轴力与应力计算.ppt
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轴力与应力计算
FN1=F
FN3
F
2F
FN2
FN 2 F
FN 3 F
轴力图
F
2F A
2F B
F
FN
F
F x
F
例2：已知F1=10kN；F2=20kN； F3=35kN； F4=25kN;试画出图示杆件的轴力图。
A
B
F1
F2
C
D
F3
F4
A 1B
F1
1 F2
FN / kN 10
2 C 3D
2 F3 3 F4
25
P
三、轴向拉压时横截面上的应力
已知轴力的大小，是否就可以判定构件是否发生破坏？
如果轴力很大，而杆件的横截面面积也很大，杆件是 否一定发生破坏？ 如果轴力很小，而杆件的横截面面积也很小，杆件是 否一定不发生破坏？
不能只根据轴力就判断杆件是否有足够的强度； 还必须用横截面上的应力来度量杆件的受力程度。 在拉压杆的横截面上，与轴力对应的应力是正应力。
Saint-Venant原理与应力集中示意图
变形示意图： P
a
b
c
P
(红色实线为变形前的线，红色虚线为红色实线变形后的形状。) 应力分布示意图：
例1、 起吊三角架，如图所示，已知AB杆由2根截 面面积为10.86cm2的角钢制成，P=130kN，=30O。 求AB杆横截面上的应力。
B
C
A
P
NAB
变形前
受载后
F
F
所有的纵向线伸长都相等，而横向线保持为直 线且与轴线垂直。
1.平面假设 (Plane assumption)
变形前原为平面的横截面，在变形后仍保持为平面， 且仍垂直于轴线.
FN3
F
2F
FN2
FN 2 F
FN 3 F
轴力图
F
2F A
2F B
F
FN
F
F x
F
例2：已知F1=10kN；F2=20kN； F3=35kN； F4=25kN;试画出图示杆件的轴力图。
A
B
F1
F2
C
D
F3
F4
A 1B
F1
1 F2
FN / kN 10
2 C 3D
2 F3 3 F4
25
P
三、轴向拉压时横截面上的应力
已知轴力的大小，是否就可以判定构件是否发生破坏？
如果轴力很大，而杆件的横截面面积也很大，杆件是 否一定发生破坏？ 如果轴力很小，而杆件的横截面面积也很小，杆件是 否一定不发生破坏？
不能只根据轴力就判断杆件是否有足够的强度； 还必须用横截面上的应力来度量杆件的受力程度。 在拉压杆的横截面上，与轴力对应的应力是正应力。
Saint-Venant原理与应力集中示意图
变形示意图： P
a
b
c
P
(红色实线为变形前的线，红色虚线为红色实线变形后的形状。) 应力分布示意图：
例1、 起吊三角架，如图所示，已知AB杆由2根截 面面积为10.86cm2的角钢制成，P=130kN，=30O。 求AB杆横截面上的应力。
B
C
A
P
NAB
变形前
受载后
F
F
所有的纵向线伸长都相等，而横向线保持为直 线且与轴线垂直。
1.平面假设 (Plane assumption)
变形前原为平面的横截面，在变形后仍保持为平面， 且仍垂直于轴线.
轴向拉、压杆的内力及应力计算
解：（1）计算各段的轴力
AB段：用1-1截面在AB段内将杆截开，取左段为研究对象，以N1表示截面上的轴力，并假设为拉力。写出平
衡方程： ∑X=0，N1+P1=0
得 N1=-P1=-20KN 负号表示AB段轴力N1实际为压力。
BC段：同理写出平衡方程： ∑X=0，N2+P1-P2=0
得 N2=-P1+P2=-20+30=10KN 正号表示BC段轴力N2实际为拉力。
面垂直的应力为正应力，与截面相切的应力为剪应力。轴向拉伸、压缩时，杆件
截面上各点处产生正应力，且大小相等。若应力用σ表示，横截面积为A，轴力
为N，则
N
A
正应力的正负号规定：拉应力为正，压应力为负。
课题七 轴向拉、压杆的内力及应力计算
例：如图7-2a悬臂梁，已知P1=20KN，P2=30KN，P3=10KN，试画出杆的轴力图。
课题七 轴向拉、压杆的内力及应力计算
三、轴力图
表明沿杆长各横截面轴力变化规律的图形称为轴力图。用平行于杆轴线的坐 标表示横截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上的轴力，按选定的比 例尺把正轴力画在轴的上方，负轴力画在轴的下方，并连成直线，就得到轴力 图。
四、轴向拉、压杆横截面上的应力
单位面积课题七 轴向拉、压杆的内力及应力计算
一、轴向拉伸和压缩
受力特点：直杆的两端沿杆轴线方向作用一对大小相等，方向相反的力。 变形特点：在外力作用下产生轴线方向的伸长或缩短。 当作用力背离杆端时，作用力是拉力，杆件产生伸长变形，叫做轴向拉伸。 见图7-1a 当作用力指向杆端时，作用力是压力，杆件产生压缩变形，叫做轴向压缩。 见图7-1b
图 7-1
课题七 轴向拉、压杆的内力及应力计算
AB段：用1-1截面在AB段内将杆截开，取左段为研究对象，以N1表示截面上的轴力，并假设为拉力。写出平
衡方程： ∑X=0，N1+P1=0
得 N1=-P1=-20KN 负号表示AB段轴力N1实际为压力。
BC段：同理写出平衡方程： ∑X=0，N2+P1-P2=0
得 N2=-P1+P2=-20+30=10KN 正号表示BC段轴力N2实际为拉力。
面垂直的应力为正应力，与截面相切的应力为剪应力。轴向拉伸、压缩时，杆件
截面上各点处产生正应力，且大小相等。若应力用σ表示，横截面积为A，轴力
为N，则
N
A
正应力的正负号规定：拉应力为正，压应力为负。
课题七 轴向拉、压杆的内力及应力计算
例：如图7-2a悬臂梁，已知P1=20KN，P2=30KN，P3=10KN，试画出杆的轴力图。
课题七 轴向拉、压杆的内力及应力计算
三、轴力图
表明沿杆长各横截面轴力变化规律的图形称为轴力图。用平行于杆轴线的坐 标表示横截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上的轴力，按选定的比 例尺把正轴力画在轴的上方，负轴力画在轴的下方，并连成直线，就得到轴力 图。
四、轴向拉、压杆横截面上的应力
单位面积课题七 轴向拉、压杆的内力及应力计算
一、轴向拉伸和压缩
