平行四边形培优讲义新打印版

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浙教版八年级下册第4章平行四边形培优讲义(含解析)

平行四边形第1讲命题点一：利用多边形内(外)角和定理求边角问题【思路点拨】(1)多边形内角和定理：n边形的内角和为(n－2)×180°(n≥3)且n为整数．此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出(n－3)条对角线，将n边形分割为(n－2)个三角形，这(n－2)个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之外还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法.(2)多边形的外角和等于360°.①多边形的外角和指在每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°.②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n－180°(n－2)＝360°. 例1一块正六边形硬纸片(如图①)，做成一个底面仍为正六边形且高相等的无盖纸盒(侧面均垂直于底面，见图②)，需在每一个顶点处剪去一个四边形，例如图①中的四边形AGA′H，那么∠GA′H的大小是 60°.例2(保送生模拟题)E，F是四边形ABCD边AD，BC上的点，连结EF，将四边形ABFE沿直线EF折叠，使点A，点B落在四边形ABCD的内部，分别为A′，B′，再折叠将点D与点A′重合，折痕为GH，则下列结论一定正确的是( C )A．∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝2∠C B．∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°＋∠CC．∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝360°－2∠C D．∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝540°－2∠C命题点二：平行四边形的定义与性质例3(2019·武汉期中改编)(1)在图①，②，③中，给出▱ABCD的顶点A，B，D的坐标(如图所示)，写出图①，②，③中的顶点C的坐标，它们分别是 (5,2) ， (c＋e，d) ， (c＋e－a，d) .(2)通过对图①，②，③，④的观察和顶点C的坐标的探究，你会发现：无论▱ABCD处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为A(a，b)，B(c，d)，C(m，n)，D(e，f)时，则四个顶点的横坐标a，c，m，e之间的等量关系为m＋a＝c＋e；纵坐标b，d，n，f之间的等量关系为n＋b＝d＋f.例4在△ABC中，AB＝AC，P为△ABC所在平面内一点，过点P分别作PE∥AC交AB于点E，PF∥AB交BC于点D，交AC于点F.(1)如图①，若点P在BC边上，此时PD＝0，猜想并写出PD，PE，PF与AB满足的数量关系，然后证明你的猜想．(2)如图②，若点P在△ABC内，猜想并写出PD，PE，PF与AB满足的数量关系，然后证明你的猜想．(3)如图③，若点P在△ABC外，猜想并写出PD，PE，PF与AB满足的数量关系(不必证明)．解：(1)PD＋PE＋PF＝A B．理由如下：∵AB＝AC，PF∥AB，PE∥AC，∴四边形PFAE是平行四边形．∴∠B＝∠C，∠EPB＝∠C，∠B＝∠FP C．∴∠B＝∠EPB，即△BPE为等腰三角形．∴BE＝PE.又∵四边形PFAE是平行四边形，∴PF＝AE.∴PE＋PF＝BE＋AE＝A B．又∵PD＝0，∴PD＋PE＋PF＝A B．(2)PD＋PE＋PF＝A B．理由如下：如图，过点P作MN∥BC分别交AB，AC于点M，N.由题意，得四边形PFAE，四边形PDBM为平行四边形．∴PF＝AE，PD＝BM.由题(1)的证明方法可同证△MEP为等腰三角形．∴PE＝ME.∴PD＋PE＋PF＝BM＋EM＋AE＝A B．(3)PE＋PF－PD＝A B．命题点三：利用平行四边形的性质解决边、角问题【思路点拨】本题考查的知识比较综合，包括平行四边形的性质、全等三角形的性质和判定以及等边三角形的性质．要解答本题，可以参照下面的思路：在等边三角形中，三条边相等，三个角都是60°，则可由60°角及平行四边形对角相等的性质可得∠DAE＝∠1，即△DAE≌△FCD，得出DF＝DE，同理可得出三条边都相等，进而可得出结论.例5(浙江省自主招生模拟题)如图所示，在▱ABCD中，△ABE和△BCF都是等边三角形．求证：△DEF是等边三角形．证明：∵△ABE和△BCF都是等边三角形，且四边形ABCD是平行四边形．∴AE＝AB＝CD，CF＝BC＝A D．∴∠BAE＝∠BCF＝60°，即∠DAE＋∠BAD＝∠1＋∠BCD＝60°.在▱ABCD中，∠BAD＝∠BCD，∴∠DAE＝∠1.∴△DAE≌△FC D．∴DF＝DE.∵∠2＝180°－∠ABE－∠CBF－∠BCD＝60°－∠BCD，∠1＝60°－∠BCD，∴∠1＝∠2＝∠EA D．∵EA＝EB，AD＝BC＝BF，∴△BEF≌△AE D．∴DE＝EF.∴DE＝DF＝EF，即△DEF为等边三角形．例6如图，在△ABC中，∠C＝90°，点M在BC上，且BM＝AC，AN＝MC，AM与BN相交于点P，求证：∠BPM＝45°.解：如图，过点M作ME∥AN，且ME＝AN，连结NE，BE，则四边形AMEN为平行四边形，从而得到NE＝AM，ME⊥B C．∵ME＝CM，∠EMB＝∠MCA＝90°，BM＝AC，∴△BEM≌△AM C．∴BE＝AM＝NE，∠1＝∠2，∠3＝∠4.∵∠1＋∠3＝90°，∴∠2＋∠4＝90°，且BE＝NE.∴△BEN为等腰直角三角形，∠BNE＝45°.∵AM∥NE，∴∠BPM＝∠BNE＝45°.命题点四：中心对称的应用【思路点拨】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的作法，在解题过程中，正确理解轴对称图形和中心对称图形的概念是解题的关键.例7如图，A，B，C是由三个相同的小正方形拼成的图形，请你再添加一个同样大小的小正方形(要求新添加的小正方形与原小正方形至少有一边重合)，使所得的新图形分别为下列(1)(2)(3)题要求的图形，请画出示意图．(1)是中心对称图形，但不是轴对称图形．(2)是轴对称图形，但不是中心对称图形．(3)既是中心对称图形，又是轴对称图形．解：(1)如图①，取其中一个涂色的小正方形，则构成的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形．(2)如图②，取其中一个涂色的小正方形，则构成的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形．(3)如图③，在右边一个正方形上侧画一个正方形，则构成的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形．例8图①、图②均为7×6的正方形网格，点A，B，C在格点上．(1)在图①中确定格点D，并画出以A，B，C，D为顶点的四边形，使其为轴对称图形(画一个即可)．(2)在图②中确定格点E，并画出以A，B，C，E为顶点的四边形，使其为中心对称图形(画一个即可)．解：(1) (2)课后练习1．在▱ABCD中，∠BAD的平分线AE交BC于点E，且BE＝3，若▱ABCD的周长是16，则EC的长度是( A )A．2 B．3 C．4 D．62．在凸四边形ABCD中，AB∥CD，且AB＋BC＝CD＋AD，则( C )A．AD>BC B．AD<BC C．AD＝BC D．AD与BC的大小关系不能确定3．如图，在▱ABCD中，∠ABC＝75°，AF⊥BC于点F，AF交BD于点E.若DE＝2AB，则∠AED 的大小是( B )A．60° B．65° C．70° D．75°4．(武汉市自主招生模拟题)如图，在▱ABCD中，BC＝2AB，CE⊥AB于点E，F为AD的中点，若∠AEF＝54°，则∠B等于 ( D )A．54° B．60° C．66° D．72°5．如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH(不重叠无缝隙)．若①②③④四个平行四边形面积的和为28 cm2，四边形ABCD的面积是18 cm2，则①②③④四个平行四边形周长的总和为( B )A．72 cm B．64 cm C．56 cm D．48 cm6．如图，在五边形ABCDE中，∠ABC＝∠AED＝90°，AB＝CD＝AE＝BC＋DE＝2，则五边形ABCDE 的面积为( C )A．2 B．3 C．4 D．57．如图，在△ABC中，AB＝AC，AP＝QP＝QB＝BC，则∠A＝ 20°.8．如图，▱OABC的顶点A，C分别在直线x＝1和x＝4上，O为坐标原点，则对角线OB长的最小值为 5 .9．在面积为15的▱ABCD中，过点A作AE⊥直线BC于点E，作AF⊥直线CD于点F，若AB＝5，BC＝6，则CE＋CF的值为11＋1132或1＋32.10．如图，在▱ABCD中，∠ABC＝60°，AE⊥AD交BD于点E，若DE＝2DC，则∠DBC的大小是 20°.11．(2019·吉林省“城市杯”初中数学应用能力展示真题)如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，AB＝AD，若这个四边形的面积为16，则BC＋CD＝ 8 .12．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，∠EAF＝45°，且AE＋AF＝22，求▱ABCD的周长．解：∵∠EAF＝45°，∴∠C＝360°－∠AEC－∠AFC－∠EAF＝135°.∴∠B＝∠D＝180°－∠C＝45°.∴AE＝BE，AF＝DF.设AE＝x，则AF＝22－x.在Rt△ABE中，根据勾股定理，得AB＝AE2＋BE2＝2x.同理可得AD＝2(22－x)＝4－2x.∴▱ABCD的周长为2(AB＋AD)＝2(2x＋4－2x)＝8.13．如图，一个凸六边形的六个内角都是120°，六条边长分别为a，b，c，d，e，f，则下列等式中成立的是( C )A．a＋b＋c＝d＋e＋f B．a＋c＋e＝b＋d＋fC．a＋b＝d＋e D．a＋c＝b＋d14．如图，在▱ABCD中，AB＝BC＝8，∠B＝60°，P是AB上一点，BP＝3，Q是CD边上一动点，将梯形APQD沿直线PQ折叠，点A的对应点为A′.当CA′的长度最小时，CQ的长为是 7 .15．在▱ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F.(1)在图①中，证明CE＝CF.(2)若∠ABC＝90°，G是EF的中点(如图②)，直接写出∠BDG的度数．(3)若∠ABC＝120°，FG∥CE，FG＝CE，分别连结DB，DG(如图③)，求∠BDG的度数．解：(1)∵AF平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥C D．∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠F.∴∠CEF＝∠F.∴CE＝CF.(2)∠BDG＝45°.(3)如图，延长AB至点H，使AH＝AD，连结DH，则△AHD是等边三角形．∵∠ABC＝120°，AF平分∠BAD，∴∠DAF＝∠BAF＝30°，∠ADC＝120°，∠DFA＝30°.∴AD＝DF.∵AH＝AD＝DF，∴BH＝CF＝CE＝GF.又∵FG∥CE，∠BCD＝60°，∴∠GFC＝60°.又∵∠BHD＝∠GFD＝60°，DH＝DF，∴△DBH≌△DGF，∠BDH＝∠GDF.∴∠BDG＝∠ADC－∠ADB－∠GDF＝∠ADC－(∠ADB＋∠BDH)＝120°－60°＝60°.。

著名机构初中数学培优讲义平行四边形.第01讲(A级).教师版

内容基本要求略高要求较高要求平行四边形会识别平行四边形掌握平行四边形的概念、判定和性质，会用平行四边形的性质及判定解决简单问题会运用平行四边形的性质及判定解决有关问题一、平行四边形的性质平行四边形的边：平行四边形的对边平行且对边相等．平行四边形的角：平行四边形的对角相等，邻角互补．平行四边形的对角线：平行四边形的对角线互相平分．平行四边形的对称性：平行四边形是中心对称图形．平行四边形的周长：一组邻边之和的2倍．平行四边形的面积：底乘以高．二、平行四边形的判定两组对边分别平行的四边形是平行四边形．两组对边分别相等的四边形是平行四边形．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形．两组对角分别相等的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．一、平行四边形的性质【例1】如图所示，已知四边形ABCD ，从⑴AB DC ∥；⑵AB DC =；⑶AD BC ∥；⑷AD BC =；⑸A C ∠=∠；⑹B D ∠=∠中取两个条件加以组合，能推出四边形ABCD 是平行四边形的有哪几种情形？请写出具体组合。

