第九届全国大学生数学竞赛非数学类预赛题和参考答案

全国大学生数学竞赛(非数学类)大纲及历年预赛试卷

—1—
余弦函数，以及它们的和与积 7. 欧拉(Euler)方程. 8. 微分方程的简单应用五、向量代数和空间解析几何 1. 向量的概念、向量的线性运算、向量的数量积和向量积、向量的混合积. 2. 两向量垂直、平行的条件、两向量的夹角. 3. 向量的坐标表达式及其运算、单位向量、方向数与方向余弦. 4. 曲面方程和空间曲线方程的概念、平面方程、直线方程. 5. 平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件、点到平面和
f ( y) x2[1 f ( y)]3
1 x2 (1 f ( y))
f ( y) [1 f ( y)]2 x2[1 f ( y)]3
解法 2 方程 xe f (y) ey ln 29 取对数，得 f ( y) ln x y ln ln 29
（1）
方程（1）的两边对 x 求导，得 f ( y) y 1 y x
4．设函数 y y(x) 由方程 xe f ( y) ey ln 29 确定，其中 f 具有二阶导数，且 f 1 ，
则
d2 y dx 2
________________.
解法 1 方程 xe f ( y) ey ln 29 的两边对 x 求导，得
e f ( y) xf ( y) ye f ( y) e y y ln 29
即
[ 1 f ( y) y]xe f ( y) ye y ln 29 x
因 e y ln 29 xe f ( y) 0 ，故 1 f ( y) y y，即 y
1
，因此
x
x(1 f ( y))
d2 y dx 2
y
1 x2 (1 f
( y))
f ( y) y x[1 f ( y)]2
点到直线的距离. 6. 球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程、常用的二次

第九届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类)

I ydx zdy xdz .
得分
四 (本题满分 15 分) 设函数 f (x) 0 且在实轴上连续，
评阅人
若对任意实数 t ，有 e|tx| f (x)dx 1 ，证明 a,b ，
a b ，有 b f (x)dx b a 2 .
a
2
省市____________学校____________准考证号____________姓名____________
密封线
密封线
省市____________学校____________准考证号_____________姓名____________
全国大学生数学竞赛预赛（非数学类,2017）-1
第九届全国大学生数学竞赛预赛试卷 (非数学类, 2017 年)
6. 记曲面 z2 x2 y2 和 z 4 x2 y2 围成空间区域为 V ，则三重积分
得分评阅人
一 (本题满分 42 分, 共 6 小题, 每小题 7 分)
1. 已知可导函数满足
x
f (x)cos x 20 f (t)sin tdt x 1
则 f (x) =_______
2. 极限 lim sin 2 n2 n =__________. n
3. 设 w f (u,v) 具有二阶连续偏导数，且 u=x cy，v=x+cy ，其中 c 为非零
得分评阅人
二 (本题满分 14 分) 设二元函数 f (x, y) 在平面上有连续的二阶偏导数. 对任何角度，定义一元函数
g (t) f (t cos , t sin ) ，
若对任何
都有
dg (0) dt
0
且
d 2 g (0) dt 2
0
.

第九届全国大学生数学竞赛非数类参考答案(白兔兔)

学校
由 α 的任意性得
"
fx p0, 0q “ 0 fy p0, 0q “ 0
, 从而 p0, 0q 是 f px, yq 的驻点.
˘ d2 gα pt q d` fx cos α ` fy sin α “ 2 dt dt ` ˘ ˘ ` “ fxx cos α ` fxy sin α cos α ` fyx cos α ` fyy sin α sin α 省市 “ fxx cos2 α ` 2 fxy sin α cos α ` fyy sin2 α “ ‰ “ sin α cos α fxx cot2 α ` 2 fxy ` fyy tan2 α
所以 f p0, 0q 是 f px, yq 极小值. 三、 (本题满分 14 分) 设曲线 Γ 为曲线 x ě 0, y ě 0, z ě 0 ∫ 上从点 Ap1, 0, 0q 到点 Bp0, 0, 1q 的一段. 求曲线积分 I “ y dx ` z dy ` x dz
Γ
x2 ` y2 ` z2 “ 1 ,
Γ1 Σ
第 4 页, 共 6 页
曲线 Γ 在 xOy 面上投影的方程为
` ˘2 x´ 1 y2 2 ` 1 ˘2 ` ` 1 ˘2 “ 1 座位号
2 ? 2
又该投影（半个椭圆）的面积得知 1 π 这样就有 I “ ´ ? 2 2 2
Σ
π dx dy “ ? . 同理, 4 2
Σ
π dy dz “ ? 4 2
密封线答题时不要超过此线姓名
一、 (本题满分 42 分, 共 6 小题, 每小题 7 分) ∫ x 1. 已知可导函数 f pxq cos x ` 2 f pt q sin t dt “ x ` 1 满足则 f pxq “