受力特点：直杆的两端沿杆轴线方向作用一对大小相等，方向相反的力。 变形特点：在外力作用下产生轴线方向的伸长或缩短。 当作用力背离杆端时，作用力是拉力，杆件产生伸长变形，叫做轴向拉伸。 见图7-1a 当作用力指向杆端时，作用力是压力，杆件产生压缩变形，叫做轴向压缩。 见图7-1b
图 7-1
课题七 轴向拉、压杆的内力及应力计算
拉压-轴力与轴力图以及横截面上应力计算
F
F 作用线也与杆件的轴线重
m
合。所以称为轴力。
F FN
FN
3、轴力正负号：拉为正、
F 压为负
Fx 0 FN F 0
FN F
4、轴力图：轴力沿杆件轴 线的变化
11
§5-2 Axial Force and Axial Force Diagrams
Example 2-1
A
F1 F1 F1
应力(stress)—内力在一点的分布集度(Density)
lim Δ FN
ΔA0 Δ A lim Δ FQ
Δ A0 Δ A
p
C
F4 F3
20
§5-3、Stress on lateral
Relationship about Internal Force and Stress
Example 2-2：Do the Diagram of Axial Force
轴力图(FN图)显示了各 段杆横截面上的轴力。
FN,max FN2 50 kN 思考：为何在F1，F2，F3作用着的B，C，D 截面处轴力图
发生突变？能否认为C 截面上的轴力为 55 kN？ 16
§5-2 Axial Force and Axial Force Diagrams
FF
F
8
§5-1、 Introduction and Engineering Examples
9
§5-2 Axial Force and Axial Force Diagrams
1、轴力（Axial Force）：
F
m
F
2、截面法求轴力（Method of
Section）
m
轴力计算公式
计算公式欧阳学文3、钢板桩、H型钢应力计算公式：δ=Es·K（fi2f02）○1应变传感器计算公式式中：δ—钢板桩（H型钢）应力变化值（KPa）；Es —钢的弹性模量（KPa）；碳钢：2.0—2.1×108 KPa混凝土：0.14—×108 KPaK—应变传感器的标定系数（106/Hz2）；fi—应变传感器任一时刻观测值（Hz）f0—应变传感器的初始观测值（零值）δ= K（fi2f02）○2测力传感器（钢筋计）计算公式式中：δ—钢板桩（H型钢）应力变化值（KPa）；K—测力传感器的标定系数（KPa /Hz2）；fi—测力传感器任一时刻观测值（Hz）f0—测力传感器的初始观测值（零值）（Hz）4、钢筋砼支撑轴力计计算公式：4.1 N= Ec·A【K（fi2f02）+b（TiT0）】○1砼应变传感器的计算公式式中：N—钢筋砼支撑轴力变化值（KN）；Ec—砼弹性膜量（KPa）；A—钢筋砼支撑截面积（mm2）;fi—应变传感器任一时刻的观测值（Hz）；f0—应变传感器的初始观测值（零值）（Hz）；K—应变传感器的标定系数（106/Hz2）；b —应变传感器的温度修正系数（106/Hz2）；Ti—应变传感器任一时刻的温度观测值（℃）；T0—应变传感器的初始温度观测值（℃）；4.2 Ni=（－1）【K（fi2f02）+b（TiT0）】○2钢筋测力传感器计算公式（基坑施工监测规程中公式）式中：Es—钢筋弹性膜量（KPa）；As—钢筋的截面积（mm2）；Ni—单根钢筋测力传感器的计算出的支撑轴力值（KN）；b —钢筋测力传感器的温度修正系数（KN/℃）K—钢筋计的标定系数（KN /Hz2）4.3 根据相关规范、规程要求，每道钢筋砼支撑轴力测试，一般可分为4个测点，故该式为：N= （N1＋N2＋N3＋N4）/4 ○3式中：N—钢筋砼支撑轴力值（KN）；Ni—钢筋砼支撑某测点受力值（KN）。
第2讲 轴向拉压杆的内力和应力
解：当载荷W移到A点时，斜杆AB
受到拉力最大，设其值为Fmax。
讨论横梁平衡 Mc 0
W
Fmax Fmax sin AC W AC 0
FmaxA
Fmax
W
sin
W
目录
§2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
0.8m
B C
Fmax
FRCx C FRCy
d
A
1.9m
拉伸
F
F
压缩
F
F
目录
§2.1 轴向拉伸与压缩的概念和实例 举例说明：
A
计算简图
P1
拉杆
P1
B P2
压杆
P2
C
F
目录
§2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
m
F m
F
FN
FN
Fx 0
FN F 0 FN F
1、截面法求内力
F (1)假想沿m-m横截面将
杆切开
(2)留下左半段或右半段
目录
§2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
A
FN1 28.3kN FN 2 20kN
1
2、计算各杆件的应力。
45° B
C
2
FN1
yF
FN 2 45° B x
F
Байду номын сангаас1
FN1 A1
28.3103 202 106
4
90106 Pa 90MPa
2
FN 2 A2
（3）内力均匀分布，各点正应力相等，为常量
ac
拉压-轴力与轴力图以及横截面上应力计算
Rigid plate
F´ P
AsB Ea l l
B Aa Es
Fixed rigid plate
A FP
C F´ P
28
§5-3、变 Biblioteka 2形计算解：首先分析钢杆和铝筒的受力：钢杆BC承
F´P B Aa Ea A l
FP 受拉伸，铝筒承受压缩。C点的位移等于钢
B As Es
C
杆的伸长量与铝筒的压缩量之和： 其中
15
§5-2、 轴
力
与
杆
件
横
截
面
应
力
、横截面上的应力： 截面应力与轴力的分布关系：
16
§5-2、 轴
力
与
杆
件
横
截
面
应
力
圣 文 南 原 理
17
§5-2、 轴
力
与
杆
件
横
截
面
应
力
、横截面上的应力：
公 式：
σ = N/A
18
§5-2、 轴
力
与
杆
