高等代数习题
高等代数竞赛练习题
高等代数竞赛练习题一. 多项式. 计算题：1. 设,12)(234++++=x x x x x f ,122)(23+++=x x x x g 求))(),((x g x f . 答案：辗转相除法求.1))(),((2++=x x x g x f2. 设u x tx x x f +++=23)(及1)1()(23+++=x t x x g 的最大公因式是一个二次多项式,求u t ,. 3. 设)(x f 与)(x g 是有理系数多项式且1))(),((=x g x f ,令)()1()()1()(233x g x x x x f x x -+-+-=ϕ,)()()()1()(22x g x x x f x x -+-=ψ,求))(),((x x ψϕ.4. 设)(),(21x f x f 是首项系数为1的次数3≤的互异多项式,设)()(|13243124x f x x f x x +++,求)(),(21x f x f 的最大公因式.证明题：5. 设一元多项式)(),(),(x h x g x f ,其中1))(),((=x h x f ,且)(x f 与)(x g 被)(x h 除所得余式相等,6. 设数域F 上的多项式)(),(),(x h x g x f ,证明存在:][)(x P x p ∈使得)(|)(x p x f ,且))()((|)(x h x p x g +当且仅当h g f |),(.7. 设][)(),(),(x x h x g x f R ∈,且满足以下等式:0)()2()()1()()1(2=-+-++x g x x f x x h x ,0)()2()()1()()1(2=+++++x g x x f x x h x ,证明: )(|1),(|122x g x x f x ++.8. 证明: 任给非负整数n ,都有))1((|11222++++++n n x xx x .9. 设][)(1110x a x a x a x a x f n n n n Z ∈++++=-- ,证明:若0,a a n 为奇数,且)1(f 及)1(-f 中至少有一个为奇数,则)(x f 无有理根.10. 设)(),(),(x h x g x f 是实系数多项式,满足222xh xg f+=,证明:0===h g f .11. 设p 是素数,a 是整数,1)(++=px ax x f p,且)1(|2+a p ,证明)(x f 没有有理根.12. 证明:如果n 次多项式()f x 满足()()',f x f x 则()f x 有n 重根.13. 设A 是复数域C 上的一个n 阶方阵,()x f 是复数域C 上的一个次数大于0的多项式,()x g 是矩阵A 的最小多项式.试证明:⑴．若()()()()x g x f x d ,=,则秩=)(A d 秩)(A f . ⑵．)(A f 可逆当且仅当()x f 与()x g 互素.二. 行列式. 计算题:1. 计算n 阶行列式x y y y y zx y y y z z x y y z z z x y zzzzx.2. 计算n阶行列式2cos100012cos 100012cos 012cos n D αααα=,其中k απ≠.3. 计算n 阶行列式nn n n nn y x y x y x y x y x y x y x y x y x D ++++++++++++=1112122212121114. 计算n 阶行列式nD 222232222222221=5. 设0132110432340122310112210a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a D n n n n n n n n n n n ----------=,称为循环行列式,求其行列式.6. 若3≥n ,求行列式nn n n n n n αααααααααααααααααααααααααααα2sin )sin()sin()sin()sin(2sin )sin()sin()sin()sin(2sin )sin()sin()sin()sin(2sin 321332313232212131211++++++++++++.证明题:7. ∑=+=+++++++++=n j i ij nn n n n n A x A xa x a x a xa x a x a xa x a x a D 1,212221211211 .8. 证明当βα≠时,,1000001000100011βαβαβααββαβααββααββα--=+++++=++n n n D9. 设nij a D =,ij A 为ij a 的代数余子式,证明∑=-=nj i j i ij nn nn n n nn x x A D y y y x a a a x a a a x a a a 1,21212222211112111.10. 若n 阶方阵A 与B 只是第j 列不同,证明:B A B A n+=+-12.三. 矩阵与线性方程组. 计算题1. 问b a ,取何值时方程组1231231234324ax x x x bx x x bx x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有解？有解时求解.2. 若1102510101113010002X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭,求X . 3. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=111111111A ,矩阵B 满足*12A B A B -=+,求矩阵B . 4. 设)4,,4(),2,1,(),1,,1(),1,1,1(2321-==-=-=t t t βααα,若β可由321,,ααα线性表出且表示法不唯一,求t 及β的表示法.5. 若n 阶方阵A 的各行元素之和均为零,且1)(-=n A r ,求线性方程组0=AX 的通解.6. 设A 的伴随阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=8030010100100001*A ,且E XA AXA 311+=--.求X 7, (1) 设n 阶方阵A ,且A A =2,证明:A E 2-可逆. (2) 设n 阶方阵A ,且3)(2A E A A =-,证明A E -可逆.(3) 设n 阶方阵B A ,满足AB B A =+,证明A E -可逆,且BA AB =. 8. 设B A ,为数域F 上的两个n 阶方阵,k 是一个正整数,若0,01=≠+k kBB ,A 可逆,且BA AB =,证明:B A -可逆,并求1)(--B A .证明题9. 设A 是一实矩阵,证明:1) 齐次线性方程组0=AX 与0=AX A T同解. 2) )()(A A r A r T=,3) 方程组B A AX A TT =有解.其中B 是一个s 维列向量.10. 设A 是一n 阶方阵,*A 为A 的伴随矩阵且011≠A ,证明: 0=AX 有无穷多个解当且仅当0*=X A 有非零解.11. 设A 是数域P 上的一个n m ⨯矩阵,记),,,(21n A ααα =,设β是一个列向量,记),,,,(21βαααn A =为方程组β=AX 的增广矩阵,令),,,(21βααn A =,已知方程组β=AX 有解,证明:方程组β=AX 的任一解的第一个分量为零当且仅当)()(1A r A r <.12. 设向量组m ααα,,,21 线性无关,而向量组m αααβ,,,,21 线性相关,且0≠β,证明:向量组m αααβ,,,,21 中有且仅有一个向量)1(m j j ≤≤α可由其前面的向量121,,,,-j αααβ 线性表出.13. 设n m ⨯矩阵A ,β=AX 是非齐次线性方程组,有解0γ,s ηηη,,,21 是导出组0=AX 的一个基础解系,证明: (1) s ηγηγηγγ+++020100,,,, 是β=AX 的线性无关的解.(2) β=AX 的任一解可表示为s ηγηγηγγ+++020100,,,, 的一个线性组合. 14. (1) 设A 是n 阶方阵,满足A A =2,则存在可逆矩阵P ,使得⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-0001rE AP P . 设A 是n 阶方阵,满足E A =2,则存在可逆矩阵P ,使得⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=--r n rE E AP P 001. 设A 是n 阶方阵,满足02=A ,则存在可逆矩阵P ,使得⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-000001rE AP P . 15. 设B A ,都是n 阶方阵,A A =2,BA AB B B ==,2,证明存在可逆阵G ,使得BG G AG G 11,--同时为对角阵.16. 设A 是一个n 阶可逆矩阵,证明:存在对角元为1的下三角阵L 和上三角阵T ,使得LT A =当且仅当A 的各阶顺序主子式均非零,且上述分解唯一.17. 设F 是一个数域, nm F ∈ααα,,,21 ,s r m =),,,(21ααα ,且m ααα,,,21 中任意s 个向量均线性无关,证明: 1) 若02211=+++m m k k k ααα ,则或者021====m k k k 或者至少存在1+s 个系数全不为零.2) 若m s <,则m ααα,,,21 中任一向量均可由其余向量线性表出.四.二次型部分. 计算题:1. t 取何值时,二次型323121232221321222)(),,(x x x x x x x x x t x x x f -++++=正定. 2. 化二次型23323121321262),,(x x x x x x x x x x f ++-=为标准形3. 用正交线性替换化二次型323121232221844552x x x x x x x x x f --+++=为标准形.4. 设实对称阵,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=510810228211A ,(1) 求A 的特征根及相应的线性无关的特征向量. (2) 求正交阵Q ,使得AQ Q T是对角阵. 5. 设A 是n 阶可逆实矩阵,求⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00T A A B 的正负惯性指数. 6. 用正交线性替换化实二次型323121232221321222),,(x x x x x bx x ax x x x x f +++++=为标准形.证明题:7. 假设AX X f T =是一个实二次型,若有n 维实向量21,X X 使得0,02211<>AX X AX X TT ,证明:存在n 维实向量0X ,使得000=AX X T.8. 下列关于n 阶实对称阵A 的命题等价. (1) A 是正定阵.(2) 存在主对角线元素全等于1的上三角矩阵B ,使得DB B A T=,其中D 是正定对角阵. (3) 存在主对角线元素全为正的上三角阵C ,使得C C A T=.9. 设AX X X f T=)(是实二次型,若A 的前1-n 个顺序主子式11,,-n P P 非零,求证:经过可逆线性变换f 可化为下标准形212212211n n n y P P y P P y P f -+++= ,其中A P n =. 10. (1) 设A 是n 阶半正定阵,求证:对于任意的自然数1>k ,必存在同阶半正定阵B ,使kB A =. (2) 设A 是n 阶正定阵,求证:对于任意的自然数1>k ,必存在同阶正定阵B ,使kB A =. 11. . (1) 设A 是n 阶正定阵,B 是n 阶实对称阵,则存在可逆阵P ,使得E AP P T=,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n T BP P λλλ21,其中i λ是B A 1-的特征值.(2) 设B A ,是n 阶实对称阵,则存在正交阵Q ,使得BQ Q AQ Q TT ,是对角阵⇔BA AB =.