运筹学 第6章 图论与网络分析

算法的步骤： (1)从点s出发，因Lss=0，将此值标注在s旁的小方框内，表 示s点已标号； (2) 从s点出发，找出与s相邻点中距离最小的一个，设为r. 将Lsr=Lss+dsr的值标注在r旁小方框内，表明点r已标号； (3) 从已标号的点出发，找出与这些点相邻的所有未标号
点p。若有Lsp min Lss dsp , Lsr drp ，则对p点标号，
(4) 重复2、3两步，一直到图中所有点均包含在 V 中为止。
例：用避圈法，求下图的最小部分树
v3 5 6 v1 1 7
5 v2 2
破圈法的步骤：
v5
4
3
v6
4
v4
从网络图N中任取一回路，去掉这个回路中权数最 大的边，得一子网络图N1。在N1中再任取一回路，再去 掉回路中权数最大的一条边，得N2。如此继续下去，一 直到剩下的子图中不再含有回路为止，该子图就是N的 最小部分树。
2-3 避圈法和破圈法
避圈法的步骤： (1) 从图中任选一点vi，让 vi V，图中其余点均包含在 V 中 (2) 从 V与 V 的连线中找出最小边，这条边一定包含在最小
部分树内，假设为vi , v j ，将vi , v j 加粗，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ标记是最小
部分树内的边；
(3) 令 V v j V , V \ v j V ；
对反映对象间的关系不重要。故图论中的图与几何图、 工程图等是不同的。 • 图用G={ V, E }表示。V是点集合; E是边集合。
图的基本概念
端点、关联边、相邻 • 若节点vi , vj 之间有一条边 eij=[vi ,vj]，则称 vi 和 vj 是 eij
的端点，而 eij 是节点 vi 和 vj 的关联边。 • 同一条边的两个端点称为相邻节点，具有共同端点的边称
为相邻边。 环、多重边，简单图 • 若边e 的两个端点相重，称该边为环； • 若两个点之间的边多于一条，称为具有多重边； • 对无环、无多重边的图称为简单图。 次、奇点、偶点、孤立点、悬挂点 • 与某一个点vi 相关联的边的数目称为次(也称度)，记d(vi)；
次为奇数的点称为奇点；次为偶数的点称为偶点； 次为0的点称为孤立点；次为1的点称为悬挂点。
互不相同，且任意vi,t1和 vi,t 2 t k 均相邻，称 为链；
• 若链中所有顶点v0 , v1, ,vk 也不相同，这样的链称为路；
• 起点与终点重合的链为圈; 起点与终点重合的路为回路；
• 若图中每一对顶点之间至少存在一条链，这样的图称为 连通图；否则，称为非连通图；
无向图、有向图、弧 • 边都没有方向的图，称为无向图，用G(V, E)表示；在无向
例：用破圈法，求下图的最小部分树
v3 5 6 v1 1 7
5 v2 2
v5
4
3
v6
4
v4
§3 最短路问题
最短路的一般提法为：设G (V为,E连) 通图，图中各边
(vi , v有j ) 权 （li j li表j 示 之间v没i , 有v j 边），
vs , vt
为图中任意两点，求一条路 ，使它为从 到vs 的v所t 有
子图、部分图
• 图G1={ V1 , E1 }和图G2={ V2 , E2 }，如果有 V1 V2 ， 和 E1 E2 称G1是G2的一个子图；
• 若有 V1 V2 , E1 E2 ，则称G1是G2的一个部分图(又称支 撑子图)。
§2 树图和图的最小部分树
无圈的连通图，称为树，记为T(V, E) 2-1 树的性质 • 任何树中必存在次为1的点； • 具有n个顶点的树的边数恰好为n-1条; • 任何具有n个点、(n-1)条边的连通图是树图。
图中 eij=eji，或 (vi, vj)=(vj, vi) • 当边都有方向时，称为有向图，用G(V, A)表示； • 在有向图中，有向边又称为弧，用 aij表示，i, j 的顺序是
不能颠倒的，弧的方向用箭头标识。
完全图、偶图 • 一个简单图若任意两点之间均有边相连，称这样的图为
完全图；
• 若图的顶点能分成两个互不相交的非空集合V1和V2，使 在同一个集合中任意两个顶点均不相邻，称为偶图(也 称二分图)。
多重边
环
v1
v2
e12
e'13 e13
e24
e34
v3
v4
图 6.1
孤立 点
e22
V6
v5 e45
悬挂 点
无环、无多重边的图称为 简单图
v1
v2
e12
e13 e34
v3
e24
v5
e45
v4
图6. 2 简单图
链、路、圈、回路、连通图
• 点和边交错序列 v0 , e1, v1, , ek , vk ，若其中各边 e1, ,ek
2-2 图的最小部分树 树图的各条边称为树枝。对含有权重的图来讲，树枝总 长最小的部分树，称为该图的最小部分树。 定理1：图中任一个点i，若j是与i相邻点中距离最近的，则 边[i, j]一定必含在该图的最小部分树内。 证明：略。
推论：把图的所有点分成 V 和 V 两个集合，则两个集合之
间连线的最短边一定包含在最小部分树内。
第6章 图与网络分析
§1 图的基本概念与模型 §2 树图和图的最小部分树 §3 最短路问题 §4 网络的最大流 §5 最小费用流
§1 图的基本概念与模型
• 哥尼斯堡七桥问题 (Königsberg Bridge Problem) • Leonhard Euler (1707-1783) 在1736年发表第一
篇图论方面的论文，奠基了图论中的一些基本 定理
A D
C
C
B
A D
B
• 20世纪中期，随着计算机和离散数学的发展，图论取得了 很大的进展。
• 目前图论被广泛地应用于管理科学、计算机科学、信息论、 控制论等各领域，并取得了丰硕的成果。
图的特点： • 用点代表研究的对象，用点与点之间的联线表示两个对
象间的关系。 • 图中点的相对位置如何，点与点之间联线的长短曲直，
路中总权最短。即：L() li j 最小。
(vi , v j )
3-1 迪杰斯特拉(Dijkstra)算法 算法的思想：如果P是从vs到vt的最短路，vi是P上的一个 点，那么，从vs沿P到vi的路是从vs到vi的最短路。
设dij为图中两相邻点i与j的距离，若不相邻，dij=0；Lsi为点 s到i的最短距离, 求s点到t点最短距离。