补充练习-力学-解答

（1）如图1所示，一个小环同时套在两根细棒上，求其速度。
解：根据伽利略变换，有：
于是：
下略。
（2）如图2所示，一个质量为m的物体通过一根质量可以不计的绳子绕水平棒1.25周后于另一端加一水平力F。若绳子和棒间的静摩擦系数为μ，要使物体保持静止，F应多大？
解：对一小段绳元做受力分析，临界情况下有：
其中“＋”“－”取决于绳子的运动趋势。
下略。
（2）
旅行者认为其时钟指针发出的光到达地球需时：
他判断这两个事件（指针发光和到达地球）的时间间隔，始终是观察固定在身边的钟，即此时间为固有时。根据动钟变缓，此时地球上的钟又走了：
下略。
（12）静长L的车厢以v运动，从车厢后端A发出光，经前端B的平面镜反射回A。问车厢上的人和地面上的人看来，两过程各耗时多少？
方法二：
旅行者的钟固定在运动的参照系，为固有时间。根据动钟变慢，得此时地球上的钟指向：
在此时间内，旅行者认为地球运动的距离为：
下面从两个角度讨论：
（1）
这一距离是在旅行者参照系时钟指向1小时的同一时刻确定下来的。根据动尺收缩，知其固有长度为：
该固有长度即地球上的人认为此时旅行者距地球的距离。光信号飞越此距离所需时间为：
解：脱离轨道意味着轨道提供的支持力为零。显然从出发点一直到A点都不可能。如果A点处也未脱离轨道，则从A到B，质点速率减小，但重力沿轨道径向的分量增大，故质点不会脱离轨道；至于B点的右半圆弧段，质点的运动情形完全与AB段对称，故质点也不会脱离轨道。因此，就已知轨道而言，唯一可脱离处即A点。
于是：
（5）水从5m高处以每分钟60kg的速率注入静放在地上的桶中，桶的质量为12kg。求水注入1分钟时桶受到地面的作用力。
下略。
（11）一个速度为v的航天旅行者和地球上的朋友在出发时均将钟调为0。地球上的朋友同时观察两个钟。问当旅行者的钟读数为1小时时，本地钟的读数是多少？
解：建议采用洛伦兹变换。
方法一：
当旅行者的钟指向1小时时，其时空坐标为：
由洛伦兹变换，得：
地球上的朋友要看到指针，需要其光传到地球：
此时地球上的钟的读数为：
解：建议采用洛伦兹变换。
方法一：
从A到B，车厢参照系时空坐标变化为：
根据洛伦兹逆变换，地球参照系时空坐标变化为：
注：也可由光速不变原理，得
从B到A，车厢参照系时空坐标变化为：
根据洛伦兹逆变换，地球参照系时空坐标变化为：
从A到B再返回A，车厢参照系认为需时：
该时间为固有时，故地球参照系看：
方法二：
从A到B及从B到A，车厢均在运动。根据动尺收缩，地面上的人认为车厢长度为：
解：地面对桶的作用力的大小等于桶对地面的压力，为桶中水的重量与刚落下的水的冲力之和。其中后者大小等于桶中水对刚落下的水的冲力。根据动量定理：
下略。
（6）如图4所示，一个人想用把杆子打在岩石上的方法折断杆子。他握住一端，让杆子绕腕转动打在岩石上。如何尽量减少对手的冲击？重力可忽略。
解：为减少对手的冲击，杆子应当停止运动并折断。希望手的平均受力为零。故若设击打点距手 ，则根据动量定理和角动量定理：
下略。
（3）某人观察到一个空间站始终停留在地球同一点的垂直上空。问此空间站的轨道如何？地球半径是6371km。
解：空间站的一般轨道是以地球为一个焦点的椭圆。现在它始终停留在地球同一点的垂直上空，意味着其轨道只能是地球赤道上空的圆，且其角速度与地球自转速度相等。
下略。
（4）一个质点从静止开始在如图3轨道滑下，在某处开始脱离轨道。说明脱离轨道的位置，并计算发生这种情况的h的最小值。
纯滚动条Hale Waihona Puke Baidu：
解得：
方法二：
根据质心运动定理和角动量定理：
下略。
（10）如图6所示，一质量为m的质点以垂直于原静止的均质细杆的速度v在杆端与杆做弹性碰撞后静止。求细杆的质量。
解：以 为系统，
根据动量守恒，有：
根据动能守恒、柯尼希定理（P186），有：
还有角动量守恒。考虑到杆的对称性，选取质心计算比较方便：
（7）如图5所示，物体以一根不可伸长的绳子绕在均质滑轮上，绳子另一端固定在轮上。求物体在下落时绳中的张力。
解：
注：此类问题也可以将 视为整体，有：
（9）一均质球m以初速v沿水平窄道抛出，开始时为纯滑动，与地板的摩擦系数为μ。求球开始作纯滚动时的速度。
解：
方法一：
球在运动过程中对球与窄道的接触点角动量守恒：
在光传输的过程中，车厢还运动了：
故两过程中，光的行程分别为：
下略。