《集合之间的关系》PPT课件
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集合间的基本关系ppt课件
求实数m的取值范围.
解：据题意得：B ≠ ∅.
2m − 1 ≥ m + 1
所以 m + 1 ≤ −2
2m − 1 ≥ 5
m≥2
解得， m ≤ −3
m≥3
·
+1
·
−2
·
5
·
2 − 1
∴ m无解，即m的解集为∅.
20
课堂小结
子集 对任意的 ∈ ，总有 ∈ ，则 ⊆
集
合
间
的
基
本
关
系
知
识
(2)A = {x|x是等边三角形}，B = {x|x是等腰三角形}；
(3)M = {x|x = 2n − 1, n ∈ N∗ }，N = {x|x = 2n + 1, n ∈ N ∗ }.
【答案】(1)与无包含关系；(2) ⫋ ；(3) ⫋ .
变式3-1：已知集合 A = {x|x 2 − 3x + 2 = 0} ， B = {1,2} ， C = {x|x < 8, x ∈ N} ，
、8个
、9个
【答案】
变式2-1：满足 2,3 ⫋ M ⫋ 1,2,3,4,5 的集合M的个数为
、6个
【答案】
、7个
、8个
、9个
17
随堂练习
<>
练习3：指出下列各组集合之间的关系：
(1)A = {−1,1}，B = {(−1, −1), (−1,1), (1, −1), (1,1)};
A
（2）数轴法：常用于不等式的解集.
【例】① { x | x < a }
优点：形象、直观
缺点：只能作为解
②{x|x≤a}
集合间的基本关系ppt课件
( B
A.2
)
B.3
C.4
【解析】集合M满足M ⫋ {1，2}，集合{1，2}的元素个数为2，
则满足题意的M的个数为22 − 1 = 3．
D.5
例3-7 已知集合A = {x ∈ | − 2 < x < 3}，则集合A的所有非空真子集的个数是
( A
)
A.6
B.7
C.14
D.15
【解析】A = {x ∈ | − 2 < x < 3} = {0，1，2}，
图形语言：
符号语言：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B
例如：A＝{x|x是两条边相等的三角形}
B＝{x|x是等腰三角形}
B (A)
2、集合相等
一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的
任何一个元素都是集合A的元素，此时集合A与集合B中的元素是一样的，那
么集合A与集合B相等，记作：A＝B．
【解析】B = {1，2，4，8}，可知集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，故
A ⫋ B.用Venn图表示更加直观，如图1.2-8.
图1.2-8
（2）A = {x| − 1 < x < 5}，B = {x|0 < x < 5};
【解析】在数轴上表示出集合A，B，如图1.2-9所示，由图可知B ⫋ A.
方法1 （列举法） 满足条件的集合有：{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，共6个.
方法2 （公式法） 集合A的元素个数为3，则集合A的所有非空真子集的个数为
23 − 2 = 6．
高考题型1 集合间关系的判断
例10 指出下列各组集合之间的关系：
（1）A = {1，2，4}，B = {x|x是8的正约数}；
A.2
)
B.3
C.4
【解析】集合M满足M ⫋ {1，2}，集合{1，2}的元素个数为2，
则满足题意的M的个数为22 − 1 = 3．
D.5
例3-7 已知集合A = {x ∈ | − 2 < x < 3}，则集合A的所有非空真子集的个数是
( A
)
A.6
B.7
C.14
D.15
【解析】A = {x ∈ | − 2 < x < 3} = {0，1，2}，
图形语言：
符号语言：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B
例如：A＝{x|x是两条边相等的三角形}
B＝{x|x是等腰三角形}
B (A)
2、集合相等
一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的
任何一个元素都是集合A的元素，此时集合A与集合B中的元素是一样的，那
么集合A与集合B相等，记作：A＝B．
【解析】B = {1，2，4，8}，可知集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，故
A ⫋ B.用Venn图表示更加直观，如图1.2-8.
图1.2-8
（2）A = {x| − 1 < x < 5}，B = {x|0 < x < 5};
【解析】在数轴上表示出集合A，B，如图1.2-9所示，由图可知B ⫋ A.
方法1 （列举法） 满足条件的集合有：{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，共6个.
方法2 （公式法） 集合A的元素个数为3，则集合A的所有非空真子集的个数为
23 − 2 = 6．
高考题型1 集合间关系的判断
例10 指出下列各组集合之间的关系：
（1）A = {1，2，4}，B = {x|x是8的正约数}；
集合之间的关系-课件ppt
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3．关于空集∅：空集是不含任何元素的集合， 它既不是有限集又不是无限集，不能认为∅＝{0}， 也不能认为{∅}＝∅或{空集}＝∅.
