随即微积分216335764375

第九章随机过程I：随机微积分

9．1介绍

9．1．1 定义

9．1．2 统计特征

9．1．3 多维情形

9．1．4 过程分类

9．2一些重要的随机过程9．2．1 二项过程

9．2．2 布朗运动和伊藤过程9．2．3 泊松过程

9．3随机伊藤积分9．3．1 动机

9．3．2 直观定义

9．3．3 直接计算9．4伊藤定理9．4．1 直观推导9．4．2 应用举例9．4．3 多维情形

9．5随机微分方程9．5．1随机过程模型9．5．2解的性质和形式9．5．3显性解的例子9．6应用

9．6．1期权定价9．6．2 随机动态规划小结

文献导读

本章的学习目标为：

了解随机过程的定义、描述方法和重要数值特征以及基于分布函数的分类方法

掌握二项过程并熟练运用二项树建模方法

掌握布朗运动和维纳过程的定义和特征并认识到它在连续时间随机分析中的重要作用和核心地位

掌握并熟练运用一般维纳过程、几何布朗运动和伊藤过程来构造金融资产价格运动模型

了解泊松过程的定义和特征，认识它在构造金融市场上突发事件时的作用

明确基于均方收敛的随机伊藤积分的定义以及它与随机微分之间的联系

了解伊藤定理的直观推导过程并熟练应用伊藤定理进行计算

熟练应用随机微分方程模型来构造不同金融资产价格运动模型

了解随机微分方程解的形式，特别要掌握两种重要的显性解情形

掌握期权定价的传统B-S偏微分方程方法

掌握最优个人消费/投资问题的随机动态规划方法

有了前面的准备工作，我们现在就可以着手学习，研究现代金融理论所必须也是最重要的数学工具——随机过程理论了。为什么金融理论研究中一定要使用随机过程理论呢？这是因为在金融现象中一些主要价格指标例如利率、汇率、股票指数、价格等等都表现出一定的随机性(randomness)。股票价格明天会是多少，一直吸引和困惑了最富有头脑的理

论家和实践者，早期金融思考就是试图对这个问题作出令人信服的回答1，越来越多的证据显示：人们倾向认识到，试图超越市场去预测价格走势，总体上是徒劳的，只有通过使用随机过程理论在概率的意义上去描绘，才能给问题的解决提供一个可靠的基础2。这也是我们在整个金融数学的学习过程中遇到的最困难的部分，为了降低教和学的难度，我们把整个随机过程理论分为两个相对独立的部分。

第一部分也就是在这一章中，我们要建立随机微积分的理论框架。首先会通过直观的例证来给出随机过程的定义，简单地对它们进行分类和特征描述；然后介绍一些重要的和在微观金融分析中经常要使用到的随机过程种类，由于要处理随机变量的变化过程，我们必须了解随机微分和它存在的条件，而这势必又要求先建立起随机(伊藤)积分的正确概念，在上述基础上推导出解释随机变量之间变化关系的随机微积分法则——著名的伊藤定理。最后则是随机微分方程模型的构造和求解3。这需要对经典数学分析中的极限、微分和积分概念做推广，这是一套完全不同于经典微积分的法则，在反复的运用和实际的例子中，我们会对它逐渐熟悉起来。

微观金融学中使用上述随机微积分技术来研究诸如衍生金融产品定价、动态消费/投资决策等问题。以随机过程为基础的最优化方法归属于动态随机规划方法之下，以Samuelson、Merton、Black、Scholes等人的研究成果为最杰出的代表。本章中就提供它们的最重要两种应用——为欧式看涨期权定价和求解动态消费/投资问题4。

第二部分则是被称为随机过程一般理论的鞅方法，相对于本章中的内容而言，它更为抽象，并借重测度理论。但它提供对于随机过程更深入本质的理解，而且在实践当中，它还提供更为强大的计算能力，因而它日益成为金融经济学家们主流数学工具。我们将在下一章中“亲密接触”这个理论体系。

金融相关点9-1：有效率的市场？！

微观金融理论中的效率和我们在经济学中接触到的效率一词的含义是有所不同的。

我们知道，经济学中的效率往往指帕累托(Pareto)效率。在一个经济体系中，如果不能

以牺牲哪怕一个人的利益为代价来换得他人福利状况改善的情形，被称为是具有帕累托

效率5。但是我们说如果市场上资产价格已经充分地反应了所有可获得信息的话，金融市

场就是有效率的(efficient market)。这句话直观上可以这样理解，为所有人知晓的信息

是不会导致股票价格的明显波动的，因为它已经被反应到当前的价格上去了；或者换一

个角度，基于该信息集合(information set)作出的任何投资决策是不会带来任何明显的经

济收益的。如罗尔(Roll S．)所说的，这个定义相当模糊，不具备任何操作性。

罗伯茨(Roberts H．)在1967年第一次根据决策所依据的信息集合对市场效率做了

分类，这里我们沿用法马(Fama E．，1970)首先使用的现在通行的一套术语。首先是弱

形式的市场效率(weak-form market efficiency)，它所基于的信息集合仅仅包括资产价格

或者收益的历史数据。如果它成立的话就意味着那些认为可以根据股票价格的历史信息

预测未来价格走势的技术分析(technical analysis)(有时这种分析家被称为图表派(chartist))失效；接下来是半强形式(semistrong-form)的市场效率，它基于所有可以为投

资者获得的公开(public)信息，比方说公司的财务报表和公司前五位股东的持股份额等等，如果它成立，则所谓的基础分析(basic analysis)失效；最后是强的(strong-form)的

形式，它进一步包括了仅仅为部分投资者所知的内部或者私人(private)信息。如为公司

高层掌握的兼并意向和可能会对股票价格产生影响的重大投资决策等等，注意这些信息

有很强的时效性，它们有一个从少数到多数快速传播的过程。这三种形式的效率构造出

整个可获得信息的嵌套结构，很不幸，迄今为止它还不能被经验检验所证实，这是因为

1有兴趣的读者可以参考伯恩斯坦(Bernstein，1990)。

2参考框文金融相关点9-1：有效率的市场。

3学习这里的内容并不需要测度方面太多的准备。

4具体的说是用随机最优控制解法来求解动态消费/投资问题，详见9．6．2节。

5这种形式的效率在微观金融学中也有广泛的应用，这在第一部分的几乎所有章节中都有体现。