高中数学：第一章 三角函数1.3 第1课时

号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原三角函数值是取
数 正值还是负值，如sin(π＋α)，若把α看成锐角，则π＋α是第三象限角，故sin(π＋
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α)＝－sinα．
④
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第一章 三角函数
3．诱导公式的作用 (1)公式一的作用在于把绝对值大于2π的任一角的三角函数问题转化为绝对 值小于2π的角的三角函数问题． (2)公式三的作用在于把负角的三角函数转化成正角的三角函数． (3)公式二、公式四的作用在于把钝角或大于180°的角的三角函数转化为 0°～90°之间的角的三角函数．
[思路分析] 1.π6－α 与56π＋α、α－π6存在什么关系？用π6－α 表示其它角．
数 学
2．α－75°与 150°＋α 之间存在什么关系？用 α－75°表示 105°＋α．
必
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第一章 三角函数
[解析] (1)∵cos(56π＋α)＝cos[π－(π6－α)]
＝－cos(π6－α)＝－ 33，
『规律总结』 三角函数式的化简方法：(1)利用诱导公式将任意角的三角
数 函数转化为锐角三角函数；(2)常用“切化弦”法，即通常将表达式中的切函数
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化为弦函数；(3)注意“1”的变形应用．
④
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第一章 三角函数
〔跟踪练习 2〕化简：
(1)cosπs＋inαπ＋coαsc3oπs－－ααta－nππ＋α；
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第一章 三角函数
1．诱导公式二 终边关系
角 π＋α 与角 α 的终边关于__原__点____ 对称
图示
数 学
公式
sin(π＋α)＝____－__s_i_n_α_____ cos(π＋α)＝_____－__c_o_s_α____
必 修
tan(π＋α)＝____t_a_n_α_____
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第一章 三角函数
〔跟踪练习 4〕求证tan2π－sαinsπin－－α2cπo－sαα－coπs6π－α＝－tanα．
[思路分析] 要证明的等式左边有切有弦，而等式右边只有切．等式左边较 复杂，但却可以利用诱导公式进行化简．
[证明] 左边＝tasnin－π－α·αsin·co－s[α－·cπo－s－αα]
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第一章 三角函数
证法二：由 tan(α＋87π)＝m，得 tan(α＋π7)＝m．
左边＝sin[s2inπ[＋2ππ＋－π7π7＋＋αα]]＋－3ccooss[[22ππ＋－π＋π7＋π7α＋]α]
数 学 必
＝sin[πs－inπ7π7＋＋αα]＋－3ccooss[ππ7＋＋απ7＋α]
sin2(α－π6)＝sin2[－(π6－α)]
＝1－cos2(π6－α)＝1－( 33)2＝23，
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∴cos(56π＋α)－sin2(α－π6)＝－ 33－23＝－2＋3 3．
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第一章 三角函数
(2)∵cos(α－75°)＝－13<0，且 α 为第四象限角， ∴α－75°是第三象限，
(2)sin5t4a0n°＋α－α1·8c0o°s－α．
[解析] (1)原式＝－－cossαinαcocsoπs－π＋ααtanα
数 学 必
＝－－cossαinα－－cocsoαsαtanα＝csoinsαα·csoinsαα＝1．
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第一章 三角函数
(2)原式＝sin3－60t°a＋n118800°°＋－αα·cosα
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第一章 三角函数
＝ssiinnπ7π7＋＋αα＋＋3ccoossπ7π7＋＋αα＝ttaannπ7π7＋＋αα＋＋13 ＝mm＋ ＋31＝右边， ∴等式成立．
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第一章 三角函数
『规律总结』 方法一中把“α＋87π”看作诱导公式中的“α”，将待证式左 边的角变换成可以利用诱导公式的形式；方法二中把“α＋π7”看作诱导公式中的 “α”，将待证式左边的角变换成可以利用诱导公式的形式，正所谓“条条大路 通罗马”．
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第一章 三角函数
〔跟踪练习 3〕已知 sin(π3－α)＝12，求 cos2(α－π3)·sin(23π＋α)的值．
[解析] cos2(α－π3)·sin(23π＋α)
＝cos2[－(π3－α)]·sin[π－(π3－α)]
＝[1－sin2(π3－α)]·sin(π3－α)＝34×12＝38．
3．计算 sin(－π3)的值为
A．－12
C．－
3 2
4．tan690°的值为
数 学
A．－
3 3
必 修
C．－ 3
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B．12
D．
3 2
B．
3 3
D． 3
( C) ( A)
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第一章 三角函数
互动探究学案
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第一章 三角函数
命题方向1 ⇨利用诱导公式解决给角求值问题
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第一章 三角函数
〔跟踪练习 1〕求下列三角函数值：
(1)sin960°；(2)cos(－436π)．
[ 解析] (1)sin960°＝sin(960°－720°)＝sin240°＝sin(180°＋60°)＝－sin60°＝
－ 23．
(2)cos(－436π)＝cos436π＝cos(76π＋6π)＝cos76π＝cos(π6＋π)＝－cosπ6＝－ 23．
∴sin(α－75°)＝－ 1－cos2α－752
＝－ 1－－132＝－232， ∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]
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＝－sin(α－75°)＝2 3 2．
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第一章 三角函数
『规律总结』 解决条件求值问题策略：解决条件求值问题，要仔细观察 条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系，要么将已知式 进行变形向所求式转化，要么将所求式进行变形向已知式转化．总之，设法消 除已知式与所求式之间的种种差异是解决问题的关键．
典例 1 求下列各三角函数值： (1)sin136π；(2)cos(－765°)；(3)tan(－750°)．
数
[思路分析] 用诱导公式将负角化为正角，进而再转化为锐角三角函数求
学
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值．
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第一章 三角函数