{0}是由数0组成的单元素集，所以0∈{0}，但 0∉∅，∅ {0}，{∅}是由∅组成的单元素集，因此 ∅∈{∅}，由于空集是任何集合的子集，所以∅⊆{∅}也 正确．
1．已知集合A＝{x|1<x≤4，x∈N}，写出集合A 的所有子集和真子集．
解：∵A＝{2,3,4}， ∴集合A的所有子集是：∅，{2}，{3}，{4}， {2,3}，{2,4}，{3,4}，{2,3,4}， 在上述子集中，除去集合A本身，即{2,3,4}，剩 下的都是A的真子集．
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要点阐释
一、正确理解子集的概念 理解子集的概念，应注意以下几点： 1．“A是B的子集”的含义是：A的任何一个元素 都是B的元素，即由任意的x∈A，能推出x∈B. 2．当A不是B的子集时，我们记作“A B”(或 B⊉A)，读作：“A不含于B”(或“B不包含A”)． 3．任何一个集合是它本身的子集，记作A⊆A. 4．空集是任何集合的子集，即对于任一集合 A，有∅⊆A；空集是任何非空集合的真子集，即对于 任一非空集合B，有∅ B.
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误区解密 因忽略空集而出错
【例4】 设A＝{x|2≤x≤6}，B＝{x|2a≤x≤a＋
3}，若B⊆A，则实数a的取值范围是
()
A．{a|1≤a≤3}
B．{a|a>3}
C．{a|a≥1}
D．{a|1<a<3}
集合间的基本关系 ppt课件
解 : 集合{a, b}的所有子集为：
，{a}, {b}, {a, b}
真子集为： ，{a}, {b}
ppt课件 11
【听一听★更上一层】 变式
写出集合a, b，c的所有子集，并指出它的真子集.
解 : 没有元素的子集：; 有1个元素的子集 : {a}, {b}, {c}; 有2个元素的子集 : {a , b}, {a, c},{b, c};
ppt课件
15
【总一总★成竹在胸】
一.本节课的知识网络：
相 等
子 集 AB
AB
性质
真子集 A B
空 集 （ ）
性质
二.本节课主要的思想方法：
类比法
分类讨论思想
ppt课件 16
【号一号★课下习之】
作业：P12 A 5；B 2.
ppt课件
17
ppt课件 12
【听一听★更上一层】
k 1 k 1 例2.集合M { x | x , k Z }, N { x | x , k Z }. 2 4 4 2 则（ ） . B.M N C.M N D.M与N没有相同元素
A.M N
分析：令k ,1, 0, 1, 2, 3, 得：
人 民 教 育 出 版 社 A 版 必 修 1
1.1.2 集合间的基本关系
ppt课件
1
【引一引★温故知新】
集合与集合 之间呢？
实数有相等关系 如：5=5
ppt课件
实数有大小关系 如：5<7,5>3
2
【说一说★本节新知】
子集 集合相等 真子集 空集 子集的性质
ppt课件 3
【说一说★本节新知】 1.子集
集合间的基本关系-ppt课件
1.集合有哪两种表示方法？
列举法，描述法
2.元素与集合有哪几种关系？
属于、不属于
3.对于集合这个新的研究对象，接下来该如何研究呢？
类比法
问题
• 实数间的基本关系
关系
大小
关系
相等
关系
5<7
5>3
5=5
集 合间的 基本 关系
图示法(Venn图)
常常画一条封闭的曲线，用它的内部表示一个集合．
例如 ,
A B
B
A
人教A版（ 2019） 数学必 修第一 册1.1. 2集合 间的基 本关系 课件( 共16张P PT)
概念理解
问
通过类比实数关系中的性质 “若a b且b a, 则a b"
你能发现集合之间的关系有哪些性质？
(1)任何一个集合是它本身的子集，即 ⊆ ； 反身性
(2)对于集合，，，如果 ⊆ ，且 ⊆ ，那么 ⊆ .
1.2集合间的基本关系
一、教学目标
1.理解集合之间包含与相等的含义，理解子集、真子集的概念，在具体情
境中，了解空集的含义.
2.能识别给定集合的子集，掌握列举有限集的所有子集的方法.
3.能用符号和Venn图表示集合间的关系.
二、教学重难点
1、教学重点
集合之间包含与相等的含义.
2、教学难点
子集、真子集的关系.