五. 线性空间和线性变换部分 计算题:1. 设B A ,均为n 阶方阵s B r r A r ==)(,)(,k B A r =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛,设满足0=AX 与0=BX 的n 阶方阵X 组成的解空间分别为21,V V ,求21V V +的维数.2. 已知232212,1,1x x f x f x f +=+=-=是3][x F 的一组基,线性变换σ满足232211,,2x x f x f x f ++==+=σσσ.(1) 求基2,,1x x 到321,,f f f 基的过渡矩阵. (2) 求σ在321,,f f f 基下的矩阵. (3) 求2321x x f ++=在σ下的像.3. 设n 维线性空间V ,线性变换σ,n ααα,,,21 线性无关,i i βσα=,n i ,,2,1 =,设矩阵A 与B 的列向量分别是向量n ααα,,,21 与n n βββββ++-1211,,, 在V 的基n εεε,,,21 下的坐标,求σ在基n εεε,,,21 下的矩阵.4. 已知线性空间3R 的线性变换σ为TTb ac b a ),,0(),,(=σ,其中nTc b a R ∈),,(,(1) 选取3R 的一组基,求σ在基下的矩阵.(2) 求)ker(),(3σσR 及)ker()(3σσ R 的各一组基.5. 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=5334111y xA ,已知A 有3个线性无关的特征向量,2=λ是A 的二重特征值,求可逆矩阵P ,使得AP P 1-为对角阵.6. 设矩阵A 是n 阶可对角化矩阵,特征值为n λλλ,,,21 ,求矩阵的⎪⎪⎭⎫⎝⎛A A A A22的特征值. 7. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0110A ,AX X :σ是2R 的一个线性变换,求σ的不变子空间. 8. 设σ是n 维线性空间V 的一个线性变换,取V ∈α,设W 是含α的V 最小σ不变子空间,求W 的维数与一组基.证明题:9. 设nn F⨯是n 阶矩阵组成的线性空间,设},,0|{1nF X AX X V ∈==},,|{n s F X X AX X V ∈==证明21V V F n ⊕=当且仅当A A =2.10. 设nn FA ⨯∈,][)(),(x F x g x f ∈,且1))(),((=x g x f ,令21,,W W W 分别为齐次线性方程组0)()(=X A g A f ,0)(=X A f 与0)(=X B f 的解空间,证明21W W W ⊕=.11. 设)(x f 是数域F 上的一个二次多项式,有互异特征值F ∈21,λλ,V 是F 上的二维线性空间,σ是V 的一个线性变换,满足2,1,=≠i id i λσ,但0)(=σf ,证明: (1)21,λλ是σ的特征值, (2) 21λλV V V ⊕=. 12. 设n 维线性空间V 中的线性变换σ满足等式22E σσ+=,1{2}V Vασαα=∈=-,2{}V V ασαα=∈=,证明:12V V V =⊕.13. 设数域F 上n 阶矩阵A 的特征值n λλλ,,,21 全在F 中,则存在可逆矩阵P ,使得AP P 1-是上三角阵, 14. 设σ是2R 的一个线性变换,在标准基下的矩阵是⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2211A (1) 证明σ的不变子空间只能为2R 与}0{,(2) 若τ是2C 的一个线性变换,在标准基下的矩阵是A ,证明τ有一维不变子空间. 15. 令σ是数域P 上线性空间V 的一个线性变换,且满足σσ=2,证明: (1) ()()10{|}V σζσζζ-=-∈. (2) ())(01V V σσ⊕=-.首届中国大学生数学竞赛赛区竞赛试卷-高等题目. 1 设nn ⨯C是n n ⨯复矩阵全体在通常的运算下所构成的复数域C 上的线性空间,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=--121100020001000a a a a F n n n .(1) 假设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A212222111211,若AF FA =,证明:E a F a F a F a A n n n n 112121111++++=--- . (2) 求nn ⨯C的子空间}|{)(XF FX X F C nn =∈=⨯C的维数.证明: 设A 的列向量组为),,,(21n A ααα =,E a F a Fa F a M n n n n 112121111++++=--- ,证明A 与M 的各列对应相等.设n e e e ,,,21 为n 维单位列向量.证明:)(i i i Ae Me α==.记Tn n a a a ),,(11,---=- β则),,,,(32βn e e e F =,而且n n n e Fe e F e Fe e F e Fe =====--111321221,, . (*)则11121211111)(e E a F a Fa F a Me n n n n ++++=--- 1111122111111111211211111Ae e a e a e a e a Ee a Fe a e F a e F a n n n n n n n n ==++++=++++=-----α .211112Ae AFe FAe FMe MFe Me =====.3121212123Ae e AF Ae F Me F e MF Me =====.如此下去,就有A M =.(2) 由(1), },,,,{)(12-=n F F F E span F C ,设0112210=++++--n n F x F x F x E x ,两边同乘1e ,利用(*)得:11122101)(00e F x F x F x E x e n n --++++== 1111221110e F x e F x Fe x e x n n --++++=n n e x e x e x e x 1322110-++++=由于n e e e ,,,21 线性无关,则01210=====-n x x x x ,故12,,,,-n F F F E 线性无关,为)(F C 的基,从而n F C =)(dim .2. 假设V 是复数域C 上n 维数线性空间)0(>n ,g f ,是V 上的线性变换,若f gf fg =-,证明:f 的特征都是0,且g f ,有公共特征向量.证明: 假设0λ是f 的特征值,W 是相应的特征子空间,即})(|{0ηληη=∈=f V W ,于是W 在f 下是不变的.先证明: 00=λ,任取非零向量W ∈η,记m 为使得)(,),(),(,2ηηηηm g g g 线性相关的最小的正整数,则当10-≤≤m i 时, )(,),(),(,2ηηηηi g g g 线性无关, 10-≤≤m i 令)}(,),(),(,{2ηηηηi i g g g span W =,其中}0{0=W ,因此)1(dim m i i W i ≤≤=,并且 ===++21m m m W W W ,显然1)(+⊆i i W W g ,特别的, m W 在g 下是不变的.再证明: m W 在f 下是不变的.事实上由ηλη0)(=f ,知道ηληληηη00)()()()(+=+=g f gf fg . ηληληληληληληληηη002000002)(2)())(())(()()()(++=+++=+=g g g g g fg gfg fg)())(()()()(1111ηηηηη----+=+=k k k k k fg fg g fg gfg fg ,用归纳法可以证明)(ηk fg 可表示为)(,),(),(,2ηηηηk g g g 的线性组合,且)(ηk g 前的系数为0λ.m W 在f 下是不变的.mW f |在基)(,),(),(,12ηηηη-m g g g 下的矩阵是个上三角阵,且对角线元素都是0λ.故mW f |的迹为0λm . f gf fg =-在m W 上仍成立,而gf fg -的迹为零,故00=λm ,从而00=λ.任取W ∈η,由于0)(=ηf ,则0)()()(=+=ηηηf gf fg 故W g ∈η,因此W 在g 下是不变的.从而W 中存在g 的特征向量,这也是g f ,的公共特征向量.。
高等代数习题答案
《高等代数》习题答案一、1、存在多项式()()()()()()1,=+x v x g x u x f x v x u 使得与2、()()x f x f '和互质3、()()的重因式为x f x p4、05、1，-26、()k n n --121 7、3 8、- 48 9、相 10、相11、1或2（有非零解） 12、()()A r A r = 13、无 14、12 15、9816、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0001 17、E 18、()2222121,,r n Z Z Z x x x f ++= 19、()22122121,,r p p n Z Z Z Z x x x f --++=+ 20、大于零21、α为非零向量，α不能由β线性表出 22、无 23、关于V 的加法和数乘封闭 24、对于 V 中任意向量α、β和数域P 中任意数K 都有()()()βαβαA A A +=+和()()ααkA k A = 25、相似 26、线性无关的27、线性变量A 在数域P 中有个互异的特征的值 28、1 29、T A ，1 30、线性无关的 31、正交矩阵二、1、1）()()7422+--x x x 有理根22）()()333122+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x x 有理根31,2-2、()()()n mx x n mx x n mx x x ---++=++-2342211=b ax x x x +++-23463 由7,37,3-==⇒=-=b a n m3、1）0211211211=+++→cba2)31131031605510019182402113------→9532001235250019182402113-----→409201235250019182402113=-----→3)1103100321011111033100321011111993952032101111=→→→4)()()()xaan x a x an x a a an x111-+-+-+→()[]a n x 1-+=xaa x a a111→()[]a n x 1-+ax a x a a --001=()[]()11---+n a x a n x5)n n y x +6)nna a a a a1001010011110---→nn a a a a a a 211011⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=4、1）系数矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---11178424633542 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→572527003542 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→000570005442通解为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-===-=24231221157522t x t x t x t t x 则基础解系[]⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==57,1,0,520,0,1,221x