浮点表示法的范围怎么计算
浮点表示法的范围怎么计算
浮点表示法的范围怎么计算2.浮点数表示法小数点的位置可按需浮动, 这就是浮点数。
例如：?N ＝r E 〃M式中, r 为浮点数阶码的底, 与尾数的基数相同, 通常r ＝2。
E 和M 都是带符号的定点数, E 叫数N 的阶码(Exponent )，M 为数N 的有效数字, 称为尾数(M a nt i ss a )。
在大多数计算机中, 尾数为纯小数, 常用原码或补码表示；阶码为纯整数, 常用移码或补码表示。
计算机中, 通常用约定的4部分来表示一个浮点数：其中，E f 、S 分别称为阶码E 和尾数M 的符号位。
?按照I EE E754标准，常用的浮点格式如图3-4所示。
E fE S Mm s Em 尾符阶码部分用移码表示尾数数值位尾数部分，用原码表示图3-4 IEEE 754标准的浮点格式2.浮点数表示法I E E E 754标准中有三种形式的浮点数, 格式见表3-1。
短浮点数即单精度浮点数，长浮点数即双精度浮点数, 都采用隐含尾数最高数位的方法, 故增加了一位尾数。
临时浮点数又称扩展精度浮点数，无隐含位。
短浮点数:最高位为数符位;其后是8位阶码, 以2为底, 用移码表示, 阶码的偏移值为127(叫移127码); 其余23位是尾数的数值位。
对规格化的二进制浮点数，约定最高位总是“1”,为使尾数能多表示一位有效值，可将这个“1”隐含, 故尾数数值实际上是24位, 即1位隐含位加23位小数位。
3FFFH8064151临时浮点数3FFH 6452111长浮点数7FH(127)322381短浮点数偏置值总位数尾数位阶码数符类型短浮点数的移码的偏置值是127(3FH )；长浮点数的偏置值是1023（3FFH ）。
根据移码的定义，存储浮点数阶码部分之前，偏置值要先加到阶码真值上。
注意:隐含的“1”是一位整数(即位权为20),在浮点格式中表示出来的23位尾数是纯小数,用原码表示.如(12)10=(1100)2,将它规格化为1.1×23,其中整数部分的1将不存储在23位尾数内.表3-1 IE EE 754标准中的三种浮点数浮点数举例例3.20:将(100.25)10转换成短浮点数格式。
32位浮点数表示的范围
浮点数的理解在定点数表示中存在的一个问题是，难以表示数值很大的数据和数值很小的数据。
例如，电子的质量（9×10-28克）和太阳的质量（2×1033克）相差甚远，在定点计算机中无法直接表示，因为小数点只能固定在某一个位置上，从而限制了数据的表示范围。
为了表示更大范围的数据，数学上通常采用科学计数法，把数据表示成一个小数乘以一个以10为底的指数。
例如，在计算机中，电子的质量和太阳的质量可以分别取不同的比例因子，以使其数值部分的绝对值小于1，即：9×10-28＝0.9×10-272×1033＝0.2×1034这里的比例因子10-27和1034要分别存放在机器的某个单元中，以便以后对计算结果按此比例增大。
显然，这要占用一定的存储空间和运算时间。
浮点表示法就是把一个数的有效数字和数的范围在计算机中分别予以表示。
这种把数的范围和精度分别表示的方法，相当于数的小数点位置随比例因子的不同而在一定范围内自由浮动，改变指数部分的数值相当于改变小数点的位置。
在这种表示法中，小数点的位置是可以浮动的，因此称为浮点表示法。
浮点数的一般表示形式为：一个十进制数Ｎ可以写成：N = 10e×M一个二进制数Ｎ可以写成：N = 2e×M其中，M称为浮点数的尾数，是一个纯小数；e是比例因子的指数，称为浮点数的指数，是一个整数。
在计算机中表示一个浮点数时，一是要给出尾数M，用小数形式表示；二是要给出指数e，用整数形式表示，常称为阶码。
尾数部分给出有效数字的位数，因而决定了浮点数的表示精度；阶码部分指明了小数点在数据中的位置，因而决定了浮点数的表示范围。
浮点数也是有符号数，带符号的浮点数的表示如图2-2所示。
其中，S为尾数的符号位，放在最高一位；E为阶码，紧跟在符号位之后，占m位；M为尾数，放在低位部分，占n位。
1. 规格化浮点数若不对浮点数的表示做出明确规定，同一个浮点数的表示就不是惟一的。
浮点数表示方法
数据类型
--实数型
下面分析一下浮点数在计算机中存储的原理。
对于浮点数100.00来说，在计算机中存储的数0x42C80000。 对应的二进制数表示为：
其中：
0：表示符号位，表示当前是正数；
100，0010，1:表示阶数，对应的十进制数为133。在浮点标准中，
这个值已经加上了偏移量127，所以实际的阶数为133-127=6，对应
注：在使用十进制表示浮点数时，必须包含小数点。
指数形式表示法
由十进制数字、阶码标志（小写字母“e”或大写字母“E”），以及 阶码（只能为整数，可以带符号）组成。一般形式为： aEn
其中： a和n均为十进制数；其表示的指数为： a×10n
数据类型
--实数型
在标准的C语言中，将按照所能表示的数的动态范围和精度，将 实数进一步的分成单精度实数、双精度实数和长双精度三种，分 别用float、double和long double关键字声明这三种类型的实数。 它们所分配的存储字长和表示数的范围不同。
15~16
10-307~10308
long double
128(16)
18~19 10-4931~104932
数据类型
--实数型
【例】浮点数声明的例子
void main() {