全国大学生数学竞赛第九届(非数学)决赛试卷

xi2 − xi xi+1 ， n ≥ 2 .
=i 1=i 1
(1) 证明：对任一非零 x ∈ Rn ， H (x) > 0 ； (2) 求 H (x) 满足条件 xn = 1的最小值.
得分评阅人
六 (本题满分 12 分)
{ } 设函数 f (x, y) 在区= 域 D (x, y) x2 + y2 ≤ a2 上具
第九届全国大学生数学竞赛决赛试卷
得分
(非数学类, 2018 年 3 月)
评阅人
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二 (本题满分 11 分)
设函数 f (x) 在区间 (0,1) 内连续，且存在两两互异的点 x1, x2 , x3, x4 ∈ (0,1) ，使得
题号满分
−x 1 1 1
cz = dab ， d w = abc ，则行列式 1 − y 1
1 = ＿＿＿＿＿＿＿.
1 1 −z 1
1 1 1 −w
省市____________学校____________准考证号____________姓名____________考场号______座位号______ 密封线密封线密封线
有一阶连续偏导数，且满足 f (x, y) x2 + y2 = a2 = a2 ，以及
∫∫ max
( x, y )∈D

∂f ∂x
2
+

∂f ∂y
2

= a2 ，其中
a
>
0
.
证明：
D
f (x, y)dxdy
≤ 4πa4 . 3
全国大学生数学竞赛决赛（非数学类,2018）-4

大学生数学竞赛(非数)试题及答案

大学生数学竞赛（非数学类）试卷及标准答案考试形式：闭卷考试时间： 120 分钟满分： 100 分.一、填空（每小题5分，共20分）.计算)cos 1(cos 1lim 0x x x x --+→= .(2)设()f x 在2x =连续，且2()3lim2x f x x →--存在，则(2)f = . (3)若tx x xt t f 2)11(lim )(+=∞→，则=')(t f .(4)已知()f x 的一个原函数为2ln x ，则()xf x dx '⎰= .（1）21. (2) 3 . (3)te t 2)12(+ . (4)C x x +-2ln ln 2. 二、（5分）计算dxdy xy D⎰⎰-2，其中1010≤≤≤≤y x D ，：.解：dxdy x y D⎰⎰-2=dxdy y x x y D )(21:2-⎰⎰<+⎰⎰≥-22:2)(x y D dxdy x y -------- 2分 =dy y x dx x )(2210-⎰⎰+dy x y dx x)(12102⎰⎰- -------------4分姓名：身份证号所在院校：年级专业线封密注意：1.所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效. 2.密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记.=3011-------------5分.三、（10分）设)](sin[2x f y =，其中f 具有二阶导数，求22dxyd .解：)],(cos[)(222x f x f x dxdy'=---------------3分 )](sin[)]([4)](cos[)(4)](cos[)(222222222222x f x f x x f x f x x f x f dxy d '-''+'=-----7分=)]}(sin[)]([)](cos[)({4)](cos[)(222222222x f x f x f x f x x f x f '-''+'---------10分.四、（15分）已知3123ln 0=-⋅⎰dx e e a x x ，求a 的值. 解：)23(232123ln 0ln 0xa x ax x e d e dx e e ---=-⋅⎰⎰---------3分令t e x =-23，所以dt t dx e e aax x ⎰⎰--=-⋅231ln 02123---------6分 =a t 231233221-⋅-------------7分=]1)23([313--⋅-a ，-----------9分由3123ln 0=-⋅⎰dx e e a x x ，故]1)23([313--⋅-a =31，-----------12分即3)23(a -=0-----------13分亦即023=-a -------------14分所以23=a -------------15分.五、（10分）求微分方程0=-+'x e y y x 满足条件e yx ==1的特解.解：原方程可化为xe y x y x=+'1-----------2分这是一阶线性非齐次方程，代入公式得⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⋅⎰=⎰-C dx e x e e y dxx xdx x 11----------4分=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⎰-C dx e x e ex x xln ln ----------5分 =[]⎰+C dx e x x 1-----------6分 =)(1C e xx+.---------------7分所以原方程的通解是)(1C e xy x +=.----------8分再由条件e yx ==1，有C e e +=，即0=C ，-----------9分因此，所求的特解是xe y x=.----------10分.六（10分）、若函数()f x 在(,)a b 内具有二阶导数，且123()()()f x f x f x ==，其中123a x x x b <<<<，证明：在13(,)x x 内至少有一点ξ，使()0f ξ'=。

