常考问题12 空间中的平行与垂直

m与n异面，故②错；m∥n，m∥α，则可能有n∥α，也
可能有n⊂α，故③错．易知①④正确． 答案 (1)B (2)D
[规律方法] 正确理解基本概念，学会用三种语言表达公
理、定理并做到真正理解是解决此类题目的关键．
知识与方法 热点与突破 失分与防范
【训练1】(1)若P是两条异面直线l，m外的任意一点，则下
AP，AD的中点．求证：
(1)直线EF∥平面PCD； (2)平面BEF⊥平面PAD.
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证明
(1)如图，在△PAD中，因为E，F分
别为AP，AD的中点，所以EF∥PD.又因为 EF⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，所以直线 EF∥平面PCD. (2)连接BD.因为AB＝AD，∠BAD＝60°， 所以△ABD为正三角形． 因为F是AD的中点，所以BF⊥AD. 因为平面PAD⊥平面ABCD，BF⊂平面 ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以 BF⊥平面PAD. 又因为BF⊂平面BEF，
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【训练 2】(2013· 临沂二模)如图，AD⊥平 面 ABC，AD∥CE，AC＝AD＝AB＝1， ∠BAC＝90°，凸多面体 ABCED 的体 1 积为 ，F 为 BC 的中点． 2
(1)求证：AF∥平面BDE；
(2)求证：平面BDE⊥平面BCE.
证明 1 (1)取 BE 的中点 G，连接 DG，GF，则 GF 綉 EC， 2
∴四边形 ADGF 为平行四边形， ∴AF∥DG，而 AF⊄平面 BDE，DG⊂平面 BDE， ∴AF∥平面 BDE.
知识与方法 热点与突破 失分与防范
(2)∵AB＝AC＝1，F为BC的中点， ∴AF⊥BC， 又AD⊥平面ABC.CE∥AD， ∴EC⊥平面ABC，AF⊂平面ABC，
∴AF⊥EC，又BC∩EC＝C.
(2)在CD上是否存在一点G，使BG⊥平
面ECC1？若存在，请确定点G的位 置，并证明你的结论；若不存在，请 说明理由．
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(1)证明
如图所示，在正四棱柱
ABCDA1B1C1D1中，取BC的中点M，连接
AM，FM.又B1F∥BM且B1F＝BM.所以四 边形B1FMB是平行四边形．所以FM綉 平行四边形．所以FA1∥AM. B1B.因为FM綉A1A，所以四边形AA1FM是
∴AF⊥平面BCE，又DG∥AF， ∴DG⊥平面BCE， 而DG⊂平面BDE， ∴平面BDE⊥平面BCE.
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热点三
空间中平行、垂直关系的探索问题
【例3】 如图所示，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E为AD的中点，F为B1C1 的中点． (1)求证：A1F∥平面ECC1；
因为E为AD的中点，所以AE綉MC.
所以四边形AMCE是平行四边形． 所以CE∥AM.所以CE∥A1F. 因为A1F⊄平面ECC1，EC⊂平面ECC1，所以A1F∥平面CC1.
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(2)解
在CD上存在一点G，使BG⊥平面ECC1，此时G为CD
的中点．
证明如下：取CD的中点G，连接BG. 在正方形ABCD中，DE＝GC，CD＝BC，∠ADC＝∠BCD ＝90°，所以△CDE≌△BCG.所以∠ECD＝∠GBC. 因为∠CGB＋∠GBC＝90°，所以∠CGB＋∠DCE＝90°.
B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3 C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面 D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面
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(2)已知两条直线m，n，两个平面α，β，给出下面四个命
题：
①m∥n，m⊥α⇒n⊥α；②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n；③ m∥n，m∥α⇒n∥α；④n∥β，m∥n，m⊥α⇒α⊥β. 其中假命题的序号是 A．①④ B．②④ C．①② ( D．②③ )．
(3)解 取AC的中点M，连接EM，DM，因为E为PC的中点，
M是AC的中点，所以EM∥PA.
又因为EM⊂平面DEM，PA⊄平面EDM，所以PA∥平面DEM.
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1 1 1 2 2 此时 AM＝ AC＝ AD ＋DC ＝ 2 2 2 长为 5.
22＋42＝ 5.
即在边 AC 上存在一点 M，使得 PA∥平面 EDM，且 AM 的
(2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.
(3)面面垂直的判定定理：a⊂β，a⊥α⇒α⊥β. (4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β. 4．垂直关系的转化 与平行关系之间的转化类似，它们之间的转化如下示意图．
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在垂直的相关定理中，要特别注意记忆面面垂直的性质
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2．平行关系的转化
两平面平行问题常常可以转化为直线与平面的平行，而直
线与平面平行又可转化为直线与直线平行，所以要注意转 化思想的应用，以下为三种平行关系的转化示意图．
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3．直线、平面垂直的判定及其性质
(1)线面垂直的判定定理：m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m， l⊥n⇒l⊥α.
