导数题型总结

导数题型总结

一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立此类问题提倡按以下步骤进行解决： 第一步：令'

'

()0()0f x f x ><或者求出函数的单调区间； 第二步：根据第一步求出函数的极大值，极小值和最大值；

至于不等式恒成立，则要分离变量或者变更主元。

例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上，()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数，

4323()1262

x mx x f x =--

（1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围；

（2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值.

解:

由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32

()332

x mx f x x '=-- 2()3g x x mx ∴=-- （1） ()y f x =Q 在区间[]0,3上为“凸函数”，则 2

()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立

解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x <

(0)0302(3)09330

g m g m <-<⎧⎧⇒⇒>⎨

⎨<--<⎩⎩ 解法二：分离变量法：

∵ 当0x =时, 2

()330g x x mx ∴=--=-<恒成立, 当03x <≤时, 2

()30g x x mx =--<恒成立

等价于233

x m x x x

->=-的最大值（03x <≤）恒成立， 而3

()h x x x

=-

（03x <≤）是增函数，则max ()(3)2h x h == 2m ∴> (2)∵当2m ≤时()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数” 则等价于当2m ≤时2

()30g x x mx =--< 恒成立 等价于2

()30F m mx x =-+>在2m ≤恒成立（视为关于m 的一次函数最值问题）

2

2

(2)0230

11(2)0230

F x x x F x x ⎧->--+>⎧⎪⇒⇒⇒-<<⎨⎨>-+>⎪⎩⎩ 2b a ∴-=

例2：设函数),10(323

1)(223

R b a b x a ax x x f ∈<<+-+-

= （Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间和极值；

（Ⅱ）若对任意的],2,1[++∈a a x 不等式()f x a '≤恒成立，求a 的取值范围. 解：（Ⅰ）01

a <'x f 得)(x f 的单调递增区间()()22()433f x x ax a x a x a '=-+-=---为（a ,3a ） 令,0)(<'x f 得)(x f 的单调递减区间为（－∞，a ）和（3a ，+∞） ∴当x=a 时，)(x f 极小值=;4

33

b a +-

当x=3a 时，)(x f 极大值=b.

（Ⅱ）由|)(x f '|≤a ，得：对任意的],2,1[++∈a a x 2

2

43a x ax a a -≤-+≤恒成立① 则等价于()g x 这个二次函数max min ()()g x a g x a

≤⎧⎨

≥-⎩ 22

()43g x x ax a =-+的对称轴2x a =

01,a <+=（放缩法）

即定义域在对称轴的右边，()g x 这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。

22()43[1,2]g x x ax a a a =-+++在上是增函数.

max min ()(2)2 1.()(1)4 4.

g x g a a g x g a a =+=-+=+=-+

∴

于是，对任意]2,1[++∈a a x ，不等式①恒成立，等价于

(2)44,4

1.(1)215g a a a a g a a a

+=-+≤⎧≤≤⎨

+=-+≥-⎩解得 又,10<

.15

4

<≤a 点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴（重视单调区间）与定义域的关系

例3：已知函数32

()f x x ax =+图象上一点(1,)P b 处的切线斜率为3-，

32

6()(1)3(0)2

t g x x x t x t -=+

-++> （Ⅰ）求,a b 的值； （Ⅱ）当[1,4]x ∈-时，求()f x 的值域； （Ⅲ）当[1,4]x ∈时，不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数t 的取值范围。

2x a =

[]1,

2a a ++

解：（Ⅰ）/

2

()32f x x ax =+∴/(1)31f b a ⎧=-⎨=+⎩

， 解得3

2a b =-⎧⎨=-⎩

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 在[1,0]-上单调递增，在[0,2]上单调递减，在[2,4]上单调递减 又(1)4,(0)0,(2)4,(4)16f f f f -=-==-= ∴()f x 的值域是[4,16]- （Ⅲ）令2

()()()(1)3[1,4]2

t h x f x g x x t x x =-=-

++-∈

思路1：要使()()f x g x ≤恒成立，只需()0h x ≤，即2

(2)26t x x x -≥- 分离变量 思路2：二次函数区间最值

二、参数问题

1、题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围

解法1：转化为0)(0)('

'

≤≥x f x f 或在给定区间上恒成立， 回归基础题型

解法2：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；

例4：已知R a ∈，函数x a x a x x f )14(2

1121)(2

3++++=

． （Ⅰ）如果函数)()(x f x g '=是偶函数，求)(x f 的极大值和极小值； （Ⅱ）如果函数)(x f 是),(∞+-∞上的单调函数，求a 的取值范围．

解：)14()1(4

1)(2

++++=

'a x a x x f . （Ⅰ）∵ ()f x '是偶函数，∴ 1-=a . 此时x x x f 3121)(3-=，34

1

)(2-='x x f ， 令0)(='x f ，解得：32±=x . 列表如下：

可知：()f x 的极大值为34)32(=-f ， ()f x 的极小值为34)32(-=f . （Ⅱ）∵函数)(x f 是),

(∞+-∞上的单调函数，