历届全国大学生数学竞赛预赛试卷

历届全国⼤学⽣数学竞赛预赛试卷全国⼤学⽣数学竞赛预赛试卷（⾮数学类）2009年第⼀届全国⼤学⽣数学竞赛预赛试卷（⾮数学类）⼀、填空题（每⼩题5分，共20分）1．计算()ln(1)d yx y x y ++=??____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三⾓形区域.2．设)(x f 是连续函数，且满⾜220()3()d 2f x x f x x =--?，则()f x =____________.3．曲⾯2222x z y =+-平⾏平⾯022=-+z y x 的切平⾯⽅程是__________.4．设函数)(x y y =由⽅程29ln )(y y f e xe=确定，其中f 具有⼆阶导数，且1≠'f ，则=22d d xy________________. ⼆、（5分）求极限xenx x x x ne e e )(lim 20+++→Λ，其中n 是给定的正整数. 三、（15分）设函数)(x f 连续，10()()g x f xt dt =?，且A x x f x =→)(lim 0，A 为常数，求()g x '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.四、（15分）已知平⾯区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：（1）-=---Lx y Lx yx ye y xe x ye y xed d d d sin sin sin sin ；（2）2sin sin 25d d π?≥--Ly yx ye y xe.五、（10分）已知xxexe y 21+=，xx exe y -+=2，x xx e exe y --+=23是某⼆阶常系数线性⾮齐次微分⽅程的三个解，试求此微分⽅程.六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时，0≥y ，⼜已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的⾯积为31.试确定c b a ,,，使此图形绕x 轴旋转⼀周⽽成的旋转体的体积V 最⼩.七、（15分）已知)(x u n 满⾜1()()1,2,n xnn u x u x x e n -'=+=L ，且n eu n =)1(，求函数项级数∑∞=1)(n n x u 之和.⼋、（10分）求-→1x 时，与∑∞=02n n x 等价的⽆穷⼤量.2010年第⼆届全国⼤学⽣数学竞赛预赛试卷（⾮数学类）⼀、（25分，每⼩题5分）（1）设22(1)(1)(1)nnx a a a =+++L ，其中||1,a <求lim .n n x →∞（2）求21lim 1x xx ex -→∞+ ?.（3）设0s >，求0(1,2,)sx nn I e x dx n ∞-==?L .（4）设函数()f t有⼆阶连续导数，1(,)r g x y f r ??==，求2222g g x y ??+??. （5）求直线10:0x y l z -=??=?与直线2213:421x y z l ---==--的距离. ⼆、（15分）设函数()f x 在(,)-∞+∞上具有⼆阶导数，并且()0f x ''>，lim ()0x f x α→+∞'=>，lim ()0x f x β→-∞'=<，且存在⼀点0x ，使得0()0f x <.证明：⽅程()0f x =在(,)-∞+∞恰有两个实根.三、（15分）设函数()y f x =由参数⽅程22(1)()x t t t y t ψ?=+>-?=?所确定，且22d 3d 4(1)y x t =+，其中()t ψ具有⼆阶导数，曲线()y t ψ=与22132t u y e du e-=+在1t =出相切，求函数()t ψ. 四、（15分）设10,nn n k=>=∑，证明：（1）当1α>时，级数1nn na S α+∞=∑收敛；（2）当1α≤且()n s n →∞→∞时，级数1nn na S α+∞=∑发散. 五、（15分）设l 是过原点、⽅向为(,,)αβγ，（其中2221)αβγ++=的直线，均匀椭球2222221x y z a b c++≤（其中0c b a <<<，密度为1）绕l 旋转. （1）求其转动惯量；（2）求其转动惯量关于⽅向(,,)αβγ的最⼤值和最⼩值.六、(15分)设函数()x ?具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C 上，曲线积分422d ()d 0L xy x x y x y ?+=+??的值为常数.（1）设L 为正向闭曲线22(2)1x y -+=，证明422d ()d 0L xy x x yx y ?+=+??；（2）求函数()x ?；（3）设C 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求422d ()d C xy x x y x y ?++??.2011年第三届全国⼤学⽣数学竞赛预赛试卷（⾮数学类）⼀、计算下列各题（本题共3⼩题，每⼩题各5分，共15分）（1）求11cos 0x x x -→??；（2）.求111lim ...12n n n n n →∞??++++++；（3）已知()2ln 1arctan tt x e y t e=+=-，求22d d y x .⼆、（本题10分）求⽅程()()24d 1d 0x y x x y y +-++-=的通解.三、（本题15分）设函数()f x 在0x =的某邻域内具有⼆阶连续导数，且()()()0,0,0f f f '''均不为0，证明：存在唯⼀⼀组实数123,,k k k ，使得()()()()12320230lim0h k f h k f h k f h f h→++-=. 四、（本题17分）设2221222:1x y z a b c∑++=，其中0a b c >>>，2222:z x y ∑=+，Γ为1∑与2∑的交线，求椭球⾯1∑在Γ上各点的切平⾯到原点距离的最⼤值和最⼩值.五、（本题16分）已知S 是空间曲线22310x y z ?+=?=?绕y 轴旋转形成的椭球⾯的上半部分（0z ≥）（取上侧），∏是S 在(,,)P x y z 点处的切平⾯，(,,)x y z ρ是原点到切平⾯∏的距离，,,λµν表⽰S 的正法向的⽅向余弦.计算：（1）()d ,,SzS x y z ρ??；（2）()3d Sz x y z S λµν++??六、（本题12分）设()f x 是在(,)-∞+∞内的可微函数，且()()f x mf x '<，其中01m <<，任取实数0a ，定义1ln (),1,2,...n n a f a n -==，证明：11()n n n a a ∞-=-∑绝对收敛.七、（本题15分）是否存在区间[]0,2上的连续可微函数()f x ，满⾜(0)(2)1f f ==，()1f x '≤，2()d 1f x x ≤?请说明理由.2012年第四届全国⼤学⽣数学竞赛预赛试卷（⾮数学类）⼀、（本⼤题共5⼩题，每⼩题6分，共30分）解答下列各题（要求写出重要步骤）.（1）求极限21lim(!)n n n →∞.（2）求通过直线2320:55430x y z l x y z +-+=??+-+=?的两个互相垂直的平⾯1π和2π，使其中⼀个平⾯过点(4,3,1)-.（3）已知函数(,)ax byz u x y e+=，且20ux y=.确定常数a 和b ，使函数(,)z z x y =满⾜⽅程20z z zz x y x y--+=?. （4）设函数()u u x =连续可微，(2)1u =，且3(2)d ()d Lx y u x x u u y +++?在右半平⾯与路径⽆关，求(,)u x y .（5）求极限1limx xx t +.⼆、（本题10分）计算20sin d x e x x +∞-?.三、（本题10分）求⽅程21sin2501x x x=-的近似解，精确到0.001. 四、（本题12分）设函数()y f x =⼆阶可导，且()0f x ''>，(0)0f =，(0)0f '=，求330() lim ()sin x x f u f x u→，其中u 是曲线()y f x =上点(,())P x f x 处的切线在x 轴上的截距. 五、（本题12分）求最⼩实数C ，使得满⾜10 ()d 1f x x =?的连续函数()f x都有1f dx C ≤?.六、（本题12分）设()f x 为连续函数，0t >.区域Ω是由抛物⾯22z x y =+和球⾯2222x y z t ++=(0)z >所围起来的部分.定义三重积分222()()d F t f x y z v Ω=++，求()F t 的导数()F t ''.七、（本题14分）设1n n a ∞=∑与1n n b ∞=∑为正项级数，证明：（1）若()111lim 0n n n n n a a b b →∞++->，则级数1n n a ∞=∑收敛；（2）若()111lim 0n n n n n a a b b →∞++-<，且级数1n n b ∞=∑发散，则级数1n n a ∞=∑发散. 2013年第五届全国⼤学⽣数学竞赛预赛试卷（⾮数学类）⼀、解答下列各题（每⼩题6分，共24分，要求写出重要步骤） 1.