大学物理授课教案 第十七章 狭义相对论基础

第十七章 狭义相对论基础
在第一册中讲过的牛顿力学，只适用于宏观物体低速运动，高速运动的物体则使用相对论力学。

相对论内的理论）
般参照系包括引力场在广义相对论（推广到一性参照系的理论）
狭义相对论（局限于惯
本章只介绍狭义相对论
§17—1伽利略变换 经典力学时空观 力学相对论原理
一、伽利略变换 概念介绍：
事件：是在空间某一点和时间某一时刻发生的某一现象（例如：两粒子相撞）。

事件描述：发生地点和发生时刻来描述，即一个事件用四个坐标来表示 ）
（t ,z ,y ,x 如图所示，有两个惯性系S ,'S ，相应坐标轴平行，'S 相对S 以v
沿'x 正向匀速运动，0=='t t 时，O 与'O 重合。

现在考虑p 点发生的一个事件：
⎩⎨⎧）时空坐标为（系观察者测出这一事件
）时空坐标为（系观察者测出这一事件
'
''''t ,z ,y ,x S t ,z ,y ,x S 按经典力学观点，可得到两组坐标关系为
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===-=t t z z y y vt x x '''' 或 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+=''
''t
t z z y
y vt x x （17-1） 式（17-1）是伽利略变换及逆变换公式。

二、经典力学时空观 1、时间间隔的绝对性
设有二事件1P ，2P ，在S 系中测得发生时刻分别为1t ，2t ；在'S 系中测得发生时刻
分别为'
t 1，'t 2。

在S 系中测得两事件发生时间间隔为12t t t -=∆，在'S 系测得两事件发生的时间间隔为 '''t t t 12-=∆。

11
t t '=，22t t '
=，∴t t '∆∆=。

此结果表示在经典力学中无论从哪个惯性系来测量两个事件的时间间隔，所得结果是相同得，即时间间隔是绝对得，与参照系无关。

2、空间间隔的绝对性
设一棒，静止在'S 系上，沿'x 轴放置，在'S 系中测得棒两端得坐标为'
x 1，'x 2
（12x x '>'），棒长为'''x x l 12-=，在S 系中同时测得棒两端坐标分别为1x ,2x （12x x >），则棒长为'
'''x x )vt x ()vt x (x x l 121212-=---=-= 即l l '=。

此结果表示在不同惯性系中测量同一物体长度，所得长度相同，即空间间隔是绝对的，与参照系无关。

上述结论是经典时空观（绝对时空观）的必然结果，它认为时间和空间是彼此独立的，互不相关的、并且独立于物质和运动之外的（不受物质或运动影响的）某种东西。

三、力学相对性原理
力学中讲过，牛顿定律适用的参照系称为惯性系，凡是相对惯性系作匀速直线运动的参照系都是惯性系。

即是说，牛顿定律对所有这些惯性系都适用，或者说牛顿定律在一切惯性系中都具有相同的形式，这可以表述如下：
力学现象对一切惯性系来说，都遵从同样的规律，或者说，在研究力学规律时一切惯性系都是等价的。

这就是力学相对性原理。

这一原理在实验基础上总结出来的。

下面我们可以看到物体的加速度对伽利略变换时是不变的。

由伽利略变换，对等式二边求关于对时间的导数，可得：
⎪⎩⎪⎨⎧==-=z 'z y 'y x 'x v v v v v v v 及 ⎪⎩⎪
⎨⎧==+='
z z
'y y 'x x v v v v v v v （17-2）
（注意t t '=，dt dt '=）
式（17-2）是伽利略变换下速度变换公式。

对（2）两边再对时间求导数，有
⎪⎩⎪⎨⎧===z 'z
y '
y x 'x a
a a a a a （17-3） 式（17-3）表明：从不同得惯性系所观察到的同一质点的加速度是相同的，或说成：物体的加速度对伽利略变换是不变的。

进一步可知，牛顿第二定律对伽利略变换是不变的。

§17—2迈克耳逊—莫雷实验
由于经典力学认为时间和空间都是与观测者的相对运动无关，是绝对不变的，所以可以设想，在所有惯性系中，一定存在一个与绝对空间相对静止的参照系，即绝对参照系。