float i=100.00,j=245.6e30; } 下面对该例子进行分析，分析步骤主要包括： 1）进入本书所提供资料的STC_example\例子8-2\目录下，在Keil μVision5 集成开发环境下打开该设计。 2）在集成开发环境主界面主菜单下，选择Debug->Start/Stop Debug Session。 3）在调试器模式下，单步运行该程序，一直到程序的末尾。
浮点数详解
浮点数详解
浮点数是一种表示带有小数部分的数值的数据类型。
在计算机中，浮点数由两部分组成：有效数字和指数。
有效数字代表实际的数值，
而指数表示该数值的放大或缩小倍数。
浮点数采用科学记数法来表示，即数字用一定的位数表示，然后
乘以10的幂。
例如，3.14可以表示为3.14x10^0，而0.001可以表示
为1x10^-3。
这种表示方法使得计算机可以处理非常大或非常小的数值，但是也引入了一定程度的精度问题。
由于计算机中的浮点数是有限的，所以无法精确表示所有的实数。
在进行浮点数运算时，可能会出现一些舍入误差。
例如，对于某些无
理数，无法精确表示其所有位数，因此会产生一些近似值。
同时，浮
点数的表示范围也是有限的，超出范围的数值可能会被截断或近似表示。
浮点数的精度也会受到计算机硬件的限制。
通常，浮点数的精度
由计算机的字长决定。
较长的字长可以提供更高的精度，但也需要更
多的存储空间和计算时间。
为了提高浮点数的精度和减小舍入误差，计算机科学家和工程师
们设计了各种浮点数表示方法和算法。
IEEE 754标准是目前广泛使用
的浮点数表示标准，它定义了浮点数的位数、格式和运算规则。
总之，浮点数是一种在计算机中表示带有小数部分的数值的数据
类型。
虽然浮点数可以处理非常大或非常小的数值，但也存在精度和
舍入误差的问题。
计算机科学家和工程师们通过不断的研究和改进，
不断提高浮点数的精度和准确性。
浮点数的表示范围计算
浮点数的表⽰范围计算对于C语⾔来说，其浮点数类型是以下两种表⽰：类型占⽤存储空间表述范围float4字节-3.403E38~3.403E38double8字节-1.798E308~1.798E308其浮点数各⾃表述范围的计算，看⼀下各个位的定义就⾏。
32位的浮点数是1位符号位+8位指数位+23位底数位最⼤最⼩值的话对应都是绝对值最⼤的情况。
8位指数位⾥255被保留，最⼤只能取到254，移码的偏移量是+127，也就是说254表⽰的是2127。
23位底数位全是1的话，是⼆进制的1.111…111（⼩数点后23个1），也就是“1后⾯24个0”减去1再右移23位。
那么这个最⼤的绝对值对应的就是（(((1 << 24) - 1) << 127) >> 23) = ((1 << 24) - 1) << 104In[1]:= (224 - 1) x 2104out[1]:= 3.40282 x 1038同理：64位的浮点数是1位符号位+11位指数位+52位底数位，11位指数位⾥2047被保留，最⼤只能取到2046，移码的偏移量是+1023，也就是说2046表⽰的是21023。
52位底数位全是1的话，是⼆进制的1.111…111（⼩数点后52个1），也就是“1后⾯53个0”减去1再右移52位。
那么这个最⼤的绝对值对应的就是（(((1 << 53) -1) << 1023) >> 52) = ((1 << 53) - 1) << 971In[1]:= (253 - 1) x 2971out[1]:= 1.79769 x 10308。
float与double的范围和精度
float和double的范围和精度float与double的范围和精度1 范围float和double的范围是由指数的位数来决定的。
float的指数位有8位，而double的指数位有11位，分布如下：在数学中，特别是在计算机相关的数字（浮点数）问题的表述中，有一个基本表达法：value of floating-point= significand x base^ exponent , with sign F.1译为中文表达即为：（浮点）数值 = 尾数×底数^指数，（附加正负号）-------- F.2于是，float的指数范围为-127~128，而double的指数范围为-1023~1024，并且指数位是按补码的形式来划分的。
其中负指数决定了浮点数所能表达的绝对值最小的数；而正指数决定了浮点数所能表达的绝对值最大的数，也即决定了浮点数的取值范围。
float的范围为-2^128 ~ +2^128，也即-3.40E+38 ~ +3.40E+38；double的范围为-2^1024 ~ +2^1024，也即-1.79E+308 ~ +1.79E+308。
2 精度float和double的精度是由尾数的位数来决定的。
浮点数在内存中是按科学计数法来存储的，其整数部分始终是一个隐含着的“1”，由于它是不变的，故不能对精度造成影响。
float：2^23 = ，一共七位，这意味着最多能有7位有效数字，但绝对能保证的为6位，也即float的精度为6~7位有效数字；double：2^52 = 70496，一共16位，同理，double的精度为15~16位。
单精度类型（float）和双精度类型(double)存储C 语言和C#语言中，对于浮点类型的数据采用单精度类型（float）和双精度类型(double)来存储，float数据占用32bit, double数据占用64bit,我们在声明一个变量float f= 2.25f的时候，是如何分配内存的呢？如果胡乱分配，那世界岂不是乱套了么，其实不论是float还是double在存储方式上都是遵从IEEE的规范的，float遵从的是IEEE R32.24 ,而double 遵从的是R64.53。