件
横
截
面
应
力
19
§5-2、 轴
力
与
杆
件
横
截
面
应
力
A
§5-2、 轴
力
与
杆
件
横
截
面
应
力
12
§5-2、 轴
力
与 结
杆
件 论
横
截
面
应
力
由上述轴力计算过程可推得： 任一截面上的轴力的数值等于对应截面一侧所有外力的 代数和，且当外力的方向使截面受拉时为正，受压时为负。
F´ P
AsB Ea l l
B Aa Es
Fixed rigid plate
A FP
C F´ P
28
§5-3、变 Biblioteka 2形计算解：首先分析钢杆和铝筒的受力：钢杆BC承
F´P B Aa Ea A l
FP 受拉伸，铝筒承受压缩。C点的位移等于钢
B As Es
C
杆的伸长量与铝筒的压缩量之和： 其中
15
§5-2、 轴
力
与
杆
件
横
截
面
应
力
、横截面上的应力： 截面应力与轴力的分布关系：
16
§5-2、 轴
力
与
杆
件
横
截
面
应
力
圣 文 南 原 理
17
§5-2、 轴
力
与
杆
件
横
截
面
应
力
、横截面上的应力：
公 式：
σ = N/A
18
§5-2、 轴
力
与
杆
件
横
截
面
应
力
19
§5-2、 轴
力
与
杆
件
横
截
面
应
力
A
§5-2、 轴
力
与
杆
件
横
截
面
应
力
12
§5-2、 轴
力
与 结
杆
件 论
横
截
面
应
力
由上述轴力计算过程可推得： 任一截面上的轴力的数值等于对应截面一侧所有外力的 代数和，且当外力的方向使截面受拉时为正，受压时为负。
第八章 轴向拉压杆的强度计算
x截面上的轴力为
表明该杆的轴力是截面位置x 的连续函数，
称为轴力方程。该轴力方程表明FN是关于截面位置x的 一次函数，轴力图如图所示。
时， 时， 沿杆长的分布规律如图（c）所 示；并可得
横截面上的正应力沿杆长 呈线性分布。
时， 时，
2、斜截面上的应力
在下一节拉伸与压缩试验中会看到，铸铁试件压缩时，其 断面并非横截面，而是斜截面。这说明仅计算拉压杆横截面上 的应力是不够的，为了全面分析解决杆件的强度问题，还需研 究斜截面上的应力。
在曲线中d点之前试件沿长度方向其变形基本上是均匀的但当超过d点之后试件的某一局部范围内变形急剧增加横截面面积显著减小形成图示的颈该现象称为由于颈部横截面面积急剧减小使试件变形增加所需的拉力在下降所以按原始面积算出的应力按原始面积算出的应力fa称为名义称为名义应力应力也随之下降如图中dg段直到g点试件断其实此阶段的真实应力即颈部横截面上的应力随变形增加仍是增大的如图中的虚线dg所示
应力是内力的集度，内力或应力均产生在杆件内部，是 看不到的。
应力与变形有关， 所以研究应力还得从 观察变形出发。
试验现象（矩形截面试件）： 周线：平移，形状不变，保持平行； 纵向线：伸长，保持平行，与周线正交。
拉（压）杆横截面上的内力 是轴力，其方向垂直于横截面， 因此，与轴力相应的只可能是垂 直于截面的正应力，即拉（压） 杆横截面上只有正应力，没有切 应力。
0.33
胡克定律 只适用于在杆长为l长度内F 、FN、E、A均为常值的情况下， 即在杆为l长度内变形是均匀的情况。 若杆件的轴力FN及抗拉（压）刚度EA沿杆长分段为常数，则
式中FNi、(EA) i和li为杆件第i段的轴力、抗拉（压）刚度和长度 。 若杆件的轴力和抗拉（压）刚度沿杆长为连续变化时，则
表明该杆的轴力是截面位置x 的连续函数，
称为轴力方程。该轴力方程表明FN是关于截面位置x的 一次函数，轴力图如图所示。
时， 时， 沿杆长的分布规律如图（c）所 示；并可得
横截面上的正应力沿杆长 呈线性分布。
时， 时，
2、斜截面上的应力
在下一节拉伸与压缩试验中会看到，铸铁试件压缩时，其 断面并非横截面，而是斜截面。这说明仅计算拉压杆横截面上 的应力是不够的，为了全面分析解决杆件的强度问题，还需研 究斜截面上的应力。
在曲线中d点之前试件沿长度方向其变形基本上是均匀的但当超过d点之后试件的某一局部范围内变形急剧增加横截面面积显著减小形成图示的颈该现象称为由于颈部横截面面积急剧减小使试件变形增加所需的拉力在下降所以按原始面积算出的应力按原始面积算出的应力fa称为名义称为名义应力应力也随之下降如图中dg段直到g点试件断其实此阶段的真实应力即颈部横截面上的应力随变形增加仍是增大的如图中的虚线dg所示
应力是内力的集度，内力或应力均产生在杆件内部，是 看不到的。
应力与变形有关， 所以研究应力还得从 观察变形出发。
试验现象（矩形截面试件）： 周线：平移，形状不变，保持平行； 纵向线：伸长，保持平行，与周线正交。
拉（压）杆横截面上的内力 是轴力，其方向垂直于横截面， 因此，与轴力相应的只可能是垂 直于截面的正应力，即拉（压） 杆横截面上只有正应力，没有切 应力。
0.33
胡克定律 只适用于在杆长为l长度内F 、FN、E、A均为常值的情况下， 即在杆为l长度内变形是均匀的情况。 若杆件的轴力FN及抗拉（压）刚度EA沿杆长分段为常数，则
式中FNi、(EA) i和li为杆件第i段的轴力、抗拉（压）刚度和长度 。 若杆件的轴力和抗拉（压）刚度沿杆长为连续变化时，则
第二章 轴向拉压应力与材料的力学性能
拉压杆斜截面上的应力Ｐ
Ａ为横截面的面积 Ａ为斜截面的面积 横截面上的正应力 斜截面上的应力
N p A P P cos cos A A cos
P A
斜截面上的正应力和剪应力
p cos cos2 p sin cos sin
P
1 1 P A N1 3P C 2 N2
A
∴N2=P－3P= －2P
2
3、内力图
P A l P
3P
B
注意：
1 、一次只能取一个截面， 将原构件分成两部分。
C
l
Ｎ
O
2、内力方向设为正向后建立平 衡方程求解。（说明＋－）
3 、分离体图与原图上下对 齐，截面位置一目了然。 4 、轴力图大小近似按比例， 也要与上图对齐。 练习：
1、变形规律试验及平面假设：
a c
P
b d
变形前
a´ c´
b´ d´
受力后 P
2、变形规律： 横向线——仍为平行的直线，且间距增大。 纵向线——仍为平行的直线，且间距减小。 平面假设：原为平面的横截面在变形后仍为平面. N 3、横截面上的应力：均匀分布 A
