(理)概率统计试卷和答案2

5分
3 8
3 0. 8
3 3 1 1 1 1 E ( XY ) xi y j pij ( 1) (1) (1) 1 1 (1) 1 1 0 ， 8 8 8 8 i 1 j 1
即有 E ( XY ) E ( X ) E (Y ) ，故 X , Y 是不相关的. 5．解：设一 X i (i 1, 2, ,100) 表示第 i 辆小汽车氧化氮的排放量，则 X 由已知条件 E ( X i ) 0.9, D ( X i ) 1.92 得 E ( X ) 0.9, D ( X )
3
x 1 2 xe , x 0 6. 设总体 X 具有概率密度 f ( x) ， 其中 0 为未知参数，X 1 , X 2 , , X n 0, x0
是来自 X 的样本， x1 , x2 , , xn 是相应的样本观察值. （1）求 的最大似然估计量. （2）试判断求得的估计量是否是无偏估计量.
10 分
1 100 Xi . 100 i 1
1.92 . 100 1.92 N (0.9, ). 各辆汽车氧化氮的排放量相互独立， 故可认为有 X 近似地 100 需要计算的是满足 P{ X L} 0.01 的最小值 L . 由中心极限定理 P{ X L} P{
4分
X 0.9 L 0.9 L 0.9 } 0.01 . L 为满足 1 ( } 0.01 的最小值，即 0.19 0.19 0.19 L 0.9 L 0.9 ( } 0.99 (2.33) ，即 2.33 ，故 L 1.3427 ，应取 L 1.3427 g/km. 0.19 0.19 10 分
2. 设随机变量 X 在区间（0，1）服从均匀分布，求 Y 2ln X 的概率密度.
2
k (6 x y ), 0 x 2, 2 y 4 3. 设随机变量 ( X , Y ) 的概率密度为 f ( x, y ) . 其他 0, （1）确定常数 k ；（2）求 P{ X Y 4} .
(
)
( B ) F ( x) 是随机变量的分布函数； ( D ) F ( x) 是连续型随机变量的分布函数.
则 Y ( X 2) / 5 的方差 D(Y ) 4. 设 X N (1, 4) ，
(
( D)
)
( A)
16 ； 25
( B)
4 ； 25
(C )
8 ； 25
2 . 25
2
5. 设 X 1 , X 2 , X 3 是取自总体 X 的样本， E ( X ) , D ( X ) ，在如下 X 1 , X 2 , X 3 的线性组 合中作为 的无偏估计量中最为有效的估计量是 ˆ 1 ( X1 X 2 X 3 ) ； ˆ 1 ( X1 X 2 ) ； ( A) ( B) 3 2 1 2 1 2X 5X 2X ． ˆ ˆ (C ) 6 X 1 3 X 2 6 X 3 ； ( D) 9 1 9 2 9 3 得分 评分人 ( )
3. 一批机器零件共有 100 件，其中有 5 件次品，从中抽取 20 件，每次抽 1 件，设 X 表示其 中包含的次品数， 如果抽取后放回， 则 X 的分布律为 可估计 P{| X | 10 } 5. Z 检验和 t 检验都是关于 当 未知时，用 t 检验. .
4. 设随机变量 X 的数学期望 E ( X ) 及方差 D ( X ) 2 ，由切比雪夫(Chebyshev)不等式 ． 的假设检验. 当 已知时，用 Z 检验；
7. 某种导线，正常生产时其电阻的标准差为 0.005 ，今在生产的一批导线中取样品 9 根， 测得 s 0.007 ，设总体为正态分布，参数均未知. 问在显著性水平 0.05 下能否认为这 2 2 批导线的标准差正常？ ( 0.975 (8) 2.180, 0.025 (8) 17.534 )
当 y 0 时, FY ( y ) P{Y y} P{2ln X y} P{ X e y / 2 } 1 FX (e y / 2 ) .
1 y/2 1 e , y0 fY ( y ) FY ( y ) f X (e y / 2 )( e y / 2 ) 2 . 2 其他 0, 注：也可使用定理直接求解.
6分
10 分
1, 0 x 1 2．解： X 的概率密度为 f ( x) ，分别记 X , Y 的分布函数为 FX ( x), FY ( y ) . 0, 其他 先求 FY ( y ) ，因 0 X 1 时， Y 0 ，故当 y 0 时, FY ( y ) 0 , 从而 fY ( y ) 0 . 3分
用 2 检验，取检验统计量为 2
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）
2. 0.8 5. 均值 ，方差 2 ，方差 2
三、计算题（本大题共 7 小题，每题 10 分，共 70 分）
1．解：（1）设事件 C 为“该生取得资格”；事件 A 为“该生第一次及格”，事件 B 为“该 生第二次及格”，则 P (C ) P ( A B ) P ( A) P ( B ) P ( AB ) . 显然 A, A 构成样本空间 S 的 一个划分. 由题意，有 P ( A) p, P ( A) 1 p, P ( B | A) p, P( B | A) 有 P ( B ) P ( B | A) P( A) P ( B | A) P ( A) p 2
称 X 和 Y 不相关. 设 4. 当随机变量 X , Y 的协方差 Cov( X , Y ) E ( XY ) E ( X ) E (Y ) 0 时， 二维随机变量 ( X , Y ) 的分布律为
X Y
－1 0 1
－1
1 8 1 8 1 8
0
1 8
1
1 8 1 8 1 8
P j
0
1 8
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）
1. 2. 设 P ( A) a ，P ( B ) b ，P ( A B ) c ， 则 P ( AB ) 设随机变量 X 的分布律为 .
1
. ， F ( x) 为其分
X P
0 0.1
1
2
3 0.2
0.3 0.4
布函数，则 F (2) ＝
学院 制卷份数
数
计 专
出卷教师 业
王
岑
系主任签名
班级编号
江汉大学
2013——2014 学年第 二 学期
考 试 试 卷
课程编号： 试卷类型：A 题号 得分
得分 评分人
410801009 、B 二 卷 三
课程名称： 考试形式：开 四 五 、闭
概率论与数理统计（理） 卷 考试时间： 120 分钟 总分 总分人
三、计算题（本大题共 7 小题，每题 10 分，共 70 分）
得分 评分人 1. 一学生接连参加同一课程的两次考试. 第一次及格的概率为 p ，若 第一次及格则第二次及格的概率也为 p ；若第一次不及格则第二次及
格的概率为 p 2 . （1）若至少有一次及格则他能取得某种资格，求他 取得该资格的概率. （2）若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率.
6．解： （1）当 xi 0 i 1, 2, , n 时，似然函数 L( )
n
1
2n
xe
i 1 i
n

