第9章 力矩分配法与近似法

B
μBC 0.6
2、计算固端弯矩：
g M BC
3 Pl 60 16
3、计算不平衡力矩： R 90
反号的不平衡力矩：90
例 计算图示梁,作弯矩图
注意：列表计算 A AB B BA
4 EI 8
40
40 45
BC
3
EI 6
C CB
0.5 1/2 -40 40 38.75
42 .5 1.25 2 .5
③固端弯矩和结点不平衡力矩R
g g M AB 30kN m M AC 0
g M AD 24kN m
g M DA 36kN m
③固端弯矩和结点不平衡力矩R
g M AB 30kN m g M AD 24kN m g M DA 36kN m R
B
0
1 1 S 4 0 1.667 CB CB 4 1 1 1 1 S 3 2 CD CD 0.333 6 2
C
43.6
A 21.9
133.1
C
D M图（kN· m）
20kN/m A 43.6 EI=1 6m B 92.6 21.9 EI=2 4m
7 7
g M BA 133.3
1 2 ql 133.3 12
3、计算不平衡力矩：R 133.3 反号的不平衡力矩：-133.3
例2、用力矩分配法计算图示结构，并作M图。
M图 ( kN m ) A
EI 4m
解：
分配系数 μ
18
36 80kN 1 Pl 80 30kN m 4 C B 6 2 EI 2m 2m
AB
AD
B
0.3 0.4
D
A 0.3
AC
+30
0
-24
+36 -1.2 +34.8 MDA
R反号分配
M
g AB
g M AD R 6kN m
-1.8 -1.8 -2.4 +28.2 -1.8 -26.4 MAB MAC MAD
C
-0.9
④放松结点，计算分配弯矩和传递弯矩 ⑤杆端弯矩
M AB 28.2kN m , M AD 26.4kN m , M AC 1.8kN m , M BA 0 M DA 34.8kN m M CA 0.9kN m
§9.1力矩分配法的基本概念
1 转动刚度S 转动刚度： 一单跨超静定梁的一端（A端）单位转角时，发 生于该端（近端、或称A端）的弯矩。 设
当远端（B端）固定， S AB 4i
S AB 3i 当远端（B端）铰支 ， 当远端（B端）定向 ，S AB i
S AB 0 当远端（B端）自由，
F F M BC M CB
100kN.m
180 200
80
求出B结点的不平衡力矩
F F M B M BA M BC 80kN.m
分配系数
M图（kN.m）
BA
2 EI 12 0.5 2 EI EI 3 4 12 8 3
杆端 分配系数 固端弯矩
AB
BA 0.5
分配弯矩下划横线表示已平衡，箭头表示传递方向。
4.叠加求和，计算杆端弯矩： 5.校核。（结点平衡）
§9.2 多结点结构的力矩分配
原结构
未知 已知
B结点分配
锁定
释放B
释放C
C结点分 配
多结点分配 锁定全部结点，计算各杆固端弯矩。 从某一结点开始，在锁定其他结点条件下放松该结 点，进行分配和传递，使其达到“平衡”。
AB
15kN/m B iAB=2 A C
50kN
iAD=2
D
iAC=1.5
4m 3m 2m
4m
3 2 0.3 3 2 4 2 4 1.5
AC
4 1.5 0.3 3 2 4 2 4 1.5
AD 1 0.3 0.3 0.4
0.5 0 -45
2 .5
0 0 0
-38.75 42 .5
-42.5
求和、反号、分配、传递
如图示连续梁，作M图。 解：在B结点引入刚臂 查表得固端弯矩
F M BA
2 ql AB 8
q=10 kN/m
A 2EI 12m
140
Fp=100kN
B C
EI
4m 4m
180kN.m
Fp l BC 8
j
M A1 S A1 Z 3i A1 M A 2 S A 2 Z 4i A 2 M A3 S A3 Z i A3 M A4 S A4 Z 0
(a)
Ai 其中：
S Ai 称为分配系数。 S Aj
j
它表明，结点A的弯矩M按照分配系数的大小比例地分配于
D
例.用力矩分配法作图示连续梁的弯矩图，并求B支座反力。 100kN 20kN/m 1 A M -60 分 14.7 配 与 传 1.5 递 0.2 Mij -43.6
EI=1 6m
4m 0.4 0.6 60 -100 -33.4 29.4 44 -7.3 2.9 4.4 -0.7 0.3 0.4 92.6 -92.6 92.6 B
80kN
3m
30kN/M
i=1
10m
160kN
A
3m
i=2 B
C
3m
i=1
5m
D
分配系数 固端弯矩 B点一次分、传 C点一次分、传 B点二次分、传 C点二次分、传 B点三次分、传 C点第三次分配 叠加求杆端弯矩 0 0 0
0.6 0.4 90.0 -250.0 96.0 64.0 -23.7 14.2 9.5 -1.2 0.7 0.5
B
1
图示结构，各杆线刚度均为I,用力矩分配法计算时， 分配系数μAB为（ ）B
1 A． 10
C．
1 4
1 B． 8 3 D． 8
单节点结构的力矩分配
B
原结构
未知
锁定
已知
释放
还原
力矩分配法
固定结点，由固端弯矩获得结点不平衡力矩 用分配系数求杆端分配弯矩 用传递系数求传递弯矩 将锁定和放松的结果叠加得最终杆端弯矩 分配过程可归结为：求和、反号、分配、传递
适用条件： 用于无结点线位移的梁和刚架
例1、用力矩分配法求解图示结构，并作M图：
171.4
力矩分配法是直接计算 A 各杆的杆端弯矩。
解：
分配系数 μ
1 2 ql 200 8 100 kN/m 57.13 B EI 854 .73 m
C
EI 4m
固端弯矩M g 133.3
4 3 7 7 133.3 0
