，求α在基α1,α2,α3下的坐标. 解（1）

123123(,,)(,,)A βββααα=，由于A 又逆，所以得1123123(,,)(,,)A αααβββ-=，可见A -1为从123,,βββ到123,,ααα的过渡矩阵B 利用求逆矩阵方法

（2）由定理3知，123212129301235111110x x A x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

6. 在R 4中取两个基

(1) 求由前一个基到后一个基的过渡矩阵；

(2) 求向量(1234,,,x x x x

)在后一个基下的坐标；

(3) 求在两个基下有相同坐标的向量. 【解】(1)

1234123420561336(,,,)(,,,),11211013ααααεεεε⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A A 这里A 就是由基

1234,,,εεεε到基1234,,,αααα的过渡矩阵. (2) 设1234(,,,)x x x x α=,由于(1234,,,εεεε)=(1234,,,αααα)A -1,所以

因此向量α在基1234,,,αααα下的坐标为

(3) 设向量ξ在这两个基下有相同的坐标

1234(,,,)k k k k ,那么 11223344,A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦k k k k k k k k 即 1234(),A E ⎡⎤⎢⎥

⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦k k k k 0

也就是

解得1234(,,,)(,,,)=-k k k k c c c c ,其中c 为任一非零实数.

7. 说明xOy 平面上变换A ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

⎣⎦x x T y y 的几何意义，其中 (1)1001-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ； (2)

0001⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ；

(3) 0110⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ； (4)

0110⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A . 【解】

10(1)01--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦x x x T y y y ,T 把平面上任一点变到它关于y 轴对称的点. 000(2)01⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦x x T y y y ,T 把平面上任一点变到它在y 轴的投影点.

01(3)10⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦x x y T y y x ,T 把平面上任一点变到它关于直线x=y 对称的点.

01(4)10⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦x x y T y y x ,T 把平面上任一点变到它绕原点按顺时针方向旋转90°后所对应的点.

8. 设V 是n 阶对称矩阵的全体构成的线性空间［维数为(1)

2n n +］，给定n 阶方阵P ，变换

T (A )＝P ′AP ， ∀A ∈Ｖ

称为合同变换，试证合同变换T 是V 中的线性变换.

【证明】因为∀A ,B ∈V ,k ∈R ,有

T (A+B )=P ′(A+B )P =P ′AP+P ′BP =T (A )+T (B ),

T (k A )=P ′(k A )P =k (P ′AP )=kT (A ).

所以T 是线性空间V 的一个线性变换.

9. 在R 3中取两个基：

α1=(-1,0,-2),α2=(0,1,2),α3=(1,2,5);

β1=(-1,1,0),β2=(1,0,1),β3=(0,1,2).

定义线性变换T ：

T(α1)=(2,0,-1),T(α2)=(0,0,1),T(α3)=(0,1,2),

求线性变换T 在基β1,β2,β3下的矩阵.

解：设123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)ξξξ===

则

123123200(,,)(,,)001112T αααξξξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ 所以

()()1

123123101(),(),()(),(),()012225T T T T T T ξξξααα--⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ 故()()()123123123200121242(),(),(),,001432,,221112221111T T T ξξξξξξξξξ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪==--==- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