但是，力学的相对性原理指明，所有的惯性系对力学现象都是等价的，因此不可能用力学方法来判断不同惯性系中哪一个是绝对静止的。

那么能不能用其他方法（如：电磁方法）来判断呢？
1856年迈克斯韦提出电磁场理论时，曾预言了电磁波的存在，并认为电磁波将以
18s m 103-⋅⨯的速度在真空中传播，由于这个速度与光的传播速度相同，所以人们认为
光是电磁波。

当1888年赫兹在实验室中产生电磁波以后，光作为电磁波的一部分，在理论上和实验上就完全确定了。

传播机械波要介质，因此，在光的电磁理论发展初期，人们认为光和电磁波也需要一种弹性介质。

十九世纪的物理学家们称这种介质为以太，他们认为以太充满整个空间，即使真空也不例外，他们并认为在远离天体范围内，这种以太是绝对静止的，因而可用它来作绝对参照系。

根据这种看法，如果能借助某种方法测出地球相对于以太的速度，作为绝对参照系的以太也就被确定了。

在历史上，确曾有许多物理学家做了很多实验来寻求绝对参照系，但都没得出预期的结果。

其中最著名的实验是1881年迈克耳逊探测地球在以太 中运动速度的实验，以及后来迈克耳逊和 莫雷在1887年所做的更为精确的实验。

实验装置如图所示，它就是对光波 进行精密测量的迈克耳逊干涉仪。

整个 装置可绕垂直于图面的轴线转动，并保 持L PM PM ==21固定不变。

设地球相 对于绝对参照系的运动自左向右，速度
为v ，
（1）光1M P →再P M →1所有时间为
)c v (c L c v c v c L c
v c L v c Lc v c L v c L t 2244222
2
2211212122+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++≈-=-=++-=
)c v (<< （2）光2M P →再从P M →2所用时间
设光从2M P →时，对仪器速度1v ，对以太速度为1c
，设光从P M →2时，对仪器速度为2v ，对以太速度2c
，
⇒2221v c v v -==。

∴光从P M P 2→→所用时间为
)c v (c L c
v c L
v L v L v L t 22221211212122+≈-==+= （对
2211c v -做级数展开） 从'S 系来看（地球上或仪器上），P 点发出的光到达望远镜时间差为
32
22222121212c
Lv )c v (c L )c v (c L t t t =+-+=-=∆。

于是，两束光光程差为22
c
Lv t c ==∆δ。

若把仪器旋转o 90，则前、后两次的光程差
22
22c
Lv =δ。

在此过程中，T 中应有2
222c Lv N λλδ∆==条条纹移过某参考线。

式中λ、c 均为已知，如能测出条纹移动的条数N ∆，即可由上式算出地球相对以太的绝对速度v ，从而就可以把以太做为绝对参照系了。

在迈克耳逊—莫雷实验中，L 约为10m ，光波波长为5000
A ,再把地球公转速度14s m 103.4-⋅⨯代入，则得40.N =∆。

因为迈克耳逊干涉仪式非常精细得，它可以观察到100
1
的条纹移动，因此，迈克耳逊和莫雷应当毫无困难地观察到有0.4条条纹移动。

但是，他们没有观察到这个现象，迈克耳逊的实验结果，对企图寻求作为绝对参照系的以太，结果十分令人失望。

结论：（1）迈克耳逊实验否定了以太的存在。

（2）迈克耳逊实验说明了地球上光速沿各个方向都是相同的（此时0=δ，所
图17-3
v
1
v 1c 2
M P →v 2
v 2
c 图17--4
P
M 2→
以无条纹移动）。

