复变函数的可导与解析

y 0
lim x iy lim x 1 y0 x iy x0 x
x 0
lim f z z f z lim x iy
z 0
z
(x,y)(0,0) x iy
不存在，因而f z z在复平面上处处不可导。
可导必连续,连续不一定可导
复合函数求导法则:
(1) C 0, 其中C为复常数;
Argz z的 幅 角.
任 一 非 零 复 数 有 无 穷 多个 幅 角 ， 称 在
范 围( , ]内 的 幅 角 为 主 幅 角 ， 记为arg z. Argz arg z 2k , k 0,1,
arg
z
arctan
arctan arctan
y
x y
y x
z在 第 一 象 限 z在 第 二 象 限 z在 第 三 象 限
复数z x iy 有序数组( x, y) 复数域 复平面
复数的表示法：
1. z x iy 2. 复 平 面 上 的 点P ( x, y)或 向 量OP
3. z r(cos i sin ) (三 角 表 示 法 ）
4. z re i（指数表示法）
其 中 ：r z x 2 y 2 z的 模
第九节 复变函数的导数与函数解析
一. 复数域与复数的表示法
复 数 集 ：C z x iy x, y R
x Re z, y Im z, i 1
复 数 集C中 的 四 则 运 算 满 足 ： 加法 与 乘 法 的 交 换 律 ， 分 配 律 ， 且 复数 集 中 有 零 元(0)， 单 位 元(1)及 逆 元(z 1 ),于 是 复 数 集C构 成 一 个 数 域 复 数 域C
设 z re i r(cos i sin ),则 z 的n次幂 为 z n (re i )n r n (cosn i sinn )
复数的方根：
设 z re i r(cos i sin ),则 z 的n次 方 根
为
n
z
r
1 n
(cos
2k
i sin
2k )
n
n
(k 0,1,2,n 1)
arg z在 负 实 轴 上 不 连 续 ， 因为
lim arg z , lim arg z
y0
y0
x0
x0
三. 复变函数的导数
定义2
设函数w f z在 z0 的某邻域内有定义,如
果极限
lim f z f z0 lim w
zz0
z z0
z0 z
存在,则称 f z在 z0可导,其极限值称为
x
arctan
y x
z在 第 四 象 限
性质：
z1
z2
z1
z2，
z1 z 2
z1
z
，（z1
2
z2
）
z1 z2
zz z 2 , z1z2 z1 z2 , z1 z2 z1 z2
Arg(z1 z2 ) Argz1 Argz 2
Arg z1 z2
Argz1
Argz 2
复数的乘幂：
今后的讨论中 G 常常为一个平面区域, 称其为定义域.
可以利用二元实函数的极限，连续等概念来定 义复变函数的极限，连续。
例如：
极限 lim f (z) lim u( x, y) iv( x, y)
zz0
( x, y )( x0 , y0 )
f (z)在 z0连续
u(
x,
y)，v(
x,
y)在
(
x0
,
y
）
0
连
续
（lim f (z) f (z0 )） （ lim u( x, y) u( x0 , y0 ),
zz0
( x, y)( x0 , y0 )
lim v( x, y) v( x0 , y0 )
( x, y)( x0 , y0 )
因此，复变函数具有与实函数类似的关于极限， 连续的性质。但连续函数在闭区域上的最大(小) 值应理解为连续的复变函数模的最大(小)值定理.
(2) z n nzn1 ;
(3) f z gz f z gz;
(4) f zgz f zgz f zgz;
(5)
gf zz
gz f
如果 f z在区域D内每一点都可导(可微),则 称 f z在D内可导(可微).
例1. 求f(z)=zn, (n 为正整数 ) 的导数.
解 f z lim f z z f z
z 0
z
lim z zn z n
z 0
z
lim
z 0
nz n1
C
2 n
z
n
2
z
z n1
nz n1
z n nz n1
二. 复变函数
复变函数 ：
f : z x iy w u iv xy平面上的点集 uv平面上的点集
w f (z) u( x, y) iv( x, y)
一个复变函数
二个二元实函数
例如：
w f (z) z 2 ( x iy)2 x 2 y 2 2ixy,
u( x, y) x 2 y 2 , v( x, y) 2xy
定义1
设有复平面上的点集G和复数集G , f 是 一 个 确 定 的 对 应 规 则, 如 果 对G中 每 一 个
点z, 通过 f , 在G 中有一个或多个复数w 与之对应, 则称f是定义在G上的复变函数,
记为 f : z w f z或简记为w f z G 称为 f z的定义集合,
G w w f z, z G称为函数值集合,
f
z
在
z
பைடு நூலகம்的导
0
数,
记
作
f
z0
dw dz
z z0
lim zz0
f z f z0
z z0
定义3
设 复 变 函 数w f (z)在N (z0 )内 有 定 义 ， 如 果 存 在 与z无 关 的 复 常 数L, 使 得 对 z z0 z N (z0 ),总 有 w f (z0 z) f (z0 ) Lz o(| z |), 则 称w f (z)在 点z0处 可 微 ， 并 称 Lz为 函 数f (z)在 点z0处 的 微 分 ， 记 作 dw Lz. 可微 可导，且L f (z0 ), 所以dw f (z0 )dz
例2 讨论 f (z) z 的连续性与可导性。
解 f (z) z x iy 在复平面处处连续
lim f z z f z lim z z z
z 0
z
z 0
z
z
x iy
lim lim
z0 z ( x ,y )(0,0) x iy
而 lim x iy lim iy 1 x0 x iy y0 iy