浮点数
浮点数1,浮点数是属于有理数中某特定子集的数的数字表示，在计算机中用以近似表示任意某个实数。
具体的说，这个实数由一个整数或定点数（即尾数）乘以某个基数（计算机中通常是2）的整数次幂得到，这种表示方法类似于基数为10的科学记数法。
2、浮点计算是指浮点数参与的运算，这种运算通常伴随着因为无法精确表示而进行的近似或舍入。
一个浮点数a由两个数m和e来表示：a = m × b^e。
在任意一个这样的系统中，我们选择一个基数b（记数系统的基）和精度p（即使用多少位来存储）。
m（即尾数）是形如±d.ddd...ddd 的p位数（每一位是一个介于0到b-1之间的整数，包括0和b-1)。
如果m的第一位是非0整数,m称作规格化的。
有一些描述使用一个单独的符号位(s 代表+或者-）来表示正负，这样m必须是正的。
e是指数。
3、结构由此可以看出，在计算机中表示一个浮点数，其结构如下：尾数部分（定点小数）阶码部分（定点整数）4、浮点加法减法运算设有两个浮点数x和y,它们分别为x=2Ex·Mxy=2Ey·My 其中Ex和Ey分别为数x和y的阶码,Mx和My为数x和y的尾数。
两浮点数进行加法和减法的运算规则是x ±y=(Mx2Ex－Ey±My)2Ey,Ex<=Ey 完成浮点加减运算的操作过程大体分为四步： 1. 0 操作数的检查； 2. 比较阶码大小并完成对阶； 3. 尾数进行加或减运算； 4. 结果规格化并进行舍入处理。
⑴0 操作数检查浮点加减运算过程比定点运算过程复杂。
如果判知两个操作数x或y中有一个数为0,即可得知运算结果而没有必要再进行后续的一系列操作以节省运算时间。
0操作数检查步骤则用来完成这一功能。
⑵比较阶码大小并完成对阶两浮点数进行加减，首先要看两数的阶码是否相同，即小数点位置是否对齐。
若二数阶码相同，表示小数点是对齐的，就可以进行尾数的加减运算。
反之，若二数阶码不同，表示小数点位置没有对齐，此时必须使二数阶码相同，这个过程叫作对阶。
浮点数的表示方法
浮点数的表⽰⽅法浮点数的表⽰⽅法基本知识定义浮点数是⼀串 0 和 1 构成的位序列(bit sequence)，从逻辑上⽤三元组{S,E,M}表⽰任意的实数 可如下表⽰：=(−1) ∗ ∗注意：IEEE 中浮点数的尾数 中仅记录了⼩数位（默认省略了整数位1），所以上述公式中的 实际值为 +1，另外由于该实数使⽤⼆进制表⽰，所以基数 为 2综上所述，在 IEEE 754 标准的前提下，任意⼀个实数 ，可表⽰为如下的形式=(−1) ∗(1+ )∗2类型数符(S)阶码(E)尾数(M)总位数偏移值短实数(Float)1位8位23位32位127长实数(Double)1位11 位52位64位1023临时实数1位15位64位80位16383关键字（什么叫做数符，阶码，尾数）数符：符号位，0正1负阶码：科学计数法中的指数部分（补码表⽰）尾数：科学计数法中的尾数部分（即⼩数点后⾯的部分。
因为⼩数点前⾯的整数部分仅可能是1，可以将这个1忽略掉以减少不必要的存储空间）关于 float 类型阶码偏移值为什么是 127 ⽽不是 128 的解释预备知识阶码在浮点数中占 8 位，对于 8 位的有符号整数，其补码可表⽰的范围为：[-128, 127]，但为了⽅便⽐较直接⽐较阶码的⼤⼩，会将实际值偏移固定数值，使得存储值均为⾮负整数，于是⽬的为存储 8 位的有符号整数便改为了存储 8 位⽆符号整数，其补码可表⽰的范围为：[0, 255]，IEEE 754 的规定：若阶码全为 0 或全 1 要进⾏特殊处理，所以 [0, 255] 中的数值 0 和 255 被排除，剩下的⽆符号数字范围为：[1, 254]，为了可表⽰的正数和负数范围均衡，IEEE 754 设置移码为 127，则实际可表⽰的指数范围为：[-126, 127]疑问解答若设置偏移值为 128，指数的实际范围为 [-127, 126]，也能达到正负数均衡的要求，但：移码为 127 与 128 相⽐多表⽰的指数是 +127，⽽少表⽰的指数是 -127，实际⽣活中 1.x∗2127 (x表⽰任意数量的任意数字) 远⽐1.x∗2−127要有意义的多，毕竟我们接触的更多的是宏观世界。
浮点数表示方法与运算
浮点数表示方法与运算在计算机系统的发展过程中，曾经提出过多种方法表达实数，典型的比如定点数。
在定点数表达方式中，小数点位置固定，而计算机字长有限，所以定点数无法表达很大和很小的实数。
最终，计算机科学发展出了表达范围更大的表达方式——浮点数，浮点数也是对实数的一种近似表达。
1.浮点数表达方式我们知道任何一个R 进制数N 均可用下面的形式表示：N R =±S ×R ±e其中，S—尾数，代表N 的有效数字；R—基值，通常取2、8、16；e—阶码，代表N 的小数点的实际位置(相当于数学中的指数)。
比如一个十进制数的浮点表达1.2345×102，其中1.2345为尾数，10为基数，2为阶码。
一个二进制数的浮点表达0.001001×25，0.001001为尾数，2为基数，5为阶码；同时0.001001×25也可以表示成0.100100×23，0.100100为尾数，2为基数，3为阶码。
浮点数就是利用阶码e 的变化达到浮动小数点的效果，从而灵活地表达更大范围的实数。