（3）迈克耳逊实验就其初衷来说是一次失败的实验。

§17—3 爱因斯坦狭义相对论基本假设 洛伦兹变换
一、爱因斯坦假设
1905年爱因斯坦发表一篇关于狭义相对论的假设的论文，提出了二个基本假设。

1、相对性原理：
物理学规律在所有惯性系中都是相同的，或物理学定律与惯性系的选择无关，所有的惯性系都是等价的。

此假设肯定了一切物理规律（包括力、电、光等）都应遵从同样的相对性原理，可以看出，它是力学相对性原理的推广。

它也间接地指明了，无论用什么物理实验方法都找不到绝对参照系。

2、光速不变原理：
在所有惯性系中，测得真空中光速均有相同的量值c 。

它与经典结果恰恰相反，用它能解释迈克耳逊—莫雷实验。

二、洛伦兹变换
根据狭义相对论二条基本原理，导 出新时空关系（爱因斯坦的假设否定了 伽利略变换，所以要导出新的时空关系）。

设有一静止惯性参照系S ，另一惯
性系'S 沿'x 轴正向相对S 以v
匀速运动，
0=='t t 时，相应坐标轴重合。

一事
件P 在S 、'S 上时空坐标)t ,z ,y ,x (与
)t ,z ,y ,x (''''变换关系如何？
1、用相对性原理求出变换关系式
S 原点的坐标为
⎩
⎨⎧-==)S (vt x )S (x '
''上测上测0 即 ⎩⎨⎧=+=00''vt x x
x 与''vt x +同时为零， ∴ 可写成：m '')vt x (k x +=。

两组时空坐标是对一事件而言的，
∴它们应有一一对应关系，即要求它们之间为线性变换，
∴m=1，即)vt x (k x ''+= （17-4）
同理：
)vt x (k x +=’‘ (17-5) 根据相对性原理，对等价的惯性系而言，（4）、(5)二式除'v v →外，它们应有相同形式，即要求k k '=，
⇒⎩⎨⎧-=+=)
vt x (k x )vt x (k x ''' (17-6)
解（6）有 x kv
k kt t '
21-+= （17-7） ⇒ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===-=t t z z y
y )vt x (k x ''
'
' （17-8） 2、用光速不变原理求k=？
0=='t t 时，一光信号从原点沿OX 轴前进，信号到达坐标为： ⎩
⎨⎧==系上测）（系上测'
''S ct x )S (ct x （c 不变） (17-9) (17-9)代(17-6)中
⎩⎨⎧-=-=+=+=t )v c (k )vt ct (k ct t )v c (k )vt ct (k ct '
'
'' 上述二式两边相乘有：
''tt )v c (k tt c 2222-=
⇒ 2
2
22
221111
β-=-=
-=
c v
v c c k （c
v =
β） k 代(17-8)
或（17-10）
讨论：（1）时间与空间是相联系的，这与经典情况截然不同。

（2）因为时空坐标都是实数，所以22
2
11c
v -=-β为实数，要求c v ≤。

v
代表选为参考系的任意两个物理系统的相对速度。

可知，物体的速度上限为c ，c v >时洛伦兹变换无意义。

（3）1<<c
v 时，
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===-=t t z z y y vt x x '''' 或 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+=''
''t
t z z y
y vt x x 即洛伦兹变换变为伽利略变换，c v <<叫做经典极限条件。

三、相对论速度变换
在S 、'S 系上测某一质点在某一瞬时的速度
S 系上： ⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧===dt dz v dt dy v dt dx v z y x ； '
S 系 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-===-=)()(2'
''
'x c v t t z z y y vt x x γγ。

⇒ ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-===-=)
()(2'
''
'dx c v
dt dt dz dz dy
dy vdt dx dx γγ
⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧
-=-=-=
=-=-=-==--=--=--=
=)
1()1()()
1()1()(11)()
(222'''222'''222'''x z z x y y x
x x v c v v dt dx c v dt dz dx c v dt dz dt dz v v c
v v dt dx c v dt dy
dx c v dt dy dt dy v v c v v v dt dx c v v dt dx dx c v dt vdt dx dt dx v γγγγγγγγ
即 ⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪
⎪⎪⎪⎨⎧-=-=--=)1()
1(12'2'2'x z z x y y x
x x v c v v v v c
v v v v c v v
v v γγ 及 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧+=+=++=)1()1(1'2'
'2''2'x z z x y y x x x v c v v v v c v v v v c v v v v γγ （17-11）
讨论： 1<<c
v 时，1→γ
⇒ ⎪⎩⎪⎨⎧==-=z 'z y 'y x 'x v v v v v v v 及 ⎪⎩⎪
⎨⎧==+='
z z
'y
y 'x x v v v v v v v 洛伦兹变换→伽利略变换。