例２-４：计算下图中指定截面上的应力。ＡＢ段与ＣＤ段的横截面积均 为２０mm2，ＡＢ段横截面积为 1０ mm2 ，
C
已知：三角架 ABC 的〔σ 〕=120 MPa，AB 杆为 2 根 80*80*7 的等边角钢，AC 为 2 根 10 号槽钢，AB、AC 两杆的夹角为300 。 求：此结构所能承担的最大外荷载 Fmax
解： 1、F 与 FN 的关系
Y
0
X 0 F Y 0 F
NAC
FNAB cos30 0
材料力学——2-1～3 轴力 应力
危险点：应力最大的点。
s
max
max(
FN ( x) A( x)
)
16
4. 公式的应用条件： 直杆、杆的截面无突变、截面到载荷作用点有一定 的距离。
5. Saint-Venant原理： 离开载荷作用处一定距离，应力分布与大小不受外载荷作
用方式的影响。 6. 应力集中（Stress Concentration）： 在截面尺寸突变处，应力急剧变大。
10
轴力图的特点：突变值 = 集中载荷 轴力(图)的简便求法： 自左向右:
遇到向左的P， 轴力N 增量为正； 遇到向右的P ， 轴力N 增量为负。
8kN
5kN
3kN
5kN +
5kN
8kN – -3kN
8kN 3kN
11
简
OA
便
求
5P
法
OA
RO=2P
5P
FN
2P +
–
- -3P
PD = P, 轴力图如何？ FN
3
力学模型如图
P
轴向拉伸，对应的力称为拉力。
P
轴向压缩，对应的力称为压力。
P P
4
二、
工 程 实 例
5
§2–2 内力、截面法、轴力及轴力图
例如： 截面法求FN
P
A
P
截开：
P
A P
简图
代替：
P
FN A
平衡：
X 0 P FN 0 P FN
2. 轴力——轴向拉压杆的内力，用FN 表示。
6
3. 轴力的正负规定: FN 与外法线同向,为正轴力(拉力) FN
0
–
-5P
BC 8P 4P
02轴向拉伸与压缩1-轴力图应力
§1—5. 杆件变形的基本形式（Basic Forms of Bar’s Deformation）
四,弯曲(Bending): 在包含杆轴的纵向平面内，在杆轴两端
作用一对等值反向的力偶，则杆的横截面发 生绕垂直于杆轴的中性轴转动，变形后的杆 轴线在纵向平面内成为曲线，这种变形形式
称为弯曲。
梁式桥的横梁 和纵梁、屋顶梁、 桥式起重机的大梁、火车轮轴等受力时主要发生弯曲变形。
(+ )
10
AB段 BC段
∑ Fx = 0
FN1 = F1 = 10kN
∑ Fx = 0 FN 2 + F2 = F1
F4
25 CD段
FN 2 = F1 − F2 =
10 − 20 = −10kN
∑ Fx = 0
FN3 = F4 = 25kN
x
2、绘制轴力图。
目录
•§2-2 内力。截面法。轴力及轴力图
杆的受力简图为
拉伸
压缩
F
FF
F
目录
•§2-1 轴向拉伸和压缩的概念
目录
§2-2 内力。截面法。轴力及轴力图
外力：
按 体积力:是连续分布于物体内部各点的力
外
力
如物体的自重和惯性力
作
如油缸内壁的压力，水坝受
用 的 方
面积力:
分布力：到的水压力等均为分布力 集中力：若外力作用面积远小于物体表
式
面的尺寸，可作为作用于一点
F3
目录
§2-2 内力。截面法。轴力及轴力图
F
a
a
F
切、留、代、平 求内力
M
FS＝− F M = −Fa
FS
目录
•§2-2 内力。截面法。轴力及轴力图
K节点在轴力作用下应力分布计算公式
Abstract: The finite element model of tubular K-joint is presented using sub-zone mesh generation method. The distribution of hot spot stress (HSS) along weld toe of a tubular K-joint under axial loads is analyzed, and the results obtained by means of the finite element model have been compared with experimental measurements. It is shown that the finite element model proposed in this study is feasible and accurate for estimating the stress distribution of the K-joint. Through the parametric study on 1152 K-joint models, the effect of geometrical parameters on the distribution of hot spot stress along the weld of tubular K-joints subjected to axial loads is investigated, and it is found that the distribution of hot spot stress is varied with different geometrical parameters values. Furthermore, the position of the hot spot stress shifts between the crown and the saddle when some geometrical parameters are different. Based on the parametric study, parametric equations of stress concentration factor distribution along the weld toe of tubular K-joints under axial loads are proposed, and the error analysis of these parametric