2.浮点数的规格化一个数用浮点表示时，存在两个问题：一是如何尽可能多得保留有效数字；二是如何保证浮点表示的唯一。
对于数0.001001×25，可以表示成0.100100×23、0.00001001×27等等，所以对于同一个数，浮点有多种表示(也就是不能唯一表示)。
另外，如果规定尾数的位数为6位，则0.00001001×27会丢掉有效数字，变成0.000010×27。
因此在计算机中，浮点数通常采用规格化表示方法。
当浮点数的基数R 为2，即采用二进制数时，规格化尾数的定义为：1/2<=|S|<1。
若尾数采用原码(1位符号位+n 位数值)表示，[S]原=S f S 1S 2S 3…S n (S f 为符号位的数符)，则满足S 1=1的数称为规格化数。
计算机浮点数的表示方法
计算机浮点数的表示方法
计算机浮点数的表示方法是一种用于表示实数的方式，它通过将实数拆分为尾数和指数两部分来近似地表示一个实数。
这种表示方法允许计算机存储和处理各种大大小小的实数。
浮点数的表示方法采用科学计数法的形式，即尾数乘以某个基数的指数次幂。
在计算机中，通常采用二进制表示浮点数，因此被表示的实数范围是有限的。
浮点数的表示方法包括三个关键部分：符号位、尾数和指数。
符号位用来表示实数的正负，尾数部分存储实数的有效数字，指数部分则确定了实数的大小范围。
在计算机中，浮点数采用定点表示法，并将小数点根据指数的值进行移动。
这样可以更有效地存储和表示实数，同时提供了较高的精度。
浮点数的表示方法能够满足计算机对不同精度实数的存储和计算需求。
对于科学与工程计算、图像和音频处理等领域，浮点数的表示方法具备了较高的适用性和灵活性。
然而，浮点数表示方法也存在一些问题。
由于浮点数采用近似表示，因此存在舍入误差。
尤其是在进行数值计算时，舍入误差可能会导致结果的不准确性。
总结而言，计算机浮点数的表示方法是一种通过尾数和指数来近似表示实数的方式。
它在计算机科学中扮演着重要的角色，能够满足计算机对实数存储和计算的需求。
尽管存在一些问题，但它在众多应用领域中仍然发挥着重要作用。
5_浮点数表示及运算
计算机组成原理
12
单精度浮点数编码格式
符号位 0/1 0/1 0 1 0/1 0/1 0/1
阶码 255 255 255 255 1~254
0 0
尾数 非零1xxxx 非零0xxxx
0 0
f f (非零)
0
表示
NaN Not a Number sNaN Signaling NaN +∞ -∞ (-1)S× (1.f) 2 × (e-127) (-1)S× (0.f) 2 × (-126) +0/-0
计算机组成原理
10
例: 将十进制数20.59375转换成32位浮点数的二进制格式来存储。
解：首先分别将整数和分数部分转换成二进制数： 20.59375＝10100.10011
然后移动小数点，使其在第1，2位之间 10100.10011＝1.010010011×24 e＝4
于是得到： e =Ｅ – 127
1.隐藏位技术
原码非0值浮点数的尾数数值最高位必定为 1，则在保存浮点数到内存前，
通过尾数左移, 强行把该位去掉, 用同样多的位数能多存一位二进制数， 有利于提高数据表示精度，称这种处理方案使用了隐藏位技术。
当然，在取回这样的浮点数到运算器执行运算时，必须先恢复该隐藏位。
2.阶码用“移码”偏移值127而不是128
计算机组成原理
20
规格化规则
运算结果产生溢出时，必须进行右归 如变形补码结果出现 10.XX 或者 01.XXX
如运算结果出现 0.0XXX或 1.1XX 必须左归 左归时最低数据有效位补0 右归时连同符号位进位位一起右移 左归时，阶码作减法，右归时，阶码作加法
规格化方法
00.0XXXX -- 00.1XXX0 左规
计算机组成原理：浮点数表示及运算
4
计算机组成原理
二、浮点数规格化 浮点数是数学中实数的子集合，由一个纯小数乘上一个指数 值来组成。
一个浮点数有不同的表示：
0.5； 0.05101 ； 0.005 102 ； 50 10-2 为提高数据的表示精度，需做规格化处理。 在计算机内，其纯小数部分被称为浮点数的尾数，对非 0 值的浮点数，要求尾数的绝对值必须 >= 1/2，即尾数域的最高 有效位应为1,称满足这种表示要求的浮点数为规格化表示：
对阶： [△E]补= [ Ex]补－[Ey]补=00 10+ 11 11= 00 01
y向x对齐，将y的尾数右移一位，阶码加1。 [y]补=00 10，00.0101 求和： 00.1101 + 00.0101 01.0010 [x+y]补=00 10，01.0010 右归：运算结果两符号位不同，其绝对值大于1，右归。 [x+y]补= 00 11，00.1001
0.00001+0.11000=0.11001
计算机组成原理 17
例: x=201×0.1101, y=211×(-0.1010), 求x+y=? 解：为便于直观了解，两数均以补码表示，阶码、尾数均采用 双符号位。 [x]补=00 01, 00.1101 [y]补=00 11, 11.0110 [△E]补= [ Ex]补－[Ey]补= 00 01+11 01 = 11 10 △E = -2, 表示Ex比Ey小2, 右移一位, 再右移一位, 至此, △E=0, 因此将x的尾数右移两位. 得 [x]补=00 10, 00.0110 得 [x]补=00 11, 00.0011 对阶完毕.