例17-1：试求下列情况下，光子A 与B 的相对速度，
（1）A 、B 反向而行； （2）A 、B 相向而行； （3）A 、B 同向而行。

解：如图所示，取S 系为实验室坐标系，系为与B 固连的
坐标系，S 、'S 相应的坐标轴平行，)x (x '轴与A 、B 运动方向平行。

（1） ⎩⎨⎧-===c v c v v A
B , c c )c (c c
c c
vv v v v A A
'A -=--
--=--=2211 (2) ⎩⎨⎧=-==c v c v v A B ,c c c )c ()
c (c c
vv v v v A A
'A =--
--=--=2211 (3) ⎩⎨⎧===c v c v v A B
c
c c v dt
d dv v c d c v
v c c v v c c
vv v v v c v c v c v A A A =--=--=
--=--=--=→→→11
lim )1()
(lim 1lim 112
'
. 上述结果是光速不变原理的必然结果。

§17—4 相对论中的长度、时间和同时性
在本节中，我们将从洛伦兹变换出发，讨论长度、时间和同时性等基本概念。

从所得结果，可以更清楚地认识到，狭义相对论对经典的时空观进行了一次十分深刻的变革。

一、长度收缩
同前，取惯性系S ，'S ，
有一杆静止在'S 系中的'x 轴上，在'S 上测得杆长：'
'x x l 120-=；在S 上测得杆长：12x x l -=（2x 、1x 在同一 t 时刻测得）。

⎩⎨⎧-=-=)
()(1;12;2vt x x vt x x γγ
∴)(12'1'
2
x x x x -=-γ， 即： l l γ=0 （17-12）
⇒ c
v l r l l 2
001-
==。

相对观察者静止时物体的长度称为静 止长度或固有长度（这里0l 为固有长度）。

相对于观察者运动的物体，在运动方向的长度比相对观察者静止时物体的长度短了。

说明：（1）长度缩短是纯粹的相对论效应，并非物体发生了形变或者发生了结构性
质的变化。

（2）在狭义相对论中，所有惯性系都是等价的，所以，在S 系中x 轴上静止
的杆，在'S 上测得的长度也短了。

（3）相对论长度收缩只发生在物体运动方向上（因为y y '=，z z '=）。

（4）c v <<时，0l l =，即为经典情况。

例17-2:如图所示，有两把静止长度相同的米尺，21A A 和21B B ，尺长方向均与惯性系S
的x 轴平行，两尺相对S 系 沿尺长方向以相同的速率v 匀速地相 向而行。

试指出 下列各种情况下两尺 各端相重合的时间次序。

（1）与21A A 尺固连的参照系上测量； （2）在与21B B 尺固连的参照系上测量；
（3）在S 系上测量。

图17-10
解：（1）此时，测得B 尺长度缩短了，所以结果如下：12B A ，22B A ，11B A ，21B A ； （2）此时，测得A 尺长度缩短了，所以结果如下12B A ，11B A ，22B A ，21B A ； （3）此时，测得A 尺、B 尺长度均缩短了，缩短的长度一样，所以结果如下
'图17-9
o z
'
o
'
z v
S
'
S )
t ,x ('
1'1)
t ,x ('2'2)
t ,x (1)
t ,x (2)x (x '
12B A ，
1
12
2B A B A （同时），21B A 。

例17-3：有惯性系S 和'S ，'S 相对于S 以速率v 沿x 轴正向运动。

0t t '==时，S 与'
S 的相应坐标轴重合，有一固有长度为1m 的棒静止在'S 系的''y x -平面上，在'S 系上测得与'x 轴正向夹角为'θ。

在S 系上测量时，（1）棒与x 轴正向夹角为多
少？(2)棒的长度为多少？
解：（1）设x l 、y l 为S 上测得杆长在x 、y 方向分量，'x l 、'y l 为'S 上测得杆长在'x 、'y 方
向分量。