知识点睛例题精讲中考要求平行四边形BC【解析】本题6个条件中任取2个，共有15种组合情形，其中能证明是平行四边形的有9种情况： ① ⑴，⑶；② ⑵，⑷；③ ⑸，⑹；④ ⑴，⑵；⑤ ⑶，⑷；⑥ ⑴，⑸；⑦ ⑴，⑹；⑧ ⑶，⑸；⑨ ⑶，⑹．【答案】① ⑴，⑶；② ⑵，⑷；③ ⑸，⑹；④ ⑴，⑵；⑤ ⑶，⑷；⑥ ⑴，⑸；⑦ ⑴，⑹；⑧ ⑶，⑸；⑨ ⑶，⑹．【例2】如图，在平行四边形ABCD 中，EF BC GH AB EF ∥，∥，与GH 相交于点O ，图中共有个平行四边形O HGF EDC BA【解析】省略【答案】9个【例3】以三角形的三个顶点作平行四边形，最多可以作（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【解析】省略【答案】B【例4】如图，在平行四边ABCD 中，AC 、BD 为对角线，6BC =，BC 边上的高为4，则阴影部分的面积为（）．A ．3B ．6C ．12D ．24(1)DB【解析】利用平行线的性质及割补法可得C ．【答案】C【例5】如图，在平行四边ABCD 中，已知8cm AD =，6cm AB =，DE 平分ADC ∠交BC 边于点E ，则BE 等于 cm ．E CB【解析】过E 作EF AB ∥交AD 于点F ，由于DE 平分ADC ∠，有ADE EDC CED FED ∠=∠=∠=∠即，6EF FD EC AB ====，即2BE AF AD AF ==-=FE DCB A【答案】见解析【例6】如图，在平形四边形ABCD 中，CE AB ⊥，E 为垂足．如果125A ∠=︒，则BCE ∠= ．EDCBA【解析】过A 作AF CE ∥交CD 于点F ，可得四边形AECF 为矩形，从而有(BCE AFD HL ∆∆≌）则1259035o o o BCE FAD ∠=∠=-=【答案】见解析【例7】如图，平行四边形ABCD 的周长是28cm ，ABC △的周长是22cm ，则AC 的长为．DCB A【解析】略【答案】8cm【例8】如图，平行四边形ABCD 中，35AB BC AC ==，，的垂直平分线交AD 于E ，则CDE △的周长是EDCBA【解析】由中垂线定理可知AE =EC ，则CDE △的周长为8AD CD += 【答案】8【例9】 M 为平行四边形ABCD 两个角平分线AM 和BM 的交点，AM 3=，4BM =，平行四边形ABCD 的周长为18，则BC = ．MDCBA【解析】由于AM 、BM 均为角平分线，故90o AMB ∠=，则由勾股定理可得AB =5即可得BC =4【答案】4【例10】平行四边形的两个邻边得长分别为16和20，两条长边间的距离为8，则短边间的距离为．【解析】由平行四边形面积公式即可得【答案】10【例11】如图，在平行四边形ABCD 中，AE BC ⊥于E ，AF CD ⊥于F ，若4,6AE AF ==，平行四边形的周长为40，则平行四边形ABCD 的面积为。