计算机基础知识了解计算机中的浮点数表示和运算
计算机基础知识了解计算机中的浮点数表示和运算计算机基础知识：了解计算机中的浮点数表示和运算计算机科学中的浮点数是非常重要的一部分。
在许多计算机应用中，浮点数被用来表示和计算具有小数点的数值。
了解浮点数的表示方法和运算规则，对于理解计算机中数字处理的原理和特性非常有帮助。
本文将介绍计算机中浮点数的表示和运算规则。
一、浮点数表示方法在计算机中，浮点数采用科学记数法的方式进行表示。
它由两部分组成：尾数和指数。
尾数部分是一个二进制小数，通常将其规范化为1.xxxxxx的形式。
这个小数点的位置可以通过指数进行调整。
指数部分是一个带符号的整数，用于表示小数点在尾数中的位置。
正指数表示小数点向右移动，负指数表示小数点向左移动。
通过将尾数和指数组合起来，就可以表示任意大小和精度的浮点数。
二、浮点数运算规则在计算机中，浮点数的运算遵循一定的规则，包括加法、减法、乘法和除法等。
1. 加法和减法当进行浮点数加法或减法时，首先需要将两个浮点数的指数进行比较，并将较小的指数调整为与较大指数相等，同时也需要相应地调整尾数。
接下来，将调整后的尾数进行相加或相减，并根据结果进行规范化和舍入。
2. 乘法在浮点数乘法中，首先将两个浮点数的尾数进行相乘，并将结果进行规范化。
然后将两个浮点数的指数相加，得到最终结果的指数。
最后，根据指数的差异进行舍入和溢出的处理。
3. 除法在浮点数除法中，首先将两个浮点数的尾数进行相除，并将结果进行规范化。
然后将两个浮点数的指数相减，得到最终结果的指数。
最后，根据指数的差异进行舍入和溢出的处理。
三、浮点数的精度问题由于计算机中浮点数的表示是有限的，所以在进行运算时会存在精度的损失。
这是由于计算机在表示小数时只能采用有限的二进制位数。
例如，当两个非常接近的浮点数进行相减时，可能会因为精度限制而得到一个极小的非零值，这种情况被称为舍入误差。
此外，在进行大数和小数的运算时，可能会出现溢出或下溢的问题。
溢出是指计算结果超出了浮点数的表示范围，而下溢是指计算结果过小而无法表示。
浮点数计算方式
2.3.4二进制转10进制及10进制转为二进制【例2-3-4】把二进制110.11转换成十进制数，及十进制转为二进制。
解：（110.11）2 =1×22＋1×21＋1×20＋1×2-1＋1×2-2＝4＋2＋0＋0.5＋0.25＝（6.75）10把十进制转换为二进制解：2 6 02 3 11 1所以实数部分为1100.75×（2×2-1）＝0.75×2×2-1＝1×2-1＋0.5×2-1＝1×2-1＋1×2-2所以结果为：（110.11）22.3.5 浮点数在计算机中存储形式当前主流微机中广泛采用的IEEE754标准浮点格式。
N=2e.M （M为浮点尾数，为纯小数，e为浮点数的指数（阶码））尾数部分决定了浮点数的精度，阶码决定了表示范围32为浮点数（IEEE754标准格式0—22为尾数M，23-30为阶码E，31为符号位S），阶码用移码表示。
阶码E=指数真值e+127 规格化真值x=(-1)^S*(1.M)*2^(E-127)将(82.25)10 转换成短浮点数格式。
1）先将(82.25)10 转换成二进制数(82.25)10 =(1010010.01)22）规格化二进制数(1010010.01)21010010.01=1.01001001×2 6尾数M=010010013）计算移码表示的阶码=偏置值+阶码真值：E=127+6=133=100001014）以短浮点数格式存储该数因此：符号位=0 S=0表示该数为正数阶码=10000101 由3）可得尾数=01001001000000000000000 由2）可得；尾数为23位，不足在后面添15位0所以，短浮点数代码为：0；10000101；01001001000000000000000表示为十六进制代码为：42A48000HIEEE754有3种浮点表示格式，分别称为：短浮点数(或称短实数(Single,Float))、长浮点数（或称长实数(Double)）、临时浮点数（或称临时实数（延伸双精确度，不常用））。
整数计算浮点计算公式
整数计算浮点计算公式浮点计算公式在计算机科学和工程领域中扮演着至关重要的角色。
这些公式用于处理浮点数，即带有小数部分的数字。
在实际应用中，浮点计算公式常常涉及复杂的数学运算，如加减乘除、指数和对数运算等。
本文将探讨浮点计算公式的整数计算方法，并讨论其中的一些常见问题和挑战。
浮点计算公式通常由计算机程序员编写并在计算机中执行。
这些公式可以涉及单精度浮点数（32位）或双精度浮点数（64位），具体取决于计算的精度要求。
在执行这些公式时，计算机需要将浮点数表示为二进制形式，并进行相应的运算。
然而，由于浮点数的特殊性，其运算结果可能会出现误差，这是由于浮点数的有限精度表示所导致的。
为了以整数计算浮点计算公式，我们首先需要将浮点数转换为整数形式。
这可以通过将浮点数乘以某个倍数（如10的n次幂）来实现。
例如，将浮点数3.14乘以100，可以得到整数314。
这样的转换可以帮助我们避免浮点数运算中的精度误差，从而得到更准确的结果。
一种常见的整数计算浮点计算公式的方法是使用定点数表示。
定点数是一种没有小数点的整数表示方法，它可以用于模拟浮点数的运算。
在定点数表示中，我们可以约定一个固定的小数点位置，例如在数值的低位或高位，从而将浮点数表示为整数。
通过这种方式，我们可以在不使用浮点数运算器的情况下，进行浮点数的加减乘除运算。