2
222111c v
tg c v l l l l tg ''x 'y x y -=-==θθ
⇒ ⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡-='tg c v arctg θθ2211
(2)'222'
222'22'y 222'x
2y
2x
cos c
v 1sin 1)c v 1(cos 1l )c v 1(l l l l θ-=θ⋅+-θ⋅=+-=+=长
度缩短只发生在运动方向上。

二、时间膨胀（或钟慢）
在与前面相同的S 和'S 系中，讨论时间膨胀问题。

设在'S 中同一地点不同时刻发
生两事件（如：自'S 中某一坐标'
x 0）处沿y 竖直上抛物体，之后又落回抛设处，那么抛出的时刻和落回抛出点的时刻分别对应二个事件），时空坐标为)t ,x (''10
，)t ,x ('
'20，时间间隔为 '
''t t t 12-=∆。

在S 系上测得二事件的时空坐标为)t ,x (11，)t ,x (22，（12x x =，
'S 在运动）。

在S 上测得此二事件发生的时间间隔为
2
2
''1'
2'02'1'02'2121)()()(c v
t
t t t x c
v t x c v t t t t -=
=-=+-+=-=∆∆γγγγ∆
即 2
2
1c v t t -'
=
∆∆ （17-13）
相对观察者静止时测得的时间间隔为静时间间隔或固有时间。

由上可知，相对于事件发生地点做相对运动的惯性系S 中测得的时间比相对于事件发生地点为静止的惯性系
'S 中测得的时间要长。

换句话说，一时钟由一个与它作相对运动的观察者来观察时，就
比由与它相对静止的观察者观察时走得慢。

说明：（1）时间膨胀纯粹是一种相对论效应，时间本身的固有规律（例如钟的结构）
图 17-11
并没有改变。

（2）在S 上测得'S 上的钟慢了，同样在'S 上测得S 上的钟也慢了。

它是相对
论的结果。

（3）c v <<时，'t t ∆∆=，为经典结果。

三、同时的相对性
按牛顿力学，时间是绝对的，因而同时性也是绝对的，这就是说，在同一个惯性系S 中观察的两个事件是同时发生的，在惯性系'S 看来也是同时发生的。

但按相对论，正如长度和时间不是绝对的一样，同时性也不是绝对的。

下面讨论此问题。

如前面所取的坐标系S ，'S ，在'S 系中发生二事件，时空坐标为)t ,x (''11
，)t ,x (''22，此二事件在S 系中时空坐标为)t ,x (11，)t ,x (22，当'
''t t t 021==，则在 'S 中是同时发生的，
在S 系看来此二事件发生的时间间隔为：
)]x x (c
v )t t [(r )x c v t (r )x c v t (r t t t '
'''''''1221212122212-+-=+-+=-=∆，
若''t t 12=，''x x 21≠，则0122≠-=)x x (c
v r t '
'∆，
即S 上测得此二事件一定不是同时发生的。

若''t t 12=，''x x 21
=，则0t =∆，即S 上测得此二事件一定是同时发生的。

若''t t 12≠，''x x 21
≠，则t ∆是否为零不一定，即S 上测得此二事件是否同时发生不一定。

从以上讨论中看到了“同时”是相对的。

这与经典力学截然不同。

§17—5 相对论动力学基础
一、质量与速度的关系
理论上可以证明，以速率v
（17-14）
式中0m 为相对观察者静止时测得的质量，称为静止质量，m 为物体以速率v 运动时的质量。

说明：(1)物体质量随它的速率增加而增加，这与经典力学不同（质量随速度增加
的关系，早在相对论出现之前，就已经从β射线的实验中观察到了，近年在高能电子实验中，可以把电子加速到只比光速小三百亿分之一，这时电子质量达到静止质量的四万倍）
（2）当物体运动速率c v →时，∞→m （0m 0≠），这就是说，实物体不能以
光速运动，它与洛伦兹变换是一致的。