图1-1表示任意一个集合A
图1-2表示集合 {1，2，3，4，5}
A
图1-1
1,2,3,4,5
图1-2
优点： 直观，体现了数形结合思想，可以作为同学
们学习集合这一章的辅助手段。
问题 类比实数之间的相等关系、大小关系，集合与集
《集合间的基本关系》课件
80%
补集的可分离性
若全集U中存在两个互不重叠的 子集A和B，则它们的补集A'和B' 也是互不重叠的。
补集的应用
集合的划分
通过补集可以将全集划分为若 干个互不重叠的子集，从而实 现对全集的划分。
集合的运算
在集合运算中，补集的概念可 以用于简化运算过程，例如在 集合的交、并、差等运算中， 可以通过补集来消除某些元素 。
并集的性质
01
并集具有交换律，即 A∪B=B∪A。
02
03
并集具有结合律，即 (A∪B)∪C=A∪(B∪C) 。
并集的补集律表明，如 果M是全集U，那么 A∪(M-A)=M。
04
并集的幂等律表明， A∪A=A。
并集的应用
并集在数学、逻辑和计 算机科学中都有广泛的 应用。
在集合运算中，并集用 于组合多个集合，满足 某些条件或属性的元素 。
假设A={a, b, c, d}，B={b, c, e, f}， 则A∩B={b, c}。
交集的性质
01
02
03
04
空集与任何集合的交集是空集 ：即A∩∅=∅。
空集与任何集合的交集是空集 ：即A∩∅=∅。
空集与任何集合的交集是空集 ：即A∩∅=∅。
空集与任何集合的交集是空集 ：即A∩∅=∅。
交集的应用
超集是指一个集合包含另一个集合的所有元素，即如果集合A中的 所有元素都属于集合B，则称集合B为集合A的超集。
03
集合间的相等关系
相等关系的定义
相等关系
如果两个集合A和B的元素完全相同，即A=B，则称集合A与B具有 相等关系。
相等的定义
对于任意两个集合A和B，如果A中的每一个元素都是B中的元素， 且B中的每一个元素都是A中的元素，则称A与B相等，记作A=B。
集合间的基本关系ppt课件
一般地，如果集合 A 是集合 B 的子集(A⊆B),且集合 B 是集合 A 的子集 (B⊆A)，此时，集合 A 与集合 B 中的元素是一样的，因此，集合 A 与集合 B 相等，记作
A=B
符号语言：若A B, B A，则A B.
A(B)
真子集
如果集合 A⊆B，但存在元素 x∈B，且 x A，我们称集合 A 是集合 B
解：由
a2
1,
ab b.
或
a2 b, ab 1.来自得a 1, b 0.
或
a 1, b 1.
（舍去）.
所以 a 1，b 0.
本节课的知识网络：
子集 AB
空集 （）
相等 AB
真子集 A B
性质
性质
(2)设 C 为立德中学高一(2)班女生的全体组成的集合，D 为这个班学生的全 体组成的集合；
(3) E={x|x是两条边相等的三角形}，F={x|x是等腰三角形}.
可以发现，在(1)中，集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素．这时 我们说集合 A 包含于集合 B，或集合 B 包含集合 A．(2)中的集合 C 与集合 D 也有这种关系．
的真子集． 例如：集合 A={1，2，3}，集合 B={1，2，3，4，5}．4，5在集合 B 中，但 不是集合 A 中的元素．所以 A 是 B 的真子集
读作：“A真含于B（或“B真包含A”).
BA
空集
我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为 ∅，
并规定：空集是任何集合的子集； 是任何非空集合则真子集.
一般地，对于两个集合A、B，如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B中 的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合 A 为集合 B 的子集.记作：
1.2集合间的基本关系(共42张PPT)
1．能正确表示集合 M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合 N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的
Venn 图是
()
解析：选 B.解 x2－x＝0 得 x＝1 或 x＝0，故 N＝{0，1}，易得 N M，其 对应的 Venn 图如选项 B 所示．
2．已知集合 A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{1，2}，C＝{x|x<8，x∈N}，用适当 的符号填空：
(多选)已知集合 A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，B
A，则 m 的值为 A.13 C．0
B．－12 D．2
()
解析：选 ABC.A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3，2}． 因为 B A 且 B＝{x|mx＋1＝0}，
所以 B＝{－3}或 B＝{2}或 B＝∅. 当 B＝{－3}时，
称集合 A 是集合 B 的子集 如果集合 A⊆B，但存在元素 真子集 __x_∈__B_，__且__x_∉__A___，就称集 合 A 是集合 B 的真子集
符号表示 A__⊆__B (或 B__⊇__A)
A____B (或 B____A)
图形表示
定义 如果集合 A 的_任__何___一__个__ 元素都是集合 B 的元素， 集合相等 同时集合 B 的__任__何__一__个__ 元素都是集合 A 的元素， 那么集合 A 与集合 B 相等
1．Venn 图 (1)定义：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称 为 Venn 图，这种表示集合的方法叫做图示法． (2)适用范围：元素个数较少的集合． (3)使用方法：把元素写在封闭曲线的内部．
2．子集、真子集、集合相等 定义
如果集合 A 中_任___意__一__个__元 子集 素都是集合 B 中的元素，就
集合间的基本关系ppt课件
变式训练1 (1)若{1,2,3}⫋A⊆{1,2,3,4,5},则满足条件的集合A的个数为
( B )
A.2
B.3
C.4D.5解析 满足 Nhomakorabea件的集合A有{1,2,3,4},{1,2,3,5}和{1,2,3,4,5},共3个.