平行四边形的判定定理培优讲解及练习

平行四边形的判定定理【要点梳理】要点一、平行四边形的判定1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.要点诠释：（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个行四边形时，应选择较简单的方法.（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据. 【典型例题】类型一、平行四边形的判定例1、如图所示，E、F分别为四边形ABCD的边AD、BC上的点，且四边形AECF和DEBF都是平行四边形，AF和BE相交于点G，DF和CE相交于点H．求证：四边形EGFH为平行四边形．【思路点拨】欲证四边形EGFH为平行四边形，只需证明它的两组对边分别平行，即EG∥FH，FG ∥HE可用来证明四边形EGFH为平行四边形．【答案与解析】证明：∵四边形AECF为平行四边形，∴ AF∥CE．页1∵四边形DEBF为平行四边形，∴ BE∥DF．∴四边形EGFH为平行四边形．【变式】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F，若CE=CF，求证：四边形ABCD是平行四边形．【答案】证明：∵∠BAD的平分线交直线BC于点E，∴∠1=∠2，∵AB∥CD，∴∠1=∠F，∵CE=CF，∴∠F=∠3，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴AD∥BC，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．例2、如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE=CF．求证：（1）DE=BF；（2）四边形DEBF是平行四边形．【思路点拨】（1）根据全等三角形的判定方法，判断出△ADE≌△CBF，即可推得DE=BF．页2（2）首先判断出DE∥BF；然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，推得四边形DEBF 是平行四边形即可．【答案与解析】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，AD=CB，∴∠DAE=∠BCF，在△ADE和△CBF中，∴△ADE≌△CBF，∴DE=BF．（2）由（1），可得△ADE≌△CBF，∴∠ADE=∠CBF，∵∠DEF=∠DAE+∠ADE，∠BFE=∠BCF+∠CBF，∴∠DEF=∠BFE，∴DE∥BF，又∵DE=BF，∴四边形DEBF是平行四边形．【总结升华】此题主要考查了平行四边形的判定和性质的应用，以及全等三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握．例3、已知：如图四边形ABCD是平行四边形，P、Q是直线AC上的点，且AP=CQ．求证：四边形PBQD是平行四边形．页3页 4【思路点拨】证明四边形是平行四边形有很多种方法，此题可由对角线互相平分来证明．【答案与解析】证明：连接BD 交AC 与O 点，∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AO=CO，BO=DO ，又∵AP=CQ， ∴AP+AO=CQ+CO，即PO=QO ，∴四边形PBQD 是平行四边形．【总结升华】本题主要考查平行四边形的判定，利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来证明．举一反三：【变式1】如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交BE 的延长线于F ，且AF=DC ，连接CF ．试说明：D 是BC 的中点.【答案】证明：∵AF∥BC ，∴∠AFE=∠DBE ， ∵E 是AD 的中点， ∴AE=DE ，页 5在△AEF 和△DEB 中，∵ ∴△AEF ≌△DEB （AAS ）， ∴AF=BD ， ∵AF=DC ， ∴BD=DC ， ∴D 是BC 的中点.【变式2】如图，分别以Rt △ABC 的直角边AC 及斜边AB 向外作等边△ACD 及等边△ABE ，已知：∠BAC=30°，EF ⊥AB ，垂足为F ，连接DF ．（1）试说明AC=EF ；（2）求证：四边形ADFE 是平行四边形．【答案】证明：（1）∵Rt △ABC 中，∠BAC=30°， ∴AB=2BC ，又∵△ABE 是等边三角形，EF ⊥AB ， ∴AB=2AF ∴AF=BC ，在Rt △AFE 和Rt △BCA 中，，∴Rt △AFE ≌Rt △BCA （HL ），,,,＝＝＝AFE DBE AEF DEB AE DE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩页 6∴AC=EF ；（2）∵△ACD 是等边三角形， ∴∠DAC=60°，AC=AD ， ∴∠DAB=∠DAC +∠BAC=90° 又∵EF ⊥AB ， ∴EF ∥AD ， ∵AC=EF ，AC=AD ， ∴EF=AD ，∴四边形ADFE 是平行四边形．例4、如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，直线EF 经过点O ，分别与AB ，CD 的延长线交于点E ，F ．求证：四边形AECF 是平行四边形．【思路点拨】平行四边形的判定方法有多种，选择哪一种解答应先分析题目中给的哪一方面的条件多些，本题所给的条件为四边形ABCD 是平行四边形，可证OF=OE ，OA=OC ，根据条件在图形中的位置，可选择利用“对角线相互平分的四边形为平行四边形”来解决．【答案与解析】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD=OB ，OA=OC ， ∵AB ∥CD ，∴∠DFO=∠BEO ，∠FDO=∠EBO ， ∴在△FDO 和△EBO 中，,＝＝＝DFO BEO FDO EBO OD OB ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△FDO≌△EBO（AAS），∴OF=OE，∴四边形AECF是平行四边形．类型二、平行四边形的性质定理与判定定理的综合运用例1、如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的点，且AE=CF．（1）猜想探究：BE与DF之间的关系： ________________.（2）请证明你的猜想．【思路点拨】（1）BE平行且等于DF；（2）连接BD交AC于O，根据平行四边形的性质得出OA=OC，OD=OB，推出OE=OF，得出平行四边形BEDF即可．【答案与解析】（1）解：BE和DF的关系是：BE=DF，BE∥DF，故答案为：平行且相等．（2）证明：连接BD交AC于O，∵ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵AE=CF，∴OE=OF，∴BFDE是平行四边形，∴BE=DF，BE∥DF．【总结升华】本题考查了平行四边形的性质和判定的应用，能否熟练地运用平行四边形的性质和判定进行推理是你解决本题的关键，题型较好，通过此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，同时培养了学生的观察能力和猜想能力．举一反三：【变式】如图，在ABCD中，E、F分别在AD、BC边上，且AE=CF．请你猜想BE与DF的关系，并说明理由．页7页 8【答案】解：猜想BE 与DF 的关系是BE=DF ，BE ∥DF ，理由是：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD=BC ， ∵AE=CF ， ∴AD-AE=BC-CF ，即DE=BF ， ∵DE ∥BF ，∴四边形BFDE 是平行四边形， ∴BE=DF ，BE ∥DF ．例2、如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点P ，过点P 作直线交AD 于点E ，交BC 于点F ．若PE=PF ，且AP+AE=CP+CF ．（1）求证：PA=PC ．（2）若AD=12，AB=15，∠DAB=60°，求四边形ABCD 的面积．【思路点拨】（1）首先在PA 和PC 的延长线上分别取点M 、N ，使AM=AE ，CN=CF ，可得PN=PM ，则易证四边形EMFN 是平行四边形，则可得ME=FN ，∠EMA=∠CNF ，即可证得△EAM ≌△FCN ，则可得PA=PC ；（2）由PA=PC ，EP=PF ，可证得四边形AFCE 为平行四边形，易得△PED ≌△PFB ，则可得四边形ABCD 为平行四边形，由AB=15，AD=12，∠DAB=60°，即可求得四边形ABCD 的面积．【答案与解析】（1）证明：在PA 和PC 的延长线上分别取点M 、N ，使AM=AE ，CN=CF ． ∵AP+AE=CP+CF ， ∴PN=PM ． ∵PE=PF ，∴四边形EMFN 是平行四边形．∴ME=FN ，∠EMA=∠CNF．又∵∠AME=∠AEM，∠CNF=∠CFN，∴△EAM≌△FCN．∴AM=CN．∵PM=PN，∴PA=PC．（2）解：∵PA=PC，EP=PF，∴四边形AFCE为平行四边形．∴AE∥CF．∵∠PED=∠PFB，∠EPD=∠FPB，EP=PF，∴△PED≌△PFB．∴DP=PB．由（1）知PA=PC，∴四边形ABCD为平行四边形．∵AB=15，AD=12，∠DAB=60°，∴四边形ABCD的面积为90．【总结升华】此题考查了平行四边形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质等知识．此题图形比较复杂，难度适中，解题的关键是数形结合思想的应用．例3、如图，△ABC中AB=AC，点D从点B出发沿射线BA移动，同时，点E从点C出发沿线段AC的延长线移动，已点知D、E移动的速度相同，DE与直线BC相交于点F．（1）如图1，当点D在线段AB上时，过点D作AC的平行线交BC于点G，连接CD、GE，判定四边形CDGE的形状，并证明你的结论；（2）过点D作直线BC的垂线垂足为M，当点D、E在移动的过程中，线段BM、MF、CF有何数量关系？请直接写出你的结论．【思路点拨】（1）由题意得出BD=CE，由平行线的性质得出∠DGB=∠ACB，由等腰三角形的性质得出∠B=∠ACB，得出∠B=∠DGB，证出BD=GD=CE，即可得出结论；（2）由（1）得：BD=GD=CE，由等腰三角形的三线合一性质得出BM=GM，由平行线得出GF=CF，即可得出结论．【答案与解析】解：（1）四边形CDGE是平行四边．理由如下：如图1所示：3页9∵D、E移动的速度相同，∴BD=CE，∵DG∥AE，∴∠DGB=∠ACB，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠B=∠DGB，∴BD=GD=CE，又∵DG∥CE，∴四边形CDGE是平行四边形；（2）BM+CF=MF；理由如下：如图2所示：由（1）得：BD=GD=CE，∵DM⊥BC，∴BM=GM，∵DG∥AE，∴GF=CF，∴BM+CF=GM+GF=MF．【总结升华】本题考查了等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．举一反三【变式】如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．（1）求证：BE=DF；（2）若M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN，试判断四边形MENF的形状（不必说明理由）．【答案】页10∴ AB=CD，AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB，∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，∴∠AEB=∠CFD=90°，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴BE=DF；（2）四边形MENF是平行四边形．证明：由（1）可知：BE=DF，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠MDB=∠NBD，∵DM=BN，∴△DMF≌△BNE，∴NE=MF，∠MFD=∠NEB，∴∠MFE=∠NEF，∴MF∥NE，∴四边形MENF是平行四边形．例4、如图，已知在ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE=DF，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG=CH，连接GE、EH、HF、FG．（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；（2）若点G、H分别在线段BA和DC上，其余条件不变，则（1）中的结论是否成立？（不用说明理由）【思路点拨】（1）先由平行四边形的性质，得AB=CD，AB∥CD，根据两直线平行内错角相等得∠GBE=∠HDF．再由SAS可证△GBE≌△HDF，利用全等的性质，证明∠GEF=∠HFE，从而得GE∥HF，又GE=HF，运用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得证．（2）仍成立．可仿照（1）的证明方法进行证明．【答案与解析】页11页 12∴AB=CD ，AB ∥CD ，∴∠GBE=∠HDF ．又∵AG=CH ，∴BG=DH ．又∵BE=DF ，∴△GBE ≌△HDF ．∴GE=HF ，∠GEB=∠HFD ，∴∠GEF=∠HFE ， ∴GE ∥HF ，∴四边形GEHF 是平行四边形．（2）解：仍成立．（证法同上）【总结升华】本题考查的知识点为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．举一反三【变式】如图，ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于O 点，AE ⊥BD 于E ，CF ⊥BD 于F ，BG ⊥AG 于G ，DH ⊥AC 于H ．求证：四边形GEHF 是平行四边形．【答案】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BO=DO ，AO=CO ，AB=CD ，AB ∥CD ， ∴∠ABD=∠CDB ，∵AE ⊥BD 于E ，CF ⊥BD 于F ，∴∠AEB=∠CFD=90°，在△ABE 和△CDF 中,∴△ABE ≌△CDF （AAS ）， ∴BE=DF ， ∴BO-BE=DO-DF ，即：EO=FO ，同理：△ABG ≌△CDH ， ∴AG=CH ， ∴AO-AG=CO-CH ， ,＝＝＝AB CD ABE CDF AEB CFD ∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩即：GO=OH，∴四边形GEHF是平行四边形．【课堂练习】一.选择题1.点P、Q、R是平面内不在同一条直线上的三个定点，点M是平面内任意一点，若P、Q、R、M四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点M有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB＝CD，AD＝BC；③AO＝CO，BO＝DO；④AB∥CD，AD＝BC．其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有( ).A．1组 B．2组 C．3组 D．4组3. 下面给出了四边形ABCD中∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比, 其中能识别四边形ABCD为平行四边形的是( ).A. 1:2:3:4B. 2:3:2:3C. 2:2:3:3D. 1:2:2:14. 如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C，分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，分别连接AB、AD、CD，则四边形ABCD一定是（）A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形5. 已知一个凸四边形ABCD的四条边的长顺次是a、b、c、d，且a2+ab-ac-bc=0，b2+bc-bd-cd=0，那么四边形ABCD是（）A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形页136. 如图，图1、图2、图3分别表示甲、乙、丙三人由A地到B地的路线图（箭头表示行进的方向）．其中E为AB的中点，AH＞HB，判断三人行进路线长度的大小关系为（）A．甲＜乙＜丙 B．乙＜丙＜甲 C．丙＜乙＜甲 D．甲=乙=丙二.填空题7. 如图，E、F 是ABCD对角线BD上的两点，请你添加一个适当的条件：，使四边形AECF是平行四边形．8.如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，直线EF过点O且EF∥AD，直线GH过点O且GH∥AB，则能用图中字母表示的平行四边形共有______________个．9．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，点E在AB边上从A向B以1cm/s的速度移动，同时点F在CD边上从C向D以2cm/s的速度移动，若AB=7cm，CD=9cm，则秒时四边形ADFE是平行四边形．页1410. 如图，已知等边△ABC的边长为8，P是△ABC内一点，PD∥AC，PE∥AD，PF∥BC，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，则PD+PE+PF=______________.11．已知：如图，四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，则四边形ABCD是______．12．如图，平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是AB、OB、CD、OD 的中点．有下列结论：①AD=BC，②△DHG≌△BFE，③BF=HO，④AO=BO，⑤四边形HFEG是平行四边形，其中正确结论的序号是．三.解答题13．如图，在口ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE=DF，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG=CH，连接GE、EH、HF、FG．求证：（1）△BEG≌△DFH；（2）四边形GEHF是平行四边形．14.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别为边AB、BC的中点，点F在边AC的延长线上，∠FEC=∠B，求证：四边形CDEF是平行四边形．页1515.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC＝2，CE＝4，求四边形ACEB的周长.【答案与解析】一.选择题1.【答案】C；【解析】解：如图，连接PQ、QR、PR，分别过P、Q、R三点作直线l∥QR、m∥PR、n∥PQ，分别交于点D、E、F，∵DP∥QR，DQ∥PR，∴四边形PDQR为平行四边形，同理可知四边形PQRF、四边形PQER也为平行四边形，故D、E、F三点为满足条件的M点，故选C．页162.【答案】C；【解析】①②③能判定平行四边形.3.【答案】B；【解析】平行四边形对角相等.∠A与∠C为对角，∠B与∠D为对角.4.【答案】A；【解析】∵分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，∴AD=BC AB=CD∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．故选A．5.【答案】A；【解析】由a2+ab-ac-bc=0，可知（a+b）（a-c）=0，则a-c=0，即a=c；由b2+bc-bd-cd=0，可知（b+c）（b-d）=0；则b-d=0，即b=d．（其中a，b，c，d都是正数，a+b、b+c一定不等于0）由a=c；b=d知四边形ABCD的两组对边分别相等，则四边形ABCD是平行四边形．故选A．6.【答案】D；【解析】图1中，甲走的路线长是AC+BC的长度；延长AD和BF交于C，如图2，∵∠DEA=∠B=60°，∴DE∥CF，同理EF∥CD，∴四边形CDEF是平行四边形，∴EF=CD，DE=CF，即乙走的路线长是AD+DE+EF+FB=AD+CD+CF+BC=AC+BC的长；延长AG和BK交于C，如图3，与以上证明过程类似GH=CK，CG=HK，即丙走的路线长是AG+GH+HK+KB=AG+CG+CK+BK=AC+BC的长；即甲=乙=丙，故选D．页17页 18二.填空题 7.【答案】BE=DF ；【解析】添加的条件是BE=DF ，理由是：连接AC 交BD 于O ， ∵平行四边形ABCD ， ∴OA=OC ，OB=OD ， ∵BE=DF ， ∴OE=OF ，∴四边形AECF 是平行四边形．故答案为：BE=DF ．8.【答案】18；【解析】图中平行四边形有：AEOG ，AEFD ，ABHG ，GOFD ，GHCD ，EBHO ，EBCF ，OHCF ，ABCD ，EHFG ，AEHO ，AOFG ，EODG ，BHFO ，HCOE ，OHFD ，OCFG ，BOGE ．共18个．故答案为：18． 9.【答案】3；【解析】解：设t 秒时四边形ADFE 是平行四边形；理由：当四边形ADFE是平行四边形，则AE=DF，即t=9﹣2t，解得：t=3，故3秒时四边形ADFE是平行四边形．故答案为：3．10．【答案】8；【解析】过E点作EG∥PD，过D点作DH∥PF，∵PD∥AC，PE∥AD，∴PD∥GE，PE∥DG，∴四边形DGEP为平行四边形，∴EG=DP，PE=GD，又∵△ABC是等边三角形，EG∥AC，△BEG为等边三角形，∴EG=PD=GB，同理可证：DH=PF=AD，∴PD+PE+PF=BG+GD+AD=AB=8．．11．【答案】平行四边形；12.【答案】①，②，③，⑤；【解析】解：平行四边形ABCD中，∴AD=BC，故①正确；∵平行四边形ABCD，∴DC∥AB，DC=AB，OD=OB，∴∠CDB=∠DBA，∵E、F、G、H分别是AB、OB、CD、OD的中点，∴DG=BE=AB，DH=BF=OD，∴②△DHG≌△BFE，故②正确；∵HO=DH，DH=BF，∴BF=HO，故③正确；平行四边形ABCD，OA=OC，OB=OD，故④错误；E、F、G、H分别是AB、OB、CD、OD的中点，∴HG∥OC，HG=OC，EF∥OA，EF=OA，∴HG∥EF，HG=EF，HEFG是平行四边形，故⑤正确；故答案为：①，②，③，⑤．三.解答题页1913.【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥DC，∴∠ABE=∠CDF，∵AG=CH，∴BG=DH，在△BEG和△DFH中，，∴△BEG≌△DFH（SAS）；（2）∵△BEG≌△DFH（SAS），∴∠BEG=∠DFH，EG=FH，∴∠GEF=∠HFB，∴GE∥FH，∴四边形GEHF是平行四边形．14.【解析】证明：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别为边AB、BC的中点，∴DE∥AC，CD=AB=AD=BD，∴∠B=∠DCE，∵∠FEC=∠B，∴∠FEC=∠DCE，∴DC∥EF，∴四边形CDEF是平行四边形．15.【解析】解：∵∠ACB＝90°，DE⊥BC，页20∴AC∥DE．又∵CE∥AD，∴四边形ACED是平行四边形．∴DE＝AC＝2在Rt△CDE中，由勾股定理∵D是BC的中点，∴BC＝2CD＝在Rt△ABC中，由勾股定理．∵D是BC的中点，DE⊥BC，∴EB＝EC＝4∴四边形ACEB的周长＝AC＋CE＋BE＋BA＝10＋.【课后作业】一.选择题1．如图，在平面直角坐标系中，以O（0，0）、A（1，-1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形第四个顶点坐标的是（）A．（3，-1） B．（-1，-1） C．（1，1） D．（-2，-1）2．以不共线的三点A、B、C为顶点的平行四边形共有( )个．A.1B.2C.3D.无数CD==AB==页21页 223．A ，B ，C ，D 在同一平面内，从①AB ∥CD ，②AB=CD ，③BC ∥AD ，④BC=AD 这四个中任选两个作为条件，能使四边形ABCD 为平行四边形的选法有（） A ．6种 B ．5种 C ．4种 D ．3种4. 如图，在▱ABCD 中，EF ∥AD ，HN ∥AB ，则图中的平行四边形（不包括四边形ABCD ）的个数共有（）A ．9个B ．8个C ．6个D ．4个5. 如图，在ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O. E 、F 是对角线AC 上的两个不同点，当E 、F 两点满足下列条件时，四边形DEBF 不一定是平行四边形( ).A. AE ＝CFB.DE ＝BFC. D.6．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，D 是BC 的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC=2，∠ADC=30°，①四边形ACED 是平行四边形； ②△BCE 是等腰三角形； ③四边形ACEB 的周长是10+2； ④四边形ACEB 的面积是16．则以上结论正确的是（）CBF ADE ∠=∠CFB AED ∠=∠A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②④二.填空题7.已知四边形ABCD的对角线相交于O，给出下列5个条件①AB∥CD ②AD∥BC③AB=CD ④∠BAD=∠DCB，从以上4个条件中任选2个条件为一组，能推出四边形ABCD为平行四边形的有____________组．8.在▱ABCD中，对角线相交于点O，给出下列条件：①AB=CD，AD=BC，②AD=AB，AD∥BC，③AB∥CD，AD∥BC，④AO=CO，BO=DO其中能够判定ABCD是平行四边形的有____________.9.如图，用9个全等的等边三角形，按图拼成一个几何图案，从该图案中可以找出______个平行四边形．10.如图，已知AB=CD，AD=CB，则∠ABC+∠BAD=___________度．11.如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AD∥BC，若要使四边形是平行四边形，则需要添加的一个条件是．（只写出一种情况即可）12．如图，在△ABC中，AB=4，AC=3，BC=5，△ABD、△ACE、△BCF都是等边三角形，则四边形AEFD的面积为．页23三.解答题13. 在ABCD中，对角线BD、AC相交于点O，BE＝DF，过点O作线段GH交AD于点G，交BC于点H，顺次连接EH、HF、FG、GE，求证：四边形EHFG是平行四边形.14.如图，已知点A、B、C、D在一条直线上，BF、CE相交于O，AE=DF，∠E=∠F，OB=OC．（1）求证：△ACE≌△DBF；（2）如果把△DBF沿AD折翻折使点F落在点G，连接BE和CG．求证：四边形BGCE是平行四边形．15. 如图所示，已知△ABC是等边三角形，D、F两点分别在线段BC、AB上，∠EFB＝60°，DC＝EF．页24(1)求证：四边形EFCD是平行四边形；(2)若BF＝EF，求证：AE＝AD．【答案与解析】一.选择题1．【答案】D；【解析】A、∵以O（0，0）、A（1，-1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形，当第四个点为（3，-1）时，∴BO=AC1=2，∵A，C1，两点纵坐标相等，∴BO∥AC1，∴四边形OAC1B是平行四边形；故此选项正确；B、∵以O（0，0）、A（1，-1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形，当第四个点为（-1，-1）时，∴BO=AC2=2，∵A，C2，两点纵坐标相等，∴BO∥AC2，∴四边形OC2AB是平行四边形；故此选项正确；C、∵以O（0，0）、A（1，-1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形，页25页 26当第四个点为（1，1）时， ∴BO=AC 1=2，∵A ，C 1，两点纵坐标相等， ∴C 3O=BC 3=，同理可得出AO=AB=，进而得出C 3O=BC 3=AO=AB ，∠OAB=90°， ∴四边形OABC 3是正方形；故此选项正确；D 、∵以O （0，0）、A （1，-1）、B （2，0）为顶点，构造平行四边形，当第四个点为（-1，-1）时，四边形OC 2AB 是平行四边形；∴当第四个点为（-2，-1）时，四边形OC 2AB 不可能是平行四边形；故此选项错误．故选：D ．2．【答案】C ；【解析】分别以AB ，BC ，AC 为对角线作平行四边形. 3．【答案】C ；【解析】根据平行四边形的判定，可以有四种：①与②，③与④，①与③，②与④都能判定四边形是平行四边形，故选C ．4.【答案】B ；【解析】设EF 与NH 交于点O ，∵在▱ABCD 中，EF ∥AD ，HN ∥AB ，∴AD ∥EF ∥BC ，AB ∥NH ∥CD ，则图中的四边AEOH 、DHOF 、BEON 、CFON 、AEFD 、BEFC 、AHNB 、DHNC 和ABCD 都是平行四边形，共9个．故选B ．5.【答案】B ； 22页 27【解析】C 选项和D 选项均可证明△ADE ≌△CBF ，从而得到AE ＝CF ，EO ＝FO ，BO ＝DO ，所以可证四边形DEBF 是平行四边形.6.【答案】A ；【解析】解：①∵∠ACB=90°，DE⊥BC，∴∠ACD=∠CDE=90°， ∴AC∥DE， ∵CE∥AD，∴四边形ACED 是平行四边形，故①正确； ②∵D 是BC 的中点，DE⊥BC， ∴EC=EB，∴△BCE 是等腰三角形，故②正确； ③∵AC=2，∠ADC=30°， ∴AD=4，CD=2，∵四边形ACED 是平行四边形， ∴CE=AD=4， ∵CE=EB，∴EB=4，DB=2， ∴CB=4，∴AB==2，∴四边形ACEB 的周长是10+2故③正确； ④四边形ACEB 的面积：×2×4+×4×2=8，故④错误，故选：A ．二.填空题 7.【答案】4;【解析】①和②根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能推出四边形ABCD 为平行四边形；①和③根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能推出四边形ABCD 为平行四边形；①和④，②和④根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能推出四边形ABCD为平行四边形；所以能推出四边形ABCD为平行四边形的有四组．故答案为：4．8.【答案】①③④；【解析】∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴①正确；∵AD=BC，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴②正确；∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴③正确；∵AO=CO，BO=DO，∴四边形ABCD是平行四边形，∴④正确；即其中能判定四边形ABCD是平行四边形的有①②③④，故答案为：①②③④．9.【答案】15;【解析】两个全等的等边三角形，以一边为对角线构成的四边形是平行四边形，这样的两个平行四边形又可组成较大的平行四边形，从该图案中可以找出15个平行四边形．故答案为：15．10.【答案】180°；【解析】依题意得ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°．11.【答案】AD=BC；【解析】∵AD=BC，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故答案为：AD=BC．12．【答案】6；【解析】解：∵在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，∴BC2=AB2+AC2，∴∠BAC=90°，页28页 29∵△ABD，△ACE 都是等边三角形， ∴∠DAB=∠EAC=60°， ∴∠DAE=150°．∵△ABD 和△FBC 都是等边三角形， ∴∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠ABF=60°， ∴∠DBF=∠ABC．在△ABC 与△DBF 中，∴△ABC≌△DBF（SAS ）， ∴AC=DF=AE=4，同理可证△ABC≌△EFC， ∴AB=EF=AD=3，∴四边形DAEF 是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）． ∴∠FDA=180°﹣∠DAE=30°，∴S 口AEFD =AD•（DF ×）=3×（4×）=6．即四边形AEFD 的面积是6．故答案为：6．二.解答题 13.【解析】证明：在ABCD 中AD ∥BC ，AO ＝CO ，BO ＝DO∴∠GAO ＝∠HCO 在△AGO 和△CHO 中∴△AGO ≌△CHO∴GO ＝HO 又∵BO ＝DO ，BE ＝DF GAO HCO AO CO GOA HOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴EO＝FO∴四边形EHFG为平行四边形.14.【解析】证明：（1）如图1，∵OB=OC，∴∠ACE=∠DBF，在△ACE和△DBF中，，∴△ACE≌△DBF（AAS）；（2）如图2，∵∠ACE=∠DBF，∠DBG=∠DBF，∴∠ACE=∠DBG，∴CE∥BG，∵CE=BF，BG=BF，∴CE=BG，∴四边形BGCE是平行四边形．15.【解析】证明：(1)∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°．页30又∵∠EFB＝60°，∴ EF∥BC，即EF∥DC．又∵ DC＝EF，∴四边形EFCD是平行四边形．(2)如图，连接BE．∵ BF＝EF，∠EFB＝60°，∴△EFB是等边三角形，∴ BE＝BF＝EF，∠EBF＝60°，∴ DC＝EF＝BE．∵△ABC是等边三角形，∴ AC＝AB，∠ACD＝60°．在△ABE和△ACD中，∵ AB＝AC，∠ABE＝∠ACD，BE＝CD，∴△ABE≌△ACD，∴ AE＝AD．页31。

