坐标变换与参数方程教案全

§16.1坐标轴的平移（一）

【教学目标】

知识目标：

（1）理解坐标轴平移的坐标变换公式；

（2）掌握点在新坐标系中的坐标和在原坐标系中的坐标的计算； 能力目标：

通过对坐标轴平移的坐标变换公式的学习，使学生的计算技能与计算工具使用技能得到锻炼和提高．

【教学重点】

坐标轴平移中，点的新坐标系坐标和原坐标系坐标的计算．

【教学难点】

坐标轴平移的坐标变换公式的运用．

【教学设计】

学生曾经学习过平移图形．平移坐标轴和平移图形是两种相关的变化方式，从平移的运动过程上看，平移坐标轴和平移图形是两种相反的过程．向左平移图形的效果相当于将坐标轴向右平移相同的单位；向上平移图形的效果相当于将坐标轴向下平移相同单位．要强调坐标轴平移只改变坐标原点的位置，而不改变坐标轴的方向和单位长度．坐标轴平移的坐标变换公式，教材中是利用向量来进行推证的，教学时要首先复习向量的相关知识．例1是利用坐标轴平移的坐标变换公式求点的新坐标系坐标的知识巩固性题目，教学中要强调公式中各量的位置，可以根据学生情况，适当补充求点在原坐标系中坐标的题目．例2是利用坐标轴平移的坐标变换公式化简曲线方程的知识巩固性题目．教学中要强调新坐标系原点设置的原因，让学生理解为什么要配方．

【课时安排】

1课时．

【教学过程】

揭示课题

2.1坐标轴的平移与旋转 创设情境 兴趣导入

在数控编程和机械加工中，经常出现工件只作旋转运动（主运动），而刀具发生与工件相对的进给运动．为了保证切削加工的顺利进行，经常需要变换坐标系．

例如，圆心在O 1(2,1),半径为1的圆的方程为

1)1()2(22=-+-y x ．

对应图形如图2-1所示．如果不改变坐标轴的方向和单位长度，将坐标原点移至点1O 处，那么，对于新坐标系111x O y ，该圆的方程就是

12121=+y x ．

图2-1

动脑思考 探索新知

只改变坐标原点的位置，而不改变坐标轴的方向和单位长度的坐标系的变换，叫做坐标轴的平移．

下面研究坐标轴平移前后，同一个点在两个坐标系中的坐标之间的关系，反映这种关系的式子叫做坐标变换公式．

图2-2

如图2-2所示，把原坐标系xOy 平移至新坐标系111x O y ，1O 在原坐标系中的坐标为),(00y x ．

设原坐标系xOy 两个坐标轴的单位向量分别为i 和j ，则新坐标系111x O y 的单位向量也分别为i 和j ，设点P 在原坐标系中的坐标为),(y x ，在新坐标系中的坐标为),(11y x ，于是有

OP =x i +y j ，1O P =x 1i +y 1 j ， 1OO =x 0i +y o j ，

因为 11OP OO O P =+， 所以 0011 x y x y x y +=+++i j i j i j ， 即 0101 )()x y x x y y +=+++i j i j （．（转下节）

§16.1坐标轴的平移（二）

【教学目标】

知识目标：

（1）理解坐标轴平移的坐标变换公式； （2会利用坐标轴平移化简曲线方程．

（3）掌握点在新坐标系中的坐标和在原坐标系中的坐标的计算； 能力目标：

通过对坐标轴平移的坐标变换公式的学习，使学生的计算技能与计算工具使用技能得到锻炼和提高．

【教学重点】

坐标轴平移中，点的新坐标系坐标和原坐标系坐标的计算．

【教学难点】

坐标轴平移的坐标变换公式的运用．

【教学设计】

学生曾经学习过平移图形．平移坐标轴和平移图形是两种相关的变化方式，从平移的运动过程上看，平移坐标轴和平移图形是两种相反的过程．向左平移图形的效果相当于将坐标轴向右平移相同的单位；向上平移图形的效果相当于将坐标轴向下平移相同单位．要强调坐标轴平移只改变坐标原点的位置，而不改变坐标轴的方向和单位长度．坐标轴平移的坐标变换公式，教材中是利用向量来进行推证的，教学时要首先复习向量的相关知识．例1是利用坐标轴平移的坐标变换公式求点的新坐标系坐标的知识巩固性题目，教学中要强调公式中各量的位置，可以根据学生情况，适当补充求点在原坐标系中坐标的题目．例2是利用坐标轴平移的坐标变换公式化简曲线方程的知识巩固性题目．教学中要强调新坐标系原点设置的原因，让学生理解为什么要配方．

【课时安排】

1课时．

【教学过程】 （接上节）

于是得到坐标轴平移的坐标变换公式

⎩⎨

⎧+=+=.,

1010y y y x x x （2.1） 或 ⎩⎨⎧-=-=.,01

01y y y x x x （2.2） 【想一想】

公式(2.1)和公式(2.2)的区别在哪里？使用公式要注意些什么问题？

巩固知识 典型例题

例1 平移坐标轴，将坐标原点移至1O （2，－1），求下列各点的新坐标：

O (0,0)，A (2,1)，B (－1,2)，C (2,－4)，D (－3,－1)，E (0,5)．

解 由公式(2.2)，得

⎩⎨

⎧+=-=.1,

21

1y y x x 将各点的原坐标依次代入公式，得到各点的新坐标分别为

O （－2，1），A （0，2），B （－3，3）， C （0，－3），D （－5，0），E （－2，6）．

例2 利用坐标轴的平移化简圆042422=--++y x y x 的方程，并画出新坐标系和圆. 解 将方程的左边配方，得

9)1()2(22=-++y x ．

这是以点（－2，1）为圆心，3为半径的圆．平移坐标轴，使得新坐标原点在点1O （－2，1），由公式（2.1）得

112,

1.

x x y y =-⎧⎨

=+⎩ 将上式代入圆的方程，得 92121=+y x ． 这就是新坐标系111x O y 中，圆的方程．新坐标系和圆的图形如图2-3所示．

运用知识 强化练习

1．平移坐标轴，把坐标原点移至1O （－1，－3），求下列各点的新坐标：

A （3，2），

B （－5，4），

C （6，－2），

D （1，－3），

E （－5，－1）．

2．利用平移坐标轴，化简方程226420x y x y ++-+=，并指出新坐标系原点的坐标． 继续探索 活动探究

(1)读书部分：教材

(2)书面作业：教材P40/练习1-2、P41/练习；教材P42/习题1-4