xi
i 1
n

，
ln L( ) 2n ln ln xi e
i 1

xi
i 1
n

， 令
i d ln L( ) 2n i 1 2 0 ， 解得 的最大似然估计量 d
( A) 1 p q ; ( B)
(
)
1 pq ；
(C ) (1 p ) (1 q ) ；
( D ) 1 p q pq ．
0, x 0 x 3.设函数 F ( x) , 0 x 2 ， 则以下结论成立的是 2 0, x 2
( A) F ( x) 不是随机变量的分布函数； (C ) F ( x) 是离散型随机变量的分布函数；
4
江汉大学
2013wk.baidu.com—2014 学年第 二
学期
试卷评分参考答案（A 卷）
课程编号： 410801009 课程名称： 概率论与数理统计（理）
一、单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）
C 1. c b 4. 0.99 D A B A
k (0.05) k (0.95) 20 k , k 0, 1, , 20 3. P{ X k} C20
Pi
（1）在表中求边缘分布律，并判断 X , Y 是否相互独立. （2）判断 X , Y 是否相关.
5. 某种小汽车氧化氮的排放量的数学期望为 0.9g/km，标准差为 1.9g/km，某汽车公司有这 种小汽车 100 辆，以 X 表示这些车辆氧化氮排放量的算术平均. 利用中心极限定理，求当 L 为何值时，X L 的概率不超过 0.01. （ (2.33) 0.99 ）
3．解：（1）由

10 分



f ( x, y )dxdy 1 ，得
5分
4 2 4 1 4 1 dy k (6 x y ) dx k (12 2 y 2)dy k (10 y y 2 ) |2 8k ，所以 k . 2 0 2 8 4 4 y 1 （2） P{ X Y 4} f ( x, y ) dxdy dy (6 x y ) dx 2 0 8 x y4

1 4 1 2 [2(4 y ) (4 y ) 2 ]dy . 8 2 2 3
10 分
4. 解：（1）先求出边缘分布律如下： 0 1 X －1
Y P j
－1
3 8
0
2 8
1
3 8
Pi
3 8
2 8
3 8
易见 P{ X 0, Y 0} 0 P{ X 0}P{Y 0} ，故 X , Y 不是相互独立的. （2） X , Y 有相同的分布律，且有 E ( X ) E (Y ) (1) 1
一
一、单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）
1． 若事件 A 、B 有 B A ， 则下列命题中正确的是
( A) A 与 B 必同时发生； (C ) A 不发生， B 必不发生； ( B ) A 发生， B 必发生；
( D ) A 不发生， B 必发生．
(
)
2．一种零件的加工由两道工序组成，第一道工序的废品率为 p ，第二道工序的废品率为 q ， 则该零件加工的成品率为
x
n
ˆ X . 为 2
（2）因为 E (
6分
X 1 n 2n ) E( X i ) ，所以最大似然估计量是无偏估计量. 2 2n i 1 2n
10 分
7．解：本题要求在显著性水平 0.05 下检验假设 H 0 : 0 0.005,
H1 : 0 .
p ，故由全概率公式 2
p p2 p (1 p) ； 2 2 p2 p 3 p p2 p2 P ( AB ) P ( B | A) P ( A) p 2 ，故 P (C ) p . 2 2 p2 p P ( AB ) p2 2p 2 （2） P ( AB ) p 2 , P( B) ，故 P ( A | B) . P( B) ( p p) / 2 p 1 2 p 注：（1）中也可用 P ( A B ) P ( A) P ( AB ) p (1 p ) 直接求解. 2