第十九章平行四边形的性质(培优)

第十九章平行四边形的性质（培优）：1、叫做平行四边形，记作“”，读作“”。

2、在平行四边形ABCD中，如果∠A=150°，那么∠B= °，∠C= °。

3、下列性质中，平行四边形不一定具备的是（）A、邻角互补B、邻角相等C、对角相等D、对边相等知识扩展：1.平行四边形的对边从位置上看是平行的，从数量上看是相等的。

2.利用对角线互相平分可以解决对角线或边的取值范围问题，在解答时应联系“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”来解决。

3.过对角线交点画出的任意一条直线，把四边形分成大小相等的两个图形。

知识点1. 平行四边形的定义1、如图，在□ABCD中，已知∠ODA=900，AC=10cm，BD=6cm，则AD的长为（）。

A. 4cmB. 5cmC. 6cmD. 8cm2.点A、B、C是平面内不在同一直线上的三点，点D是平面内任意一点，若A,B,C,D,四点恰好能够构成一个平行四边形，则在这个平面内符合这样条件的点D有（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个知识点2. 平行四边形的性质3、在□ABCD中，对角线AC、BD相交于O，AC、BD的长分别为8cm、10cm，则AD长度xcm的取值范围是（）A.2＜x＜6B.3＜x＜9C.1＜x＜9D.2＜x＜84、（2011年湘西）下列说法错误的是（）A.两点之间，线段最短B.1500的补角是500C.全等三角形的对应边相等D.平行四边形的对边互相平行5、是□ABCD内的任意一点，若S□ABCD=6cm2，则图中阴影部分的面积为（）A. 5 cm2B. 4cm2C. 3cm2D. 以上都不对18.(2009年广州中考)如图，在ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点4，则ΔCEF的周长为（）E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=2（A）8 （B）9.5 （C）10 （D）11.5【1】.如图在□ABCD中，CE⊥AB,E为垂足，∠A=1250那么∠BCE的度数是（）A.550B.350C.250D.300【2】如图所示，在□ABCD中，A1，A2，A3，A4和C1，C2，C3，C4分别为AB和CD的五等分点，B1，B2，和D1，D2，分别为BC和DA的三等分点，已知四边形A4B2C4D2的面积为1，则平行四边形ABCD的面积为（）A. 2B. 35C.25D. 15【3】如图，□ABCD中，M,N分别在AC,AD上，且AM=2CM,DN=2AN,若⊿DMN的面积为4，则□ABCD的面积为。

第十八章平行四边形-(讲义)-2022—2023学年人教版数学八年级下册

特殊的平行四边形综合题型综合练习1.如图，已知AB∥DE，AB＝DE，AF＝CD，∠CEF＝90°.求证：（1）△ABF≌△DEC；（2）四边形BCEF是矩形.2.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．证明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE．（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形.3.如图，AB＝AC，AD＝AE，DE＝BC且∠BAD＝∠CAE，求证：四边形BCDE是矩形．4.在平面内，正方形ABCD与正方形CEFH如图放置，连接DE，BH，两线交于点M.求证：（1）BH＝DE；（2）DE⊥BH.5、如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE=BF，EF与BC交于点G。