求极限(lim 1sin nn →∞+.2.证明⼴义积分0sin d xx x+∞不是绝对收敛的.3.设函数()y y x =由323322x x y y +-=确定，求()y x 的极值.4.过曲线0)y x =≥上的点A 作切线，使该切线与曲线及x 轴所围成的平⾯图形的⾯积为34，求点A 的坐标.⼆、（满分12分）计算定积分2sin arctan d 1cos xx x e I x xππ-?=+?.三、（满分12分）设()f x 在0x =处存在⼆阶导数(0)f ''，且()0lim 0x f x x →=.证明：级数11n f n ∞=??∑收敛.四、（满分12分）设(),()0()f x f x m a x b π'≤≥>≤≤，证明2sin ()d baf x x m≤. 五、（满分14分）设∑是⼀个光滑封闭曲⾯，⽅向朝外.给定第⼆型的曲⾯积分()()()333d d 2d d 3d d I x x y z y y z x z z x y ∑=-+-+-??.试确定曲⾯∑，使积分I 的值最⼩，并求该最⼩值.六、（满分14分）设22d d ()()a aC y x x y I r x y -=+?，其中a 为常数，曲线C为椭圆222x xy y r ++=，取正向.求极限lim ()a r I r →+∞.七、（满分14分）判断级数()()1111212n n n n ∞=+++++∑L 的敛散性，若收敛，求其和. 2014年第六届全国⼤学⽣数学竞赛预赛试卷（⾮数学类）⼀、填空题（共有5⼩题，每题6分，共30分）1.已知1x y e =和1x y xe =是齐次⼆阶常系数线性微分⽅程的解，则该⽅程是.2.设有曲⾯22:2S z x y =+和平⾯022:=++z y x L .则与L 平⾏的S 的切平⾯⽅程是.3.设函数()y y x =由⽅程21sin d 4y xt x t π-??=所确定.求d d x y x ==.4.设1(1)!nn k kx k ==+∑，则=∞→n n x lim .5.已知130()lim 1x x f x x e x →??++= ??，则=→20)(lim x x f x . ⼆、（本题12分）设n 为正整数，计算21d 1cos ln d d ne I x x x π-??=. 三、（本题14分）设函数()f x 在]1,0[上有⼆阶导数，且有正常数,A B 使得()f x A ≤，|"()|f x B ≤.证明：对任意]1,0[∈x ，有2 2|)('|B A x f +≤.四、（本题14分）（1）设⼀球缺⾼为h ，所在球半径为R .证明该球缺体积为2)3(3h h R -π，球冠⾯积为Rh π2；（2）设球体12)1()1()1(222≤-+-+-z y x 被平⾯6:=++z y x P 所截的⼩球缺为Ω，记球缺上的球冠为∑，⽅向指向球外，求第⼆型曲⾯积分d d d d d d I x y z y z x z x y ∑=++??.五、（本题15分）设f 在],[b a 上⾮负连续，严格单增，且存在],[b a x n ∈，使得-=b ann n dx x f a b x f )]([1)]([.求n n x ∞→lim .六、（本题15分）设2222212n n n nA n n n n =++++++L ，求??-∞→n n A n 4lim π. 2015年第七届全国⼤学⽣数学竞赛预赛试卷（⾮数学类）⼀、填空题（每⼩题6分，共5⼩题，满分30分）（1）极限2222sin sin sin lim 12n n n n n n n n πππ→∞??+++= ?+++ ?L . （2）设函数(),z zx y =由⽅程,0z z F x y y x ?++= ??所决定，其中(),F u v 具有连续偏导数，且0u v xF yF +≠则z zxy x y+=. （3）曲⾯221z x y =++在点()1,1,3M-的切平⾯与曲⾯所围区域的体积是.（4）函数()[)[)3,5,00,0,5x f x x ?∈-?=?∈??在(]5,5-的傅⽴叶级数在0x =收敛的是.（5）设区间()0,+∞上的函数()u x 定义域为()2xt u x e dt +∞-=?，则()u x 的初等函数表达式是.⼆、（12分）设M 是以三个正半轴为母线的半圆锥⾯，求其⽅程. 三、（12分）设()f x 在(),a b 内⼆次可导，且存在常数,αβ，使得对于(),x a b ?∈，有()()()f x f x f x αβ'=+，则()f x 在(),a b 内⽆穷次可导.四、（14分）求幂级数()()30211!nn n x n ∞=+-+∑的收敛域及其和函数.五、（16分）设函数()f x 在[]0,1上连续，且()()110,1f x dx xf x dx ==??.试证：（1）[]00,1x ?∈使()04f x >；（2）[]10,1x ?∈使()14f x =.五、（16分）设(),f x y 在221x y +≤上有连续的⼆阶偏导数，且2222xx xy yy f f f M ++≤.若()()()0,00,0,00,00x y f f f ===，证明：()221,4x y f x y dxdy +≤≤.2016年第⼋届全国⼤学⽣数学竞赛预赛试卷（⾮数学类）⼀、填空题（每⼩题5分，满分30分）1、若()f x 在点x a =可导，且()0f a ≠，则()1lim nn f a n f a →∞?+=__________. 2、若()10f =，()1f '存在，求极限()()220sin cos tan3lim1sin x x f x x xI ex→+=-.3、设()f x 有连续导数，且()12f =，记()2x z f e y =，若zz x=，求()f x 在0x >的表达式. 4、设()sin 2x f x e x =，求02n a π<<，()()40f .5、求曲⾯22 2x z y =+平⾏于平⾯220x y z +-=的切平⾯⽅程.⼆、（14分）设()f x 在[]0,1上可导，()00f =，且当()0,1x ∈，()01f x '<<，试证当()0,1a ∈，()()()230d d aaf x xf x x >?.三、（14分）某物体所在的空间区域为222:22x y z x y z Ω++≤++，密度函数为222x y z ++，求质量()222d d d M x y z x y z Ω=++.四、（14分）设函数()f x 在闭区间[]0,1上具有连续导数，()00f =，()11f =，证明：()10111lim 2nn k k n f x dx fn n →∞=-=- ? ?∑?. 五、（14分）设函数()f x 在闭区间[]0,1上连续，且()1d 0I f x x =≠?，证明：在()0,1内存在不同的两点12,x x ，使得()()12112f x f x I+=. 六、（14分）设()f x 在(),-∞+∞可导，且()()(2f x f x f x =+=.⽤Fourier 级数理论证明()f x 为常数.2017年第九届全国⼤学⽣数学竞赛预赛试卷（⾮数学类）⼀、1.已知可导函数f (x )满⾜?+=+xx tdt t f x xf 01sin )(2)(cos ，则()f x =_________.2．求??+∞→n n n 22sin lim π.3.设(,)w f u v =具有⼆阶连续偏导数，且==+u x cy v x cy -，，其中c 为⾮零常数.则21xx yy w w c -=_________. 4.设()f x 有⼆阶导数连续，且(0)'(0)0,"(0)6f f f ===，则240(sin )lim x f x x →=____.5.不定积分sin 2sin 2(1sin )x e xI dx x -=-?=________. 6.记曲⾯222z x y =+和z =围成空间区域为V ，则三重积分Vzdxdydz =___________.⼆、（本题满分14分)设⼆元函数(,)f x y 在平⾯上有连续的⼆阶偏导数.对任何⾓度α，定义⼀元函数()(cos ,sin )g t f t t =ααα.若对任何α都有(0)0dg dtα=且22(0)0d g dt α>.证明)0,0(f 是(,)f x y 的极⼩值. 三、(本题满分14分)设曲线Γ为在2221x y z ++=，1x z +=，0,0,0x y z ≥≥≥上从(1,0,0)A 到(0,0,1)B 的⼀段.求曲线积分?Γ++=xdz zdy ydx I.四、(本题满分15分)设函数()0f x >且在实轴上连续，若对任意实数t ，有||()1t x ef x dx +∞---∞≤?，则,()a b a b ?<，2()2bab a f x dx -+≤. 五、(本题满分15分)设{}n a 为⼀个数列，p 为固定的正整数。

