届江苏省四校高三联考数试卷及答案

江苏省姜堰中学、如皋中学、淮阴中学、前黄中学四校联考
高 三 数 学 2008.12
一、填空题：(本大题共14小题，每小题5分，共70分.)
1．若复数z 满足i iz 32+=（i 是虚数单位），则z =__________．
2．已知命题P ：“R x ∈∀，0322
≥-+x x ”，请写出命题P 的否定: ． 3．已知21sin =
α，其中⎪⎭
⎫
⎝⎛∈2,0πα，则=+)6cos(
πα ． 4．若方程ln 62x x =-的解为0x ，则满足0k x ≤的最大整数k = ． 5．已知函数()x
f x x e =⋅，则'(0)f = . 6．函数)6
(sin 12
π
-
-=x y 的最小正周期是 ．
7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若41217198a a a a +++= ，则25S 的值为 .
8．已知圆()122
2
=+-y x 经过椭圆 22
221x y a b
+= ()0a b >>的一个顶点和一个焦点，则
此椭圆的离心率e = .
9．设直线1l ：220x y -+= 的倾斜角为1α，直线2l ：40mx y -+= 的倾斜角为2α，
且 2190αα=+o
，则m 的值为 .
10．已知存在实数a 满足 2ab a ab >> ，则实数b 的取值范围为 . 11．已知函数b a x a b x x f ++--+=)2()(22是偶函数，则此函数图象与y 轴交点的纵坐标的最大值是 ．
12．已知点P 在直线210x y +-=上，点Q 在直线230x y ++=上，PQ 中点为(,)M x y o o ，且2y x >+o o ，则
y x o
o
的取值范围为 . 13．已知平面上的向量PA u u u r 、PB u u u r
满足224PA PB +=u u u r u u u r ,2AB =u u u r ，设向量2PC PA PB =+u u u r u u u r u u u r ，
则PC u u u r
的最小值是 .
14．如果函数2
()(31)x
x
f x a a a =--(0a >且1)a ≠在区间[)0+，∞上是增函数，那么实
数a 的取值范围是 ．
二、解答题(本大题共6小题，共90分)
15．（本小题满分14分）如图四边形ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ， Q 为PA 的中点. 求证：
⑴ PC ∥平面QBD ；
⑵ 平面QBD ⊥平面PAC .
16．（本小题满分14分）已知O 为原点，向量(3cos ,3sin )OA x x =u u u r ，(3cos ,sin )OB x x =u u u r
，(2,0)OC =u u u r ,0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
.
(1)求证：()
OA OB OC -⊥u u u r u u u r u u u r
;⑵ 求tan AOB ∠的最大值及相应的x 值.
17．（本小题满分14分）已知以点P 为圆心的圆经过点()1,0A -和()3,4B ，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D
，且||CD =. (1)求直线CD 的方程； ⑵求圆P 的方程；
⑶设点Q 在圆P 上，试问使△QAB 的面积等于8的点Q 共有几个？证明你的结论.
B
A
C
D
P
Q
O
18．（本小题满分16分）甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方每年向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入．乙方在不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x （元）与年产量t （吨）满足函数关系t x 2000=．若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s 元（以下称s 为赔付价格）．
（1）将乙方的年利润w （元）表示为年产量t （吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；
（2）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额2
002.0t y =（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s 是多少？
19．（本小题满分16分）设函数()ln f x ax x =+，()22g x a x =.
⑴当1a =-时，求函数()y f x =图象上的点到直线30x y -+=距离的最小值；
⑵是否存在正实数a ，使()()f x g x ≤对一切正实数x 都成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由.
20．（本小题满分16分）设数列{}n a 的各项都是正数，11a =，
1
1112n n n n
a a a a +++=+ ，
2n n n b a a =+ .
⑴求数列{}n b 的通项公式；⑵求数列{}n a 的通项公式； ⑶求证：()()()12231
111
1111n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+<+++ .
附加题
21．（本小题满分8分）求由曲线x
y 1
=，1=y ，2=y ，1=x 所围成的面积．
22．（本小题满分8分）解不等式:|21||4|2x x +--<
23．（本小题满分12分）已知两曲线x x f cos )(=，x x g 2sin )(=，)2
,0(π
∈x ．
（1）求两曲线的交点坐标；
（2）设两曲线在交点处的切线分别与x 轴交于,A B 两点，求AB 的长．
24．（本小题满分12分）已知动圆Q 与x 轴相切，且过点()0,2A . ⑴求动圆圆心Q 的轨迹M 方程；
⑵设B 、C 为曲线M 上两点，()2,2P ，PB BC ⊥，求点C 横坐标的取值范围.
高三数学参考答案
一、填空题
1．i 23- 2．R x ∈∃,0322
<-+x x 3．2
1
4．2 5．1 6．π 7．50 8．
1
3
9．-2 10． (),1-∞- 11．2 12．11,25⎛⎫
-
- ⎪
⎝⎭
13．2 14．133<≤a 二、解答题
15[解]：证：设 ⋂AC BD=0,连OQ 。

⑴ ∵ABCD 为菱形， ∴ O 为AC 中点，又Q 为PA 中点。

∴OQ ∥PC （5分）
又⊄PC 平面QBD , ⊂OQ 平面QBD ∴PC ∥平面QBD （7分） ⑵ ∵ABCD 为菱形， ∴⊥BD AC , （9分）
又∵⊥PA 平面ABCD ， ⊂BD 平面ABCD ∴⊥PA BD （12分） 又 PA AC D ⋂= ∴BD P ⊥平面AC 又⊂BD 平面QBD ∴P ⊥平面QBD 平面AC （14分） 16[解]：解：⑴ ∵02
x π
<<
， ∴ 3sin sin x x > ，∴0OA OB -≠u u u r u u u r r
（1分）
又()0,2sin OA OB x -=u u u r u u u r
（3分）
∴()022sin 00OA OB OC x -⋅=⨯+⨯=u u u r u u u r u u u r
∴()OA OB OC -⊥u u u r u u u r u u u r。