(
)．
C．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β
D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
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解析 法．
(2)利用线与面、面与面的关系定理判定，用特例
设α∩β＝a，若直线l∥a，且l⊄α，l⊄β，则l∥α，l∥β， 因此α不一定平行于β，故A错误；由于l∥α，故在α内存
在直线l′∥l，又因为l⊥β，所以l′⊥β，故α⊥β，所以B正
所以平面BEF⊥平面PAD.
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[规律方法] 在立体几何的平行关系问题中，“中点”是经 常使用的一个特殊点，通过找“中点”，连“中点”，即可
出现平行线，而线线平行是平行关系的根本．在垂直关
系的证明中，线线垂直是问题的核心，可以通过计算的 方式证明线线垂直，也可以根据已知的垂直关系证明线 线垂直，其中要特别重视两个平面垂直的性质定理．
定理：两个平面垂直，在一个平面内垂直于它们交线的 直线必垂直于另一个平面，当题目中有面面垂直的条件 时，一般都要用此定理进行转化.
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热点一 空间线面位置关系的判断
【例1】 (1)l1，l2பைடு நூலகம்l3是空间三条不同的直线，则下列命题正 确的是 ( )．
A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3
又 AD⊥平面 ABC，∠BAC＝90°，则 BA⊥平面 ACED，
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1 1 1 又 VA-BCED ＝ VB － ACED ＝ × SA-CED × AB ＝ × × (1 ＋ 3 3 2 1 1 CE)×1×1＝ .∴CE＝2，∴AD 綉 CE， 2 2
∴AD 綉 GF.
存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由． (1)证明 因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AD.又因为四
边形ABCD是矩形，所以AD⊥CD.因为PD∩CD＝D，所 以AD⊥平面PCD. 又因为PC⊂平面PCD，所以AD⊥PC.
知识与方法 热点与突破 失分与防范
(2)解 由(1)知 AD⊥平面 PCD，所以 AD 是三棱锥 A­PDE 的高．因为 E 为 PC 的中点，且 PD＝DC＝4，所以 S△PDE＝ 1 1 1 1 S ＝ × ×4×4 ＝4.又 AD＝2，所以 VA­PDE＝ AD· 2 △PDC 2 2 3 1 8 S△PDE＝ ×2×4＝ . 3 3
所以BG⊥EC.
因为CC1⊥平面ABCD，BG⊂平面ABCD，所以CC1⊥BG.又 EC∩CC1＝C，所以BG⊥平面ECC1.
故在CD上存在一点G，使得BG⊥平面ECC1，此时G为CD的
中点．
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[规律方法] 此类问题的解决方法是：先假设其存在，把这 个假设作已知条件，和题目的其他已知条件一起进行推理论 证和计算，在推理论证和计算无误的前提下，如果得到了一
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失分案例(五) 逻辑性错误
逻辑性错误指学生在解题过程中由于违犯逻辑思维的规 律而产生的错误，常见的逻辑性错误有如下形式：步骤缺
失、虚假依据、偷换概念、分类不当、循环论证、不等价
变换(用必要条件代替可能导致解集扩大，而用充分条件代 替解集可能缩小)．
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解析
(1)当l1⊥l2，l2⊥l3时，l1也可能与l3相交或异面，
故A不正确；l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3，故B正确；当
l1∥l2∥l3时，l1，l2，l3未必共面，如三棱柱的三条侧棱， 故C不正确；l1，l2，l3共点时，l1，l2，l3未必共面，如正 方体中从同一顶点出发的三条棱，故D不正确． (2)因为α∥β，m⊂α，n⊂β，所以可能有m∥n，也可能有
个合理的结论，则说明存在，如果得到了一个不合理的结
论，则说明不存在．
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【训练3】 如图，在四棱锥PABCD中，PD⊥
平面ABCD，底面ABCD为矩形，PD＝DC
＝4，AD＝2，E为PC的中点． (1)求证：AD⊥PC； (2)求三棱锥APDE的体积； (3)在边AC上是否存在一点M，使得PA∥平面EDM？若
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常考问题12 空间中的平行与垂直
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[真题感悟]
[考题分析]
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1．直线、平面平行的判定及其性质
(1)线面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α.
(2)线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b. (3)面面平行的判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α， b∥α⇒α∥β. (4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.
列命题中假命题的序号是________．
①过点P有且仅有一条直线与l，m都平行；②过点P有且 仅有一条直线与l，m都垂直；③过点P有且仅有一条直线 与l，m都相交；④过点P有且仅有一条直线与l，m都异 面．
(2)设l是直线，α，β是两个不同的平面
A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β
确；若α⊥β，在β内作交线的垂线l，则l⊥α，此时l在平 面β内，因此C错误；已知α⊥β，若α∩β＝a，l∥a，且l不 在平面α，β内，则l∥α且l∥β，因此D错误． 答案 (1)①③④ (2)B
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热点二
空间中的平行与垂直关系
【例2】如图，在四棱锥P－ABCD
中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝ AD，∠BAD＝60°，E，F分别是