利用导数研究函数的单调性之二阶求导型

利用导数研究函数的单调性之二阶求导型

一、解答题（题型注释）

1．已知函数ax x xe x f x

--=ln )(2．

（1）当0=a 时，求函数)(x f 在 （2）若0>∀x ，不等式1)(≥x f 恒成立，求a 的取值范围；

（3）若0>∀x ，不等式

恒成立，求a 的取值范围．

1．（1（2）2a ≤；（3

【解析】

试题分析：（1）由0=a 时，得出x xe x f x

ln )(2-=，则求导()f x ''，可得函数)(/

x f 在),0(+∞上是增函数，从而得到函数()f x 的单调性，即可求解函数)(x f 在 （2）由（1）知函数)(/

x f 在

),0(+∞上是

增函数，且00>∃x ，使得0()0f x '=，得，即022

000(2)1x a x x x e =+-，设

022000()1ln 2x f x x x e =--，利用函数0()f x 的单调性，即可求解求a 的取值范围；（3）根据题意，

对任意0>x 成

立，所以()g x '，可得出()g x 的单调性，求解出()g x 的最小值，即可a 的取值范围．

试题解析：（1）0=a 时，x xe x f x

ln )(2-=，

，所以函数)(/x f 在),0(+∞上是增函数，

又函数)(/

x f 的值域为R ，

故00>∃x ，使得

由（1）知函数)(/

x f 在),0(+∞上是增函数，且00>∃x ，使得0)(0/=x f

进而函数)(x f 在区间),0(0x 上递减，在),(0+∞x 上递增，

00200min ln )()(0ax x e x x f x f x --==，

由0)(0/=x f 得： 1)2(02

02

00-+=⇒x e x x ax ，022

0002ln 1)(x e x x x f --=∴，

因为0>∀x ，不等式

1)(≥x f 恒成立，

02ln 12ln 10022

002200≤+⇒≥--∴x x e x x e x x

（另解：因为0>∀x ，不等式1)(≥x f 恒成立，

当02ln =+x x 时取等号，2

≤∴a ）

（3

对任意0>x 成立，

当1>x 时，0)(/>x g ，当10<

所以当1=x 时，函数)(x g 取得最小值

考点：利用导数研究函数的单调性与极值（最值）．

【方法点晴】本题主要考查了导数在函数中的综合应用，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性及其应用、利用导数研究函数的极值与最值等知识点的综合考查，同时解答中注意对函数二次求导的应用和函数的构造思想，通过构造新函数，利用函数的性质解题的思想，着重考查了转化与化归思想以及推理与运算能力，试题有一定的难度，属于难题．

2

（1时，求函数()f x 的单调区间； （2）若函数()f x 在[]1,1-上为单调函数，求实数a 的取值范围． 3．设函数ax x e x f x

-++=)1ln()(.

（1）当a=2时，判断函数)(x f 在定义域内的单调性； （2）当0≥x 时，x x f cos )(≥恒成立，求实数a 的取值范围

. 4. （1）求a 的取值范围；

（2）设两个极值点分别为12,x x ，证明：2

12x x e ∙>.

5．已知函数3

()3||2f x x x a =+-+（a R ∈）． （1）当0a =时，讨论()f x 的单调性； （2）求()f x 在区间[]0,2上的最小值．

6．设2

()ln (21)f x x x ax a x =-+-，a R ∈.

（1）令()'()g x f x =，求()g x 的单调区间；

（2）已知()f x 在1x =处取得极大值.求实数a 的取值范围. 7

（1）若函数()f x 在0x =处有极值，求函数()f x 的最大值；

（2）①是否存在实数b ，使得关于x 的不等式()0g x <在()0+∞，上恒成立？若存在，求出b 的取值范围；若不存在，说明理由； )2

参考答案

1．（1

（2）2a ≤；（3

【解析】

试题分析：（1）由0=a 时，得出x xe x f x

ln )(2-=，则()f x ''，可得函数)(/x f 在),0(+∞上是增函数，从而得到函数()f x 的单调性，即可求解

函数)(x f 在 （2）由（1）知函数)(/

x f 在),0(+∞上是增函数，且00>∃x ，

使得0()0f x '=，

得，即022

000(2)1x a x x x e =+-，

设022000

()1l n 2x f x x x e =--，利用函数0()f x 的单调性，即可求解求a 的取值范围；（3）根

据题意，对任意0>x 成立，

所以()g x '，可得出()g x 的单调性，求解出()g x 的最小值，即可a 的取值范围．

试题解析：（1）0=a 时，x xe x f x

ln )(2-=， ，所以函数)(/

x f 在),0(+∞上是增函数， 又函数)(/

x f 的值域为R ，

故00>∃x ，使得

由（1）知函数)(/

x f 在),0(+∞上是增函数，且00>∃x ，使得0)(0/=x f

进而函数)(x f 在区间),0(0x 上递减，在),(0+∞x 上递增，

00200min ln )()(0ax x e x x f x f x --==，