(2)已知集合A⫋{1,2,3},且A中至少含有一个奇数,则满足条件的集合A的个
别为{1},{2}.
思考辨析
1.{0},⌀之间有什么区别与联系?
提示 {0}是含有一个元素0的集合,⌀是不含任何元素的集合,因此⌀⊆{0}.
2.若一个集合只有一个子集,则这个集合有什么特征?
提示 一个集合只有一个子集,则这个集合是空集.
自主诊断
1.下列集合中为空集的是( C )
A.{0}
B.{⌀}
(3)集合A的非空子集的个数为2n-1;
(4)集合A的非空真子集的个数为2n-2.
例如,集合{1,2}的元素个数为2,其子集个数为22=4,子集分别为⌀,{1},{2},
{1,2};真子集个数为22-1=3,真子集分别为⌀,{1},{2};非空子集个数为22-1=
3,非空子集分别为{1},{2},{1,2};非空真子集个数为22-2=2,非空真子集分
【例1】 (1)[2024河南统考模拟预测]已知集合A={x∈N|-2<x<3},则集合A
的所有非空真子集的个数是( D )
A.6
B.7
C.14
D.15
解析 因为A={x∈N|-2<x<3}={0,1,2},所以集合A中的元素个数为3,因此集
合A的所有非空真子集的个数是23-2=6.故选A.
(2)已知集合M满足{2,3}⊆M⊆{1,2,3,4,5},那么这样的集合M的个数为( C )
集合间的基本关系ppt课件
知识点二. 真子集 如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x ∉A,就称集合A是集合B的真子集
B A 记作A⫋B(或B⫌A),读作“A真包含于B”(或“B真包含A”)
(1)若A⫋B且B⫋C,则A⫋C; (2)若A⊆B且A≠B,则A⫋B 在真子集的定义中,A⫋B首先要满足A⊆B,其次至少有一个x∈B,但x∉A.
B
A
01 a 2
x
故满足题意的集合M共有7个．
1.已知集合A＝{x∈N|－2<x<3}，则集合A的所有非空真子集的个数 是( )
A.6
B.7
C.14
D.15
解析：选A.因为A＝{x∈N|－2<x<3}={0，1，2}，所以集合A的元素个数为 3，因此集合A的所有非空真子集的个数是23-2=6，故选A. 2.已知集合A＝{a1，a2，a3}的所有非空真子集的元素之和等于12，则
(2)集合B与集合A又存在着什么关系?
知识点一 子集
封闭曲线
U
U
2.子集
集合B中的元素是由集合
A中的部分元素构成的。
A={各国参赛运动员} B={中国参赛运动员}
A={-1,0,1,2}
B={-1,0,1}
也就是说：集合B中的元 素都是集合A中的元素。
一般地，对于两个集合A，B，如果集合A__任__意__一__个___ 元素都是 集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作_A_⊆__B__(或 B⊇A ) ，读作“A包含于 B”(或“B包含 A”)
新课程标准
核心素养
数学抽象、逻 1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.
辑推理
2.在具体情境中，了解空集的含义.