[解析] (1)sin163π＝sin(4π＋43π)＝sin43π＝sin(π＋π3)＝－sinπ3＝－ 23． (2)cos(－765°)＝cos765°＝cos(2×360°＋45°)＝cos45°＝ 22． (3)tan(－750°)＝－tan750°＝－tan(2×360°＋30°)＝－tan30°＝－ 33．
直接将条件等式变形，变形为被证的等式，这种方法称作推出法，证明条件等
数
学 必
式时，不论使用哪一种方法，都要依据要证的目标的特征进行变形．
修
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第一章 三角函数
典例 4 设 tan(α＋87π)＝m，
求证：ssiinn125707ππ＋－αα＋－3ccoossαα＋－212737ππ＝mm＋＋13．
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第一章 三角函数
2．诱导公式二 终边关系
角－α 与角 α 的终边关于__x_轴_____对 称
图示
数
公式
sin(－α)＝____－__s_i_n_α_____ cos(－α)＝____c_o_s_α_____
学 必
tan(－α)＝－tanα
修
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第一章 三角函数
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第一章 三角函数
『规律总结』 利用诱导公式求任意角三角函数的步骤： (1)“负化正”——用公式一或三来转化； (2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角； (3)“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角； (4)“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值．
值，所以cos(2π－θ)＝－cosθ，故填－cosθ．
[错因分析] 上面的解法没有理解使用公式时视角θ为锐角的意义，一般
地，视θ为锐角，则2π＋θ，π－θ，π＋θ，2π－θ分别是第一、第二、第三、第四
数 象限角．
学
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[正解] 视θ为锐角，则2π－θ为第四象限角，所以cos(2π－θ)＝cosθ，故填
数 学
系式求解．
必
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第一章 三角函数
[解析] (1)原式＝(－sinα)·cos(π＋α)·tanα＝－sinα·(－cosα)·csoinsαα＝sin2α． (2)原式＝－tan－αs·in－αc2o·s－αc3·os－αtanα ＝－－tasinn22αα·ccooss3αα＝1．
新课标导学
数学
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第一章
三角函数 1.3 三角函数的诱导公式
第1课时 诱导公式二、三、四
1
自主预习学案
2
互动探究学案
3
课时作业学案
第一章 三角函数
自主预习学案
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第一章 三角函数
对称美是日常生活中最常见的，在三角函数中－α、π±α、2π－α等角的终 边与角α的终边关于坐标轴或原点对称，那么它们的三角函数值之间是否也存在 对称美呢？
＝－tsainnαα··co－ssπin－αα·cosα＝－csoisnα2·αsinα
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＝－csoinsαα＝－tanα＝右边．
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∴原等式成立．
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第一章 三角函数
对诱导公式理解不透致错
典例 5 设θ是钝角，则cos(2π－θ)＝______．
[错解] 因为θ是钝角，所以2π－θ是第三象限，而第三象限角的余弦值是负
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第一章 三角函数
命题方向2 ⇨三角函数式的化简问题
典例 2 化简： (1)sin(－α)cos(－α－π)tan(2π＋α)； (2)tanπ－αsinco2sα3＋－παc－osππta＋nα－ α－2π．
[思路分析] 先观察角的特点，选用恰当的诱导公式化简，然后依据同角关
特别提醒：1.公式一～四中的角α是任意角．
2．公式一、二、三、四都叫做诱导公式，它们可概括如下：
(1)记忆方法：2kπ＋α(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数
值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，可以简单地说成“函数名不
变，符号看象限”．
(2)解释：“函数名不Fra Baidu bibliotek”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等
[证明]
证法一：左边＝ssiinn[[π4π＋－87πα＋＋α87π]＋]－3ccooss[[2απ＋＋87απ＋－837ππ]]
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＝－－ssiinnαα＋＋878π7π－－3ccoossαα＋＋8877ππ＝ttaannαα＋＋8877ππ＋＋13
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＝mm＋ ＋31＝右边．∴等式成立．
＝sin180t°a＋nαα·cosα
＝－sisniαn·αcosα
cosα
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＝－cos2α．
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第一章 三角函数
命题方向3 ⇨已知某三角数函数式的值求其他三角函数式的值(给值求值)
典例 3 (1)已知 cos(π6－α)＝ 33，求 cos(56π＋α)－sin2(α－π6)的值； (2)已知 cos(α－75°)＝－13，且 α 为第四象限角，求 sin(105°＋α)的值．
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第一章 三角函数
1．若 sin(π＋α)＝13，则 sinα 等于
A．13
B．－13
C．3
D．－3
2．已知 tanα＝4，则 tan(π－α)等于
数 学
A．π－4
必 修 ④
C．－4
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B．4 D．4－π
( B) ( C)
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第一章 三角函数
3．诱导公式四 终边关系
角 π－α 与角 α 的终边关于__y_轴_____ 对称
图示
数
公式
sin(π－α)＝____s_i_n_α_____ cos(π－α)＝____－__c_o_s_α_____
学 必
tan(π－α)＝____－__ta_n_α______
修
④
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第一章 三角函数
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第一章 三角函数
证明三角恒等式的方法
(1)三角恒等式的证明一般有三种方法：①一端化简等于另一端；②两端同
时化简使之等于同一个式子；③作恒等式两端的差式使之为0．
(2)证明条件恒等式，一般有两种方法：一是在从被证等式一边推向另一边
的适当时候将条件代入，推出被证等式的另一边，这种方法称作代入法；二是