x2)系数矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----7931181332111511⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----→0000004720123018144472047201511通解为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=--=241321221122723t x t x t t x t t x 则基础解系为[]⎪⎩⎪⎨⎧--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1,0,2,10,1,27,2321x x5、1）扩展矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----112131111202121⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→00000151505205301151501515002121通解为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+===+=21423122151515352t t x t x t x t x 令21,t t 为0，则特解⎥⎦⎤⎢⎣⎡=51,0,0,520x通解⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=511053101051005221t t x , 21,t t 为任意常数2）扩展矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---787695754636323⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------→0000015100090232102001510036323通解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==+=24231221151332t x t x t x t t x 令21,t t 为0，则特解[]0,1,0,00=x通解⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=150300132010021t t x , 21,t t 为任意常数6、扩展矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------11111111112111111111⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------→00220020201220011111⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------→022********220011111⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→02200020*******11111 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=--=-=+++022022141434244321x x x x x x x x x ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=-===⇒414141454321x x x x则432141414145ααααβ--+=5、因四元非齐次线性方程组的系数矩阵秩为3， 则通解形式为110x t x x +=则通解为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=432154321t x ， 1t 为任意常数6、()()A A x A x A 122--=⇒=-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-1111221124100111032100111011x ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡411010103⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-----=3222352257、1）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-1012010411001210⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→1012001210010411⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→1283001210010411⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→2112311240101120011232001210011201则逆矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----21123124112 2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--1243012210011101101201221000111110111010012001111 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→3132341032313201031313100112430323132010313131001，则逆矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----3132343231323131318、原式=()1123---AA A 3421322123111=⎪⎭⎫⎝⎛⋅=⋅-=--A9、⎥⎦⎤⎢⎣⎡22211211X X X X ⎥⎦⎤⎢⎣⎡00CA ⎥⎦⎤⎢⎣⎡==A X CX A X CX E 21221112⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====⇒--112121221100C A AX X X 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡=---00111ACX10、1）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----524212425，,011225,05>=>01524212425>=---- 正定 2）064320222210,02422210,010,3020222210<-=-<-=->⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡- 不正定11、0545212111,0111,01,521211122>--=-->-=>⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--t t t tt t t t t则054<<-t12、1）031610213510610213112311213≠-=---→---→----03321021112210211131021211≠=-→--→，故为3P 的两组基 2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----173510101610211213131112021311211213⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→0721010161031280313、⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----00000110201000003306031155033033311341335512333则基为[][]3,3,1,34,5,2,3---与, 维数为214、1)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-001010100,0010101001M M=-AM M 1⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡131211232221333231a a a a a a a a a ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001010100⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111213212223313233a a a a a a a a a2) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-10010001,11000011k M k M=-AM M 1⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡333231232221131211111a a a a k a k a k a a a ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10010001k ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=33323123222113121111a ka a a k a a k a ka a3)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-100011001,100110011M M=-AM M 1⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+-+-333231231322122111131211a a a a a a a a a a a a ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10011001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++-+-++--+=33323231231322122221121113121211a a a a a a a a a a a a a a a a15、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10010001 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=111101011B ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-121011101则=B 110010001-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--111101011⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-121011101⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=21122011016、1）()()215122212221+-=---------=-λλλλλλA E 特征值1,521-==λλ（二重）51=λ代入()01=-X A E λ得基础解系[],1,1,11=X 特征向量为321εεε++12-=λ代入()02=-X A E λ得基础解系[][]1,1,0,1,0,132-=-=X X特征向量为3231εεεε--和由3dim dim dim 21P w w =+λλ知可对角化。
