中考数学二次函数压轴题-面积问题

中考数学二次函数压轴题-面积问题

1. 已知：二次函数y＝－x2－2x＋M的图象与x轴交于点A(1，0)、B，与y轴交于点C.

(1)求M的值；

(2)求点B的坐标；

(3)若该二次函数图象上有一点P(不与点C重合)，满足S△ABP＝S△ABC，求点P的坐标．

第1题图

解：(1)将点A(1，0)代入y＝－x2－2x＋M中，

得－1－2＋M＝0，

解得M＝3；

(2)由(1)知y＝－x2－2x＋3，

令y＝0，则－x2－2x＋3＝0，

解得x1＝1，x2＝－3，

∵A(1，0)，

∴B(－3，0)；

(3)①当点P在x轴上方时，

∵S△ABP＝S△ABC，且点P不与点C重合，

∴点C和点P关于二次函数图象的对称轴对称，由二次函数的解析式可知，对称轴为直线x＝－1，∵C(0，3)，

∴P(－2，3)；

②当点P在x轴下方时，

∵△ABP与△ABC的底边均为AB，

∴△ABP的边AB上的高应等于OC，

即此时点P的纵坐标y＝－3，

即－3＝－x2－2x＋3，

整理得x2＋2x－6＝0，

解得x＝－1±7，

∴点P的坐标为(－1＋7，－3)或(－1－7，－3)．

综上，当S△ABP＝S△ABC时，点P的坐标为(－2，3)或(－1＋7，－3)或(－1－7，－3)．

2. 如图，抛物线y＝Ax2＋2x＋C经过点A(0，3)，B(－1，0)．

(1)求抛物线的表达式；

(2)抛物线的顶点为D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长；

(3)在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△MBC的面积是4，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

第2题图

解：(1)∵抛物线y ＝Ax 2＋2x ＋C 经过点A (0，3)，B (－1，0)， ∴⎩⎨⎧a －2＋c ＝0c ＝3， 解得⎩⎨⎧a ＝－1c ＝3

，

∴抛物线的表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3；

(2)∵抛物线的顶点为D ，对称轴与x 轴交于点E ， y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4， B (－1，0)，

∴点D 的坐标是(1，4)，点E 的坐标是(1，0)， ∴DE ＝4，BE ＝2，

∴BD ＝DE 2＋BE 2＝42＋22＝20＝25， ∴BD 的长是25；

(3)在抛物线的对称轴上存在点M ，使得△MBC 的面积是4. 设点M 的坐标为(1，M )，

令－x 2＋2x ＋3＝0得x ＝－1或3， ∴点C 的坐标为(3，0)， ∴BC ＝3－(－1)＝4， ∵△MBC 的面积是4， ∴S △BCM ＝

BC ³|m |2

＝

4³|m |2

＝4，

解得M ＝±2，

∴点M 的坐标为(1，2)或(1，－2)．

3.如图，抛物线y ＝12x 2－3

2x －2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点D 与点C 关于x 轴对称．

(1)求点A 、B 、C 的坐标；

(2)求直线BD 的解析式；

(3)在直线BD 下方的抛物线上是否存在一点P ，使△PBD 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

第3题图

解：(1)令y ＝0，则12x 2－3

2x －2＝0，

解得x 1＝－1，x 2＝4，

∴A (－1，0)，B (4，0)， 令x ＝0，得y ＝－2， ∴C (0，－2)；

(2)∵C ，D 两点关于x 轴对称， ∴D (0，2)，

设直线BD 的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，

将B 、D 坐标代入可得4=0

=2k b b +⎧⎨⎩

，

解得1=-2=2

⎧

⎪⎨⎪⎩k b ，

∴直线BD 的解析式为y ＝－ 1

2x ＋2；

(3)存在这样的点P ，使得△PBD 的面积最大． 设P (m ，12m 2－3

2

m －2)，

如解图，过点P 作PE ⊥x

轴于点F ，与BD 交于点E ，

第3题解图

则E 点坐标为(m ，－ 1

2

m ＋2)，

∴PE ＝(－ 12m ＋2)－(12m 2－32m －2)＝－ 1

2m 2＋m ＋4，

∴S △PBD ＝S △PDE ＋S △PEB ＝12PE ²OF ＋1

2PE ²BF ＝1

2

PE ²OB ＝12³(－1

2

m 2＋m ＋4)³4

＝－m 2＋2m ＋8 ＝－(m －1)2＋9，

当m ＝1时，S △PBD 取得最大值，最大值为9， 此时12m 2－3

2

m －2＝－3，

∴P (1，－3)．

4. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数y ＝Ax 2＋2Ax ＋C 的图象与y 轴交于点C (0，3)，与x 轴交于A 、B 两点，点B 的坐标为(－3，0)．

(1)求二次函数的解析式及顶点D 的坐标；

(2)点M 是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM 把四边形ACDB 分成面积为1∶2的两部分，求出此时点M 的坐标；

(3)点P 是第二象限内抛物线上的一动点，当点P 在何处时△CPB 的面积最大？求出最大面积？并求出此时点P 的坐标．

第4题图

解：(1)根据题意将B (－3，0)，C (0，3)代入抛物线解析式， 得⎩⎨⎧c ＝39a －6a ＋c ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－1c ＝3

， ∴二次函数的解析式为y ＝－x 2－2x ＋3， 将其化为顶点式为y ＝－(x ＋1)2＋4， ∴顶点D 的坐标为(－1，4)；

（2）如解图①，连接OD 、AD 、AD 与y 轴交于点F ，

第4题解图①

S △OBD ＝12

³3³4＝6，S 四边形ACDB ＝S △ABD ＋S △CDF ＋S △ACF ＝12

³4³4＋12

³1³1＋12

³1³1＋12

³1³1＝9， 因此直线OM 必过线段BD ，

由B (－3，0)，D (－1，4)得线段BD 的解析式为y ＝2x ＋6， 设直线OM 与线段BD 交于点E ， 则△OBE 的面积可以为3或6.

①当S △OBE ＝3时，1

2

³3³y E ＝3，解得y E ＝2，将y ＝2代入y ＝2x ＋6中，得x ＝－2，