B
EI=2
C EI=1 6m 4m 0.667 0.333 100
-66.7 -33.3 22 -14.7 -7.3 2.2 -1.5 -0.7 41.3 -41.3 41.3
i AB
D
iBC
iCD
6 2 1 8 4 1 6
2 1 2 S BA 43 .4 6 03 BA 2 1 1 S BC 4 3 1 4 BC 0.6
依次对各结点使用上述方法，即每次只放松一个结点， 其它结点仍暂时固定；把各刚结点的不平衡力矩反号 进行分配和传递，直至不平衡力矩小到可忽略。
重新锁定该结点，放松另一结点；使其达到“平衡”。
最后累加固端、分配和传递结果得最终杆端弯矩。
它是一种逐渐逼近精确解的近似 方法。
例: 试绘制连续梁的弯矩图。
-0.9 MCA
例
作下图所以刚架弯矩图
回顾： （通常列表计算） 力矩分配法的计算步骤： 1.由转动刚度计算分配系数： μ
Aj
S
A
SAj
2.固端弯矩和不平衡力矩 R 计算：R
g M A
3.计算分配弯矩和传递弯矩： ' M 'jA CAj M 'Aj M Aj μ Aj ( R )
C AB M BA 1 S AB 2
SAB
A
B
MBA
图(a)
1
A B
当远端（B端）铰支 ， C AB 当远端（B端）定向 ， C AB 当远端（B端）自由，
M BA 0 SAB S AB
1
图(b) MBA 图(c) 图(d)
M BA 1 SAB S AB
SAB
A
A
1
B
C AB 0
汇交于该结点的各杆A端。
显然有

i
wenku.baidu.comAi
1
汇交于同一刚节点的各杆杆端的分配系数之和恒等于1
各杆端的分配弯矩与该杆端转动刚度成正比，转动刚度越大，则该 杆端产生的弯矩越大。
3 传递系数C 传递系数： 一单跨超静定梁的一端（A端）单位转角时，发生于远端（B
端）的弯矩与近端（A端）的弯矩之比。
当远端（B端）固定，
R B
30
g M BC 60
0
0 .4 0 .6 0 60
36 54 36 6
77
固端弯矩M g 0
0 0 0
由 M B 0 得：R 30 60 0
B结点一次 分配传递 18
杆端弯矩 M 18
R 90
4i S 0 .4 1、计算分配系数： μBA BA S 4i 3 2i
EI i l
，则
SAB
A
B
MBA
图(a)
1
SAB SAB SAB
A
B
1
A
图 (b) MBA 图 (c) 图 (d)
1
A
B
其实，(d)不属于单跨超静定 量，只是有时为了便于应用， 如此定义。
B
1
2 分配系数 如图(e)所示结构受集中力偶作用。 在结点A处产生了角位移Z，根据转角位移方程得
M A1 S A1 Z 3i A1 M A 2 S A 2 Z 4i A 2 M A3 S A3 Z i A3 M A4 S A4 Z 0
由结点A的平衡条件得
4
M
(a)
1
A
3
2
图(e)
M A1 M A2 M A3 M A4 M
把(a)式代入上式，得 (b) S Ai Z M i
M 解之得 Z S Ai
i
(c)
把(c) 式代回(a) 式，即得各杆 的A端弯矩为 S Ai M Ai M Ai M （i=1,2,3…） S Aj
第9章 力矩分配法与近似法
力法方程
第九章力矩分配法与近似法
均要解联立方 程，工作繁重。 位移法方程 渐近法——力矩分配法 适合手算计算
• 1、力矩分配法建立于近似状态，逐次调整后收 • 敛于真实状态，得到精确解，属于渐近法。
• • • • • • 2、力矩分配法不解联立方程，计算步骤单一。 物理概念生动形象，计算结果直观。 3、基于位移法的力矩分配法，直接求得杆 端弯矩，精度满足工程要求，应用广泛。 4、适合于手算，与电算并存。 5、常见还有无剪力分配法、迭代法等。
100kN C
4m
41.3
EI=1 D 6m
A 51.8
A
B
56.4 B 68.2 43.6 133.1
C
m） D M图（kN·
6.9
C
68.2=QBA
D
Q图（kN）
QAB Q
0 AB
M AB M BA l
B
QBC=56.4
计算支座反力:
YB=124.6
例: 画图示连续梁的弯矩图。
20kN/m A 4m B 40kN EI=常数 C 4m D E 40kN F 1.2m
200.9 -200.9
200.9 375
0 0
0.5 0.5 250.0 -187.5 32.0 -47.3 -47.3 4.8 -2.4 -2.4 0.3 -0.2 -0.2 237.4 -237.4
237.4 300
112.5 -23.7 -1.2
87.6
87.6
M图(kN.m) A
120
B
C
BC 0.5 -100
CB
.EI 4 分配传递 -40 -40 8 BA 0.5 0 140 -140 最终弯矩 2 EI EI 3 4 12 8 把不平衡力矩反号加到B结点上并按分配系数分配到各杆的B端。
过程如表所示。
0
180
100 -20 80
例 3 、 用力矩分配法 计算图示刚架各 杆端弯矩。 解：①基本结构 ②分配系数
M图 ( kN m )
0 0 0
B结点一次 分配传递 38.09 76.17 57.13 M 总或 M 171.4 57.13 57.13
S 4 4i 1、计算分配系数： μBA BA S 4i 3i 7
B
g 2、计算固端弯矩： M AB
μBC 1 4 3
4m
4m
解：
基本结构 （∵各杆线刚度相同， ∴令i =1） （1）计算分配系数
B : BA C : CB 3 0.429 , BC 1 0.429 0.571 43 4 CD 0.500 44
D : DC
4 0.571, DF 1 0.571 0.429 43