映射与函数习题

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【知识点回顾】

1.函数的概念

一般地，设A 、B 是两个非空的数集，如果按某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个（任意性）元素x ，在集合B 中都有（存在性）唯一（唯一性）的元素y 和它对应，这样的对应叫做集合A 到集合B 的一个函数（三性缺一不可） 函数的本质：建立在两个非空数集上的特殊对应 这种“特殊对应”有何特点：1).可以是“一对一” 2).可以是“多对一” 3).不能“一对多” 4). A

中不能有剩余元素 5).B 中可以有剩余元素

判断两个函数相同：只看定义域和对应法则 2.映射的概念

一般地，设A 、B 是两个集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f:Ａ→Ｂ为从集合A 到集合B 的一个映射（mapping ）。 思考：映射与函数区别与联系？

函数——建立在两个非空数集上的特殊对应 映射——建立在两个非空集合上的特殊对应 1）函数是特殊的映射，是数集到数集的映射． 2）映射是函数概念的扩展，映射不一定是函数． 3）映射与函数都是特殊的对应 思考：映射有“三性”： ①“有序性”：映射是有方向的，A 到B 的映射与B 到A 的映射往往不是同一个映射； ②“存在性”：对于集合A 中的任何一个元素，集合B 中都存在元素和它对应； ③“唯一性”：对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中和它对应的元素是唯一的. 3.用映射定义函数

(1).函数的定义：如果A 、B 都是非空数集，那末A 到B 的映射f :A → B 就叫做A → B 的函数。记作：y=f (x ).

（2）定义域：原象集合A 叫做函数y =f (x)的定义域。 （3）值域：象的集合C 叫做函数y =f (x)的值域。

定义：给定一个集合A 到集合B 的映射，且a ∈A ， b ∈B 。如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象。

给定映射f ：A →B 。则集合A 中任何一个元素在集合B 中都有唯一的象，而集合B 中的元素在集合A 中不一定都有原象，也不一定只有一个原象。 问题1：下图中的（1）（2）所示的映射有什么特点？

答：发现规律：（1）对于集合A 中的不同元素，在集合B 中有不同的象， 我们把这样的映射称为单射。

（2）集合B 中的每一个元素都有原象，我们把这样的映射称为满射。

定义：一般地，设A 、B 是两个集合。f ：A →B 是集合A 到集合B 的映射，如果在这个映

)(B C

射下，对于集合A 的不同元素，在集合B 中有不同的象，且B 中每一个元素都有原象，那么这个映射叫做A

注意：1）一 一映射是一种特殊的映射：A 到B 是映射，B 到A 也是映射。

2）映射和一一映射之间的充要关系，映射是 一 一映射的必要而不充分条件 3）一 一映射： A 和B 中元素个数相等。

例2：判断下面的对应是否为映射 ，是否为一一映射？

1）A={0,1,2,4,9},B={0,1,4,9,64},对应法则 f ：a →b = (a -1)2

答：是映射，不是一一映射。（如右图所示可以很容易可能出。） 2）A={0,1,4,9,16},B={-1,0,1,2,3,4},对应法则 f ：求平方根 ？ 3）A=Z ，B=N*，对应法则 f ：求绝对值？ 答：不是映射。

4）A={11,16,20,21},B={6,2,4,0},对应法则 f ：求被7除的余数

答：是映射，且是一一映射。

例3：已知集合Ａ＝Ｒ，Ｂ＝｛(x,y)|x,y ∈Ｒ｝，f 是从Ａ到Ｂ的映射f:x →(x+1,x 2) . （１）求2在B 中的对应元素 （２）(2,1)在Ａ中的对应元素

解:（1）将x=2代入对应关系，可得其在Ｂ中的对应元素为（2+1，2） （2）由题意得： x+1=2

x 2=1 ∴x=1 即（2,1）在A 中的对应元素为1 例4：设集合A={a 、b},B={c 、d 、e}

（1）可建立从A 到B 的映射个数 . （2）可建立从B 到A 的映射个数 . 答：9,8（可以试着画图看看）

小结：如果集合A 中有m 个元素，集合B 中有n 个元素，那么从集合A 到集合B 的映射共有 n m 个。

【映射例题精解】

例1在下列对应中、哪些是映射、那些映射是函数、那些不是？为什么？ 设A={1,2,3,4}，B={3,5,7,9}，对应关系是f(x)=2x+1,x 属于A

设A={1,4,9},B+{-1,1,-2,2,-3,3}对应关系是‘A 中的元素开平方’ 设A=R ，B=R,对应关系是f(x)=x 的3次方，x 属于A 设A=R,B=R,对应关系是f(x)=2x 的2次方+1，x 属于A

解析：1、是一一映射，且是函数

2、不是映射（象是有且唯一）

3、是一一映射，且是函数

4、是映射，但不是函数，因为B中不是所有值在A中都有对应。

例2设A={a,b,c},B={0,1},请写出两个从A到B的映射

从A到B的映射共有2^3=8个：

（a，b，c）→（0，0，0）；

（a，b，c）→（0，0，1）；

（a，b，c）→（0，1，0）；

（a，b，c）→（1，0，0）；

（a，b，c）→（0，1，1）；

（a，b，c）→（1，0，1）；

（a，b，c）→（1，1，0）；

（a，b，c）→（1，1，1）。

例3假设集合m={0 -1 1} n={-2 -1 0 1 2} 映射f:M→N 满足条件“对任意的x属于M ,x+f(x) 是奇数”，这样的映射有____个

①当x=-1时，x+f(x)=-1+f(-1)恒为奇数，相当于题目中的限制条件“使对任意的x属于M，都有x+f(x)是奇数”

f(-1)=-2,0,2

②当x=0时，x+f(x)=f(0),根据题目中的限制条件“使对任意的x属于M，都有x+f(x)是奇数”可知f(0)只能等于-1和1

③当x=1时，x+f(x)=1+f(1)恒为奇数

f(1)=-2,0,2

综上①②③可知，只有第②种情况有限制，所以这样的映射共有3×2×3=18个

例4 设集合A={-1，0，1} B={2，3，4，5，6 } 从A到B的映射 f满足条件：对每个X∈A 有 f（X）+X为偶数那么这样的映射f的个数是多少？

映射可以多对一，要让f（X）+X＝偶数，当X＝－1和1时，只能从B中取奇数，有3，5

两种可能，当X＝0从B中取偶数有2 4 6三种，则一共有2×2×3＝12个

以后你学了分步与分类就很好理解啦，完成一件事有两类不同的方案,在第一类方案中有m种不同的方法,在第二类方案中有n种不同的方法.那么完成这件事共有N=m+n中不同的方法,这是分类加法计数原理;完成一件事需要两个步骤,做第一步有m种不同的方法,做第二

步有n种不同的方法.那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法