（1）求证：△ABE≌△CBF；（2）若∠ABE=50º，求∠EGC的大小。

课后练习：一．选择题1.已知四边形ABCD是平行四边形,则下列各图中∠1与∠2一定不相等的是( )2.如图,已知菱形ABCD的对角线AC,BD的长分别是6cm,8cm,AE⊥BC于点E,则AE的长是( )A.5cmB.2cmC.cmD.cm3.如图,在平行四边形ABCD中,DE是∠ADC的平分线,F是AB的中点,AB=6,AD=4,则AE∶EF∶BE为( )A.4∶1∶2B.4∶1∶3C.3∶1∶2D.5∶1∶24.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且BE=BF,添加一个条件,仍不能证明四边形BECF为正方形的是( )A.BC=ACB.CF⊥BFC.BD=DFD.AC=BF5.如图,△ABC中,AB=AC,点D,E分别是边AB,AC的中点,点G,F在BC边上,四边形DEFG是正方形.若DE=2cm,则AC的长为( )A.3cmB.4cmC.2cmD.2cm二.填空题1.如图,在平行四边形ABCD中,过点C的直线CE⊥AB,垂足为E,若∠EAD=53°,则∠BCE的度数为.2.如图,▱ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,点E,F 分别是线段AO,BO 的中点.若AC+BD=24厘米,△OAB 的周长是18厘米,则EF= 厘米.3．如图，在菱形ABCD 中，已知AB ＝10，AC ＝16，那么菱形ABCD 的面积为．4．如图，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D ，C 分别落在D′，C′的位置，若∠EFB ＝65°，则∠AED′＝______．5．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A ．C 的坐标分别为（10，0），（0，4），点 D 是OA 的中点，点P 在BC 上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，点P 的坐标为．第3题第4题第5题三.解答题1.如图,BD 是菱形ABCD 的对角线,点E,F 分别在边CD,DA 上,且CE=AF.求证:BE=BF.2．如图，在ABC △中，是BC 边的中点，F E ，分别是AD 及其延长线上的点，CF BE ∥．（1）求证：BDE CDF △≌△．（2）请连结BF CE ，，试判断四边形BECF 是何种特殊四边形，并说明理由．3．如图，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC BD ，交于点O ，E 是BD 延长线上的点，且ACE △是等边三角形．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）若2AED EAD ∠=∠，求证：四边形ABCD 是正方形．E DB A O4．如图，在四边形ABCD 中，点E 是线段AD 上的任意一点（E 与A D ，不重合），G F H ，，分别是BE BC CE ，，的中点．（1）证明四边形EGFH 是平行四边形；（2）在（1）的条件下，若EF BC ⊥，且12EF BC =，证明平行四边形EGFH 是正方形．5．如图，四边形ABCD 是矩形，E 是AB 上一点，且DE =AB ，过C 作CF ⊥DE ，垂足为F ．（1）猜想：AD 与CF 的大小关系；（2）请证明上面的结论．6.如图，以△ABC 的三边为边在BC 的同侧分别作三个等边三角形，即△ABD 、 △BCE 、△ACF ，请回答下列问题：（1）四边形ADEF 是什么四边形？并说明理由（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形ADEF 是菱形？（3）当△ABC 满足什么条件时，以A 、D 、E 、F 为顶点的四边形不存在．B G A E F HD C A C DF。

八年级数学培优平行四边形

20第讲平行四边形考点?方法?破译. ⒈理解并掌握平行四边形的定义、性质、和判定方法，并运用它们进行计算与证明. ⒉理解三角形中位线定理并会应用.⒊了解平行四边形是中心对称图形经典?考题?赏析的延长作直线EF分别交DA中:如图在 ABCD,过对角线BD的中点O【例1】已知□N、F．、DC、BC的延长线于点E、M、线AB≌△，请加以证明；⑴观察图形并找出一对全等三角形：△⑵在⑴中你所找出的一对全等三角形，其中一个三角形可由另一个三角形经过怎样的变换得到？【变式题组】01．如图，在 ABCD中，∠BAD＝32°．分别以BC、CD为边向外作△BCE和△DCF，□使BE ＝BC，DF＝DC，∠EBC＝∠CDF，延长AB交边EC于点上，点H在E、C两点之间，连接AE、AF．⑴求证：△ABE≌△FDA；⑵当AE⊥AF时，求∠EBH的度数．02．如图，已知在ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE＝DF，点G、H分别在□BA和DC的延长线上，且AG＝CH，连接GE、EH、HF、FG．是平行四边形．求证：四边形GEHF、CD上，以．点E在边AC，延长BC至D，使CD＝BC中，03．如图，在△ABCAB＝AC．，连接BG、DE作CG∥AB交EF于点GCE为邻边作CDFE．过点C□有怎样的数量关系？请说明理由；⑴∠ACB与∠DCG．⑵求证：△BCG≌△DCE⊥，BFBE的周长为20，⊥AD【例2】如图，ABCD□．ABCD则的面积为BECD，＝2，BF＝3.□变式题组】【的长．2.求EC,AE＝3,DF＝°，．如图，01ABCD中，BE⊥ADBF⊥CD，∠EBF＝60□60°=2，∠MBN＝BM的中点,N是DC的中点，＝1,BN是ABCD02．在中，MAD□求BC的长．03．平行四边形ABCD中,AD＝a,CD＝b,过点B分别作AD边上的高H和CD边上的高H,ba.ABCD的面积AC＝20厘米,求平行四边形已知H≥a, H≥b,对角线ba】【例3（1,0）,A（0,1）B（－1,0）,C如图:在平面直角坐标系中,有.三点三点构成平行四边形，请写出所B、C⑴若点D与A、有符合条件的点D的坐标；，求直线BD的解析式．⑵选择⑴中符合条件的一点D变式题组】【3x l，直线Bl交于x轴上同一点＋3与01．如图，直线l:yy轴交于点A＝－，与直线2122轴对称．与点A关于x交y轴于点C，且点C⑴求直线l的解析式；2⑵设D（0，－1），平行于y轴的直线x＝t分别交直线l和l于点E、F．是否存在t21的值，使得以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．1x＝上是y轴上一动点，在直线y，），B（30），P102．如图，在直角坐标系中，A（，02是否存在点Q，使A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出对应的Q点的坐标；若不存在，请说明理由．k的图象都经过点（1，1）1和反比例函数y．＝x03．若一次函数y＝2－2x⑴求反比例函数的解析式；⑵已知点A在第三象限，且同时在两个函数的图象上，求点A的坐标；⑶利用⑵的结果，若点B的坐标为（2，0），且以点A、O、B、P为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点P的坐标．【例4】如图1.在四边形ABCD中,AB＝CD,E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N,则∠BME＝∠CNE（不需证明）(温馨提示:在图1中，连接BD,取BD的中点H,连接HE、HF，根据三角形中位线定理，证明HE ＝HF，从而∠1＝∠2，再利用平行线性质，可证得∠BME＝∠CNE．)问题一：如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O,AB＝CD,E、F分别是BC、AD的中点，连接EF,分别交DC、AB于M、N，判断?OMN的形状，请直接写出结论．问题二:如图3，在?ABC中，AC>AB,D点在AC上，AB＝CD,E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G,若∠EFC＝60°,连接GD,判断?AGD的形状并证明.【解法指导】出现中点，联想到三角形中位线是常规思路，因为三角形中位线不仅能进行线段的替换，也可通过平行进行角的转移．】变式题组【．01．如图，已知四边形ABCD中，R、P分别是BC、CD上的点，E、F分别是 AP、RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（)A、线段EF的长逐渐增大B、线段EF的长逐渐减小C、线段EF的长不变D、线段EF的长与点P的位置有关DA EPF B C R02．如图，在△ABC中，M是BC的中点，AD是∠A的平分线，BD⊥AD于D,AB＝12,AC＝22,则MD的长为（）.A.3B.4C.5D.6【例5】如图1，在△ABC中，∠C＝90°,点M在BC上，且BM＝AC,点N在AC上，且AN＝MC,AM 与BN相交于点P,求证：∠BPM＝45°.【解法指导】题中相等线段关联性不强，能否把相等的线段（或角）通过改变位置，将分散的条件集中，从而构造全等三角形解决问题．【变式题组】AB＝AC,延长边AB到点D,延长CA到点E,连接DE，ABC如图，01．在等腰△中，若AD＝BC ＝CE＝DE,求∠BAC的度数．演练巩固反馈提高□ ABCD中，已知AD＝8cm,AB＝6cm,DE平分∠ADC交BC01．如图，边于点E,则BE等于（）A.2cm B.4cmcmD.8C.6cm□ABCD中，AC,BD为对角线，BC02．如图，＝6,BC边上的高为4，则阴影部分的面积为（）.24.12 DB.6 CA.3的延长线于点并延长，交ABBC边的中点，连接DE03．如图，在四边形ABCD中，E为是平行四边形，你认为四个条件中可选择添加一个条件，使四边形ABCD＝BF,F,AB）的是（．CDE∠F＝∠＝∠C D..＝BC B.CD＝BF C∠AAAD□于ADBD交相交于点O,OE⊥ABCD中，AB≠AD,AC,BD2004．如图，在周长为cm的）的周长为（E,则△ABE点 .10cm.8cm D.4Acm B.6cm C得颜色的花，．某广场有一个形状是平行四边形的花坛（如图）分别种有红黄蓝绿橙紫605那么下列说法错误的是,GH∥AD∥EF∥DC,BC∥如果有AB紫花，橙花种植面积一定相等B.A．红花，绿花种植面积一定相等蓝花，黄花种植面积一定相等D.C.红花，蓝花种植面积一定相等CF?BE＝DCl,下面四个结论中?AB＝; ⊥ , ∥．如图，06l lBE∥CFBA⊥lDC2112□□S④S?＝S）,其中正确的有（＝S DCFADEBCFEABCD△△个 .1 .2 .3 .4A个B 个C个D07．已知四边形ABCD,有以下四个条件：?AB∥CD?AB＝CD?BC∥AD④BC＝AD从这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD为平行四边形的选法种数有（）A.6种B.5种C.4种D.3种08．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E,F分别是AB,CD的中点，AD＝0BC,∠PEF＝18,则∠PFE的度数为________向上翻折，ABEBE为折痕，将△中，点E在边AD中，以09．.如图，平行四边形ABCD的长，则FC228，△FCB的周长为点A恰好落在CD上的F点，若△FDE的周长为_________ 为2.5BC向右平移将△ABC沿直线,AB＝3,AC＝4,°如图，在10.Rt△ABC中，∠BAC＝90____ 则下列结论中成立的是,AE,DE相交于点G,连接AD,个单位得到△DEFAC与CGEAGD≌△ABED 四边形是平行四边；?△?平分∠ACEADADE为等腰三角形④?△□. AE边上一点，且AB＝如图是ABCD中，EBC．11EADABC≌△求证(1).:△的度数．,求∠AED25,若(2).AE平分∠DAB∠EAC＝°□ABCD内一点E满足ED⊥AD于D,且∠EBC＝∠如图，12．EDC,∠ECB＝45°,找出图中一相等的线段，并加以证明．条与EB顺时针旋转绕点D是AB边上的点，将线段DB是等边三角形，13．已知，如图，△ABCD. AE连接DC,于点DE，延长ED交ACF,60°得到线段DFCADE≌△⑴求证：△AHE的度数．求∠,BC 于点H连接AH,交GDBDCEHE⑵过点作∥交于点,。

