二项分布与几何分布
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同理
“
5” 表示前四次都没射中，∴
∴随机变量的分布列为：
， P( 3) 0.1 0.9 P( 4) 0.1 0.9
2
3
P( 5) 0.1
5
0.14
4
1
0 .9
2
3
4
P
2 3 0.1 0.9 0.1 0.9 0.1 0.9
返回
某射手有5发子弹，射击一次命中的概率为0.9．⑴如果命中了 就停止射击，否则一直射击到子弹用完，求耗用子弹数 的分 布列．⑵如果命中2次就停止射击，否则一直射击到子弹用完， 求耗用子弹数 的分布列．
（k=0,1,2…,q=1-p.） 于是得到随机变量ξ的概率分布如下： 检验p1+p2+…=1
ξ 1 2 3 … k …
(1 p)
k 1
pq
k 1
p
P
p
pq
pq2 …
pqk-1 …
例3、在一袋中装有一只红球和九只白球。 每次从袋中任取一球取后放回，直到取得 红球为止，求取球次数ξ的分布列。
求离散型随机变量的概率分布的方法步骤：
1、找出随机变量ξ的所有可能的取值 xi (i 1, 2,); 2、求出各取值的概率 3、列成表格。
P( xi ) pi ;
作业:课本第9页5、6、＊7、8、9
百度文库
1 C3 0.12 0.92
“ 5”
表示前四次中恰有一次射中，或前四次全部没射中 ∴ 随机变量 的分布列为：
∴
2
0.92
3
1 C2 0.1 0.92
4
1 C3 0.12 0.92
5
1 C4 0.9 0.13 0.14
P
返回
小结：本节学习的主要内容及学习目标要求：
1、理解离散型随机变量的分布列的意义，会 求某些简单的离散型随机变量的分布列； 2、掌握离散型随机变量的分布列的两个基本 性质，并会用它来解决一些简单问题； 3、理解二项分布和几何分布的概念。
k Cn pk qnk
… …
n
n Cn pn q0
0 1 Cn p0qn Cn p1q n1
我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记 p) 作 ~ B(n, ,其中n，p为参数,并记
C pq
k n
k
n k
b(k; n, p)
例1:1名学生每天骑自行车上学,从家到学校的途中有5个 交通岗,假设他在交通岗遇到红灯的事件是独立的,并且概 率都是1/3.(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分 布列.(2)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.
95 95 1 5 P(ζ 0) C 0.095 0.9025, P(ζ 1) C 2 100 100 100
0 2 2
5 P(ζ 2) C 0.0025 100
2 2
2
因此，次品数ξ的概率分布是 ξ P 0 0.9025 1 0.095 2 0.0025
k 1 k 1
例7.某射手有5发子弹，射击一次命中的概率为0.9⑴如果命中 了就停止射击，否则一直射击到子弹用完， (1)求耗用子弹数 的分布⑵如果命中2次就停止射击，否则一 直射击到子弹用完，求耗用子弹数 的分布列． 解：⑴ 的所有取值为：1、2、3、4、5
“ 1”表示第一次就射中，它的概率为：P( 1) 0.9 P “ 2”表示第一次没射中，第二次射中，∴ ( 2) 0.1 0.9
二.几何分布 称ξ服从几何分布，并记g(k,p)=p· k-1 q 在次独立重复试验中，某事件A第一次发生时所作的试 验次数ξ也是一个取值为正整数的随机变量。 “ξ =k”表 示在第k次独立重复试验时事件A第一次发生。如果把第 k次实验时事件A发生记为Ak， p（ Ak ）=p，那么
P( k ) P( A1 A2 A3 AK 1 Ak ) P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) P( AK 1 ) P( Ak )
解:(1)ξ∽B(5,1/3),ξ的分布列为
1 k 2 5 k P(ξ=k)= C ( ) ( ) ,k=0,1,2,3,4,5. 3 3
k 5
(2)所求的概率:P(ξ≥1)=1-P(ξ=0)=1-32/243 =211/243.
