积分变换课后答案
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1-1
1. 试证:若
()f t 满足Fourier 积分定理中的条件,则有
()()()d d 0
cos sin f t a t b t ωωωωωω+∞+∞
=+⎰
⎰
其中()()()()d d ππ11cos ,sin .a f b f ωτωττωτωττ+∞+∞
-∞-∞
==⎰⎰
分析:由Fourier 积分的复数形式和三角形式都可以证明此题,请读者试
用三角形式证明.
证明:利用Fourier 积分的复数形式,有
()()j j e e d π12t t
f t f ωωτω+∞+∞--∞-∞⎡⎤=
⎢
⎥⎣⎦⎰⎰ ()()j j d e d π11cos sin 2t f ωτωτωττω+∞+∞-∞-∞⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦
⎰⎰
()()()j j d 1cos sin 2
a b t t ωωωωω+∞
-∞⎡⎤=
-+⎣⎦⎰ 由于()()()(),,a a b b ωωωω=-=--所以
()()()d d 11cos sin 22
f t a t b t ωωωωωω+∞+∞-∞-∞=
+⎰⎰ ()()d d 0
cos sin a t b t ωωωωωω+∞+∞
=+⎰
⎰
2.求下列函数的Fourier 积分:
1)()22
21,10,1t t f t t ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩; 2) ()0,
0;e sin 2,0
t
t f t t t -⎧<⎪=⎨≥⎪⎩ 3) ()0,1
1,10
1,010,1t t f t t t ⎧-∞<<-⎪
--<<⎪=⎨<<⎪
⎪<<+∞⎩
分析:由Fourier 积分的复数形式和三角形式都可以解此题,请读者试用三角形式解.
解:1)函数()22
2
1,1
0,
1t t f t t ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩为连续的偶函数,其Fourier 变换为 j 21()[()]()e d 2()cos d 2(1)cos d 00t F f t f t t f t t t t t t ωωωω-+∞
+∞⎧====-⎨-∞
⎩⎰⎰F
1
2233
0sin 2cos 2sin sin 4(sin cos )2t t t t t t ωωωωωωωωωωωω⎡⎤⎛⎫-=--+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣
⎦(偶函数)
f (t )的Fourier 积分为
j 3
11()()e d ()cos d 0
2ππ4(sin cos )
cos d 0πt
f t F F t t ωωωωωωωωωωωω
+∞+∞==-∞+∞-=⎰⎰⎰ 2)所给函数为连续函数,其Fourier 变换为
()[]j j ω()()e d e sin 2e d 0
t
t t F f t f t t t t ωωτ---+∞===-∞⎰⎰F
2j 2j j (12j j )(12j j )e e 1e e d [e e ]d 02j 2j 0
t t t t t t t t ωωω----+--+++∞+∞
-=⋅⋅=-⎰⎰ (12j j )(12j j )0
1e e 2j 12j j 12j j t t ωωωω+∞
-+--++⎡⎤=+⎢⎥-+-++⎣⎦ ()2
24
252j j 1121(2)j 1(2)j 256ωωωωωω⎡⎤--⎛⎫⎣⎦=+=
⎪-+-+--+⎝⎭(实部为偶函数,虚数为奇函数)
f (t )的Fourier 变换为
()j 1()e d 2πt f t F ωωω+∞
=-∞
⎰ ()()2
24252j 1cos jsin d 2π256t t ωωωωωωω
⎡⎤--+∞⎣⎦=⋅--∞-+⎰ ()()()22
2424
2
24
5cos 2sin 5sin 2cos 11d d π256π2565cos 2sin 2d π0256t t t t t t ωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωω-+--+∞+∞=+-∞-+-∞-+-++∞=-+⎰⎰⎰
这里用到奇偶函数的积分性质.
3)所给函数有间断点-1,0,1且f (-t )= - f (t )是奇函数,其Fourier 变换为
()[]j ()()e d 2j ()sin d 0
t
F f t f t t f t t t ωωω-+∞+∞===--∞⎰⎰F
12j(cos 1)2j 1sin d 0t t ωωω
-=-⋅=⎰(奇函数)
f (t )的Fourier 积分为
()()j j ()e d sin d π0π0
21cos sin d π0t
f t F F t t ωωωωωωωωωω
+∞+∞=+∞-=⎰⎰⎰1=
2
其中t ≠-1,0,1(在间断点0t 处,右边f (t )应以
()()
00002
f t f t ++-代替).
3.求下列函数的Fourier 变换,并推证下列积分结果: 1)()e
(0),t
f t ββ-=>证明:22cos πd e ;02t
t βωωβωβ
-+∞=+⎰ 2)()e cos t
f t t -=,证明:24
2πcos d e cos ;042
t
t t ωωωω-+∞+=+⎰ 3)sin ,π()0,πt t f t t ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩,证明:2
πsin ,π
sin πsin 2d 010,πt t t t ωωωω⎧≤+∞⎪=⎨-⎪>⎩
⎰ 证明:1)函数()e t f t β-=为连续的偶函数,其Fourier 变换为
()()j e e d 2e cos d 0t t t
F f t t t t βωβωω---+∞+∞⎡⎤===⎣⎦-∞⎰⎰F
()
22
22
e cos sin 22
t t t t t ββωωωβ
βωβω
-=+∞
=-+==
++ 再由Fourier 变换得
()()j 22
112e d cos d 2ππ0t
f t F t t ωβωωωβω+∞+∞=
=-∞+⎰⎰ 即 22
cos πd e 02t
t βωωβωβ
-+∞=+⎰
2)函数()e cos t f t t -=为连续的偶函数,其Fourier 变换为
()j j ()e d e cos e d t t t F f t t t t ωωω---+∞+∞
==-∞-∞
⎰
⎰