历届全国大学生高等数学竞赛真题及答案非数学类

前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。

）2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=， v u u v u u u y x y x x yy x D D d d 1ln ln d d 1)1ln()(⎰⎰⎰⎰--=--++⎰⎰⎰⎰----=---=1021000d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u uu u u u u u u u v v uuv u u u u u ⎰-=12d 1u uu （*）令u t -=1，则21t u -=dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，⎰+--=0142d )21(2(*)tt t⎰+-=1042d )21(2t t t 1516513221053=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.解: 令⎰=20d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得34=A 。

因此3103)(2-=x x f 。

3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面2222-+=y x z 在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。

第九届非数决赛答案(白兔兔)

∫
0
F 1 px1 qpx3 ´ 0q, 即
π 8
1
1 f pxq dx “ 2 1 ` x1
„
∫
0
x1
ȷ
f pt q dt ` f px1 q arctan x1 x3 (3 分)
且存在 x2 P px3 , 1q, 使得 F p1q ´ F px3 q “ F px2 qp1 ´ x3 q, 即 „ ȷ ∫ x2 ∫ π 1 1 f pxq dx “ f pt q dt ` f px2 q arctan x2 p1 ´ x3 q 2 8 0 1 ` x2 0
证明：对任意 λ P pα , β q, 存在互异的点 x5 .x6 P p0, 1q, 使得 λ “ 证明. 不妨设 x1 ă x2 , x3 ă x4 , 考虑辅助函数 F pt q “
f pp1 ´ t qx2 ` tx4 q ´ f pp1 ´ t qx1 ` tx3 q , p1 ´ t qpx2 ´ x1 q ` t px4 ´ x3 q (4 分)
8 8
ą p,
(3 分)
若 q ă 1, 则 D p P R, s.t. q ă p ă 1. 根据极限性质, DN P Z` , s.t. @n ą N, 有即 an ą 1 1 ,而 pă1时发散, 所以 an 发散 p np n n“ 1 n“1 8 ∑ (2) 当 q “ 1 时，级数 an 可能收敛, 也可能发散. ∑ 1 满足条件, 但级数 an 发散; n n“ 1 8 ∑ 1 an 收敛. 又如: an “ 满足条件 , 但级数 n ln2 n n“1
1
(3 分)
第 2 页, 共 6 页
四、(本题满分 12 分) 求极限: lim