然而，整数计算浮点计算公式也面临着一些挑战和限制。
首先，定点数表示需要事先确定小数点的位置，这可能会限制计算的范围和精度。
其次，定点数表示对于大范围的数值计算可能会引入溢出或下溢的问题，需要进行适当的处理。
此外，定点数表示还需要额外的运算步骤来处理小数点位置的调整，增加了计算的复杂性和开销。
除了定点数表示外，我们还可以使用整数计算浮点计算公式的其他方法。
例如，我们可以将浮点数表示为分数形式，然后使用整数运算来进行计算。
这种方法可以避免定点数表示的一些限制，但同样需要考虑分数运算中的溢出和精度问题。
浮点型数据的表示方法
浮点型数据的表示方法
浮点型数据是计算机中常用的一种数据类型，用于存储包含小数部分的数值。
浮点型数据的表示方法是用科学计数法来表示，即数值的二进制位分为三个部分：符号位、指数位和尾数位。
其中，符号位用于表示数值的正负，指数位用于表示数值的大小，尾数位用于存储数值的小数部分。
具体的表示方法是将数值转化为二进制，然后将小数点移到第一个非零数字前面，用科学计数法表示，即用一个小数位数的尾数和一个指数来表示该数值。
例如，数值3.14159可以表示为0.314159×10的1次方。
由于浮点型数据的精度有限，对于需要高精度计算的数据，需要使用其他数据类型来表示，如BigDecimal类。
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浮点数范围是怎么算出来的
浮点数范围是怎么算出来的最近⼀段时间看到版上关于 C++ ⾥浮点变量精度的讨论⽐较多，那么我就给对这个问题有疑惑的⼈详细的讲解⼀下 intel 的处理器上是如何处理浮点数的。
为了能更⽅便的讲解，我在这⾥只以 float 型为例，从存储结构和算法上来讲， double 和 float 是⼀样的，不⼀样的地⽅仅仅是 float 是 32 位的， double 是 64 位的，所以 double能存储更⾼的精度。
还要说的⼀点是⽂章和程序⼀样，兼容性是有⼀定范围的，所以你想要完全读懂本⽂，你最好对⼆进制、⼗进制、⼗六进制的转换有⽐较深⼊的了解，了解数据在内存中的存储结构，并且会使⽤ 编译简单的控制台程序。
OK ，下⾯我们开始。
⼤家都知道任何数据在内存中都是以⼆进制（ 1 或着 0 ）顺序存储的，每⼀个 1 或着 0 被称为 1 位，⽽在x86CPU 上⼀个字节是 8 位。
⽐如⼀个 16 位（ 2 字节）的 short int 型变量的值是 1156 ，那么它的⼆进制表达就是： 00000100 10000100 。
由于 Intel CPU 的架构是 Little Endian （请参数机算机原理相关知识），所以它是按字节倒序存储的，那么就因该是这样： 10000100 00000100 ，这就是定点数 1156 在内存中的结构。
那么浮点数是如何存储的呢？⽬前已知的所有的 C/C++ 编译器都是按照 IEEE （国际电⼦电器⼯程师协会）制定的 IEEE 浮点数表⽰法来进⾏运算的。
这种结构是⼀种科学表⽰法，⽤符号（正或负）、指数和尾数来表⽰，底数被确定为 2 ，也就是说是把⼀个浮点数表⽰为尾数乘以 2 的指数次⽅再加上符号。
下⾯来看⼀下具体的 float的规格：float共计 32 位，折合 4 字节由最⾼到最低位分别是第 31 、 30 、 29 、……、 0 位31 位是符号位， 1 表⽰该数为负， 0 反之。
二进制数的浮点表示法
二进制数的浮点表示法一、引言二进制数的浮点表示法是一种用来表示实数的方法，它可以将一个实数分为三个部分：符号位、尾数和指数。
本文将详细介绍二进制数的浮点表示法的原理、应用和优缺点。
二、原理二进制数的浮点表示法是基于科学计数法的原理，它将一个实数表示为一个小数和一个指数的乘积。
在二进制数的浮点表示法中，使用固定的位数来表示尾数和指数。
符号位用来表示实数的正负，0代表正数，1代表负数。
尾数用来表示实数的小数部分，指数用来表示实数的整数部分。
三、表示范围二进制数的浮点表示法可以表示的实数范围是有限的。
由于使用固定的位数来表示尾数和指数，所以可以表示的实数范围是有限的。
尾数位数越多，可以表示的实数范围就越大。
四、精度二进制数的浮点表示法的精度是有限的。
由于使用固定的位数来表示尾数，所以表示的小数部分的精度是有限的。
尾数位数越多，表示的小数部分的精度就越高。
五、应用二进制数的浮点表示法广泛应用于计算机科学和工程领域。
在计算机中，所有的实数都是以二进制数的浮点表示法来进行计算的。
在工程领域，二进制数的浮点表示法用来表示精度要求较高的实数，例如测量数据和模拟信号。
六、优点二进制数的浮点表示法有以下几个优点：1. 可以表示的实数范围广，可以表示的小数精度高。
2. 计算速度快，适用于大规模计算和高性能计算。
3. 表示的实数范围和精度可以根据需要进行调整。
七、缺点二进制数的浮点表示法也有一些缺点：1. 由于使用固定的位数来表示尾数和指数，所以表示的实数范围和精度是有限的。
2. 在进行浮点数计算时，可能会出现舍入误差，导致计算结果不准确。
3. 对于一些特殊的实数，可能无法准确表示，例如无理数和无限循环小数。
八、总结二进制数的浮点表示法是一种用来表示实数的方法，它可以将一个实数分为三个部分：符号位、尾数和指数。
它广泛应用于计算机科学和工程领域，具有表示范围广、精度高和计算速度快的优点。
然而，它也有一些缺点，例如表示范围和精度有限，可能出现舍入误差等。
32位浮点数表示的范围