equations is also carried out. It is found that the presented equations are feasible and accurate to compute the stress distribution for most analyzed K-joint models. Hence, these parametric equations proposed in this study can provide valuable advice for the fatigue design and analysis of K-joints in practice. Key words: Tubular K-joints; sub-zone mesh generation method; stress distribution; parametric equations 随着近代钢铁产业中钢管生产技术的不断成熟，圆管节点结构作为一种支撑结构被广泛应用于海洋平 台结构、铁路和公路桥梁结构、大跨空间结构等工程结构[1]。这种管节点的通常做法是：主管直通，支管
材料力学 第二章 轴向拉压应力PPT课件
第二章 轴向拉伸和压缩
§2–1 拉压杆的内力 ·轴力与轴力图 §2–2 拉压杆的应力及强度条件 §2-3 材料在拉伸和压缩时的力学性质 §2-4 剪切与挤压的强度计算
§2–1 拉压杆的内力 · 轴力与轴力图
杆件在轴向荷载作用下，将发生轴向拉伸或压缩。
拉伸 F
F
压缩 F
F
×
一、拉压杆的内力——轴力
×
§2–3 应力集中的概念
拉压杆横截面的应力并不完全是均匀分布的，当横截面 上有孔或槽时，在截面曲率突变处的应力要比其它处的应力 大得多，这种现象称为应力集中。
P
P
P
P
P
×
五、拉压杆的强度条件
拉压杆在正常情况下不发生破坏的条件是：拉压杆的最
大工作应力（横截面的最大正应力）不超过材料的容许应
力。
max
FN3
Ⅲ 30k N
Ⅲ
×
FN3 300 FN3 30kN
例2 长为l ，重为W 的均质杆，上端固定，下端受一轴向拉
力P 作用，画该杆的轴力图。
轴力图
FN
P+W F x 0 ;F N P x 0
⊕
x
P
FN
PxPWx
l
x0 ;F NF N mi nP
P
P
x l;F NF N ma x P W
×
例3 画图示杆的轴力图。
3k N 2k N N 4k N 8kN
3k N ⊕ 1⊕kN
○－
1kN
轴力图
6k N ⊕
○－
4k N 8k N
轴力图
×
§2–2 拉压杆的应力及强度条件
一、横截面的正应力
拉压杆横截面上只有正应力而无剪应力，忽略应力集中 的影响，横截面上的正应力可视作均匀分布的，于是有
§2–1 拉压杆的内力 ·轴力与轴力图 §2–2 拉压杆的应力及强度条件 §2-3 材料在拉伸和压缩时的力学性质 §2-4 剪切与挤压的强度计算
§2–1 拉压杆的内力 · 轴力与轴力图
杆件在轴向荷载作用下，将发生轴向拉伸或压缩。
拉伸 F
F
压缩 F
F
×
一、拉压杆的内力——轴力
×
§2–3 应力集中的概念
拉压杆横截面的应力并不完全是均匀分布的，当横截面 上有孔或槽时，在截面曲率突变处的应力要比其它处的应力 大得多，这种现象称为应力集中。
P
P
P
P
P
×
五、拉压杆的强度条件
拉压杆在正常情况下不发生破坏的条件是：拉压杆的最
大工作应力（横截面的最大正应力）不超过材料的容许应
力。
max
FN3
Ⅲ 30k N
Ⅲ
×
FN3 300 FN3 30kN
例2 长为l ，重为W 的均质杆，上端固定，下端受一轴向拉
力P 作用，画该杆的轴力图。
轴力图
FN
P+W F x 0 ;F N P x 0
⊕
x
P
FN
PxPWx
l
x0 ;F NF N mi nP
P
P
x l;F NF N ma x P W
×
例3 画图示杆的轴力图。
3k N 2k N N 4k N 8kN
3k N ⊕ 1⊕kN
○－
1kN
轴力图
6k N ⊕
○－
4k N 8k N
轴力图
×
§2–2 拉压杆的应力及强度条件
一、横截面的正应力
拉压杆横截面上只有正应力而无剪应力，忽略应力集中 的影响，横截面上的正应力可视作均匀分布的，于是有
轴向拉伸与压缩1(内力与应力)
1 4、作内力图 P 1 FN P P
2
3 P
2
3
P
P
x
[例2] 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、 4P、 P 的力，方向如图，试画出杆的轴力图。
O
A
PA PB
B
C
PC
D
PD D PD
FN1
A PA
B PB
C PC
解： 求OA 段内力FN1，设置截面如图
F
x
0 F N 1 P A PB PC P D 0
解： 1、求1-1截面上内力 FN1，设置截面如图
F
x
0
1 P 1 FN1 P P P
2
3
P
FN 1 P 0 FN 1 P
P
2
3
2、2-2截面上的内力
F
x
0
P
FN2
P P
FN 2 0
3、3-3截面上的内力
FN 3 P
P
FN3
FN 1 P FN 2 0
FN 3 P
2
s
α
t
Pa
1 2
t p sin s cos sin
s sin 2
四、sα 、tα出现最大的截面
1、=0º 即横截面上，s达到最大
s s cos s
2
t 0
t max s cos sin
1 2
2、=45º 的斜截面上， t剪应力达最大
P -3P x
★轴力图的特点：
1）遇到集中力，轴力图发生突变；
2）突变值 = 集中载荷的大小
5kN FN 5KN
材料力学02(第二章 轴向拉压应力与材料的力学性能)
F 1＝ A1 sin F 2＝A2 tan
FN 2
A
F
1.校核强度
已知F， ，A1，A2， t ， c
校核结构是否安全？ 解：
F 1＝ t ？ A1 sin F 2 ＝ c ？ A2 tan
2
L
FN ,max max [ ] （1）强度校核 A FN ,max A （2）截面选择 [ ] （3）计算许可荷载 FN,max A[ ]
强度条件的应用举例
1 2
L