数学抽象
集合之间的关系ppt课件
包含
B A
真包含 相等
• 自学书Ｐ１０－Ｐ１３回答下列问题 • １．集合之间有那些关系 • ２．子集，真子集，集合相等的定义 • ３．子集，真子集的性质 • ４．集合关系与其特征性质之间的关系
集合的特性 含义与表示 元素和集合间的关系 集合的表示方法
集合
基本关系 基本运算
引：观察下列集合
C x x是长方形，D x x是平行四边形
一般地，设A x p x ，B x q x
如果A B，
则x A x B，p x q x
反之x A x B，p x q x 则A B
如果p x q x 则A B，反之也成立
1 A A
2 A
C则A ? C
n
3 A B，B C则A C
4 A 刎B，B
n
5 n个元素的集合的子集个数为2
n
个
真子集为2 1，非空真子集为2 2
例：写出集合A 1 ， 2，的所有子集和真子集 3
答：子集：， 3 1 2， 3 1， 2， 3，， 1 2，，， 13 2，，，
书１３页练习Ａ，Ｂ
包含
子集 真子集
真包含
相等
空集
注意：
1
A B x A A 刭B (或B xB
A)
A Ø B A B且A B
2空集是任何非空集合的真子集
B A
3
用Venn图表示两个集 合间的“真包含”关系
A B A B且B A 4 A B A B A Ø B
A ⊆ B 一个集合有多种表达形式． A =B⇔ B ⊆ A 例：A x x 1 x 2 0，B 1， 2
B A
真包含 相等
• 自学书Ｐ１０－Ｐ１３回答下列问题 • １．集合之间有那些关系 • ２．子集，真子集，集合相等的定义 • ３．子集，真子集的性质 • ４．集合关系与其特征性质之间的关系
集合的特性 含义与表示 元素和集合间的关系 集合的表示方法
集合
基本关系 基本运算
引：观察下列集合
C x x是长方形，D x x是平行四边形
一般地，设A x p x ，B x q x
如果A B，
则x A x B，p x q x
反之x A x B，p x q x 则A B
如果p x q x 则A B，反之也成立
1 A A
2 A
C则A ? C
n
3 A B，B C则A C
4 A 刎B，B
n
5 n个元素的集合的子集个数为2
n
个
真子集为2 1，非空真子集为2 2
例：写出集合A 1 ， 2，的所有子集和真子集 3
答：子集：， 3 1 2， 3 1， 2， 3，， 1 2，，， 13 2，，，
书１３页练习Ａ，Ｂ
包含
子集 真子集
真包含
相等
空集
注意：
1
A B x A A 刭B (或B xB
A)
A Ø B A B且A B
2空集是任何非空集合的真子集
B A
3
用Venn图表示两个集 合间的“真包含”关系
A B A B且B A 4 A B A B A Ø B
A ⊆ B 一个集合有多种表达形式． A =B⇔ B ⊆ A 例：A x x 1 x 2 0，B 1， 2
集合之间的关系 课件(共30张PPT)-【中职专用】高一数学(高教版2023修订版基础模块上册)
集合A是集合B的子集, 记作A ⊆ B(或B ⊇ A), 读作“A包
含于B”(或“B包含A”)．
则上述思考题集合关系表示为B ⊆ A,D ⊆ C。
7
探索新知-子集
若集合A：某校高一全体学生
集合B：某校高二全体男生
此时，集合B中的元素
不都是集合A的元素；
若集合C：巴黎奥运会中国队所有运动员
集合D中的元素也不
同一集合子集与真
子集的数量有什么
区别？
真子集有哪些？
集合A的子集有∅，{1}，{2}，{1,2}；
真子集有∅，{1}，{2}。
由此可知同一集合的子集比真子集
数量多1，是集合本身。
14
例题辨析-子集
例2 用符号“∈”、“∉”、“⊆”、“ ⫋”或“=”填
空：
（1）{1,2,3,4} ⫌
{2,3}
（2）m ∈ {m}
解。
5
情境导入
集合A：某校高一全体学生
集合B：某校高一全体男生
思考1：上述两个集合A和B，有什么关系呢?
集合C：巴黎奥运会中国队所有运动员
集合D：巴黎奥运会中国游泳运动员
思考2：上述两个集合C和D，又有什么关系呢?
6
集合B中的元素都是集
合A的元素；
集合D中的元素都是
集合C的元素。
探索新知-子集
一般地, 如果集合A的每一个元素都是集合B的元素, 则称
相等 就说集合A与集合B相等
A＝B
_______
A⊆B，存在
如果____________
真子
______________，那么我们
x∈B且x∉A
集
称集合A是集合B的真子集
A⫋B 或
含于B”(或“B包含A”)．
则上述思考题集合关系表示为B ⊆ A,D ⊆ C。
7
探索新知-子集
若集合A：某校高一全体学生
集合B：某校高二全体男生
此时，集合B中的元素
不都是集合A的元素；
若集合C：巴黎奥运会中国队所有运动员
集合D中的元素也不
同一集合子集与真
子集的数量有什么
区别？
真子集有哪些？
集合A的子集有∅，{1}，{2}，{1,2}；
真子集有∅，{1}，{2}。
由此可知同一集合的子集比真子集
数量多1，是集合本身。
14
例题辨析-子集
例2 用符号“∈”、“∉”、“⊆”、“ ⫋”或“=”填
空：
（1）{1,2,3,4} ⫌
{2,3}
（2）m ∈ {m}
解。
5
情境导入
集合A：某校高一全体学生
集合B：某校高一全体男生
思考1：上述两个集合A和B，有什么关系呢?