高等代数考试题和答案
高等代数考试题和答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 向量空间中，线性无关的定义是（）。
A. 向量空间中的任意向量不能表示为其他向量的线性组合B. 向量空间中的任意向量可以表示为其他向量的线性组合C. 向量空间中的所有向量可以表示为其他向量的线性组合D. 向量空间中的部分向量可以表示为其他向量的线性组合答案：A2. 矩阵A的行列式为0，则矩阵A（）。
A. 可逆B. 不可逆C. 可逆或不可逆D. 不能确定答案：B3. 对于实数域上的多项式f(x)，其根的个数（）。
A. 等于其次数B. 小于其次数C. 大于其次数D. 不确定答案：D4. 线性变换T:V→W，若对于V中的任意向量v，都有T(v)=0，则称T为（）。
A. 可逆变换B. 非奇异变换C. 零变换D. 恒等变换答案：C5. 矩阵A与矩阵B相似，则（）。
A. A和B具有相同的秩B. A和B具有相同的行列式C. A和B具有相同的特征值D. A和B具有相同的迹答案：C6. 向量组α1, α2, ..., αs在向量空间V中张成V，则称向量组（）。
A. 线性相关B. 线性无关C. 基D. 零向量组答案：C7. 矩阵A的转置记作（）。
A. A'B. A^TC. A^HD. A*答案：B8. 矩阵A的特征多项式为f(λ)=det(A-λI)，则f(λ)的根称为矩阵A的（）。
A. 特征值B. 特征向量C. 特征多项式D. 特征函数答案：A9. 向量空间V的维数等于V的任意一组基的向量个数，这称为（）。
A. 基定理B. 维数定理C. 线性空间定理D. 向量空间定理答案：B10. 矩阵A和B可以进行矩阵乘法，则（）。
A. A的列数等于B的行数B. A的行数等于B的列数C. A的行数等于B的行数D. A的列数等于B的列数答案：A二、填空题（每题4分，共20分）11. 矩阵A的秩是指矩阵A中线性无关的行（或列）向量的最大个数，记作rank(A)。
12. 矩阵A和B的乘积记作AB，其中A的列数必须等于B的行数。
高等代数习题
多项式习题1．在[]F x 里能整除任意多项式的多项式是（ B ）。
A ．零多项式B ．零次多项式C ．本原多项式D ．不可约多项式2．整系数多项式()f x 在Z 上不可约是()f x 在Q 上不可约的( C ) 条件。
A . 充分 B . 充分必要 C .必要 D ．既不充分也不必要3．下列对于多项式的结论不正确的是（ A ）。
A .如果)()(,)()(x f x g x g x f ，那么)()(x g x f =B .如果)()(,)()(x h x f x g x f ，那么))()(()(x h x g x f ±C .如果)()(x g x f ，那么][)(x F x h ∈∀，有)()()(x h x g x fD .如果)()(,)()(x h x g x g x f ，那么)()(x h x f4．最小的数域是 有理数域 。
5．设(),()[]f x g x F x ∈，若,))((,0))((m x g x f =∂=∂，则=⋅∂))()((x g x f m 。
6.求用2x -除43()25f x x x x =+-+的商式为 x 3+4x 2+8x +15 ，余式为 35 。
7．用()34g x x =+除()f x 所得的余式是函数值)34(-f 。
8. 设()()g x f x ，则()f x 与()g x 的最大公因式为()g x 。
9.设)(x f 为3次实系数多项式，则 ( B )A. )(x f 至少有一个有理根B. )(x f 至少有一个实根C. )(x f 存在一对非实共轭复根D. )(x f 有三个实根.10. 多项式()f x 、()g x 互素的充要条件是存在多项式()u x 、()v x 使得 。
11．多项式32()22f x x x x =+--的有理根是 -1 。
12. 设()p x 是多项式()f x 的一个(1)k k ≥重因式，那么()p x 是()f x 的导数的一个k -1重因式。
高等代数习题答案
高等代数习题答案高等代数习题答案高等代数是大学数学中一门重要的课程，它涉及到线性代数、矩阵论、群论、环论等多个分支。
对于学习者来说，解答高等代数习题是提高自己理论和实践能力的重要途径。
本文将为大家提供一些高等代数习题的答案，帮助大家更好地掌握这门课程。
1. 线性代数1.1 解答题1.1.1 设A为n阶方阵，若A的特征值都是实数，则A是否一定是实对称矩阵？答案：不一定。
特征值是实数并不意味着矩阵一定是实对称矩阵。
例如，对于下面的矩阵：A = [1 2; -2 1]它的特征值为1和-1，都是实数，但它并不是实对称矩阵。
1.1.2 设A为n阶方阵，若A的特征值都是正实数，则A是否一定是正定矩阵？答案：不一定。
特征值都是正实数并不意味着矩阵一定是正定矩阵。
例如，对于下面的矩阵：A = [1 0; 0 -1]它的特征值为1和-1，都是正实数，但它并不是正定矩阵。
1.2 计算题1.2.1 计算矩阵A = [1 2; 3 4]的特征值和特征向量。
答案：首先，计算A的特征多项式：|A - λI| = |1-λ 2; 3 4-λ| = (1-λ)(4-λ) - 6 = λ^2 - 5λ - 2解这个方程得到特征值λ1 ≈ 5.79和λ2 ≈ -0.79。
然后，代入特征值计算特征向量：对于λ1 ≈ 5.79，解方程组(A-λ1I)x = 0，得到特征向量x1 ≈ [0.82; -0.57]对于λ2 ≈ -0.79，解方程组(A-λ2I)x = 0，得到特征向量x2 ≈ [0.57; -0.82]2. 矩阵论2.1 解答题2.1.1 什么是矩阵的秩？答案：矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行或列的最大个数。
它表示矩阵的行（或列）空间的维数。
2.1.2 若A和B都是m×n的矩阵，且满足AB=0，是否可以得出A=0或B=0？答案：不一定。
若A和B都是m×n的矩阵，且满足AB=0，不能直接得出A=0或B=0。
(完整版)高等代数习题集
《高等代数》试题库一、 选择题1．在[]F x 里能整除任意多项式的多项式是（ ）。
A ．零多项式B ．零次多项式C ．本原多项式D ．不可约多项式2．设()1g x x =+是6242()44f x x k x kx x =-++-的一个因式，则=k （ ）。
A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．以下命题不正确的是 （ ）。
A . 若()|(),()|()f x g x f x g x 则；B .集合{|,}F a bi a b Q =+∈是数域；C .若((),'())1,()f x f x f x =则没有重因式；D ．设()'()1p x f x k -是的重因式，则()()p x f x k 是的重因式4．整系数多项式()f x 在Z 不可约是()f x 在Q 上不可约的( ) 条件。
A . 充分B . 充分必要C .必要D ．既不充分也不必要5．下列对于多项式的结论不正确的是（ ）。
A .如果)()(,)()(x f x g x g x f ，那么)()(x g x f =B .如果)()(,)()(x h x f x g x f ，那么))()(()(x h x g x f ±C .如果)()(x g x f ，那么][)(x F x h ∈∀，有)()()(x h x g x fD .如果)()(,)()(x h x g x g x f ，那么)()(x h x f6． 对于“命题甲：将(1)n >级行列式D 的主对角线上元素反号, 则行列式变为D -；命题乙：对换行列式中两行的位置, 则行列式反号”有( ) 。
A .甲成立, 乙不成立；B . 甲不成立, 乙成立；C .甲, 乙均成立；D ．甲, 乙均不成立7．下面论述中, 错误的是( ) 。
A . 奇数次实系数多项式必有实根；B . 代数基本定理适用于复数域；C ．任一数域包含Q ；D ． 在[]P x 中, ()()()()()()f x g x f x h x g x h x =⇒=8．设ij D a =，ij A 为ij a 的代数余子式, 则112111222212.....................n n n n nn A A A A A A A A A =( ) 。
高等代数试题及参考答案
高等代数试题及参考答案The document was prepared on January 2, 2021高等代数（一）考试试卷一、单选题（每一小题备选答案中，只有一个答案是正确的，请把你认为正确答案的题号填入答题纸内相应的表格中。
错选、多选、不选均不给分，6小题，每小题4分，共24分）1. 以下乘积中（ ）是4阶行列式ij D a =展开式中取负号的项. A 、11223344a a a a . B 、14233142a a a a . C 、12233144a a a a . D 、23413214a a a a .2．行列式13402324a --中元素a 的代数余子式是（ ）.A 、0324-. B 、0324--. C 、1403-. D 、1403. 3．设,A B 都是n 阶矩阵，若AB O =，则正确的是（ ）. A 、()()r A r B n +≤. B 、0A =. C 、A O =或B O =. D 、0A ≠. 4．下列向量组中，线性无关的是（ ）. A 、{}0. B 、{},,αβ0. C 、{}12,,,r ααα，其中12m αα=. D 、{}12,,,r ααα，其中任一向量都不能表示成其余向量的线性组合.5．设A 是n 阶矩阵且()r A r n =<，则A 中（ ）. A 、必有r 个行向量线性无关. B 、任意r 个行向量线性无关.C 、任意r 个行向量构成一个极大线性无关组.D 、任意一个行向量都能被其它r 个行向量线性表出.6．n 阶矩阵A 具有n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的（ ）条件. A 、充要. B 、充分非必要. C 、必要非充分. D 、非充分非必要. 二、判断题（正确的打√，错误的打×，5小题，每小题2分，共10分）. 1．若A 为n 阶矩阵，k 为非零常数，则kA k A =. （ ） 2．若两个向量组等价，则它们包含的向量个数相同. （ ） 3．对任一排列施行偶数次对换后，排列的奇偶性不变. （ ） 4．正交矩阵的逆矩阵仍是正交矩阵. （ ） 5．任何数域都包含有理数域. （ ）三、填空题（每空4分，共24分）.1．行列式000100201000D n n==- . 2．已知5(1,0,1)3(1,0,2)(1,3,1),(4,2,1)αβ---=--=-，则α= ，(,)αβ= .3．矩阵12311211022584311112A ---⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥---⎢⎥--⎣⎦，则()r A = . 4．设线性方程组11112211211222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩有解，其系数矩阵A 与增广矩阵A 的秩分别为s 和t ，则s 与t 的大小关系是 .5．设111123111,124111051A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，则1A B -= . 四、计算题（4小题，共42分）1．计算行列式（1）111111111111a a a a；（2）111116541362516121612564.（每小题6分，共12分）2．用基础解系表出线性方程组123451234512345123452321236222223517105x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++-+=⎧⎪+++-=⎪⎨+++-=⎪⎪+--+=⎩的全部解.（10分）3．求与向量组123(1,1,1,1),(1,1,0,4),(3,5,1,1)ααα==-=-等价的正交单位向量组.