(1) 求内力（节点A平衡） FN1＝ F sin
A
FN2＝ - F tan
FN1
F
(2) 求应力（A1，A2横截面积）
C 1m
B
A F
C y 1m
FN1
B A F
A F
x
FN2
解： （1）节点 A 的受力如图，其平衡方程为：
F F
x y
0 0
FN2 FN1 cos 30 0 FN1 sin 30 F 0
得 FN1 2F (拉） FN 2 1.732F (压）
（2）查型钢表得两杆的面积 杆AC 杆AB
例题2 . 钢板冲孔，已知t=5mm，d=18mm，剪切极限应力 τ0=400MPa，求冲力P的大小。
• 解:（1）内力分析: • 剪力： Fs=P • 剪切面面积：A=πd t
• (2)应力分析与强度计算： • τ= Fs/ A ≥τ0 • 由上解得： P ≥ τ0 πd t =113kN
例3 、一铆钉接头如图所示，铆钉和板用同一种材料制成， 铆钉的直径d=18mm，板厚t=10mm，其[τ]=80MPa， [σbs]=200MPa，[σ]=120MPa，试校核此接头部分的强度。
FN 2
A
F
1.校核强度
已知F， ，A1，A2， t ， c
校核结构是否安全？ 解：
F 1＝ t ？ A1 sin F 2 ＝ c ？ A2 tan
2
L
FN ,max max [ ] （1）强度校核 A FN ,max A （2）截面选择 [ ] （3）计算许可荷载 FN,max A[ ]
强度条件的应用举例
1 2
L
(1) 求内力（节点A平衡） FN1＝ F sin
A
FN2＝ - F tan
FN1
F
(2) 求应力（A1，A2横截面积）
C 1m
B
A F
C y 1m
FN1
B A F
A F
x
FN2
解： （1）节点 A 的受力如图，其平衡方程为：
F F
x y
0 0
FN2 FN1 cos 30 0 FN1 sin 30 F 0
得 FN1 2F (拉） FN 2 1.732F (压）
（2）查型钢表得两杆的面积 杆AC 杆AB
例题2 . 钢板冲孔，已知t=5mm，d=18mm，剪切极限应力 τ0=400MPa，求冲力P的大小。
• 解:（1）内力分析: • 剪力： Fs=P • 剪切面面积：A=πd t
• (2)应力分析与强度计算： • τ= Fs/ A ≥τ0 • 由上解得： P ≥ τ0 πd t =113kN
例3 、一铆钉接头如图所示，铆钉和板用同一种材料制成， 铆钉的直径d=18mm，板厚t=10mm，其[τ]=80MPa， [σbs]=200MPa，[σ]=120MPa，试校核此接头部分的强度。
轴向拉伸与压缩—轴向拉(压)杆横截面上的正应力(工程力学课件)
• 与截面垂直的应力称为正应力，用σ表示。 • 与截面相切的应力称为剪应力，用τ表示。
应力单位：帕（Pa）、千帕（kPa）、兆帕 （MPa）、吉帕（GPa）。
➢ 2.轴向拉（压）杆横截面上的正应力 平面假设：变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面，
且垂直于杆轴线。
结论：轴向拉（压）杆横截面上只有正应力，且均匀分布。
第一节 轴向拉（压）杆的内力与轴力图 第二节 轴向拉（压）杆横截面上的正应力 第三节 轴向拉（压）杆的强度计算 第四节 轴向拉（压）杆的变形计算 第五节 材料在拉伸和压缩时的力学性能
➢ 1.应力的概念
应力——内力在单位面积上的分布集度。反映了内力在横截面上分布 的密集程度。
1Pa 1N / m2 1kPa 103 Pa 1Mpa 1N / mm2 106 Mpa 1Gpa 109 Pa
X 0 N BA sin 30 P 0
Y 0 N BA cos 30 N BC 0
P 15 NBA sin 30 0.5 30kN
N BC N BA cos 30 30 0.866 26kN
（2）计算各杆的应力
AB
N BA ABA
4 N BA
d 2
4 30 103 3.14 162
149.3MPa
BC
N BC ABC
26 10 2
103 10 2
2.6MPa
结论：拉杆横截面上产生的应力为均匀分布的正应力。 轴向拉（压）杆横截面上的正应力计算公式为：
N
A
N——横截面上的轴力； A——横截面面积。
σ 的符号：正号表示拉应力；Байду номын сангаас号表示压应力。
例题3 有一根钢丝绳，其截面积为0.725 cm2，受到3000N 的拉力，试求这根钢丝绳的应力是多少？
2材料力学轴向拉压.ppt课件
斜FA 布p纵α上切截=。截应c±面面力o4A5上FA上成so的截对p面全A dFA应Ac力mmm oia 可nxp9s i分0AAn 4α45解—A —59 ——为d0 c2 正横 斜Ao20 截截应s面面p力面面9 和积A 积0 4 4切550 应2F2力
pcos co2s22co2s psincossin2sin2
U
W
n i1
12Fii
利用外力功计算应变能并不方便，在更多情况下主 要是通过内力功来计算。
单向应力状态单元体微面上的力在变形过程中做的功为
y
x
dy dx
x
dz x
dW 1 2xdydzxdx1 2xxdV
不考虑能量损耗，则力做的功全部转化为单元体的应变能
dUdW12xxdV
单位体积内储存的应变能，称为应变能密度，单向应力状态有
2.3
F
F
b b1
拉压杆的变形
F 二、拉压杆的横向变形
l l1
bb1b
b
b
横向变形
横向线应变
实验表明，在胡克定律适用的范围时，有：
or
F/ A 即 横向线应变与轴向线应变恒异号，两者之 比的绝对值为一常数，称为泊松比。
00.5
弹性模量 E 和泊松比μ都是材料的弹性常数， 由实验测得。
l
l /l
第二章 轴向拉伸和压缩
A
F
连杆
A
钢拉杆
B
B
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
受力(简)图
受力变形特点: 外力或其合力的作用线沿杆件的轴线(轴载), 主要变形为轴向伸缩。这样的杆件称拉压杆。
pcos co2s22co2s psincossin2sin2
U
W
n i1
12Fii