集合C：巴黎奥运会中国队所有运动员
集合D：巴黎奥运会中国游泳运动员
思考2：上述两个集合C和D，又有什么关系呢?
6
集合B中的元素都是集
合A的元素；
集合D中的元素都是
集合C的元素。
探索新知-子集
一般地, 如果集合A的每一个元素都是集合B的元素, 则称
相等 就说集合A与集合B相等
A＝B
_______
A⊆B，存在
如果____________
真子
______________，那么我们
x∈B且x∉A
集
称集合A是集合B的真子集
A⫋B 或
集合的关系ppt课件
子集
定义：如果集合A中的每一个元素都是集合B中 的元素，则称集合A为集合B的子集。
符号表示：A ⊆ B
例子：集合{1, 2, 3}是集合{1, 2, 3, 4}的子集， 但{1, 2, 3, 4}不是{1, 2, 3}，并且集合A和集合 B不相等，则称集合A为集合B的真子集。
集合的表示方法
列举法
将集合中的所有元素一一列举出来， 用逗号分隔。
描述法
通过描述集合中元素所具有的共同特 征，来表达集合。
集合的元素
元素是构成集合的基本单位。
元素具有无序性，即元素的排 列顺序不影响集合的性质。
元素具有可替代性，即在一个 集合中，任何一个元素都可以 被另一个相同的元素所替代。
02 集合之间的关系
集合的关系
目录
• 集合的基本概念 • 集合之间的关系 • 集合的运算性质 • 集合的特殊关系 • 集合的应用
01 集合的基本概念
集合的定义
1
集合是由确定的、不同的元素所组成的总体。
2
集合中的元素具有互异性，即集合中不会有重复 的元素。
3
集合中的元素具有确定性，即集合中的元素是明 确的，不会存在模糊不清的情况。
集合的分配律是指一个集合与另外两 个集合的交集或并集进行运算时，可 以将该集合分别与两个集合进行运算 后再进行合并或交集运算。
详细描述
在集合运算中，如果一个集合M与另 外两个集合N和P进行运算，可以使用 分配律将M与N和P分别进行运算后再 进行合并或交集运算。例如， M∪(N∩P)等于(M∪N)∩(M∪P)。
符号表示：A ⫋ B
例子：集合{1, 2, 3}是集合{1, 2, 3, 4}的真子集，但{1, 2, 3, 4}不是{1, 2, 3}的真子集。
集合间的基本关系ppt课件
A B
记作A B(或B A). 如 : {1,2} {1,2,3,4} 符号语言： 若A B, 且存在x B但x A,则A B. 图形语言： 若A B,且A B,则A B.
A B
新知探究：空集
问题4 方程x2+1=0的实数根组成集合是什么？它的元素有哪些？ 我们知道，方程x2+1=0是没有实数根，所以方程x2+1=0的实数根
集合
元素个数 子集个数
真子集 非空子集
个数
个数
结论：
0
1
{a}
1
2
集合A有n(n≥0)个元素,则 A的子集有2n个,
{a,b}
2
4
A的真子集或非空子集有2n-1个, {a,b,c}
3
8
A的非空真子集有2n-2个(n≥1). {a,b,c,…} n
2n
0 1 3 7
2n 1
典例解析 例2 判断下列各题中集合A是否为集合B的子集，并说明理由： （1）A={1, 2, 3}，B={x|x是8的约数}； （2）A={x|x是长方形}，B={x|x是两条对角线相等的平行四边形}. 解：(1) 因为3不是8的约数，所以集合A不是集合B的子集. (2) 因为若x是长方形，则x一定是两条对角线相等的平行四边形， 所以集合A是集合B的子集.
如：{x||x|=1}={x|x2=1}
符号语言： 若A⊆B且B⊇A，则A=B.
图形语言：
A(B)
A B BA
集合相等是集合包含关系中的特殊情况。
集．
(1) A＝{1,3,5}，B＝{1,2,3,4,5}； (√)
(2) A＝{1,3,5}，B＝{1,3,6,9}； (×)
变式 已知集合A满足{1，2}⫋A⊆{1,2,3, 4},写出满足条件的集合A.
