组合数学概念简介共19页

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1.2排列与组合
例 有5本不同的日文书，7本不同的英 文书，10本不同的中文书。 1)取2本不同文字的书；
5×7+5×10+7×10=155;
2)取2本相同文字的书；
C(5,2)+C(7,2)+C(10,2)
=10+21+45=76;
3)任取两本书
155+76=231= C(5+7+10,2)
[例] 某种字符串由两个字符组成，第一个字符 可选自{a，b，c，d，e}，第二个字符可选自{1 ，2，3}，则这种字符串共有5 3 = 15 个。
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1.1 加法法则与乘法法则
• 例 某种样式的运动服的着色由底色和装饰 条纹的颜色配成。底色可选红、蓝、橙、黄， 条纹色可选黑、白，则共有42 = 8种着色 方案。
• 排列组合问题，最早见于我国的《易经》一书．
– 所谓“四象”就是每次取两个爻(yáo )的排列，“八卦”是每次取 三个爻的排列．
• 在汉代数学家徐岳的《数术记遗》（公元2世纪）中，也曾 记载有与占卜有关的“八卦算”，即把卦按不同的方法在 八个方位中排列起来．
– 它与“八个人围一张圆桌而坐，问有多少种不同坐法”这一典型的 排列问题类似．11世纪时，邵雍还进一步研究了六十四卦的排列问 题
• 对1，2，…，t分别加下标，得到
P(n;r1,r2,…,rt)·r1!·r2!·…·rt! = n!
• 若此例改成底色和条纹都用红、蓝、橙、黄 四种颜色的话，则，方案数就不是4 4 = 16， 而只有 4 3 = 12 种。
• 在乘法法则中要注意事件 A 和 事件 B 的相 互独立性。
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1.1 加法法则与乘法法则
例 1)求小于10000的含1的正整数的个数 2)求小于10000的含0的正整数的个数
说说数数这件事
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第一章 排列组合
1.1 加法法则与乘法法则
分类计数和分步计数 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车 ，一天中，火车有3班，汽车有2班．那么一 天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有 多少种不同的走法？ 解答： 3＋2＝5 种不同的走法
从甲地到乙地，要从甲地选乘火车到丙地，再 于次日从丙地乘汽车到乙地．一天中，火车有 3班，汽车有2班．那么两天中，从甲地到乙地 共有多少种不同的走法？ 解答：共有 3×2＝6 种不同的走法
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1.2排列与组合
• 多重全排列：
– –
2个a, 3个b，4个c，其多重全排列记为 加上下标以区别 a1a2b1b2b3c1c2c3c4
2
9 3
4
• a下标排列有2!，b下标排列有3!，c下标排
列有4！
2
9 3
4 2!3!4! 9!
2
9 3
4
9! 2!3!4!
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1.2排列与组合
• 求r1个1，r2个2，…，rt个t的排列数，设 r1+r2+…+rt=n,设此排列数为P(n;r1,r2,…,rt)
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1.2排列与组合
若球不同，盒子相同，则是从n个中取r个的组 合的模型。
若放入盒子后再将盒子标号区别，则又回到排
列模型。每一个组合可有r!个标号方案。
故有
C(n,r)·r!=P(n,r)=
n! (n r)!
C(n,r)=P(n,r)/r!=[n]r/r!=
= n!
nr
r!(n r)!
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排列组合问题的来源
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1.1 加法法则与乘法法则
[ 加法法则 The Sum Rule]设事件A有m种产生方 式，事件B有n种产生方式，则事件A或B之一 有m+n种产生方式。 集合论语言：
若 |A| = m , |B| = n , AB = , 则 |AB| = m + n 。
[ 例 ] 某班选修企业管理的有 18 人，不选 的有 10 人，则该班共有 18 + 10 = 28 人。
• 唐朝僧人一行曾经研究过围棋布局的总数问题．古代的棋 盘共有17路，289个点，后来发展到19路361个点．一行曾 计算过一切可能摆出的棋局总数．
• 17世纪，北宋时期沈括在《梦溪笔谈》中，进一步讨论了
围棋布局总数问题．他利用一些排列、组合的办法对一行
的计算作了分析．沈括指出，当361个棋子全用上时，棋局
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1.1 加法法则与乘法法则
[ 乘法法则 The Product Rule ] 设事件A有m种 产生方式，事件B有n种产生方式，则事件A与 B有 m ·n种产生方式。
集合论语言： 若 |A| = m , |B| = n , AB = {(a,b) | a A,b B}, 则 |A B| = m ·n 。
“含0”和“含1”是否可以直接套用？ 0019含1但不含0。 在组合的习题中有许多类似的隐含的
规定，要特别留神。 不含0的1位数有9个，2位数有92个，3位
数有93个，4位数有94个
不含0小于10000的正整数有 9 + 92 + 93 + 94 =(95－1)/(9－1)=7380个
含0小于10000的正整数有
9999－7380=2619个
源自文库
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1.2排列与组合
定义 [排列 Permutation]从n个不同的元素中， 取r个不重复的元素，按次序排列，称为从n个 中取r个的无重排列。排列的个数用P(n,r)表示， 或者 Pnr 。当r=n时称为全排列。一般不说可重 即无重。
定义 [组合 Combination]从n个不同元素中取r 个不重复的元素组成一个子集，而不考虑其元 素的顺序，称为从n个中取r个的无重组合。
组合的个数用C(n,r)表示或者 Cnr
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1.2排列与组合
从n个中取r个的排列的典型例子是从n个不 同的球中,取出r个,放入r个不同的盒子里,每 盒1个。 • 第1个盒子有n种选择，第2个有n-1种 选择，······，第r个有n-r+1种选择。
故有 P(n,r)=n(n-1)······(n-r+1) = n! 有时也用[n]r记n(n-1)······(n-r+1) (n r)! 全排列：P(n,n) = n!
1)小于10000的不含1的正整数可看做4位数, 但0000除外.
故有9×9×9×9－1＝6560个. 含1的有：9999－6560=3439个
另: 全部4位数有104 个,不含1的四位数有94 个, 含1的4位数为两个的差: 104 －94 = 3439个
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2)求小于10000的含0的正整数的个数