（10分）4．求矩阵211020413A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的特征根和特征向量.（10分）一、单选题（每题4分，共24分）二、判断题（每题2分，共10分）三、填空题（每空4分，共24分）1．(1)2(1)!n n n --⋅； 2．（1 （2）0；3．3； 4．s t =；5.351222312212112-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 四、计算题（共42分）1．（12分，每小题各6分） (1)解：11131111111111311111(3)111311111111311111a a a a a a a a a a a aa a a++==+++ ..............（3分）311110100(3)(3)(1)001001a a a a a a -=+=+--- ...................（3分）注：中间步骤形式多样，可酌情加分 (2)解：222233331111111116541654136251616541216125641654=，此行列式为范德蒙行列式 ......（3分）进而2222333311111654=(61)(51)(41)(56)(46)(45)12016541654=------=-原式 .......（3分）2．（10分）解：用初等变换把增广矩阵化为阶梯形1213211213211213212111360317740115411122220115410317742351710501711630171163---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-------⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎢⎥⎢⎥⎢⎥--------⎣⎦⎣⎦⎣⎦1213211213210115410115410317740048510171163000000--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥------⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥-----⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦..................（3分） 得同解方程组取45,x x 为自由未知量，得方程的一般解为12345234534521321544185x x x x x x x x x x x x++=+-⎧⎪-=+-⎨⎪=--+⎩（其中45,x x 为自由未知量） 将450,0x x ==代入得特解01551(,,,0,0)444γ=--. ................（3分）用同样初等变换，得到与导出组同解的方程组12345234534523205404850x x x x x x x x x x x x ++-+=⎧⎪--+=⎨⎪+-=⎩仍取45,x x 为自由未知量，得一般解12345234534523254485x x x x x x x x x x x x++=-⎧⎪-=-⎨⎪=-+⎩，将451,0x x ==和450,4x x ==分别代入得到一个基础解系：12(1,3,2,1,0),(9,11,5,0,4)ηη=--=- ...............（3分）所以，原方程组的全部解为01122k k γηη++，12,k k 为数域P 中任意数。
高等代数学习题集
高等代数学习题集一、线性方程组1. 解下列线性方程组：（1）$3x+2y=7$$2x-3y=4$（2）$2x-y+z=4$$x+3y-2z=5$$2x-y+z=1$（3）$3x+y=5$$4x-y=8$2. 通过矩阵表示以下线性方程组，并求出其解：（1）$4x+2y=6$$-2x+y=3$（2）$x-2y+3z=1$$2x+y+3z=9$$3x+2y+4z=12$（3）$x+y+z=0$$x+2y+3z=1$$x-3y+2z=2$二、矩阵运算与性质1. 计算以下矩阵的乘积：$\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$$\begin{bmatrix} 4 & 2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}$2. 求下列矩阵的逆矩阵：（1）$\begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$（2）$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 3 \end{bmatrix}$3. 判断下列矩阵是否可逆，并求其逆矩阵：（1）$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$（2）$\begin{bmatrix} 3 & -2 & 1 \\ 1 & -3 & 2 \\ 2 & -4 & 3 \end{bmatrix}$4. 求矩阵的转置：（1）$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$（2）$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix}$三、特征值与特征向量1. 求矩阵的特征值与特征向量：$\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}$2. 计算以下矩阵的迹：（1）$\begin{bmatrix} 2 & 5 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}$（2）$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{bmatrix}$四、向量空间1. 判断向量组是否线性相关：（1）$\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix}$（2）$\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix}$2. 求以下向量组的一个极大线性无关组：（1）$\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}$（2）$\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$五、线性变换1. 判断以下线性变换是否为一一映射：（1）$T\left(\begin{bmatrix} x \\ y\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix} 2x+y \\ 3y \end{bmatrix}$（2）$T\left(\begin{bmatrix} x \\ y \\ z\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix} x+y \\ y+z \\ x+z \end{bmatrix}$2. 求下列线性变换的矩阵表示：（1）$T\left(\begin{bmatrix} x \\ y\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix} 2x-y \\ 3x+2y \end{bmatrix}$（2）$T\left(\begin{bmatrix} x \\ y \\ z\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix} x+y+z \\ 2x+3y-z \\ 3x-2y+2z\end{bmatrix}$六、二次型1. 对以下二次型进行分类：（1）$f(x,y)=2x^2+3y^2-4xy$（2）$f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-2xy+4xz$2. 将以下二次型化为标准形：（1）$f(x,y,z)=3x^2+4y^2+2z^2+4xy+4xz-8yz$（2）$f(x,y,z)=x^2+2y^2+3z^2-2xy+6xz$以上为《高等代数学习题集》的内容，希望对你的学习有所帮助。
高等代数习题及答案
高等 代数试卷一、判断题（以下命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每题1 分，共 10分）1、 p( x) 若是数域 F 上的不可以约多项式，那么 p( x) 在 F 中必然没有根。
（）2、若线性方程组的系数行列式为零，由克莱姆法规知，这个线性方程组必然是无解的。
（ ）3、实二次型 f (x 1 , x 2 , , x n ) 正定的充要条件是它的符号差为 n 。
（ ）4、 Wx 1 , x 2 , x 3 x iR, i 1,2,3; x 1x 2x 3 是线性空间 R 3 的一个子空间。
（）5、数域 F 上的每一个线性空间都有基和维数。
（ ） 6、两个 n 元实二次型能够用满秩线性变换互相转变的充要条件是它们有相同的正惯性指 数和负惯性指数。
（ ） 7、零变换和单位变换都是数乘变换。
（ ） 8、线性变换的属于特色根0 的特色向量只有有限个。
（ ）9、欧氏空间 V 上的线性变换 是对称变换的充要条件为关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。
（ ）nn10、若1, 2,, n 是欧氏空间 V 的标准正交基，且xi i，那么x i 2 。
i 1i 1（ ）二、单项选择题（从以下各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后边的括号内。
答案选错或未作选择者，该题无分。
每题1 分，共 10 分） 1、关于多项式的最大公因式的以下命题中，错误的选项是（ ） ① f n x , g n x f x , g x n ；② f 1 , f 2 , , f n1f i , f j 1, ij ,i , j 1,2,, n ；③ f x , g x f x g x , g x ；④若 f x , g x1f xg x , f xg x1 。
2、设 D 是一个 n 阶行列式，那么（ ）①行列式与它的转置行列式相等；② D 中两行互换，则行列式不变符号； ③若 D 0 ，则 D 中必有一行全部是零； ④若 D 0 ，则 D 中必有两行成比率。
高等代数(上)_习题集(含答案)
《高等代数（上）》课程习题集一、填空题11. 若31x -整除()f x ，则(1)f =( )。
2. 如果方阵A 的行列式0=A ，则A 的行向量组线性（ ）关。
3. 设A 为3级方阵，*A 为A 的伴随矩阵，且31=A ，则=--1*A A （ ）。
4. 若A 为方阵，则A 可逆的充要条件是——（ ）。
5. 已知1211A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1121B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，且3AB C A B +=+，则矩阵C =（ ）。
6. 每一列元素之和为零的n 阶行列式D 的值等于（ ）。