高一数学-集合间的基本关系ppt课件.ppt
【解析】 由集合相等的概念得 a2－1＝0 a2－3a＝－2 ，解得 a＝1.
写出满足{a，b} A⊆{a，b，c，d}的所有集合A. 【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息： ①集合{a，b}，{a，b，c，d}已知； ②集合A满足{a，b} A⊆{a，b，c，d}； ③求集合A. 解答本题可根据子集、真子集的概念求解． 【解析】 由题设可知，一方面A是集合{a，b，c，d}的子集， 另一方面A又真包含集合{a，b}，故集合A中至少含有两个元素a，b， 且含有c，d两个元素中的一个或两个． 故满足条件的集合有{a，b，c}，{a，b，d}，{a，b，c，d}．
(3){0}与Ø的区别：{0}是含有一个元素的集合，Ø是不含任 何元素的集合．因此，有Ø⊆{0}，不能写成Ø＝{0}，Ø∈{0}．
3．两集合相等的证明 若A、B两个集合是元素较少的有限集，可用列举法将元素 列举出来，说明两个集合的元素完全相同，从而A＝B；若A、 B是无限集时，欲证A＝B，只需证A⊆B与B⊆A都成立即可．
1．子集、空集的概念的理解 (1)集合A是集合B的子集，不能简单地理解为集合A是由集合 B的“部分元素”所组成的集合。如A＝Ø，则集合A不含B中的任 何元素． (2)如果集合A中存在着不属于集合B的元素，那么A不包含于 B，或B不包含A.这有两方面的含义，其一是A、B互不包含，如A ＝{a，b}，B＝{b，c，d}；其二是，A包含B，如A＝{a，b，c}， B＝{b，c}．
【解析】 ∵B⊆A，
①当 B＝Ø 时，m＋1<2m－1，解得 m>2；
②当 B≠Ø 时，有－m＋3<12&解得－1<m≤2. 综上可知 m 的取值范围是{m|m>－1}．
(1)分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合．(2)此类 问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表 示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一 般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．
写出满足{a，b} A⊆{a，b，c，d}的所有集合A. 【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息： ①集合{a，b}，{a，b，c，d}已知； ②集合A满足{a，b} A⊆{a，b，c，d}； ③求集合A. 解答本题可根据子集、真子集的概念求解． 【解析】 由题设可知，一方面A是集合{a，b，c，d}的子集， 另一方面A又真包含集合{a，b}，故集合A中至少含有两个元素a，b， 且含有c，d两个元素中的一个或两个． 故满足条件的集合有{a，b，c}，{a，b，d}，{a，b，c，d}．
(3){0}与Ø的区别：{0}是含有一个元素的集合，Ø是不含任 何元素的集合．因此，有Ø⊆{0}，不能写成Ø＝{0}，Ø∈{0}．
3．两集合相等的证明 若A、B两个集合是元素较少的有限集，可用列举法将元素 列举出来，说明两个集合的元素完全相同，从而A＝B；若A、 B是无限集时，欲证A＝B，只需证A⊆B与B⊆A都成立即可．
1．子集、空集的概念的理解 (1)集合A是集合B的子集，不能简单地理解为集合A是由集合 B的“部分元素”所组成的集合。如A＝Ø，则集合A不含B中的任 何元素． (2)如果集合A中存在着不属于集合B的元素，那么A不包含于 B，或B不包含A.这有两方面的含义，其一是A、B互不包含，如A ＝{a，b}，B＝{b，c，d}；其二是，A包含B，如A＝{a，b，c}， B＝{b，c}．
【解析】 ∵B⊆A，
①当 B＝Ø 时，m＋1<2m－1，解得 m>2；
②当 B≠Ø 时，有－m＋3<12&解得－1<m≤2. 综上可知 m 的取值范围是{m|m>－1}．
(1)分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合．(2)此类 问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表 示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一 般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．
1.2集合间的基本关系课件共20张PPT
{0}不能写成 ={0}， ∈{0}.
3.与{} 两者之间有什么关系?
是不含任何元素的集合，{}是包含元素的集合
{}
新知探究5
思考5：您能否类比实数的关系“5≤5”，“如果3≤5,且5≤7，
那么3≤7”,集合间的基本关系，得到集合中的结论【性质】？
（1）任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A；
② A为立德中学高一（2）班全体女生组成的集合,
B为这个班全体学生组成的集合;
③ A={x| x是两条边相等的三角形}, B={x | x是等腰三角}.