浮点数的理解在定点数表示中存在的一个问题是，难以表示数值很大的数据和数值很小的数据。
例如，电子的质量（9×10-28克）和太阳的质量（2×1033克）相差甚远，在定点计算机中无法直接表示，因为小数点只能固定在某一个位置上，从而限制了数据的表示范围。
为了表示更大范围的数据，数学上通常采用科学计数法，把数据表示成一个小数乘以一个以10为底的指数。
例如，在计算机中，电子的质量和太阳的质量可以分别取不同的比例因子，以使其数值部分的绝对值小于1，即：9×10-28＝0.9×10-272×1033＝0.2×1034这里的比例因子10-27和1034要分别存放在机器的某个单元中，以便以后对计算结果按此比例增大。
显然，这要占用一定的存储空间和运算时间。
浮点表示法就是把一个数的有效数字和数的范围在计算机中分别予以表示。
这种把数的范围和精度分别表示的方法，相当于数的小数点位置随比例因子的不同而在一定范围内自由浮动，改变指数部分的数值相当于改变小数点的位置。
在这种表示法中，小数点的位置是可以浮动的，因此称为浮点表示法。
浮点数的一般表示形式为：一个十进制数Ｎ可以写成：N = 10e×M一个二进制数Ｎ可以写成：N = 2e×M其中，M称为浮点数的尾数，是一个纯小数；e是比例因子的指数，称为浮点数的指数，是一个整数。
在计算机中表示一个浮点数时，一是要给出尾数M，用小数形式表示；二是要给出指数e，用整数形式表示，常称为阶码。
尾数部分给出有效数字的位数，因而决定了浮点数的表示精度；阶码部分指明了小数点在数据中的位置，因而决定了浮点数的表示范围。
浮点数也是有符号数，带符号的浮点数的表示如图2-2所示。
其中，S为尾数的符号位，放在最高一位；E为阶码，紧跟在符号位之后，占m位；M为尾数，放在低位部分，占n位。
1. 规格化浮点数若不对浮点数的表示做出明确规定，同一个浮点数的表示就不是惟一的。
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2.浮点数表示法•小数点的位置可按需浮动, 这就是浮点数。
例如：•N ＝r E ·M•式中, r 为浮点数阶码的底, 与尾数的基数相同, 通常r ＝2。
E 和M 都是带符号的定点数, E 叫数N 的阶码(Exponent )，M 为数N 的有效数字, 称为尾数(M a nt i ss a )。
在大多数计算机中, 尾数为纯小数, 常用原码或补码表示；阶码为纯整数, 常用移码或补码表示。
•计算机中, 通常用约定的4部分来表示一个浮点数：其中，E f 、S 分别称为阶码E 和尾数M 的符号位。
•按照I EE E754标准，常用的浮点格式如图3-4所示。
•E fE S Mm s Em 尾符阶码部分用移码表示尾数数值位尾数部分，用原码表示图3-4 IEEE 754标准的浮点格式2.浮点数表示法•I E E E 754标准中有三种形式的浮点数, 格式见表3-1。
•短浮点数即单精度浮点数，长浮点数即双精度浮点数, 都采用隐含尾数最高数位的方法, 故增加了一位尾数。
临时浮点数又称扩展精度浮点数，无隐含位。
•短浮点数:最高位为数符位;其后是8位阶码, 以2为底, 用移码表示, 阶码的偏移值为127(叫移127码); 其余23位是尾数的数值位。
对规格化的二进制浮点数，约定最高位总是“1”,为使尾数能多表示一位有效值，可将这个“1”隐含, 故尾数数值实际上是24位, 即1位隐含位加23位小数位。
3FFFH8064151临时浮点数3FFH 6452111长浮点数7FH(127)322381短浮点数偏置值总位数尾数位阶码数符类型短浮点数的移码的偏置值是127(3FH )；长浮点数的偏置值是1023（3FFH ）。
根据移码的定义，存储浮点数阶码部分之前，偏置值要先加到阶码真值上。
注意:隐含的“1”是一位整数(即位权为20),在浮点格式中表示出来的23位尾数是纯小数,用原码表示.如(12)10=(1100)2,将它规格化为1.1×23,其中整数部分的1将不存储在23位尾数内.表3-1 IE EE 754标准中的三种浮点数浮点数举例•例3.20:将(100.25)10转换成短浮点数格式。
•解:(1)把十进制数转换成二进制数•(100.25)10 ＝(1100100.01)2(2)规格化二进制数110•1100100.01＝1.10010001×2 6(3)计算出阶码的移码（偏置值＋阶码真值）•1111111(127H)＋110 ＝10000101•注意：短浮点数的阶码偏置值是1111111(127H)。
(4)以短浮点数格式存储该数•该数的符号位＝0 ,阶码＝10000101•尾数＝1001000100000000000000023位•所以(100.25)10的短浮点数代码为•0；10000101；10010001000000000000000十六进制值是42C88000H。
浮点数举例例3．21：将短浮点数C1C90000H转换成十进制数。
•解:（1）把十六进制数转换成二进制形式，并分离出符号位、阶码和尾数•因为，C1C90000H＝11000001110010010000000000000000B•所以，符号位＝1•阶码＝10000011（用黑体字表示）8位•尾数＝10010010000000000000000 23位•（2）计算出阶码的真值（即移码－偏置值）•10000011-1111111＝100•（3）以规格化二进制数形式写出此数• 1.1001001×24•（4）写成非规格化二进制数形式•11000．001•（5）转换成十进制数，并加上符号位•（11000.001）2＝（25.125）10•总结:I E E E754短浮点数规格化的数值v表示为v＝(－1)S×(1．f)×2 E－127,•式中，S代表符号位，S＝0表示正数，S＝1表示负数；E是用移码表示的阶码；f是尾数的小数部分。