7. 设行列式014900716=--k，则=k （ ）8. 行列式22357425120403---的元素43a 的代数余子式的值为（ ）9. 设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=403212221A ，11k α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若αA 与α线性相关，则=α（ ）10. 设A 为3阶矩阵，51=A ，则12--A =（ ） 11. 已知：s ααα,,,21 是n 元齐次线性方程组0=Ax 的基础解系，则系数矩阵A 的秩=)(A R （ ）12. 多项式)(),(x g x f 互素的充要条件是（ ） 13. 多项式)(x f 没有重因式的充要条件是（ ）14. 若排列n j j j 21的逆序数为k ，则排列11j j j n n -的逆序数为（ ）15. 当=a （ ）时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++040203221321321x a x x ax x x x x x 有零解。
16. 设A 为n n ⨯矩阵，线性方程组B AX =对任何B 都有解的充要（ ）17. 设00A X C ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，已知11,A C --存在，求1X -等于（ ） 18. 如果齐次线性方程组0=AX 有非零解，则A 的列向量组线性（ ）关 19. )(x p 为不可约多项式，)(x f 为任意多项式，若1))(),((≠x f x p ，则（ ） 20. 设A 为4级方阵，3-=A ，则=A 2（ ）21. 设m ααα,,,21 是一组n 维向量，如果n m >.，则这组向量线性（ ）关22. 设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=403212221A ，11k α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若αA 与α线性相关，则k=（ ）。
高等代数 习题及参考答案
解易知 有三重根 时， 。若令
，比较两端系数，得
由（1），（3）得 ，解得 的三个根为 ，将 的三个根分别代入（1），得 。再将它们代入（2），得 的三个根 。
当 时 有3重根 ；当 时， 有2重根 。
18．求多项式 有重根的条件。
解令 ，则 ，显然当 时，只有当 才有三重根。
3） 。
解利用剩余除法试根，可得
1）有一个有理根2。
2）有两个有理根 （即有2重有理根 ）。
3）有五个有理根 （即一个单有理根3和一个4重有理根 ）。
28．下列多项式在有理数域上是否可约？
1） ；
2） ；
3） ；
4） 为奇素数；
5） 为整数。
解1）因为 都不是它的根，所以 在有理数域里不可约。
2）利用艾森斯坦判别法，取 ，则此多项式在有理数域上不可约。
指数组
对应 的方幂乘积
4 2 0
4 1 1
3 3 0
3 2 1
2 2 2
原式= (1)
只要令 ,则原式左边 。另一方面，有 ，
代入（1）式，得 。再令 ，得 。
令 ，得
（2）
令 得
（3）
由（2），（3）解得 。因此
原式 。
4）原式=
指数组
对应 的方幂乘积
2 2 0 0
2 1 1 0
1 1 1 1
设原式
高等代数
第一章多项式
1．用 除 ，求商 与余式 ：
1） ；
2） 。
解1）由带余除法，可得 ；
2）同理可得 。
2． 适合什么条件时，有
1） ，
2） 。
解1）由假设，所得余式为0，即 ，
《高等代数》各章习题+参考答案 期末复习用
1A = 1000 ,B = 0001 ,|A +B |=1,|A |=0,|B |=0.|A +B |=|A |+|B |.2A = 0100,A 2=0,A =0.3A (E +A )=E A 4A = 0100 ,B = 1000,AB =0,rank (A )=1,rank (B )=1,A,B 2.1B 2A 3C 4A 5D 6B 7B 8C 9D 10A 11D 12A 13C 14D 15D 16B 17C 18C 19C 20D 21C 22C 23D 24C 25C 26A 27A 28A 1−135,93m ×s,n k =1a jk b ki 4 1b 0001612012001a n1a 20···00...···············000 (1)910411(−1)mn ab12213I n2单元练习：线性方程组部分一、填空题 每空 1分，共 10分1．非齐次线性方程组 AZ = b （A 为 m ×n 矩阵）有唯一解的的充分必要条件是____________。
2．n +1 个 n 维向量，组成的向量组为线性 ____________ 向量组。
3．设向量组 3 2 1 , ,a a a 线性无关，则常数 l , m 满足____________时，向量组 3 1 2 3 1 2 , , a a a a a a -- - m l 线性无关。
4．设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零， 且 r (A ) = n －1则 Ax = 0 的通解为________。
5．若向量组 3 2 1 , , a a a 线性无关，则向量组 3 1 2 3 1 2 , , a a a a a a + + + ____________。
高等代数习题
第四章 矩阵 作业1 （矩阵的运算）一．判断说明题（如果正确，证明它，如果不正确，举出反例）。
1．设C B A ,,为n 阶方阵，若,AC AB = 则.C B = （ ） 2．设A 是n m ⨯矩阵，C B ,是s n ⨯矩阵，如果AC AB =，则有C B =。
（ ） 3．设B A ,是n 阶方阵，则有.2)(222B AB A B A ++=+ （ ） 二．计算下列矩阵。
1．设,150421321,121211012⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=B A 求 BA AB B A AB -,,''。
2．（1）。
()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛z y x a a a a a a a a a z yx 333231232221131211（2）。
n⎪⎪⎭⎫⎝⎛-θθθθc o s s i ns i n c o s（3）。
n⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λλλ001001三．证明：如果,,CA AC BA AB ==证明：A BC BC A A C B C B A )()(,)()(=+=+。
四．如果),(21E B A +=证明：A A =2当且仅当.2E B =五．如果,'A A =则称矩阵A 为对称矩阵，如果B A ,为对称矩阵，证明：AB 也为对称矩阵当且仅当B A ,可交换。
六．如果矩阵满足A A ='，则A 是反对称矩阵，证明：任一n n ⨯矩阵都可以表示为一对称矩阵和反对称矩阵的和。
七．设A 是n n ⨯矩阵，证明：存在一个n n ⨯的非零矩阵使得0=AB 的充分必要条件是0=A （或者是矩阵A 的列向量组是线性无关的）。
第四章 矩阵 作业2（矩阵的逆）一．填空题。
1．n 阶矩阵可逆的充分必要条件是_________________________.2．设A 是34⨯矩阵，且A 的秩为,2并且矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=301020201B ，则秩=)(AB________________.3.设矩阵B tA ,11334221⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=为三阶非零矩阵，且0=AB ，则=t ________. 4．设A 为n 阶矩阵，且,2=A 则=--*13)21(A A __________________.5．设矩阵,,333222111333222111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=c y b c y b c y b B c x b c x b c x b A 并且,3,2=-=B A 则行列式=+B A ____________.6．设,300320321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A 则=-1*)(A __________.7．设B A ,为4阶矩阵，且,3=A 则=--1)3(A _______,=-12B BA _______.二．判断矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=201013121A 是否可逆，如果可逆，求出其逆矩阵。
高等代数习题【可编辑范本】
高等代数习题第一章基本概念§１.1 集合1、设Z是一切整数的集合,Ｘ是一切不等于零的有理数的集合.Z是不是X的子集？2、设a是集Ａ的一个元素。
记号{a}表示什么? {a｝ A是否正确?３、设写出和。
4、写出含有四个元素的集合{｝的一切子集.5、设Ａ是含有n个元素的集合．A中含有k个元素的子集共有多少个？6、下列论断那些是对的,那些是错的?错的举出反例，并且进行改正．（i)（ｉi)(iｉｉ)(ｉv)７．证明下列等式:（i)(ii)（ｉｉi）§1。
2映射１、设A是前100个正整数所成的集合．找一个A到自身的映射,但不是满射．2、找一个全体实数集到全体正实数集的双射.3、是不是全体实数集到自身的映射？4．设f定义如下:ｆ是不是R到R的映射?是不是单射?是不是满射?５、令Ａ=｛1，2，3｝。
写出A到自身的一切映射。
在这些映射中那些是双射？6、设a ，ｂ是任意两个实数且a<b。
试找出一个[0，1］到[a ,b］的双射。
7、举例说明,对于一个集合Ａ到自身的两个映射f和ｇ来说，fｇ与gｆ一般不相等.８、设A是全体正实数所成的集合。
令（i)ｇ是不是A到Ａ的双射？(ii)g是不是f的逆映射?(iｉi)如果ｇ有逆映射,g的逆映射是什么?9、设是映射，又令,证明(i)如果是单射，那么也是单射；(ii ）如果是满射,那么也是满射；（ｉii ）如果都是双射，那么也是双射,并且10．判断下列规则是不是所给的集合A的代数运算:集合 A 规则１２34 全体整数全体整数全体有理数全体实数baba+→|),(§1。
3数学归纳法1、证明：2、设是一个正整数.证明，是任意自然数．3、证明二项式定理：这里，是个元素中取个的组合数.４、证明第二数学归纳法原理。
5、证明，含有个元素的集合的一切子集的个数等于。
§１.4整数的一些整除性质1、对于下列的整数,分别求出以除所得的商和余数:;；; .２、设是整数且不全为0,而，，。
完整版高等代数习题解答(第一章)
完整版高等代数习题解答(第一章)高等代数题解答第一章多项式补充题1.当a,b,c取何值时，多项式f(x)=x-5与g(x)=a(x-2)^2+b(x+1)+c(x^2-x+2)相等？提示：比较系数得a=-1,b=-1,c=6.补充题2.设f(x),g(x),h(x)∈[x]，f^2(x)=xg^2(x)+x^3h^2(x)，证明：假设f(x)=g(x)=h(x)不成立。
若f(x)≠0，则∂(f^2(x))为偶数，又g^2(x),h^2(x)等于或次数为偶数，由于g^2(x),h^2(x)∈[x]，首项系数（如果有的话）为正数，从而xg^2(x)+x^3h^2(x)等于或次数为奇数，矛盾。
若g(x)≠0或h(x)≠0，则∂(xg^2(x)+x^3h^2(x))为奇数，而f^2(x)为偶数，矛盾。
综上所证，f(x)≠g(x)或f(x)≠h(x)。
1.用g(x)除f(x)，求商q(x)与余式r(x)：1）f(x) =x^3-3x^2-x-1，g(x) =3x^2-2x+1；2）f(x) =x^4-2x+5，g(x) =x^2-x+2．1）解法一：待定系数法。
由于f(x)是首项系数为1的3次多项式，而g(x)是首项系数为3的2次多项式，所以商q(x)必是首项系数为1的1次多项式，而余式的次数小于2.于是可设q(x)=x+a,r(x)=bx+c。
根据f(x)=q(x)g(x)+r(x)，即x^3-3x^2-x-1=(x+a)(3x^2-2x+1)+bx+c，右边展开，合并同类项，再比较两边同次幂的系数，得a=-1/3,b=-2/3,c=-1，故得q(x)=x-1/3,r(x)=-x-1/3.2）解法二：带余除法。