（3）对于c v <<时，0m m =与经典情况一致。

二、相对论力学的基本方程 1、动量
（17-15）
2、牛顿第二定律（相对论下力学基本方程）
dt v d m v dt dm )v m (dt d dt p d F +===
当0=F 时，常矢=p。

讨论：系统常矢=-==∑∑∑i i i i i i i i v c
v
m v m p
2
2
01，动量守恒表达式。

说明：(1)相对论下力学基本方程是在洛伦兹变换下是不变的。

(2) c v <<时，v m p 0=，dt v
d m F 0=（经典情况）。

（3）相对论中的m 、p
、dt
p d F =普遍成立，而牛顿定律只是在低速情况下成
立。

三、质量与能量关系
1、相对论中动能
设质点受力F ，在F 作用下位移为s d
，依动能定理有：
v )v m (d s d dt
)v m (d s d F dE k
•=•=•=
dm v mvdv dm v v v md v v dm v v md 22+=+•=•+•=
dm c dm v dm )c v (c dm v m c )c v (dm c
v m 22222
20223222
2
0111=+-=+⋅-⋅-=
质点沿任一路径静止开始运动到某点处时，有
dm c s d F dE m
m S E k k ⎰⎰⎰=•=0
2
⇒)m m (c E k 02-=
可见物体动能等于m c 2与02m c 之差。

可见m c 2与02m c 有能量的含义。

爱因斯坦从
这里引入古典力学中从未有过的独特见解，把02m c 称为物体的静止能量0E ，把m c 2称为物体总能量E ，即
（17-16）
（17-17）
即，物体动能=总能量-静止能量。

2、质能关系式
（17-18）
上式称为质能关系式。

说明：（1）质量和能量都是物质的重要性质，质能关系式给出了它们之间的联系，
说明任何能量的改变同时有相应的质量的改变（m c E ∆∆2=），而任何质量改变的同时，有相应的能量的改变，两种改变总是同时发生的。

我们决不能把质能关系式错误地理解为“质量转化为能量”或“能量转化为质量”。

（2）
2042202
2
20183211111
c m ]))c v
()c v ([(c m )c
v (
c )m m (E k -+++=--=-= ）
202
02
22
11211v m c m ])c v [(=-+= )c v (<<（经典情况） 四、动量与能量之间的关系
已知 ⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧-=
=-=
=22022202
11c v v m mv p c v c m mc E 即 ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=-=22220222
2
01111c v )
c v ()c
m p (c v )c m E (
有 11111
11
2
222
2
2
2
2
2
20220=--=---=-c v
c v c
v )c v (c
v )c m p ()c m E ( ⇒
422220
c m c p E =- 4
22220
c m c p E += （17-19） 此式为能量与动量关系式。

五、光子情况
光子静止质量为零（由2
2
01c v
m m -=
可得出），υh E =，
⇒⎪⎩
⎪⎨⎧
=====λ
υυh c h c E p c h c E m 22 例17-4：一原子核相对于实验室以0.6 c 运动，在运动方向上向前发射一电子，电子相
对于核得速率为0.8c ，当实验室中测量时， (1)电子速率？ (2)电子质量？ (3)电子动能？ (4)电子的动量大小？
解：S 系固连在实验室上，'S 固连在原子
核上，S 、'S 相应坐标轴平行。

X 轴
正向取为沿原子核运动方向上。

(1)⎩⎨⎧==c .v c .v 'x 8060 图 17-12
c .c c c .c .c .c .c vv
v v v '
x
'x x 9460373580601806012
≈=⨯++=++= （2）02
22202201237
373511m c
c m c v m m x =-=-=
（3）202020202012
25
1237c m c m c m c m mc E E E k =-=-=-= （4）c m c m v m mv p x 0001235
373512371237====
本章讨论了狭义相对论的时空观和相对论力学的一些重要结论，可以看出相对论揭露了时间和空间以及时空与运动物质之间的深刻联系，带来了时空观念的一次深刻变革，使物理学的根本观念以及物理理论发生了深刻的变化，相对论已被大量的科学实验所证实，是当代科学技术的基础，随着科学技术的发展，其深远影响将会更加明显起来。