平行四边形讲义

平行四边形一、知识梳理1.平行四边形：(1)平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.平行四边形用符号示.平行四边形ABCD记作QLECD,读作平行四边形ABCD.2.平行四边形的性质：(1)平行四辿形的对这平行且相等.(2).平行四边形的对角相等，邻角互补。

(3)平行四边形的对角线互相平分.(4)若一条直线过平行四边形两对角线的交点，则这直线被一组对边截下的线段以对角线的交. 点，且这条直线二等分平行四边形的面积.例1. = ABCD中，ZA的平分线分BC成4cm和3cm两条线段，则Q ABCD的周长为.例2.在U7ABCD 中，ZC=6O°,DE1AB 于E,DF丄BC 于F.(1)则ZEDF= __________ ;rt ----------- (-(2)如图，若AE=4, CF=7, //则UABCD周长= _______________ ；/ Y F例3.在平行四边形ABCO中,已知NA=40° ,则NB = 例4.ZZ7ABCD.中，周长为20cm,对角线AC交BD于点O, AOAB比△OBC的周长多4,则边AB =,BC=变式训练•如图，在平行四诊形ABCD中，已知对角线A匚和BD相交于点0, A AOB的周长为15, AB = 6,那么又角线AC 和BD的和是多少？例5、如图，在cABCD^,。

是对角线的交点，过。

的宜线交厶8于£,交DC于F,图中全等三角形共有(A. 2对B. 3对C. 6对D. 8对3.两条平行线间的距离，(1〕定义，两条平行线中，一条宜线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.(2)两平行线间的距离处处相等.例6、有以下四个说怯；①两点的距离，点;到直线的距离，两条平行线间的距离，都是指某种线段的长.②如果两点的位置固定，那么它们的距离是定值.③如果一点和一条直线的位置固定，那么它们的距离是定值.④两条平行线间的距离不是定值其中正确说法的个数是A. 1B. 2C. 3D. 44-平行四边形的面积：⑴如图①，S^ABCI =BC * AE=CD • AF .① ②(2)同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积相等.如图②，必ECD与U7EBCF有公共边BC,则Scwm = SaHRm.例7、如图.四边形ABCD是平行四边形.AB=10, AD=8, AC J. BC.求AC、OA以及平行四边形ABCD的面积变式训练：1、平行四边形两邻边分别是4和6.其中一位上的高是*则平行四苞形的面积是.2、平行四边形的周长为20皿，AE丄BC于E, AF1CD于F, AE=2 cm, AF=3 cm.求平行四边形旭CD的面积。

初三特殊的平行四边形培优同步讲义

学科教师辅导讲义体系搭建一、知识梳理二、知识概念（一）菱形1、定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．2、菱形的性质：①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．3、菱形的面积计算②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．考点一：菱形的性质与判定例1、如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH等于（）A．B．C．5D．4例2、如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分别是AB，AD的中点，DE、BF相交于点G，连接BD，CG．有下列结论：①∠BGD=120°；②BG+DG=CG；③△BDF≌△CGB；④S△ABD=AB2其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个例3、如图：在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E（尺规作图的痕迹保留在图中了），连接EF．（1）求证：四边形ABEF为菱形；（2）AE，BF相交于点O，若BF=6，AB=5，求AE的长．考点二：矩形的性质与判定例1、矩形具有而菱形不具有的性质是（）A．对角线相等B．两组对边分别平行C．对角线互相平分D．两组对角分别相等例2、矩形ABCD中，AB=2，AD=1，点M在边CD上，若AM平分∠DMB，则DM的长是（）A．B．C．D．例3、如图，在▱ABCD中，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若AB=DB，求证：四边形DFBE是矩形．考点三：正方形的性质与判定例1、正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．对角线互相垂直B．对角线相等C．对角线互相平分D．对角相等例2、如图，正方形AEFG的边AE放置在正方形ABCD的对角线AC上，EF与CD交于点M，得四边形AEMD，且两正方形的边长均为2，则两正方形重合部分（阴影部分）的面积为（）A．﹣4+4B．4+4C．8﹣4D．+1例3、已知：如图，点E，F，P，Q分别是正方形ABCD的四条边上的点，并且AF=BP=CQ=DE．求证：（1）EF=FP=PQ=QE；（2）四边形EFPQ是正方形．考点四：线段和最短问题例1、矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3，4），D是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为（）A．（3，1）B．（3，）C．（3，）D．（3，2）例2、已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A（5，0），OB=4，点P是对角线OB上的一个动点，D（0，1），当CP+DP最短时，点P的坐标为（）A．（0，0）B．（1，）C．（，）D．（，）考点五：折叠问题例1、如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC=2：1，则线段CH的长是（）A．3B．4C．5D．6例2、如图，把矩形ABCD沿对角线BD折叠使点C落在F处，BF交AD于点E．（1）求证：△BEA≌△DEF；（2）若AB=2，AD=4，求AE的长．实战演练➢课堂狙击1、下列性质中，菱形对角线不具有的是（）A．对角线互相垂直B．对角线所在直线是对称轴C．对角线相等D．对角线互相平分2、如图，菱形ABCD的周长为8cm，高AE的长为cm，则对角线BD的长为（）A．2cm B．3cm C．cm D．2cm3、如图，在菱形ABCD中，下列结论中错误的是（）A．∠1=∠2B．AC⊥BDC．AB=AD D．AC═BD4、如图，把菱形ABCD沿AH折叠，使B点落在BC上的E点处，若∠B=70°，则∠EDC的大小为（）A．10°B．15°C．20°D．30°5、如图所示，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE=15°，则下面的结论：①△ODC是等边三角形；②BC=2AB；③∠AOE=135°；④S△AOE=S△COE，其中正确结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6、如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，O是AD的中点，连接OB、OC，点E在线段BC上（点E不与点B、C重合），过点E作EM⊥OB于M，EN⊥OC 于N，则EM+EN的值为（）A．6B．1.5C．D．7、如图，P是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上的一点，点E是AB的中点，则PA+PE的最小值是（）A．B．C．D．8、如图，已知点E，F分别是▱ABCD的边BC，AD上的中点，且∠BAC=90°．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若∠B=30°，BC=10，求菱形AECF面积．9、如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在DG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，求CH的长．➢课后反击1、在平面中，下列命题为真命题的是（）A．四边相等的四边形是正方形B．对角线相等的四边形是菱形C．四个角相等的四边形是矩形D．对角线互相垂直的四边形是平行四边形2、已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，则此菱形的面积为（）A．48cm2 B．24cm2C．18cm2D．12cm23、如图所示，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边的中点，菱形ABCD的周长为36，则OH的长等于（）A．4.5B．5C．6D．94、已知菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠DAO=30°，点D的坐标为（0，2），动点P从点A出发，沿A→B→C→D→A→B→…的路线，以每秒1个单位长度的速度在菱形ABCD的边上移动，当移动到第2016秒时，点P的坐标为（）A．（﹣2，0）B．（0，﹣2）C．（2，0）D．（0，2）5、如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（）A．B．C．D．6、如图，矩形ABCD的面积为5，它的两条对角线交于点O1，以AB、AO1为两邻边作平行四边形ABC1O1，平行四边形ABC1 O1的对角线交BD于点O2，同样以AB、AO2为两邻边作平行四边形ABC2O2，…，依此类推，则平行四边形ABC2016O2016的面积为（）A．B．C．D．7、已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．（1）若CE=1，求BC的长；（2）求证：AM=DF+ME．直击中考1、【2016•广安】下列说法：①三角形的三条高一定都在三角形内；②有一个角是直角的四边形是矩形；③有一组邻边相等的平行四边形是菱形；④两边及一角对应相等的两个三角形全等；⑤一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2、【2016•广东】如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边正方形EFGH的周长为（）A．B．2C．+1D．2+13、【2016•遵义】如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使▱ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是（）A．AB=AD B．AC⊥BDC．AC=BD D．∠BAC=∠DAC4、【2009•深圳】如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，∠EDC：∠EDA=1：3，且AC=10，则DE的长度是（）A．3B．5C．D．5、【2006•淮安】如图，正方形ABCD的边长为2，点E在AB边上．四边形EFGB也为正方形，设△AFC的面积为S，则（）A．S=2B．S=2.4 C．S=4D．S与BE长度有关6、【2015•遵义】在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．（1）求证：△AEF≌△DEB；（2）证明四边形ADCF是菱形；（3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF的面积．重点回顾1、菱形、矩形、正方形的性质与判定；2、最短问题与翻折问题的解决。

初二下培优辅导资料5 平行四边形(学生版)

初二下培优辅导资料5平行四边形一、知识要点：性质：平行四边形的：（1）对边平行。

（2）对边相等。

（3）对角相等。

（4）对角线互相平分。

判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

（3）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形。

（5）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

例1：. 如图，在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是①②④．（把所有正确结论的序号都填在横线上）①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③S△BEC=2S△CEF；④∠DFE=3∠AEF．例2．如图，在平行四边形ABCD中，∠C=60°，M、N分别是AD、BC的中点，BC=2C D．（1）求证：四边形MNCD是平行四边形；（2）求证：BD=MN．例3 .如图，BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC、AB上，且DE∥AB，EF∥A C．（1）求证：BE=AF；（2）若∠ABC=60°，BD=6，求四边形ADEF的面积．二、练习题1，下列命题正确的是（）（A ）连结平行四边形一组对边中点的线段将原平行四边形分成两个四边形都是平行四边形。

（B ）两个全等的三角形，将它们的一边重合，一定能拼出一个平行四边形。

（C ）已知平行四边形的三个顶点，作出平四边形，符合条件的图形只有一个。

（D ）已知两条邻边可作唯一平行四边形。

2. 如图,平行四边形ABCD 中,E,F 分别为边AB, DC 的中点,则图中共有平行四边形的个数是 ( )A. 3B. 4C. 5D. 63. 以长为5cm, 4cm, 7cm 的三条线段中的的两条为边,另一条为对角线画平行四边形,可以画出形状不同的平行四边形的个数是 ( )A. 1B. 2C. 3D. 44. 能够判定一个四边形是平行四边形的条件是 ( )A. 一组对角相等B. 两条对角线互相平分C. 两条对角线互相垂直D. 一对邻角的和为180°5. 四边形ABCD 中,AD ∥BC,要判定ABCD 是平行四边形,那么还需满足 ( ) A. ∠A+∠C=180° B. ∠B+∠D=180° C. ∠A+∠B=180° D. ∠A+∠D=180°6. 平行四边形的一组对角的平分线 ( )A. 一定相互平行B. 一点相交C. 可能平行也可能相交D. 平行或共线7. 如图，四边形ABCD 是平行四边形，BE 平分∠ABC ，CF 平分∠BCD ，BE 、CF 交于点G ．若使EF D 14A，那么平行四边形ABCD 应满足的条件是（） A ．∠ABC=60° B ．AB ：BC=1：4 C ．AB ：BC=5：2 D ．AB ：BC=5：88.如图，在平行四边形ABCD 中，EF ∥BC ，GH ∥AB ，EF 、GH 的交点P 在BD 上，图中有（）对四边形面积相等A ．3B ． 4C ．5D ．6F E D CB A2题图HF P GEDCB AHGF E DC B A 9.如图，平行四边形ABCD 中，AE 平分∠BAD ，交BC 于点E ，且AB=AE ，延长AB 与DE 的延长线交于点F ．下列结论中：①ABC ∆≌AED ∆；②ABE ∆是等边三角形； ③AF AD =； ④CDE ABE S S ∆∆=；⑤CEF ABE S S ∆∆=．其中正确的是( )A ．①②③B ．①②④C ．①②⑤D ．①③④10. 如图，平行四边形ABCD 中,AE=CG, DH=BF,连结E,F,G,H,E,则四边形EFGH 是_________.11,已知平行四边形的对角线AC 和BD 相交于点O,如果 ΔAOB 的面积为5,那么平行四边形ABCD 的面积是12. 如图,平行四边形ABCD 中,E,F 是对角线AC上的两点,若四边形BEDF 是平行四边形,则增加一个已知条件是______________.13，平行四边形的一个角的平分线和一边相交，并把这条边分成3cm 和5cm 两线段，则这个平行四边形的周长为14，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AC = 4，BD = 6，两邻边AB 、AD 的长为整数。