利用外力功计算应变能并不方便，在更多情况下主 要是通过内力功来计算。
单向应力状态单元体微面上的力在变形过程中做的功为
y
x
dy dx
x
dz x
dW 1 2xdydzxdx1 2xxdV
不考虑能量损耗，则力做的功全部转化为单元体的应变能
dUdW12xxdV
单位体积内储存的应变能，称为应变能密度，单向应力状态有
2.3
F
F
b b1
拉压杆的变形
F 二、拉压杆的横向变形
l l1
bb1b
b
b
横向变形
横向线应变
实验表明，在胡克定律适用的范围时，有：
or
F/ A 即 横向线应变与轴向线应变恒异号，两者之 比的绝对值为一常数，称为泊松比。
00.5
弹性模量 E 和泊松比μ都是材料的弹性常数， 由实验测得。
l
l /l
第二章 轴向拉伸和压缩
A
F
连杆
A
钢拉杆
B
B
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
受力(简)图
受力变形特点: 外力或其合力的作用线沿杆件的轴线(轴载), 主要变形为轴向伸缩。这样的杆件称拉压杆。
材料力学1-2z_第二章_轴力与应力
W
例 已知压缩机汽缸直径 D= 400mm，气压 q =1.2 MPa， 缸盖用 M20 螺栓与汽缸联接，d2 =18 mm，活塞杆 [σ]1 = 50MPa，螺栓 [σ]2 = 40 MPa， 求：活塞杆直径 d1 和螺栓个数 n。
D q d1
解： D2 F qA q N 4 N 1 ≤ 1 (压) A1
F
N = F
N N 0， 0 横截面正应力 A N 0， 0
拉应力 压应力
例1 画图示杆的轴力图。
Ⅰ
60kN 80kN
Ⅱ
Ⅲ 50kN
第一段:
30kN
FN1 60kN
第二段:
Ⅰ 60kN
Ⅱ
Ⅲ
30kN
轴力图
⊕
○ － 20 kN
⊕
FN2 20kN
第三段:
FN3 30kN
并在图上表出数值和正负号。
×
2.2
等直杆横截面的应力 应变
方法一：实验 变形
F
胡克定律
应力
F
现象：纵线仍平行于轴线，且各线段均匀伸长 横线仍为直线，且垂直于轴线和纵线。 推论： 0 0 假设：变形前横截面内各点，变形后仍在同一平面内
由实验和假设可以得出，在横截面内各点沿轴线 方向的变形是均匀的，内力分布也是均匀的。
NB
50 10 -20
N （kN）
x
轴力图
二、轴力图 一般情况，拉压杆各截面的的轴力是不同的，表示拉压 杆各截面的的轴力的图象称为轴力图。 轴力图的画法步骤如下： ⒈ 画一条与杆的轴线平行且与杆等长的直线作基线；
⒉
⒊ ⒋
将杆分段，凡集中力作用点处均应取作分段点；
轴力计算公式
计算公式3、钢板桩、 H 型钢应力计算公式：δ=E s· K（f i2-f 02）应变传感器计算公式式中：δ—钢板桩（ H型钢）应力变化值（ KPa）；E s—钢的弹性模量（ KPa）；碳钢： 2.0 —2.1 ×108KPa混凝土：—× 108KPaK —应变传感器的标定系数（ 10-6 /Hz 2）；f i—应变传感器任一时辰观察值（Hz）f 0—应变传感器的初始观察值（零值）2 2δ=K（f i -f 0）测力传感器（钢筋计）计算公式式中：δ—钢板桩（ H型钢）应力变化值（ KPa）；K —测力传感器的标定系数（KPa/Hz2）；f i—测力传感器任一时辰观察值（Hz）f 0—测力传感器的初始观察值（零值）（Hz）4、钢筋砼支撑轴力计计算公式：4.1N=E c·A【K（f i2-f 02） +b（T i -T 0）】砼应变传感器的计算公式式中： N—钢筋砼支撑轴力变化值（KN）；E c—砼弹性膜量（ KPa）；2A—钢筋砼支撑截面积（mm）;f i—应变传感器任一时辰的观察值（Hz）；f 0—应变传感器的初始观察值（零值）（Hz）；K—应变传感器的标定系数（10-6 /Hz 2）；b—应变传感器的温度修正系数（10-6 /Hz 2）；T i—应变传感器任一时辰的温度观察值（℃）；T0—应变传感器的初始温度观察值（℃）；i =Fc（A 2 2）+b（T i -T 0）】Es As－ 1）【 K（f i -f 0钢筋测力传感器计算公式（基坑施工监测规程中公式）式中： E s—钢筋弹性膜量（ KPa）；2A s—钢筋的截面积（ mm）；N i—单根钢筋测力传感器的计算出的支撑轴力值（KN）；b—钢筋测力传感器的温度修正系数（KN/℃）K—钢筋计的标定系数（KN/Hz2）4.3 依据有关规范、规程要求，每道钢筋砼支撑轴力测试，一般可分为 4 个测点，故该式为：N=（N1＋ N2＋N3＋ N4）/4式中： N—钢筋砼支撑轴力值（KN）；N i—钢筋砼支撑某测点受力值（KN）。
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1 2F
2
2F 3
F
A
B
1
2
3
FN1
FN1=F
FN3
F
轴力图
F
2F A
2F B
F
FN
F
F x
F
例2：已知F1=10kN；F2=20kN； F3=35kN； F4=25kN;试画出图示杆件的轴力图。
A
B
F1
F2
C
D
F3
F4
A 1B
F1
1 F2
FN / kN 10
Saint-Venant原理与应力集中示意图
变形示意图： P
a
b
c
P
(红色实线为变形前的线，红色虚线为红色实线变形后的形状。) 应力分布示意图：
例1、 起吊三角架，如图所示，已知AB杆由2根截 面面积为10.86cm2的角钢制成，P=130kN，=30O。 求AB杆横截面上的应力。
B
C
A
P
NAB
P
三、轴向拉压时横截面上的应力
已知轴力的大小，是否就可以判定构件是否发生破坏？
如果轴力很大，而杆件的横截面面积也很大，杆件是 否一定发生破坏？ 如果轴力很小，而杆件的横截面面积也很小，杆件是 否一定不发生破坏？
不能只根据轴力就判断杆件是否有足够的强度； 还必须用横截面上的应力来度量杆件的受力程度。 在拉压杆的横截面上，与轴力对应的应力是正应力。
变形前
受载后
F
F
所有的纵向线伸长都相等，而横向线保持为直 线且与轴线垂直。
1.平面假设 (Plane assumption)
变形前原为平面的横截面，在变形后仍保持为平面， 且仍垂直于轴线.