用长除法得商q(x)=x^2+x-1，余式r(x)=-5x+7.2.m,p,q适合什么条件时，有1）x^2+mx-1/x^3+px+q;2）x^2+mx+1/x^4+px^2+q.解：1）将x^3+px+q除以x^2+mx-1得商为x+m+1/(x+m-1)，所以当m≠1时有解。
高等代数 练习题
练习题一一、单项选择题1．设A为3阶方阵, 数λ =-2, |A| =3, 则|λA| =（）A．24; B．-24; C．6; D．-6.2．设A为n阶方阵, n1+n2+n3=n, 且|A|≠0, 即123AA AA⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭, 则A-1=( )A111213AA AA---⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭; B111213AA AA---⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭;C131211AA AA---⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭; D131211AA AA---⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭.3．设A为n阶方阵, A的秩R(A)=r<n, 那么在A的n个列向量中（）A．必有r个列向量线性无关;B．任意r个列向量线性无关;C．任意r个列向量都构成最大线性无关组;D．任何一个列向量都可以由其它r个列向量线性表出.4．若方程组AX=0有非零解, 则AX=β(≠0)（）A．必有无穷多组解;B．必有唯一解;C．必定没有解;D．A、B、C都不对.5. 设A、B均为3阶方阵, 且A与B相似, A的特征值为1, 2, 3, 则(2B)-1特征值为( )A．2, 1, 32; B.12,14,16; C．1, 2, 3; D．2, 1,23.6. 设A，B为n 阶矩阵，且R（A）=R（B），则（）A．AB=BA;B．存在可逆矩阵P, 使P-1AP=B;C．存在可逆矩阵C, 使CTAC=B;D．存在可逆矩阵P、Q，使PAQ=B.7．实二次型()2123222132122,,xxxxxxxxf-++=是（）A．正定二次型; B．半正定二次型; C．半负定二次型;D ．不定二次型.8．设A, B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵,则必有（ ） A ．A 的列向量线性相关,B 的行向量线性相关； B ．A 的列向量线性相关,B 的列向量线性相关； C ．A 的行向量线性相关,B 的行向量线性相关； D ．A 的行向量线性相关,B 的列向量线性相关. 二、填空题⒈若行列式的每一行（或每一列）元素之和全为零，则行列式的值等于_______________; 2.设n 阶矩阵A 满足A2-2A+3E=O ，则A-1=_______________;3设1230,3,1,2,1,1,2,4,3,0,7,13TT Tααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则321,,ααα的一个最大线性无关组为___________________________; 4. 设0γ是非齐次方程组AX=b 的一个解向量，r n -ααα,,,21 是对应的齐次方程组AX=0的一个基础解系，则0γ,,1α,,2 αr n -α线性__________;5. 设λ1 , λ2 为n 阶方阵A 的两个互不相等的特征值，与之对应的特征向量分别为X1，X2，则X1+X2_________________________矩阵A 的特征向量。
《高等代数》课程习题 .doc
感谢你的观看《高等代数》课程习题第1章行列式习 题 1.11． 计算下列二阶行列式：（1）2345 （2）2163- （3）x x x x cos sin sin cos - （4）11123++-x x x x （5）2232ab b a a （6）ββααcos sin cos sin （7）3log log 1a b b a2． 计算下列三阶行列式：（1）341123312-- （2）00000d c b a （3）d c e ba 0000 （4）zy y x x 00002121（5）369528741 （6）01110111-- 3． 用定义计算行列式：（1）4106705330200100 （2）114300211321221---（3）500000000400030020001000 (4) dc b a 100110011001---. 4.用方程组求解公式解下列方程组:(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--0520322321321321x x x x x x x x x (2)⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=++232120321321321x x x x x x x x x习 题 1.21． 计算下列行列式：感谢你的观看（1）123112101 (2)15810644372---- （3）3610285140 （4）655565556 2.计算行列式（1）2341341241231234（2）12114351212734201----- （3）524222425-----a a a（4）322131399298203123- （5）0532004140013202527102135---- 3.用行列式的性质证明：（1）322)(11122b a b b a a b ab a -=+（2）3332221113333332222221111112c b a c b a c b a a c c b b a a c c b b a a c c b b a =+++++++++ 4.试求下列方程的根：（1）022223356=-+--λλλ（2）0913251323221321122=--x x5.计算下列行列式（1）8364213131524273------ （2）efcfbfde cd bdae ac ab---（3）2123548677595133634424355---------- （4）111110000000002211ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛn n a a a a a a ---感谢你的观看（5）xaaa x a a a xΛΛΛΛΛΛΛ （6）abb a b a b a 000000000000ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ 习 题 1.31． 解下列方程组（1）⎪⎩⎪⎨⎧-=++=+--=++1024305222325321321321x x x x x x x x x （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++01123253224254321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x2． k 取何值时，下列齐次线性方程组可能有非零：(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-=++0200321321321x x x x kx x kx x x (2)⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=++0300321321321x x x x kx x x x kx 习 题 五1.41．计算下列行列式（1）3010002113005004， （2）113352063410201-- （3）222111c b a c b a（4）3351110243152113------， （5）nn n n n b a a a a a b a a a a D ++=+ΛΛΛΛΛΛΛΛ212112111112．用克莱姆法则解线性方程（1）⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=--114231124342321321321x x x x x x x x x (2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+-+=+-+=++3322212543143214321321x x x x x x x x x x x x x x3．当λ为何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=++0020321321321x x x x x x x x x λλ可能存在非零解？4.证明下列各等式(1) 222)(11122b a b b a a b ab a -=+(2) ))()((4)2()1()2()1()2()1(222222222c b a c a b c c c b b ba a a ---=++++++ (3) ))()()()()()((111144442222d c b a d c d b c b d a c a b a d c b a d c b a d c b a+++------=5.试求一个2次多项式)(x f ,满足1)2(,1)1(,0)1(-==-=f f f .第2章矩阵 习 题 2.21．设 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=530142A ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=502131B ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=313210C ， 求3A -2B +C 。
高等代数第三版习题答案
高等代数第三版习题答案高等代数是一门研究线性代数、多项式、群、环、域等代数结构及其性质的数学分支。
第三版的高等代数教材通常会包含大量的习题，旨在帮助学生更好地理解和掌握代数的基本概念和技巧。
以下是一些习题的答案示例，请注意，这些答案仅为示例，具体习题的答案需要根据实际的题目来确定。
第一章：线性空间习题1：判断下列集合是否构成线性空间，并说明理由。
- 解：集合\{(x, y) ∈ R^2 | x + y = 1\}不构成线性空间，因为它不满足加法封闭性。
例如，取两个元素(1, 0)和(0, 1)，它们的和(1, 1)不在集合中。
习题2：证明线性空间的基具有唯一性。
- 解：设{v1, v2, ..., vn}和{w1, w2, ..., wm}是线性空间V的两个基。
根据基的定义，任何向量v ∈ V都可以唯一地表示为v =c1*v1 + c2*v2 + ... + cn*vn和v = d1*w1 + d2*w2 + ... + dm*wm。
由于表示是唯一的，我们可以得出n = m，并且存在一个可逆矩阵P，使得[v1, v2, ..., vn] = [w1, w2, ..., wn]P。
这意味着两个基是等价的，从而证明了基的唯一性。
第二章：线性变换习题1：确定线性变换T: R^3 → R^3，定义为T(x, y, z) = (x + y, x - y, z)的核和像。
- 解：核N(T)是所有满足T(v) = 0的向量的集合。
设(x, y, z) ∈ N(T)，则(x + y, x - y, z) = (0, 0, 0)。
解这个方程组，我们得到x = 0，y = 0，z可以是任意实数。
因此，核是一维的，由向量(0, 0, 1)生成。
习题2：证明线性变换的复合是线性的。
- 解：设T: V → W和S: W → X是两个线性变换。
对于任意的v1, v2 ∈ V和任意的标量c，我们需要证明(S ∘ T)(cv1 + v2) = c(S∘ T)(v1) + (S ∘ T)(v2)。
高等代数复习题