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q一q — qD MOB — ° MiOC — ° ^COD 平行四边形【知识要点】一、平行四边形1.平行四边形的概念：两组对边分别的四边形叫做平行四边形.2.平行四边形的性质(1)平行四边形的对边；(2)平行四边形的对角；(3)平行四边形的对角线.注意:平行四边形是以对角线的交点为中心的对称图形，但不一定是轴对称图形.3.平行四边形的判定(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(2)对角线的四边形是平行四边形；(3)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；(4)一组对边的四边形是平行四边形.注意：(1)平行四边形的定义既可以作为性质，乂可以作为判定；(2)一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；(3)一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，有可能是等腰梯形.(2)如图所示，四边形ABCD是平行四边形，则有C — C — C — C — J_ c。

MBC —□ MiCD— D ACDA — ° 2)AB ~ ABCD4.两平行线间的距离定义：两条平行线中一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做两条平行线间的距离.二、矩形1、定义：有一个角是的平行四边形叫做知形.2、性质：（1）矩形的四个角是；（2）矩形的对角线.注意：（1）矩形的定义可作为性质；（2）平行四边形的所有性质矩形都具备.3、判定：（1）有三个角是直角的四边形是；（2）对角线相等的平行四边形是.注意：矩形的定义可作为判定.证明方法：（1）先证明一个四边形是平行四边形，再证明它有一个角是直角；（2）先证明一个四边形是平行四边形，再证明它的对角线相等.三、菱形1、定义：有一组邻边的平行四边形是菱形.2、性质：（1）菱形的四条边；（2）菱形的对角线,并且每一条对角线. 注意：（1）菱形的定义可作为性质；（2）平行四边形的所有性质菱形都具备；（3）菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，有条对称轴.3、判定：（1）四条边都相等的四边形是_____ ；（2）对角线互相垂直的平行四边形是・注意：（1）菱形的定义可作为判定；（2）对角线平分一组对角的平行四边形是菱形.证明方法：（1）先证明一个四边形是平行四边形，再证明它的一•组邻边相等或者对角线互相垂直；（2）可以证明一个四边形的四条边相等.4、面积：（1）可用平行四边形的面积计算公式，即底X高；（2）两条对角线乘积的一半，即若菱形的两条对角线的长为。

(完整版)平行四边形专题讲义

平行四边形专题讲义一、学习目标复习平行四边形、特殊平行四边形性质与判定，能利用它们进行计算或证明. 二、学习重难点重点：性质与判定的运用；难点：证明过程的书写。

三、本章知识结构图1．平行四边形是特殊的；特殊的平行四边形包括、、。

2．梯形（是否）特殊平行四边形，（是否）特殊四边形。

3．特殊的梯形包括梯形和梯形。

4、本章学过的四边形中，属于轴对称图形的有；属于中心对称图形的有。

四、复习过程（一）知识要点1：平行四边形的性质与判定1.平行四边形的性质：（1）从边看：对边，对边；（2）从角看：对角，邻角；（3）从对角线看：对角线互相；（4）从对称性看：平行四边形是图形。

2、平行四边形的判定：（1）判定1：两组对边分别的四边形是平行四边形。

（定义）（2）判定2：两组对边分别的四边形是平行四边形。

（3）判定3：一组对边且的四边形是平行四边形。

（4）判定4：两组对角分别的四边形是平行四边形。

（5）判定5：对角线互相的四边形是平行四边形。

【基础练习】1.已知□ABCD 中，∠B =70°，则∠A =____，∠C =____，∠D =____．2.已知O 是ABCD 的对角线的交点，AC =38 mm ，BD =24 mm,AD =14 mm ，那么△BOC 的周长等于__ __.3.如图1，ABCD 中，对角线AC 和BD 交于点O ，若AC =8，BD =6，则边AB 长的取值范围是（）. A.1＜AB ＜7 B.2＜AB ＜14 C.6＜AB ＜8 D.3＜AB ＜44.不能判定四边形ABCD 为平行四边形的题设是（） A.AB=CD,AD=BC B.ABCD C.AB=CD,AD ∥BC D.AB ∥CD,AD ∥BC5.在ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ，AE=4，AF=6，ABCD 的周长为40，则ABCD 的面积是（） A 、36 B 、48 C 、 40 D 、24【典型例题】例1、若平行四边形ABCD 的周长是20cm,△AOD 的周长比△ABO 的周长大6cm.求AB,AD 的长. F DA OA B CDOA DDC AB E F M NBE F C AD例2、如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，∠BCD 的平分线CF 交边AB 于F ，∠ADC 的平分线DG 交边AB 于G 。

四边形复习讲义(打印)

学生：科目：数学教师：谭前富知识框架一、平行四边形1、平行四边形（1）平行四边形定义：（2）平行四边形的性质：①② ③ ④对称性（3）平行四边形的判定：①② ③ ④2、菱形（1）菱形定义：（2）菱形的性质：①② ③ ④对称性菱形的面积=（3）菱形的判定：①② ③3、矩形（1）矩形定义：（2）矩形的性质：①② ③ ④对称性（3）矩形的判定：①② ③4、正方形（1）正方形定义：（2）正方形的性质：①② ③ ④对称性（3）正方形的判定：①② ③课题四边形复习教学内容四边形ABCD 菱形矩形等腰梯形平行四边形EFGH④二、梯形梯形的分类：（1）等腰梯形定义：（2）等腰梯形性质：①② ③ ④对称性（3）等腰梯形的判定：①② ③【例题精讲】例1、．下列说法：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形。

②一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形。

③两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

④顺次连结等腰梯形各边中点所得到的四边形是菱形。

其中正确的是（）（A ）①②.（B ）①②③.（C ）②③④ （D ）①②③④。

例2、已知：如图，在□ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，BD 是对角线，AG ∥DB 交CB 的延长线于G ．（1）求证：△ADE ≌△CBF ；（2）若四边形 BEDF 是菱形，则四边形AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论．例3、如图，过四边形ABCD 的四个顶点分别作对角线AC 、BD 的平行线，所围成的四边形EFGH 显然是平行四边形．（1）当四边形ABCD 分别是菱形、矩形、等腰梯形时，相应的平行四边形EFGH 一定．．是．“菱形、矩形、正方形”中的哪一种？请将你的结论填入下表：GFEDCBAH GFEDCBA （2）反之，当用上述方法所围成的平行四边形EFGH 分别是矩形、菱形时，相应的原四边形ABCD必须．．满足．．怎样的条件？例4、如图所示,ABCD 中,AE,AF 是高,∠BAE=30º,BE=2,CF=1,DE 交AF 于G. (1)求 ABCD 的面积;(2)求△ECD 的面积;(3)求证:△AEG 为等边三角形.例5、矩形ABCD 中，AB =2，AD =3．（1）在边CD 上找．一点E ，使EB 平分∠AEC ，并加以说明；（2）若P 为BC 边上一点，且BP =2CP ，连接EP 并延长交AB 的延长线于F ． ①求证：点B 平分线段AF ；②△PAE 能否由△PFB 绕P 点按顺时针方向旋转而得到，若能，加以证明，并求出旋转度数；若不能，请说明理由．例6、如图，P 是边长为1的正方形ABCD 对角线AC 上一动点（P 与A 、C 不重合），点E 在射线BC 上，且PE=PB .（1）求证：① PE=PD ； ② PE ⊥PD ；（2）设AP =x , △PBE 的面积为y .求出y 关于x 的函数关系式例7、如图，已知AD 与BC 相交于E ，∠1=∠2=∠3，BD=CD ，∠ADB=90°，CH ⊥AB 于H ，CH 交AD 于F ．(1)求证：CD ∥AB ；(2)求证：△BDE ≌△ACE ；(3)若O 为AB 中点，求证：OF=12BE ．A BCP DE例8、如图1，操作：把正方形CGEF 的对角线CE 放在正方形 ABCD 的边BC 的延长线上（CG ＞BC ），取线段AE 的中点M 。

浙教版八年级下册第四章平行四边形第2讲(平行四边形的判定及三角形中位线)培优讲义(含解析)