2.各纵向纤维伸长相同，由均匀性假设，各纵向纤维的
力学性能也相同，所以它们所受的力也相同。
F
F
3.应力的分布
均匀分布；
p
F A
P
FN ( A)
cos
4、斜截面上应力分解
41.4MPa
12.98KN C L2
12.42KN B
C
NC A2
36.8MPa
12KN N
L1
A
P
max 41.4MPa
§2-3、直杆轴向拉压时斜截面上的应力
承受轴向拉压的杆件，总是沿横截面发生破坏吗？
如何确定杆件沿斜截面的应力？
F
F
1、斜截面上内力 F
F
F=F =FN
2、假设斜截面上的应力 3、斜截面上应力 F
试绘制轴力图，并求 max
C
L2
B L1
A
P
（1）计算轴力
N2
AB段：取任意截面
x2
N1 P A1 x1
C L2 N1 B
0 x1 l1
L1
x1
L1
P
PA
P
BC段：取任意截面
N2 P A1l1 A2 x2
0 x2 l2
N1 P A1 x1
N2 P A1l1 A2 x2
一、轴力
F
F
F
FN
FN-F=0
FN=F
FN
F
FN 的作用线 与轴线重合 轴力； 单位：牛顿（N）
轴力以拉为正，以压为负。
二、轴力图 形象表示轴力随截面的变化情况
F A
6F F
4F
B
C
D
如果杆件受到的沿轴线作用的外力多于两个， 则杆件不同横截面上有不同的轴力。
例1 作杆件的轴力图，确定危险截面
F F F
１、计算M－M面上的轴力
A：－5P
5P M 2P
B：－2P
Ｐ
C：－7P
M
D：－P
２、图示结构中，AB为钢材，BC为铝，在P力作用
下
。
A：AB段轴力大
B：BC段轴力大
C：轴力一样大
A
B
P C
3、作下列各杆件的轴力图
60KN 30KN
50KN
30KN
50KN
40KN
4、已知：横截面的面积为A，杆长为L，单位 体积的质量为γ。
（2）计算控制截面的轴力
x1 0 NA P 12KN
x1 l1 NB P A1l1 12.42KN
C L2
B L1
A
P
x2 0
x2 l2
NB P A1l1 A2 x2 12.42KN
NC P A1l1 A2l2 12.98KN
（3）作轴力图
（4）应力计算
B
NB A1
NAC
P
1 计算AB杆内力
Y 0 N AB sin 30 P
N AB 2P 260KN
NAB
NAC
P
2 计算 AB
AB
N AB A
260 103 10.86 2 104
106
119.7
MPa
例2 起吊钢索如图所示，截面积分别为 A1 3 cm2， A2 4 cm2，
l1 l 2 50 m， P 12kN， 0.028 N/cm3，
均匀分布 F
FN
4.正应力公式
FN
A
拉为正 压为负
FN 的适用条件:
A
/2
1、只适用于轴向拉伸与压缩杆件，
即外力的合力作用线与杆件的轴线重合。
P
2、只适用于离杆件受力区域稍远处的横截面。
3、横截面沿轴线变化，但变化缓慢
20O FN (x)
A(x)
Saint-Venant原理：
力作用于杆端方式的不同，只会使与杆端距离不大 于杆的横向尺寸的范围内受到影响<离开载荷作用处一 定距离（约为横截面尺寸），应力分布与大小不受外 载荷作用方式的影响> 。
25
x 10
4、x轴永远与轴线平行，且用外力的作用点将x轴分段； 5、每一次求内力时用截面法； 6、画轴力图时要注明单位和数值大小。
计算轴力的法则 1、任意截面轴力=∑（截面一侧载荷的代数值） 载荷代数值符号：离开该截面者为正，指向该截面者 为负。
2、轴力图突变：在载荷施加处轴力图要发生突变。 突变量=载荷值
§2–1 轴向拉压的概念及实例
工 程 实 例
工 程 实 例
工 程 实 例
工 程 实 例
由二力杆组成的桥梁桁架
拉压变形简图
F
F
拉伸
F
压缩
F
轴向拉伸和压缩变形的受力特征 作用于杆上的外力（或外力合力）的作用线与杆的轴线重合。
变形特征 ：杆件的变形是沿轴线方向伸长或缩短
§2–2 轴向拉压时横截面上的内力和应力
2 C 3D
2 F3 3 F4
25
x 10
1、计算各段轴力 2、绘制轴力图。 3、确定危险面位置
F1
FN1
FN1 F1 10kN
FN3
F4
F1
F2
FN2 FN 2 F2 F1 0
FN 2 10kN
FN3 F4 25kN
画轴力图步骤
1、分析外力的个数及其作用点； 2、利用外力的作用点将杆件分段； 3、截面法求任意两个力的作用点之间的轴力；
4、做轴力图；
5、轴力为正的画在水平轴的上方，表示该段杆件发生 拉伸变形，轴力为负的画在水平轴的下方，表示该段杆 件发生压缩变形。
画轴力图注意事项
FN / kN 10 1、两个力的作用点之间轴力为常量；
2、轴力只随外力的变化而变化； 与材料变化，截面变化均无关；
3、只有沿轴线方向的外力才产生轴力；