元素
1.你从哪个角度来分析每组两个集合间的关系？
2.请用集合的语言归纳概括上述三个具体例子的共同特点．
可以发现，在（1）中，集合A的任何一个元素都是集合B的元素．这时
1.子集：A B 任意x∈A x∈B.
2.真子集: A
A
B A B，但存在 x∈B且 xA.
B
3.集合相等：A＝B AB且BA.
4.性质: ①A，若A非空， 则
②AA.
③AB，BCAC.
B
A
A.
用集合的语言描述集合A和集合B相等?来自a ≥bB A
b ≥a
A B
a = b
A=B
新知探究2：集合的相等
一般地，如果集合Ａ的任何一个元素都是集合Ｂ的元素，同时
集合Ｂ的任何一个元素都是集合Ａ的元素，那么集合Ａ与集合Ｂ相
等，记作Ａ＝Ｂ.
A ⊆ B
A =B⇔
B ⊆ A
Venn图为
A( B )
新知探究3：真子集
(× )
③A={0},
B={x | x2+2=0}
④A={a,b,c,d}, B={d,b,c,a}
高一数学必修一集合间的关系课件.ppt
记作AB，或BA.
4.空集 示例4：考察下列集合,并指出集合中的 元素是什么？
A＝{x| x2＋1＝0，x∈R}.
★A中没有元素.
不含任何元素的集合为空集，记作.
规定：空集是任何集合的子集.
5.集合之间的基本关系.
（1）任何一个集合是它本身的子集，即 A A （2）对于集合A、B、C，如果A B，B C，那么 A C.
- 2(a 1) 4 a 2
解得 a 1
(2)当B A时，又可分为： (a) B 时，即B {0}，或B {-4}， 4(a 1)2 4(a2 1) 0, 解得a 1 B {0}满足条件； (b)B 时， 4(a 1)2 4(a2 1) 0, 解得a 1 综合(1)、(2)知，所求实数a的值a 1, 或a 1.
练习2：
1. N* ___ N ___ Z ___ Q ___ R
2. 若A B, B C, 则 A ____C.
3. A ____ A
子集的传递性
例题
例1 ⑴写出集合{a，b}的所有子集； ⑵写出所有{a，b，c}的所有子集； ⑶写出所有{a，b，c，d}的所有子集.
⑴ {a}，{b}，{a，b}, ；
解： A，当B ，有a 1 2a 1,即a 2
2a 1 a 1 当B 时，有a 1 -2
2a 1 5 2 a 3 综上所述，a的取值范围a 3.
课外作业：
1 设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|x-a≥0} 若A是B的真子集，求实数a的取值范围。
2 设A={1，2}，B={x|xA}，问A与B有什 么关系？并用列举法写出B？
练习1：观察下列各组集合，并指明两个
集合的关系
① A＝Z ，B＝N；
AB
4.空集 示例4：考察下列集合,并指出集合中的 元素是什么？
A＝{x| x2＋1＝0，x∈R}.
★A中没有元素.
不含任何元素的集合为空集，记作.
规定：空集是任何集合的子集.
5.集合之间的基本关系.
（1）任何一个集合是它本身的子集，即 A A （2）对于集合A、B、C，如果A B，B C，那么 A C.
- 2(a 1) 4 a 2
解得 a 1
(2)当B A时，又可分为： (a) B 时，即B {0}，或B {-4}， 4(a 1)2 4(a2 1) 0, 解得a 1 B {0}满足条件； (b)B 时， 4(a 1)2 4(a2 1) 0, 解得a 1 综合(1)、(2)知，所求实数a的值a 1, 或a 1.
练习2：
1. N* ___ N ___ Z ___ Q ___ R
2. 若A B, B C, 则 A ____C.
3. A ____ A
子集的传递性
例题
例1 ⑴写出集合{a，b}的所有子集； ⑵写出所有{a，b，c}的所有子集； ⑶写出所有{a，b，c，d}的所有子集.
⑴ {a}，{b}，{a，b}, ；
解： A，当B ，有a 1 2a 1,即a 2
2a 1 a 1 当B 时，有a 1 -2
2a 1 5 2 a 3 综上所述，a的取值范围a 3.
课外作业：
1 设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|x-a≥0} 若A是B的真子集，求实数a的取值范围。
2 设A={1，2}，B={x|xA}，问A与B有什 么关系？并用列举法写出B？
练习1：观察下列各组集合，并指明两个
集合的关系
① A＝Z ，B＝N；
AB