浮点数举例•例1:求十进制数-5的单精度浮点数I E E E754代码。
•11000000101000000000000000000000•解:-5=-101B=-1.01×22,阶码E=127+2=129=10000001B•I E E E754代码是1 10000001 01000000000000000000000•例1:求十进制数0.15625的单精度浮点数I E E E754代码。
•解:-0.15625=-1.01×2-3,阶码E=127-3=124=01111100B•I E E E754代码是1 0111110001000000000000000000000•↑关于模• 1.计算机本身是一个模数系统•因为机器字长有限,当计算结果的位数超过机器字长时,向更高位的进位就会丢失,这就是机器的模。
• 2.对n+1位的定点小数,X S .X1X2…X n,符号位X S的位权是20,符号位向更高位的进位要丢失,所以定点小数的模是20=1• 3.对n+1位的定点整数,X S X1X2…X n,符号位X S的位权是2n,符号位向更高位的进位要丢失,故定点整数的模是2n+1。
• 4.原码与补码的区别•对正数,两者完全相同;•对负数,两者表示形式完全不同,且补码要比原码多表示一个最负的数。
原因是对于真值0，原码有两种表示方式，补码只有一种。
关于原码与补码•举例:字长为8位的二进制代码10000000, 若其为原码, 表示-0, 若其为补码, 则不再表示-0, 而表示绝对值最大的负数。
此时,最高位的1有两个含义, 既代表负数, 又代表这一位的位权。
若这是一个定点整数, 其值为-27=-128；若这是一个定点小数，其值为-20=-1。
•结论：负数补码的表示范围比负数原码的表示范围略宽1000-1000(-8)0111+111(+7)1001-111(-1)0110+110(+6)1010-110(-6)0101+101(+5)1011-101(-5)0100+000(+4)1100-100(-4)0011+011(+3)1101-011(-3)0010+010(+2)1110-010(-2)0001+001(+1)1111-001(-1)0000+000(+0)补码真值补码真值n=3时整数的补码定点小数的表示范围11……110最大正数20 2-1 2-2 ……2-(n-1) 2-n120 2-1 2-2 ……2-(n-1) 2-n 最小正数结论:1.最大正数的数值位部分全部为1,即最大正数=2-1+2-2 …+2-n =1-2-n 100……00 20=1 最小正数的数值位最低位为1,即2-n -000……01 2-n 011……11 1-2-n原码和补码表示的绝对值最大负数(定点小数)11111……20 2-1 2-2 ……2-(n-1)2-n 原码表示的绝对值最大的负数1……20 2-1 2-2 ……2-(n-1)2-n 补码表示的绝对值最大的负数结论:1.原码表示时,正数和负数的范围是对称的,故绝对值最大的负数等于正数值加上”－”号,其真值为－(1 －2-n )。
2.补码表示的绝对值最大的负数等于－1。
定点整数表示的最大正数与最小正数1111……2n 2n-1 2n-2 ……2120最大正数=2n -1……1最小正数=12n 2n-1 2n-2 (2120)原码和补码表示的绝对值最大负数(定点整数)11111……原码表示的绝对值最大的负数1……补码表示的绝对值最大的负数2n 2n-1 2n-2 ……21202n 2n-1 2n-2 ……2120结论:1.原码表示的绝对值最大负数= －(2n －1)。
2.补码表示的绝对值最大负数=－2n 。
浮点数的表示范围mm see s1位k 位1位n 位阶码E 尾数M1.浮点数的最大正数应是:阶码部分与尾数部分都为最大正数,其值是:最大正数=(1-2-n ) ×22 -12.浮点数的最小正数应是:尾数部分为最小正数, 阶码部分是绝对值最大的负数:最小正数=2-n ×2-23.浮点数的绝对值最大负数应当是尾数部分为绝对值最大的负数,阶码部分为最大正数:绝对值最大负数=-1 ×22 -1kkk假设尾数和阶码都用补码浮点数中几个关键点的代码表示形式1111......11……最大正数12k ↓2k-1 ……21↓202-1 2-2 2-(n-1) 2-n阶符数符阶码部分E尾数部分M......1……12k ↓2k-1 ……21↓202-1 2-2 2-(n-1) 2-n 阶码部分E尾数部分M最小正数01......111……2k ↓2k-1 ……21↓202-1 2-2 2-(n-1) 2-n 阶码部分E尾数部分M绝对值最大的负数关于补码•例:一个8位的二进制整数, 采用补码, 由3个1和5个0组成,则最小值是多少?•解: 补码可表示的8位二进制整数的最小值是-128, •即10000000•规律:补码中, 高位0越多的数, 绝对值越大.-128 10000000-127 10000001-126 10000010-125 10000011-124 10000100…………………-2 11111110-1 11111111。