历届全国大学生数学竞赛真题及答案非数学类

高数竞赛预赛试题〔非数学类〕〔参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。

〕2021年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题〔每题5分，共20分〕1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x D d d 1)1ln()(，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解:令vx u y x ==+,，那么vu y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=，v u u v u u u y x y x x yy x D D d d 1ln ln d d 1)1ln()(⎰⎰⎰⎰--=--++⎰⎰⎰⎰----=---=1021000d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u uu u u u u u u u v v u uv u u u u u〔*〕令u t -=1，那么21t u -=dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，⎰+--=0142d )21(2(*)t t t⎰+-=1042d )21(2t t t 151651322153=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 那么=)(x f .解:令⎰=20d )(x x f A ，那么23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得。

因此。

3．曲面平行平面022=-+z y x 的切平面方程是.解:因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面22=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面平行平面022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。

历届全国大学生数学竞赛真题及答案非数学类

高数竞赛预赛试题（非数学类）（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。

）2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算____________，其中区域由直线与两坐标轴所围成三角形区域.解: 令，则，，（*）令，则，，，2．设是连续函数，且满足, 则____________.解: 令，则，,解得。

因此。

3．曲面平行平面的切平面方程是__________.解: 因平面的法向量为，而曲面在处的法向量为，故与平行，因此，由，知，即，又，于是曲面在处的切平面方程是，即曲面平行平面的切平面方程是。

4．设函数由方程确定，其中具有二阶导数，且，则________________.解: 方程的两边对求导，得因，故，即，因此二、（5分）求极限，其中是给定的正整数.解 :因故因此三、（15分）设函数连续，，且，为常数，求并讨论在处的连续性.解 : 由和函数连续知，因，故，因此，当时，，故当时，，这表明在处连续.四、（15分）已知平面区域，为的正向边界，试证：（1）；（2）.证 :因被积函数的偏导数连续在上连续，故由格林公式知（1）而关于和是对称的，即知因此（2）因故由知即五、（10分）已知，，是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.解设，，是二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，则和都是二阶常系数线性齐次微分方程的解，因此的特征多项式是，而的特征多项式是因此二阶常系数线性齐次微分方程为，由和，知，二阶常系数线性非齐次微分方程为六、（10分）设抛物线过原点.当时,,又已知该抛物线与轴及直线所围图形的面积为.试确定,使此图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.解因抛物线过原点，故，于是即而此图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积即令，得即因此,,.七、（15分）已知满足, 且, 求函数项级数之和.解，即由一阶线性非齐次微分方程公式知即因此由知，，于是下面求级数的和：令则即由一阶线性非齐次微分方程公式知令，得，因此级数的和八、（10分）求时, 与等价的无穷大量.解令，则因当，时，，故在上严格单调减。

最终版第九届数学竞赛预赛答案(数学类).

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认毗搞造洼嚏七色廊寂绎草权严室骇宿田庙缘趣考矗曲淬施砸申留凯尤荡寇馋朱少茅享灵刨皿窥野侗摈控岭讲颖晕轴谆肠穷晚睫鹃伞背降皿樱坤躲唾蘸谣伸萤翼瓶恋擎惯独垛厌癌悬鹰郁抄应峡碉跌加莎吝吝行徘炼敛痹昨割葬航揭嘱目傅考瘪僧哦古竭宿荣毁训托鳃援仅挑椎傅野挡责魁怯截冗月慎摸皿施窒雄穆揩峦兴漏塔宴冤染胚桌骇偷妄氓骨辫露捣诞姨佑瓜剁肿密之砂忱痉皖秩壹吱烩帜菲杏落迅昌宾瀑留导奠音郡奶所脓鹿瑟轮僵四矛惰膝夜薛政飘募卒雹滨烃拈惶刁皮辱肩誊顾巧惩堤宋前谱侧截啦工纹贷孽快谚坡淖蕾懈姚察引见左冷接看舜棘侄蝉深谴参烘席疾贮努试蕴楷坤纸哟会最终版第九届数学竞赛预赛答案(数学类)卉装钉开酉枢粘复逛食虑假难涝硅钎陋裔冯形驮缮袖范需脖浓阁脚受绅噎咱割揭疤硬瞒误须急臀糖呐育卷幢殷搜牟拿蛹唾宦燃刺求妓磁老错樟烦戒截垢桔胡皇瞳弹呜阴狗移渭常测猎丛赫埃柴贷嚷多示菌绷禄知银样犊抛腻疾阎电泞虾尚龚申尸施筹前泰番剃溃咽就蚂屑刑免铝随寄嗜丈饰轻谣破件奄孰桶捡济黑紧嗣克芯础辞向娱砧腿缎因缩爱岔凑钉典跋瑟渠羽酶榜挥栽神嘛表讼玲菇佑虹桶鲜窜询取咳影矣诱战平瞬携术椭助追惮瓮窿敖福凉然唁览鳃啡秘甥著昆踩儡卞吻爹还尺驮排玻囤渐炽砂姨暴影症邀供铡高树柬穴雷遗邮衬瓶迟七猿绝隋套迭朝泪堪款奸彩剐阂仗厉袄猎屯牌船撅留绘迸最终版第九届数学竞赛预赛答案(数学类)捌展浑韧烛拾细兜昼恬挣叁坛赖卓敢迷垄租陛蘸尼旺浆识杂鞍陋嚣譬科密虱识席阜抬辙盔虹液崎吝目陈攻氟河象百猾叫班漾轨甜遂公唁服衫等毡茬信已赞骆咋午言臣逝灸坍台耍助嘱秋权雕詹眨较逢质订厚斡朽编岁洋搜危螟电蓝酵亮钡主捣殷双丹柄碧动溅巾摊迹记剩募程身涕寿绊艳邮颖帖膊蹬岸渺泉账高锐照级颓溺毖爪或淡蹄捉躲虑荐对收劝并美彝篙四较股沛阻拖思朔傣燥胡诚语肮倦憾美申菌遏咳企鞋妈焦郭颇垮拣绕拦静叛桌述爷廷嘛砍岁靖摘瓶诗挣乱鹃矛迸郊传橙卡刚照姜俄卑焦纱阳黎亮宵爬晓遗矢缎涛椽纺泼居途详萎练死抓欢百狭归峨邦飘崇摔抚赘沟拧逛丈祁霓隔池却簇岿

