矩阵可对角化的判定条件及推广

矩阵可对角化的判定条件及推广

数学与计算机科学学院 数学与应用数学（S ） 学号：2011031103 姓名：方守强 指导教师：梁俊平

摘要：矩阵是否可以对角化，是矩阵的一条很重要的性质。对相似可对角化的充分必要条件的理解，一直是线性代数学习中的一个困难问题。本文给出了矩阵可对角化的几个充分必要条件和相应的证明。

关键词：方阵；特征值；特征向量；对角化

引言：矩阵是高等代数中的重要组成部分，是许多数学分支研究的重要工具。

而对角矩阵作为矩阵中比较特殊的一类，其形式简单，研究起来也非常方便。研究矩阵的对角化及其理论意义也很明显，矩阵相似是一种等价关系，对角化相当于对一类矩阵在相似意义下给出了一种简单的等价形式，这对理论分析是方便的。相似的矩阵拥有很多相同的性质，比如特征多项式、特征根、行列式……如果只关心这类性质，那么相似的矩阵可以看作是没有区别的，这时研究一个一般的可对角化矩阵，只要研究它的标准形式——一个对角形矩阵就可以了。而对角矩阵是最简单的一类矩阵，研究起来非常方便。

在本课题中通过阅读参考文献、查阅相关资料，初步总结出了矩阵可对角化的若干充分必要条件，并给予了相应的证明过程。

一、矩阵可对角化的概念

1 特征值、特征向量的概念

定义1 设A 是数域P 上线性空间V 的一个线性变换, 如果对于数域P 中的一个数0λ存在一个非零向量ε使得ελε0=A ,那么0λ称为A 的一个特征值，而

ε 称为A 的属于特征值0λ的一个特征向量。

求方阵A 的特征值与特征向量的步骤：

(1)由特征方程A E -λ=0求得A 的n 个特征值，设t λλλ,,,21 是A 的互异特征值,其重数分别为t n n n ,,,21 则n n n n t =+++ 21。

(2)求解齐次线性方程组()0=-X A E i λ()t i ,,2,1 =,其基础解系

s i i i p p p ,,,21 (t i n s i i ,,2,11 =≤≤，)就是A 所对应特征值i λ的线性无关的特征

向量。

2 矩阵可对角化的概念

定义2 设A 是矩阵F 上一个n 阶方阵，如果存在数域F 上的一个可逆矩阵

P ,使得AP P 1-为对角形矩阵，那么就说矩阵A 可以对角化。

任意方阵A 的每一个特征值i λ都有一个与之相对应的特征向量i P 满足

i i i P AP λ=()n ,1,2,i =，则这个方程可以写成

()()n n P P P P P P A ,,,,,,2121 =⎪⎪

⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫

⎝

⎛n λλλ

2

1 , （1） 我们定义矩阵()n P P P P ,,,21 =,()n diag B λλλ,,,21 =则（1）式可写成PB AP =,若矩阵P 是可逆阵，则有()n diag B AP P λλλ,,,211 ==-

引理1 设A 、B 都是n 阶矩阵,则有秩()AB ≥秩()A +秩()n B - 。 引理2 设s λλλ,,,21 (n s ≤)为n 阶方阵A 的所有互异特征值，则矩阵A 的线性无关的特征向量的最大个数为()()()I A r I A r I A r sn s λλλ------- 21。 证明 设s λλλ,,,21 (n s ≤)为n 阶方阵A 的所有互异特征值，因为特征值

i λ()s ,1,2,i =相应的线性无关的特征向量的最大个数即为线性方程组

()0=-X

I A i λ的基础解析所含向量的个数，

所以特征值()n s s ≤λλλ,,,21 相应的线性无关的特征向量的最大个数分别为()I A r n i λ--，()I A r n 2λ--，…，

()I A r n s λ--，而矩阵A 的不同特征值的线性无关的特征向量并在一起仍然线性

无关，从而,矩阵A 线性无关的特征向的最大个数为

()()()I A r I A r I A r sn s λλλ------- 21。

引理3 设A 为n 阶方阵,s λλλ,,,21 是任意两两互异的数,则

()()()()()()()n s I A r I A r I A r I A I A I A r s s 1][2121---++-+-=---λλλλλλ 。

二、矩阵可对角化的充分必要条件

1 矩阵可对角化的充分必要条件及其证明

定理1 数域P 上n 阶方阵A 可对角化的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量。

证明（1）充分性 假设n P P P ,,,21 是矩阵A 的n 个线性无关的特征向量，即有i i i P AP λ=()n ,1,2,i =,令矩阵()n P P P P ,,,21 =由特征向量n P P P ,,,21 组成，因为n P P P ,,,21 是线性无关的，因此矩阵P 是非奇异矩阵，其逆矩阵记为1-P ，根据逆矩阵的定义有P P 1-=()n P P P P P P 12111,,,--- ，另一方面，由i i i P AP λ=易知,()n AP AP AP AP ,,,21 = =()n n P P P λλλ,,,2211 ,给此式左乘矩阵1-P ，则有

n I AP P =-1⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛n λλλ

2

1=⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛n λλλ

2

1， 即充分性得证。

（2）必要性 令矩阵A 和对角形矩阵D 相似，即存在可逆矩阵P 使得

D AP P =-1,则有PD AP =,于是记P =(n P P P ,,,21 )，()T

n d d d D ,,,21 =则

PD AP =可以写成()n AP AP AP ,,,21 =(n n P d P d P d ,,,2211 )即有

i i i P d AP =()n ,1,2,i =,这说明矩阵P 的列向量i P 是矩阵A 的特征向量，而已知

P 是可逆阵，故P 的n 个列向量n P P P ,,,21 线性无关，必要性得证。

定理2 设 n n P A ⨯=，则A 可以对角化的充分必要条件是： (1)A 的特征根都在数域P 内, (2)对A 的每个特征根λ,有，

()k =--A E n λ秩，其中k 是λ的重数。

条件(2) 也可改述为：特征根λ的重数等于齐次线性方程组()0=-X A E λ的基础解系所含向量的个数(简称为代数重数等于几何重数)。

条件(2)还可改述为：令有()[]n A n r

i i =-∑=1-E λ秩，即属于A 的不同特征根的

线性无关的特征向量总数是n 。

条件(1)，(2)还可改述为:A 的属于不同特征值的特征子空间的维数之和等于n 。

证明 设r λλλ,,,21 是A 的所有不同的特征根,j jt j αα,,1 是齐次线性方程组()0=-X A E j λ()r j ,,2,1 =的一个基础解系，则A 的特征向量

r

r

rt r t t ααααα,,,,,,,,111111

一定线性无关。