（6分）
⑵3sin tan tan 3cos x AOC x x ∠=
=，sin 1
tan tan 3cos 3
x BOC x x ∠== （8分） ∵OA OB BA -=u u u r u u u r u u u r ，∴BA OC ⊥u u u r u u u r ，02
AOB π
<∠< 。

∴()tan tan AOB AOC BOC ∠=∠-∠ （10分）
21
tan tan tan tan 311tan tan 1tan 3
x x
AOC BOC AOC BOC x -∠-∠==
+∠∠+
22tan 3tan 3
x x =
≤=
+ （13分）
（当tan x =即 3
x π
=
时取“=”）
所以tan AOB ∠
相应的3
x π
= (14分) 17．解：⑴直线AB 的斜率1k = ，AB 中点坐标为()1,2 ，
∴直线CD 方程为()21y x -=--即x+y-3=0 （4分） ⑵设圆心(),a b P ，则由P 在CD 上得： 30a b +-= ①
又直径||CD =
||PA ∴=2
2
(1)40a b ∴++=，又24PA PB ⋅=u u u r u u u r
∴ 2224270a b a b +---= ② （7分）
由①②解得
{
36a b =-=或
{
5
2a b ==-
∴圆心()3,6P - 或()5,2P -
∴圆P 的方程为()()2
2
3640x y ++-= 或()()2
2
5240x y -++= （9分） ⑶
AB =
= ，
∴ 当△QAB 面积为8时 ，点Q 到直线AB
的距离为。

（12分）
又圆心P 到直线AB
的距离为P
的半径r =且
>
∴圆上共有两个点Q 使 △QAB 的面积为8 . （14分）
18[解] (1)乙方的实际年利润为：st t w -=2000 0≥t ． (5分)
s
s t s st t w 2
21000)1000(2000+--=-=，
当
2
1000⎪⎭
⎫
⎝⎛=s t 时，w 取得最大值． 所以乙方取得最大年利润的年产量
2
1000⎪⎭
⎫ ⎝⎛=s t (吨)．…………………8分
(2)设甲方净收入为v 元，则2
002.0t st v -=．
将2
1000⎪⎭⎫ ⎝⎛=s t 代入上式，得：4
32100021000s s v ⨯-=． (13分)
又
0='v ，得20=s ． 令 当20<s 时，0>'v ；当20>s 时，0<'v ，所以20=s 时，v 取得最大值． 因此甲方向乙方要求赔付价格20=s (元／吨)时，获最大净收入． (16分)
19. 解：⑴ 由()ln f x x x =-+ 得()11f x x
'=-+ ，令()1f x '= 得 1
2x =
（2分） ∴所求距离的最小值即为11,22P f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
到直线30x y -+=的距离（4分）
(
1
4ln 22
d =
=
+ （7分） ⑵假设存在正数a ，令()()()F x f x g x =- ()0x >则()max 0F x ≤（9分） 由()2120F x a a x x '=+-=得：1x a
= ∵当1
x a >
时，()0F x '< ，∴()F x 为减函数； 当1
0x a
<<时，()0F x '>，∴ ()F x 为增函数.
∴()max 11ln F x F a a ⎛⎫
==
⎪
⎝⎭
（14分） ∴1
ln
0a
≤ ∴a e ≥ ∴a 的取值范围为[),e +∞ （16分）
20. 解：⑴由条件得：()
22
112n n n n a a a a +++=+ ∴1
2n n b b += （3分） ∵2
1112b a a =+= ∴
1
2n n
b b += ∴{}n b 为等比数列∴2n n b =（6分） ⑵由22n
n
n a a += 得
n a = （8分）
5
325322)8000(1000100081000s s s s v -=⨯+-='
又0n a > ∴
1
2
n a = （9分）
⑶∵112
n n a a +-=
(
)32122/02
n n ++=
->
（或由()
22211122n n
n n n n
a a a a ++++-+=-即()()1112n
n n n n a a a a ++-++=） ∴{}n a 为递增数列。

（11分） ∴()()2
111n n n n n n a a a a a a ++=+<+从而
()111
12
n
n n a a +<+
（14分）
∴
()()()212231111111
11122
2n n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅++++
111221111212
n
n ⎛⎫⎛⎫
- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎝
⎭==-
< ⎪⎝⎭
- （16分） 附加题答案
21. ()11
112
2
122ln 1ln 2S dx x x x ⎛⎫=
-=-=- ⎪⎝⎭
⎰
(8分)
22. 解：⑴①当4x ≥时，()2142x x +--<
∴ x ∈∅ （2分）
②当1
42x -
≤<时，2142x x ++-< ∴15
23
x -≤< （4分）
③当1
2x <-时，2142x x --+-<
∴1
72
x -<<- （6分）
综上该不等式解集为57,3⎛⎫- ⎪⎝⎭
(8分)
23. （1）⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛23,6π； (6分)
（2）AB=
2
3
3 (12分) 24. 解： ⑴设(),P x y 为轨迹上任一点，则
0y =
≠ （4分）
化简得：2
114
y x =+ 为求。

（6分） ⑵设2111,
14B x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，2221,14C x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
， ∵0PB BC •=u u u r u u u r ∴211162x x x ⎛⎫
=-+ ⎪+⎝⎭
（8分）
∴210x ≥ 或26x ≤- 为求 （12分）。