例2.某厂生产电子元件，其产品的次品率为 5%．现从一批产品中任意地连续取出2件，写出 其中次品数ξ的概率分布． 解：依题意，随机变量ξ～B(2，5%)．所以，
一。二项分布
如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n 次独立重复试验中这个事件发生次的次数是一个随机 变量，它的取值为0，1，2，……..n ,那么在n次独立重复
试验中这个事件发生k次概率
P( k ) C p q
k n
k n k
于是得到随机变量ξ的概率分布如下：
ξ p 0 1 … … k
分析：袋中虽然只有10个球，由于每次任取一球， 取后又放回，因此应注意以下几点： (1)一次取球两个结果：取红球A或取白球Ā，且 P(A)=0.1； (2)取球次数ξ可能取1，2，…； (3)由于取后放回。因此，各次取球相互独立。
P ( k ) P ( A A) P ( A ) P ( A ) P ( A ) P ( A) 0.9 k 1 0.1 A A
解：⑵ 的所有取值为：2、3、4、5 P( 2) 0.92 “ 2”表示前二次都射中，它的概率为：
“ 3” 表示前二次恰有一次射中，第三次射中，∴
P(
同理
P(
1 3) C2 0.9 0.1 0.9
1 4) C3 0.9 0.12 0.9
1 2 C2 0.1 0.9
“
5” 表示前四次都没射中，∴
∴随机变量的分布列为：
， P( 3) 0.1 0.9 P( 4) 0.1 0.9
2
3
P( 5) 0.1
5
0.14
4
1
0 .9
2
3
4
P
2 3 0.1 0.9 0.1 0.9 0.1 0.9
返回
某射手有5发子弹，射击一次命中的概率为0.9．⑴如果命中了 就停止射击，否则一直射击到子弹用完，求耗用子弹数 的分 布列．⑵如果命中2次就停止射击，否则一直射击到子弹用完， 求耗用子弹数 的分布列．
（k=0,1,2…,q=1-p.） 于是得到随机变量ξ的概率分布如下： 检验p1+p2+…=1
ξ 1 2 3 … k …
(1 p)
k 1
pq
k 1
p
P
p
pq
pq2 …
pqk-1 …
例3、在一袋中装有一只红球和九只白球。 每次从袋中任取一球取后放回，直到取得 红球为止，求取球次数ξ的分布列。
求离散型随机变量的概率分布的方法步骤：
1、找出随机变量ξ的所有可能的取值 xi (i 1, 2,); 2、求出各取值的概率 3、列成表格。
P( xi ) pi ;
作业:课本第9页5、6、＊7、8、9
百度文库
1 C3 0.12 0.92
“ 5”
表示前四次中恰有一次射中，或前四次全部没射中 ∴ 随机变量 的分布列为：
∴
2
0.92
3
1 C2 0.1 0.92
4
1 C3 0.12 0.92
5
1 C4 0.9 0.13 0.14
P
返回
小结：本节学习的主要内容及学习目标要求：
1、理解离散型随机变量的分布列的意义，会 求某些简单的离散型随机变量的分布列； 2、掌握离散型随机变量的分布列的两个基本 性质，并会用它来解决一些简单问题； 3、理解二项分布和几何分布的概念。
k Cn pk qnk
… …
n
n Cn pn q0
0 1 Cn p0qn Cn p1q n1
我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记 p) 作 ~ B(n, ,其中n，p为参数,并记
C pq
k n
k
n k
b(k; n, p)
例1:1名学生每天骑自行车上学,从家到学校的途中有5个 交通岗,假设他在交通岗遇到红灯的事件是独立的,并且概 率都是1/3.(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分 布列.(2)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.
95 95 1 5 P(ζ 0) C 0.095 0.9025, P(ζ 1) C 2 100 100 100
0 2 2
5 P(ζ 2) C 0.0025 100
2 2
2
因此，次品数ξ的概率分布是 ξ P 0 0.9025 1 0.095 2 0.0025
k 1 k 1
例7.某射手有5发子弹，射击一次命中的概率为0.9⑴如果命中 了就停止射击，否则一直射击到子弹用完， (1)求耗用子弹数 的分布⑵如果命中2次就停止射击，否则一 直射击到子弹用完，求耗用子弹数 的分布列． 解：⑴ 的所有取值为：1、2、3、4、5
“ 1”表示第一次就射中，它的概率为：P( 1) 0.9 P “ 2”表示第一次没射中，第二次射中，∴ ( 2) 0.1 0.9
二.几何分布 称ξ服从几何分布，并记g(k,p)=p· k-1 q 在次独立重复试验中，某事件A第一次发生时所作的试 验次数ξ也是一个取值为正整数的随机变量。 “ξ =k”表 示在第k次独立重复试验时事件A第一次发生。如果把第 k次实验时事件A发生记为Ak， p（ Ak ）=p，那么
P( k ) P( A1 A2 A3 AK 1 Ak ) P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) P( AK 1 ) P( Ak )
解:(1)ξ∽B(5,1/3),ξ的分布列为
1 k 2 5 k P(ξ=k)= C ( ) ( ) ,k=0,1,2,3,4,5. 3 3
k 5
(2)所求的概率:P(ξ≥1)=1-P(ξ=0)=1-32/243 =211/243.
例2.某厂生产电子元件，其产品的次品率为 5%．现从一批产品中任意地连续取出2件，写出 其中次品数ξ的概率分布． 解：依题意，随机变量ξ～B(2，5%)．所以，
一。二项分布
如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n 次独立重复试验中这个事件发生次的次数是一个随机 变量，它的取值为0，1，2，……..n ,那么在n次独立重复
试验中这个事件发生k次概率
P( k ) C p q
k n
k n k
于是得到随机变量ξ的概率分布如下：
ξ p 0 1 … … k
分析：袋中虽然只有10个球，由于每次任取一球， 取后又放回，因此应注意以下几点： (1)一次取球两个结果：取红球A或取白球Ā，且 P(A)=0.1； (2)取球次数ξ可能取1，2，…； (3)由于取后放回。因此，各次取球相互独立。
P ( k ) P ( A A) P ( A ) P ( A ) P ( A ) P ( A) 0.9 k 1 0.1 A A
解：⑵ 的所有取值为：2、3、4、5 P( 2) 0.92 “ 2”表示前二次都射中，它的概率为：
“ 3” 表示前二次恰有一次射中，第三次射中，∴
P(
同理
P(
1 3) C2 0.9 0.1 0.9
1 4) C3 0.9 0.12 0.9
1 2 C2 0.1 0.9