高等代数复习题一、选择题1. 设A是一个实矩阵，如果A的伴随矩阵B满足BB^T=A^3，那么A的秩一定是多少？A. 0B. 1C. 2D. 32. 已知复数z满足|z-1-2i|=4和|z+3+4i|=5，那么z的实部和虚部之和是多少？A. 5B. 6C. 7D. 83. 设A是一个n阶方阵，如果n=3且|A|=2，那么|3A^T|等于多少？A. 6B. 12C. 18D. 36二、填空题1. 设A是一个3×3的矩阵，A的特征值为1，2，3，则A^2的特征值之和是________。
2. 已知复数z满足|z-2-3i|=7，那么z的共轭复数为________。
3. 设A是一个2×2的矩阵，若A^2+2A+3I=0，则A的行列式|A|的值为________。
三、解答题1. (a) 证明：对于任意正整数n，下列等式成立：(1+3+5+...+(2n-1))=n^2。
(b) 利用数学归纳法证明上述结论。
2. 设A和B分别是n阶方阵，证明：det(AB)=det(A)det(B)。
3. 已知矩阵A=[1 2 -1; 3 1 4; -2 3 2]和B=[-2; 5; 1]，求矩阵方程AX=B的解X。
四、应用题某公司生产两种产品A和B，已知每生产一台产品A需耗费2个工时，每生产一台产品B需耗费3个工时。
设生产一台产品A的利润为200元，生产一台产品B的利润为300元。
设该公司决定在一定时间内生产这两种产品，且总共可用的工时为300个。
问：1. 该公司最多能生产多少台产品A和多少台产品B？2. 并求出此时的最大利润。
以上为高等代数的复习题，希望你能按照题目要求进行解答。
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高等代数习题第一章基本概念§1.1 集合1、设Z是一切整数的集合，X是一切不等于零的有理数的集合．Z是不是X的子集？2、设a是集A的一个元素。
记号{a}表示什么？ {a} A是否正确？3、设写出和 .4、写出含有四个元素的集合{ }的一切子集．5、设A是含有n个元素的集合．A中含有k个元素的子集共有多少个？6、下列论断那些是对的，那些是错的？错的举出反例，并且进行改正．(i)(ii)(iii)(iv)7．证明下列等式：(i)(ii)(iii)§1.2映射1、设A是前100个正整数所成的集合．找一个A到自身的映射，但不是满射．2、找一个全体实数集到全体正实数集的双射．3、是不是全体实数集到自身的映射？4．设f定义如下：f是不是R到R的映射？是不是单射？是不是满射？5、令A={1,2,3}.写出A到自身的一切映射.在这些映射中那些是双射？6、设a ,b是任意两个实数且a<b.试找出一个[0,1]到[a ,b]的双射.7、举例说明，对于一个集合A到自身的两个映射f和g来说，f g与g f一般不相等。
8、设A是全体正实数所成的集合。
令(i)g是不是A到A的双射？(ii)g是不是f的逆映射？(iii)如果g有逆映射，g的逆映射是什么？9、设是映射，又令，证明(i)如果是单射，那么也是单射；(ii)如果是满射，那么也是满射；(iii)如果都是双射，那么也是双射，并且10．判断下列规则是不是所给的集合A的代数运算:集合 A 规则1234全体整数全体整数全体有理数全体实数baba+→|),(§1.3数学归纳法1、证明:2、设是一个正整数.证明 ,是任意自然数.3、证明二项式定理:这里，是个元素中取个的组合数.4、证明第二数学归纳法原理.5、证明,含有个元素的集合的一切子集的个数等于。
§1.4整数的一些整除性质1、对于下列的整数 ,分别求出以除所得的商和余数:; ;; .2、设是整数且不全为0,而 , , .证明,的一个最大公因数必要且只要 .3、设是不等于零的整数.满足下列两个条件的正整数叫做与的最小公倍数:;如果且 ,则 .证明: 任意两个不等于零的整数都有唯一的最小公倍数;令是与的最小公倍数而 ,则 .4、设是一个大于1的整数且具有以下性质:对于任意整数 ,如果 ,则或 .证明,是一个素数(定理1.4.5的逆命题).5、设是两两不相同的素数,而 .证明 ;利用证明,素数有无限多个．§1.5数环和数域1．证明,如果一个数环那么含有无限多个数．2．证明,是数域．3．证明,是一个数环,是不是数域?4．证明,两个数环的交还是一个数环;两个数域的交还是一个数域.两个数环的并是不是数环?5．设是一整数,令由例1,是一个数环.设 ,记．证明: 是一个数环．．,这里是与的最大公因数．．第二章多项式§2.1一元多项式的定义和运算1．设和是实数域上的多项式．证明：若是(6) ，那么2．求一组满足（6）式的不全为零的复系数多项式和3．证明：§2.2 多项式的整除性1．求被除所得的商式和余式：( i )(ii)2．证明：必要且只要3．令都是数域F上的多项式，其中且证明：4．实数满足什么条件时，多项式能够整除多项式5．设F是一个数域，证明：整除6．考虑有理数域上多项式这里和都是非负整数．证明：7．证明：整除必要且只要整除§2.3 多项式的最大公因式1.计算以下各组多项式的最大公因式：( i )(ii)2.设证明：若且和不全为零，则反之，若则是与的一个最大公因式．3.令与是的多项式，而是中的数，并且证明：4．证明：（i）是和的最大公因式；（ii）此处等都是的多项式。
5．设都是有理数域Q上的多项式。
求使得6．设令是任意正整数，证明：由此进一步证明，对于任意正整数，都有7．设证明：8．证明：对于任意正整数都有9．证明：若是与互素，并且与的次数都大于0，那么定理里的与可以如此选取，使得的次数低于的次数，的次数低于的次数，并且这样的与是唯一的。
10．决定，使与的最大公因式是一次的。
11．证明：如果那么对于任意正整数，12．设是数域F上的多项式。
与的最小公倍式指的是F[x]中满足以下条件的一个多项式：且；如果∈F[x]且，那么证明：F[x]中任意两个多项式都有最小公倍式，并且除了可能的零次因式的差别外，是唯一的。
设都是最高次项系数是1的多项式，令表示和的最高次项系数是1的那个最小公倍式。
证明13．设并且证明：14．设证明：互素的充要条件是存在多项式使得15．设令比照定理1.4.2，证明：有最大公因式．[提示：如果不全为零，取是I中次数最低的一个多项式，则就是的一个最大公因式．]§2.4 多项式的分解1.在有理数域上分解以下多项式为不可约多项式的乘积：2.分别在复数域，实数域，有理数域上分解多项式为不可约因式的乘积.3.证明：当且仅当4.求在内的典型分解式；求在内的典型分解式5.证明：数域F上一个次数大于零的多项式是中某一不可约多项式的幂的充分且必要条件是对于任意或者或者存在一个正整数使得6．设是中一个次数大于零的多项式.如果对于任意只要就有或那么不可约.§2.5 重因式1.证明下列关于多项式的导数的公式：2.设是的导数的重因式.证明：未必是的重因式；是的重因式的充分且必要条件是3. 证明有理系数多项式没有重因式.4. 应该满足什么条件，下列的有理系数多项式才能有重因式？5. 证明：数域F上的一个次多项式能被它的导数整除的充分且必要条件是，这里的是F中的数。
§2.6 多项式函数多项式的根1．设 ,求 .2．数环R的一个数说是的一个重根,如果可以被整除,但不能被整除.判断5是不是多项式的根.如果是的话,是几重根?3．设求[提示:应用综合除法．]4．将下列多项式表成的多项式.; .5．求一个次数小于4的多项式 ,使6．求一个2次多项式,使它在处与函数有相同的值.7．令是两个多项式,并且可以被整除.证明8．令是一个复数,并且是中一个非零多项式的根,令证明:在J中存在唯一的最高次项系数是1的多项式 ,使得中每一多项式都可以写成的形式,这里 .在中不可约. 如果 ,求上述的[提示:取是J中次数最低的、最高次项系数是1的多项式.] 9．设中多项式且 ,是一个大于1的整数.证明:的根只能是零或单位根.[提示:如果是的根,那么都是的根.]§2.7 复数和实数域上多项式1．设次多项式的根是 .求以为根的多项式,这里是一个数。
（ii）以11α,21α,…,nα1(假定都不等于零)为根的多项式.2．设是一个多项式,用表示把的系数分别换成它们的共轭数后所得多项式.证明:若是g,那么 ;若是是和的一个最大公因式,并且的最高次项系数是1,那么是一个实系数多项式).3．给出实系数四次多项式在实数域上所有不同类型的典型分解式.4．在复数和实数域上,分解为不可约因式的乘积.5．证明:数域F上任意一个不可约多项式在复数域内没有重根.§2.8 有理数域上多项式1．证明以下多项式在有理数域上不可约:;;.2．利用艾森斯坦判断法,证明:若是是个不相同的素数而是一个大于1的整数,那么是一个无理数.3．设是一个整系数多项式.证明:若是和都是奇数,那么不能有整数根.4．求以下多项式的有理根:;;.第三章行列式§3.1 线性方程组和行列式§3.2 排列1．计算下列排列的反序数：523146879；2．假设n个数码的排列的反序数是k,那么排列的反序数是多少？3．写出4个数码的一切排列．§3.3 阶行列式1．确定六阶行列式D=中以下各乘积的符号：2．写出下列四阶行列式中一切带有负号且含元素的项。
3．证明：阶行列式4．考察下列行列式：，，其中是这个数码的一个排列。
这两个行列式间有什么关系？5．计算阶行列式6．计算行列式7．证明：行列式8．设在阶行列式中，—§3.4 子式和代数余式行列式的依行依列展开1．把行列式依第三行展开，然后加以计算．2．计算以下行列式:提示：把第一列的元素看成两项的和，然后把行列式拆成两个行列式的和。
3．令计算行列式。
§3.5 克拉默规则1．解以下线性方程组：2．设是个不同的数, 是任意个数,而多项式有以下性质: , .用线性方程组的理论证明, 的系数是唯一确定的,并且对的情形导出拉格朗日插值公式.3．设 .用线性方程组的理论证明,若是有个不同的根,那么是零多项式.第四章线性方程组§4.1 消元法1．解以下线性方程组：2．证明：对矩阵施行第一种行初等变换相当于对它连续施行若干次第二和第三种行初等变换。
3．设阶行列式0.证明：用行初等变换能把行列矩阵化为。
4．证明：在前一题的假设下，可以通过若干次第三种初等变换把化为．§4.2 矩阵的秩线性方程组可解的判别法1．对第一和第二种行初等变换证明定理4.2.1．2．利用初等变换求下列矩阵的秩：3．证明：一个线性方程组的增广矩阵的秩比系数矩阵的秩最多大1．4．证明：含有个未知量个方程的线性方程组有解的必要条件是行列式这个条件不是充分的，试举一反例．5．有解？6．取怎样的数值时，线性方程组有唯一解，没有解，有无穷多解？§4.3 线性方程组的公式解1．考虑线性方程组：这里．2．3．设线性方程组：（9）有解，并且添加一个方程：于方程组（9）所得的方程组与（9）同解．证明：添加的方程是（9）中个方程的结果．4．设齐次线性方程组的系数行列式，而中某一元素的代数余子式．证明：这个方程组的解都可以写成的形式,此处k是任意数.5．设行列式令是元素的代数余子式.证明:矩阵的秩．第五章矩阵§5.1 矩阵的运算1．计算；；；；．2．证明，两个矩阵A与B的乘积AB的第i行等于A的第i行右乘以B，第j列等于B的第j列左乘以A．3．可以按下列步骤证明矩阵的乘法满足结合律：(i) 设B=()是一个n p矩阵．令=是B的第j列，j=1,2,…,p．又设是任意一个p 1矩阵．证明：B=．(ii)设A是一个m n矩阵．利用(i)及习题2的结果，证明：A(B)=(AB)．(iii)设C是一个pxq矩阵．利用(ii)，证明： A(BC)=(AB)C．4．设A=证明：当且仅当B=时，AB=BA。
5．令是第i 行第j列的元素是1而其余元素都是零的n阶矩阵．求．6．求满足以下条件的所有n阶矩阵A(i)i,j=1,2,…,n,(ii)AB=BA ；这里B是任意n阶矩阵。
7．举例证明，当AB=AC时，未必B=C．8．证明，对任意n阶矩阵A和B，都有AB-BA≠I．[提示，考虑AB-BA的主对角线上的元素的和]9．令A是任意n阶矩阵，而I是n阶单位矩阵，证明：()()=10.对任意n阶矩阵A，必有n阶矩阵B和C，使A=B+C，并且§5.2 可逆矩阵矩阵乘积的行列式1．设对5阶矩阵实行以下两个初等变换：把第二行的3倍加到第三行，把第二列的3倍加到第三列，相当于这两个初等变换的初等矩阵是什么？2．证明：一个可逆矩阵可以通过列初等变换化为单位矩阵．3．求下列矩阵的逆矩阵：4．设 A是一个n阶矩阵，并且存在一个正整数m 使得(i) 证明可逆，并且(ii)求下列矩阵的逆矩阵。