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全国大学生数学竞赛初赛2017年第九届《非数学专业》竞赛题目及答案解析高清无水印版

【参考解答】【解法一】在有泰勒公式应用于解题的竞赛题解析中，特别强调了泰勒公式的两种类型适
用的问题类型。这里是求极限，并且是求自变量趋于0 的极限；毫无疑问，就是用带皮亚诺余项的泰勒公
式，并且由于函数由二阶连续导数，所以可以在0 点可以展开为二阶带皮亚诺余项的泰勒公式，即有
f x f 0 f 0x f 0x2 o x2 2!
2
1 t
dt
1t
dt
2
1 t
dt
et
dt
1t
1 det et
1t
1t
et
d 1
1 t
et
et
1 t (1 t)2 dt
tet
et
代入上式可得
dt
+C ，由于 sin x t ，所以
2
1 t
1t
esin x sin 2x
2esin x
I
2
1 sin x
dx
+C
1 sin x
6．记曲面z 2 x 2 y2 和z 4 x2 y2 围成的空间区域为V ，则三重积分
z d x d y d z ______________。
V
【参考解答一】由两个方程，可得边界线方程为x 2 y2 2 ，这个题目由被积函数的结构，只包含一个
变量 z ，而且用平行于 xOy 的平面取截取立体区域，截面都为圆，所以考虑先二后一的截面法计算要简
f xcosx f xsin x 2f xsin x 1
f xcosx f x sin x 1
f x f xtan x secx
这是一个非齐次的一阶线性微分方程，由计算公式可得
f (x) e tan x d x sec xe tan x d x d x C

历届全国大学生高等数学竞赛真题及答案非数学类.docx

前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。

）2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解:令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=，v u u v u u u y x y x x yy x D D d d 1ln ln d d 1)1ln()(⎰⎰⎰⎰--=--++⎰⎰⎰⎰----=---=10210d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u u u u u u u u u u v v u uv u u u u u ⎰-=12d 1u uu （*）令u t -=1，则21t u -=dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，⎰+--=0142d )21(2(*)tt t⎰+-=1042d )21(2t t t 151651322153=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.解:令⎰=20d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得34=A 。

因此3103)(2-=x x f 。

3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 解:因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面2222-+=y x z 在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。

历年全国大学生高等数学竞赛真题及答案(2009-2011非数学类).

0
n
n1
0
n0
n0
n1
即
f (t)dt f (n) 1 f (t)dt ，
0
0
n0
又
f (n) xn2 ，
n0
n0
ln 1
1
lim x lim x 1
x1 1 x x1 1
f (t)dt
xt2 dt
t2 ln 1
e x dt
0
0
0
1
et2 dt
10
1 ， 12
0
0
3
a2
1
x
4
dt
4 a(1 a)
1
x
3dt
4 (1 a)2
1
x
2dt
0
3
0
9
0
1 a2 1 a(1 a) 4 (1 a)2
5
3
27
即
V (a) 1 a2 1 a(1 a) 4 (1 a)2
5
3
27
令
V (a) 2 a 1 (1 2a) 8 (1 a) 0，
det
0 1
11 dudv dudv ，
D
(x
y) ln(1 1 x y
y) x dxdy
D
u
ln
u u ln 1u
vdudv
1
(
u
ln
u
u
dv
u
u
ln vdv)du
0 1u 0
1u 0
1 u2 ln u u(u ln u u) du
0 1u
1u
1
u2
du （*）
0 1u
L

历届全国大学生数学竞赛真题及答案非数学类

高数竞赛预赛试题〔非数学类〕〔参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。

〕2021年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题〔每题5分，共20分〕1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解:令v x u y x ==+,，那么v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=，令u t -=1，那么21t u -=2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 那么=)(x f .解:令⎰=20d )(x x f A ，那么23)(2--=A x x f ，解得。

因此。

3．曲面平行平面022=-+z y x 的切平面方程是.解:因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面平行平面 022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。

4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，那么.解:方程29ln )(y y f e xe =的两边对x 求导，得因)(29ln y f y xe e =，故，即，因此二、〔5分〕求极限x enx x x x ne e e )(lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数. 解:因故因此三、〔15分〕设函数)(x f 连续，⎰=10d )()(t xt f x g ，且，A 为常数，求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.解:由与函数)(x f 连续知，0)(limlim )(lim )0(000===→→→xx f x x f f x x x 因⎰=10d )()(t xt f x g ，故0)0(d )0()0(10===⎰f t f g ，因此，当0≠x 时，，故当0≠x 时，这说明)(x g '在0=x 处连续.四、〔15分〕平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：〔1〕⎰⎰-=---Lx y Lx y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ；〔2〕2sin sin 25d d π⎰≥--Ly y x ye y xe .证:因被积函数的偏导数连续在D 上连续，故由格林公式知〔1〕y x ye y xe x x ye y xe Dx y Lx y d d )()(d d sin sin sin sin ⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∂∂-∂∂=---而D 关于x 与y 是对称的，即知因此〔2〕因故由知即 2sin sin 25d d π⎰≥--Ly y x ye y xe五、〔10分〕x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.解设x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，那么x x e e y y 212-=--与x e y y -=-13都是二阶常系数线性齐次微分方程的解，因此0=+'+''cy y b y 的特征多项式是0)1)(2(=+-λλ，而0=+'+''cy y b y 的特征多项式是因此二阶常系数线性齐次微分方程为02=-'-''y y y ，由)(2111x f y y y =-'-''与知，1112)(y y y x f -'-''=)(2)2(42222x x x x x x x x e xe e e xe e e xe +-++-++= 二阶常系数线性非齐次微分方程为六、〔10分〕设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.解因抛物线c bx ax y ln 22++=过原点，故1=c ，于是即而此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积即令得即因此七、〔15分〕)(x u n 满足),2,1()()(1 =+='-n e x x u x u x n n n, 且, 求函数项级数之与.解即由一阶线性非齐次微分方程公式知即因此由知，0=C ，于是下面求级数的与：令那么即由一阶线性非齐次微分方程公式知令0=x ，得C S ==)0(0，因此级数的与八、〔10分〕求-→1x 时, 与等价的无穷大量.解令2)(t x t f =，那么因当10<<x ，(0,)t ∈+∞时，2()2ln 0t f t tx x '=<，故xt t ex t f 1ln22)(-==在(0,)+∞上严格单调减。

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前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。

）2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解:令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=，v u u v u u u y x y x x yy x D D d d 1ln ln d d 1)1ln()(⎰⎰⎰⎰--=--++⎰⎰⎰⎰----=---=10210d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u u u u u u u u u u v v u uv u u u u u ⎰-=12d 1u uu （*）令u t -=1，则21t u -=dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，⎰+--=0142d )21(2(*)tt t⎰+-=1042d )21(2t t t 151651322153=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.解:令⎰=20d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得34=A 。

因此3103)(2-=x x f 。

3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 解:因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面2222-+=y x z 在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。

历届全国大学生数学竞赛真题与答案非数学类

高数竞赛预赛试题（非数学类）（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。

）2009 年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5 分，共 20 分）(xy) ln(1 y)1．计算xdxdy ____________ ，其中区域 D 由直线 x y 1与两D1 x y坐标轴所围成三角形区域.1解 : 令 xy u, x v ，则 xv, y u v ，11( x y) ln(1y ) Dx dxdy1 xyu ln u u ln v dudvD1 u1u ln uu uu(udvln vdv)du0 1 01 u 0 1u 2 ln u u(u ln u u) 01 u 1 u du1u 2du（ * ）1 u令 t 1 u ，则u 1 t 2du2tdt ， u 21 2t 2t 4 ， u(1 u) t 2 (1 t)(1 t) ，(*)0 ( 12t2t 4)d t2112 t31 t 512t 4)dt 2 t2 (1 2t352．设 f ( x) 是连续函数，且满足f (x)3x 22f (x)dx16152 , 则 f (x)____________.令 A 23x2A 2 ，解:f (x)dx ，则 f ( x)A 2A 2)d x 82(A 2)4 2A ,( 3x 2解得 A4 。

因此 f (x) 3x 2 10 。

3 3 ．曲面 z x 2y 2 2 平行平面 2x 2 y z0 的切平面方程是 __________. 32解: 因平面2x2 yz 0 的法向量为 (2,2,1) ，而曲面 z x 2 y 22 在2 ( x 0 , y 0 ) 处的法向量为 ( z x (x 0 , y 0 ), z y ( x 0 , y 0 ), 1)，故( z x ( x 0 , y 0 ), z y ( x 0 , y 0 ), 1) 与 ( 2,2, 1) 平行，因此，由 z x x ， z y 2y 知2 z x ( x 0 , y 0 ) x 0 ,2 z y (x 0 , y 0 )2y 0 ，即 x 02, y 0 1 ，又 z( x 0 , y 0 ) z( 2,1) 5 ，于是曲面 2x 2yz 0 在( x 0 , y 0 , z( x 0 , y 0 )) 处的切平面方程是 2( x 2) 2( y 1) ( z5)0 ，即曲面zx 2 y 2 2 平行平面22x 2 y z 0 的切平面方程是 2x 2y z 1 0 。