平行四边形第2讲（平行四边形的判定及三角形中位线）命题点一：平行四边形判定定理的应用【思路点拨】延长AC后，证明AD∥BC，然后转化为证明三角形全等，得到四边形对角线互相平分，从而证得四边形ABCD是平行四边形．在解决几何证明时，全等三角形是解题的有效手段．例1如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点P，过点P作直线，交AD于点E，交BC于点F，若PE＝PF，且AP＋AE＝CP＋CF.证明：四边形ABCD为平行四边形．解：延长AC，在点C上方取点N，点A下方取点M，使AM＝AE，CN＝CF，则由已知可得PM＝PN，易证△PME≌△PNF，且△AME，△CNF都是等腰三角形．∴∠M＝∠N，∠MEP＝∠NFP.∴∠AEP＝∠PF C．∴AD∥B C．可证得△PAE≌△PCF，得PA＝PC，再证△PED≌△PFB，得PB＝P D．∴四边形ABCD为平行四边形．例2已知四边形ABCD是平行四边形，且满足AB＝BC，AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF＝60°.如图所示，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB＝15°时，求点F到BC的距离．解：如图，连结EF，过点A作AH⊥EC于点H，过点F作FG⊥EC于点G.∵四边形ABCD是平行四边形，且AB＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC为等边三角形．∴AB＝A C．∵∠EAF＝∠BAC＝60°，∴∠EAB＝∠FA C．∵∠AEB＝∠ABH－∠EAB＝60°－15°＝45°，且AB∥CD，∴∠AFC＝∠BAF＝60°－15°＝45°.∴△ABE≌△ACF.∴BE＝CF.∵BH＝CH＝2，AH＝23，∴EH＝AH＝2 3.∴EB＝CF＝EH－BH＝23－2.∵∠FCG＝∠ABC＝60°，∴FG＝32(23－2)＝3－ 3.【思路点拨】对于平行四边形的证明，首先通过证明△ADP≌△BEP，可得DP＝EP，从而通过对角线互相平分证得结论．而对于等腰三角形的证明，通过直角三角形的重要性质：斜边上的中线等于斜边的一半.例3如图，P是△ABC的边AB上一点，连结CP，BE⊥CP于点E，AD⊥CP，交CP的延长线于点D．(1)如图①，当P为AB的中点时，连结AE，BD，证明：四边形ADBE是平行四边形．(2)如图②，当P不是AB的中点时，取AB中点Q，连结QD，QE，证明：△QDE是等腰三角形．答图解：(1)∵P为AB的中点，∴AP＝BP.∵BE⊥CP，AD⊥CP，∴∠ADP＝∠BEP＝90°，且AD∥BE.又∵∠APD＝∠BPE，∴△ADP≌△BEP.∴DP＝EP.又∵AP＝BP，∴四边形ADBE是平行四边形．(2)如图，延长DQ交BE于点F.∵AD⊥CP，BE⊥CP，∴AD∥BE.∴∠DAQ＝∠FBQ.又∵∠AQD＝∠BQF，AQ＝BQ，∴△ADQ≌△BFQ.∴DQ＝FQ.又∵BE⊥DC，∴QE是Rt△DEF斜边上的中线．∴QE＝QF＝Q D．∴△QDE是等腰三角形．例4如图，四边形ABCD是平行四边形，AD＝AC，AD⊥AC，E是AB的中点，F是AC延长线上一点．(1)若ED⊥EF，求证：ED＝EF.(2)在题(1)的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试判定四边形ACPE是否为平行四边形？并证明你的结论(请先补全图形，再解答)．(3)若ED＝EF，ED与EF垂直吗？若垂直，请给出证明．解：(1)如图①，连结CE.在▱ABCD中，∵AD＝AC，AD⊥AC，∴AC＝BC，AC⊥B C．∵E是AB的中点，∴AE＝EC，CE⊥A B．∴∠ACE＝∠BCE＝45°.∴∠ECF＝∠EAD＝135°.∵ED ⊥EF ，∴∠CEF ＝∠AED ＝90°－∠CE D ．在△CEF 和△AED 中，∵⎩⎨⎧∠CEF ＝∠AED ，EC ＝AE ，∠ECF ＝∠EAD ，∴△CEF ≌△AE D ．∴ED ＝EF .(2)连结CE .由题(1)知△CEF ≌△AED ，CF ＝A D ．∵AD ＝AC ，∴AC ＝CF .∵DP ∥AB ，∴FP ＝P B ．∴CP ＝12A B ．∴四边形ACPE 为平行四边形．(3)垂直．理由如下：过点E 作EM ⊥DA ，交DA 延长线于点M ，过点E 作EN ⊥AC 于点N . 在△AME 与△CNE 中∵⎩⎨⎧∠M ＝∠CNE ＝90°，∠EAM ＝∠NCE ＝45°，AE ＝CE ，∴△AME ≌△CNE .∴ME ＝NE .又∵∠DME ＝∠ENF ＝90°，DE ＝EF ， ∴△DME ≌△FNE .∴∠ADE ＝∠CFE .在△ADE 与△CFE 中，∵⎩⎨⎧∠ADE ＝∠CFE ，∠DAE ＝∠FCE ，DE ＝EF ，∴△ADE ≌△CFE (AAS )．∴∠DEA ＝∠FE C ．∵∠DEA ＋∠DEC ＝90°，∴∠FEC ＋∠DEC ＝90°.∴∠DEF ＝90°.∴ED ⊥EF .例5如图，E，F为△ABC中AB，BC的中点，在AC上取G，H两点，使得AG＝GH＝HC，EG与FH的延长线相交于点D，求证：四边形ABCD为平行四边形．证明：如图，连结BG，BH，连结BD交AC于点O.∵AG＝GH，∴G是AH的中点．∵在△ABH中，E是AB的中点，∴EG∥BH.∴GD∥BH.∵GH＝HC，∴H是CG的中点．∵在△CBG中，F是BC的中点，∴FH∥BG.∴DH∥BG.∴四边形BHDG是平行四边形．∴OG＝OH，OB＝O D．又∵AG＝HC，∴OA＝O C．∴四边形ABCD是平行四边形．命题点二：三角形中位线的性质和应用例6如图，AD为△ABC的角平分线，AB＜AC，在AC上截取CE＝AB，M，N分别为BC，AE的中点．求证：MN∥A D．证明：如图，连结BE，取BE中点F，连结FN，FM. ∵FN为△EAB的中位线，∴FN＝12AB，FN∥A B．∵FM为△BCE的中位线，∴FM＝12CE，FM∥CE.∵CE＝AB，∴FN＝FM.∴∠3＝∠4.∵∠4＝∠5，∴∠3＝∠5.∵∠1＋∠2＝∠3＋∠5，∠1＝∠2，∴∠2＝∠5.∴NM∥A D．例7如图①，在四边形ABCD中，AB＝CD，E，F分别是BC，AD的中点，连结EF并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N，则∠BME＝∠CNE(不需证明)．(1)如图②，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB＝CD，E，F分别是BC，AD的中点，连结EF，分别交DC，AB于点M，N，判断△OMN的形状，请直接写出结论．(2)如图③，在△ABC中，AC >AB，D点在AC上，AB＝CD，E，F分别是BC，AD的中点，连结EF并延长，与BA的延长线交于点G.若∠EFC＝60°，连结GD，判断△AGD的形状并证明．解：(1)△OMN为等腰三角形．(2)△AGD为直角三角形，证明如下：如图②，连结BD，取BD的中点H，连结HF，HE.∵F是AD的中点，∴HF∥AB，HF＝AB 2.同理，HE∥CD，HE＝CD 2.∵AB＝CD，∴HF＝HE.∵∠EFC＝60°，∴∠HEF＝60°. ∴∠HEF＝∠HFE＝60°.∴△EHF是等边三角形．∴∠3＝∠HFE＝∠EFC＝∠AFG＝60°.∴△AGF是等边三角形．∵AF＝FD，∴GF＝F D．∴∠FGD＝∠FDG＝30°.∴∠AGD＝90°，即△AGD是直角三角形．例8如图，E，F分别是四边形ABCD的对角线AC，BD的中点，求证：EF<12(AB＋CD)．证明：如图，取BC的中点为G，连结EG，FG.∵点E，F分别为四边形ABCD的对角线AC，BD的中点，∴FG＝12DC，EG＝12A B．答图∵在△EFG中，EF<EG＋FG，∴EF<12(AB＋CD)．课后练习1．A，B，C是平面内不在同一条直线上的三点，D是该平面内任意一点，若A，B，C，D四个点恰能构成一个平行四边形，则在该平面内符合这样条件的点D有( C ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8, 点D在BC上，在以AC为对角线的所有▱ADCE中，DE能取的最小值是( B )A．4 B．6 C．8 D．103．如果三角形的两边长分别是方程x2－8x＋15的两个根，那么连结这个三角形三边的中点，得到的新三角形的周长可能是( A )A．5.5 B．5 C．4.5 D．44．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB＝10，BC＝15，MN ＝3，则△ABC的周长是( D )A．38 B．39 C．40 D．415．如图，P是▱ABCD内一点，且S△PAB＝5，S△PAD＝2，则涂色部分的面积为( B )A．4 B．3 C．5 D．66．如图所示，在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线的中点，E，F分别是AB与CD的中点．若∠PEF＝20°，则∠EPF的度数是 140°.7．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，CE＝CD，F为CE的中点，G为CD上的一点，连结DF，EG，AG，∠1＝∠2.若CF＝2，AE＝3，则BE的长是7 .8．如图，AD∥BC，∠EAD＝∠EAB，∠EBA＝∠EBC，直线DC过点E交AD于点D，交BC于点C．若AD＝3，BC＝4，则AB＝ 7 .9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，E，F分别为CA，CB上一点，CE＝CF，M，N分别为AF，BE的中点．若MN＝2，则AE＝2 2 .10．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点F，M，N分别为AB，CD的中点，MN分别交BD，AC于点P，Q，且满足∠FPQ＝∠FQP，若BD＝10，则AC为 10 .11．如图，四边形ABCD为平行四边形，E为BC的中点，DF⊥AE于点F，H为DF的中点，求证：CH⊥DF.证明：如图，分别延长AE和DC，交于点P.∵AB∥CP，∴∠ABE＝∠PCE.又∵CE＝BE，∠AEB＝∠PEC，∴△ABE≌△PCE.∴PC＝A B．又∵AB＝CD，∴PC＝CD，即C为PD的中点．∵H为DF的中点，∴CH为△DFP的中位线．又∵DF⊥AE，∴CH⊥DF.12．已知两个共一个顶点的等腰直角三角形ABC，等腰直角三角形CEF，∠ABC＝∠CEF＝90°，连结AF，M是AF的中点，连结MB，ME.(1)如图①，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF.(2)如图①，若CB＝a，CE＝2a，求BM，ME的长．(3)如图②，当∠BCE＝45°时，求证：BM＝ME.解：(1)延长AB交CF于点D，则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形，∴AB＝BC＝B D．∴B为线段AD的中点．又∵M为线段AF的中点，∴BM为△ADF的中位线．∴BM∥CF.(2)由题(1)知AB＝BC＝BD＝a，AC＝CD＝2a，BM＝12 DF.分别延长FE与CA交于点G，则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形．∴CE＝EF＝GE＝2a，CG＝CF＝22A．∴E为FG中点．又∵M为AF中点，∴ME＝12AG.∵CG＝CF＝22a，CA＝CD＝2a，∴AG＝DF＝2A．∴BM＝ME＝12×2a＝22A．(3)延长AB交CE于点D，连结DF，则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形．∴AB＝BC＝BD，AC＝C D．∴B为AD的中点．又∵M 为AF 中点，∴BM ＝12DF .延长FE 与CB 交于点G ，连结AG ，则易知△CEF 与△CEG 均为等腰直角三角形． ∴CE ＝EF ＝EG ，CF ＝CG .∴E 为FG 中点．又∵M 为AF 的中点，∴ME ＝12AG .在△ACG 与△DCF 中，∵⎩⎨⎧AC ＝CD ，∠ACG ＝∠DCF ，CG ＝CF ，∴△ACG ≌△DCF (SAS )． ∴DF ＝AG .∴BM ＝ME .13．(2018·武汉市自主招生模拟题)如图，在四边形ABCD 中，M 为AB 的中点，且MC ＝MD ，分别过C ，D 两点作边BC ，AD 的垂线，设两条垂线的交点为P ，若∠PAD ＝35°，则∠PBC 的度数的是( B )A ．45°B ．35°C ．55°D ．65°14．如图，以Rt △ABC 的斜边BC 为一边在△ABC 的同侧作正方形BCEF .设正方形的中心为O ，连结AO ，若AB ＝4，AO ＝62，则AC 的长为 16 .15．已知在△ABC 中，D 为AB 的中点，分别延长CA ，CB 到点E ，F ，使得DE ＝DF ，过点E ，F 分别作CA ，CB 的垂线，相交于点P .求证：∠PAE ＝∠PBF .证明：如图，分别取AP ，BP 的中点M ，N ，并连结EM ，DM ，FN ，DN .根据三角形中位线定理，可得DM∥BP，DM＝12BP＝BN，DN∥AP，DN＝12AP＝AM.∴∠AMD＝∠APB＝∠BN D．∵M，N分别为Rt△AEP，Rt△BFP斜边的中点，∴EM＝AM＝DN，FN＝BN＝DM.∵DE＝DF，∴△DEM≌△DFN(SSS)．∴∠EMD＝∠FN D．∴∠EMD－∠AMD＝∠FND－∠BN D．∴∠AME＝∠BNF.∴△AME，△BNF为顶角相等的等腰三角形．∴∠PAE＝∠PBF.。

(完整)平行四边形全部讲义

平行四边形1、平行四边形的性质考点一、平行四边形的概念（1）定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.（2） "表示，平行四边形ABCD ABCD”,读作“平行四边形ABCD”。

平行四边形一定按顺时针或逆时针依次注明各顶点。

（3）平行四边形定义的作用：平行四边形的定义既是判定，又是性质.①由定义知平行四边形两组对边分别平行；②由定义可以得出只要四边形中两组对边分别平行，那么这个四边形就是平行四边形。

（4）平行四边形的基本元素：边、角、对角线。

例1中，EF∥AB，GH∥BC,EF、GH相交于点P，写出图中的平行四边形.A E DG P HB F C考点二、平行四边形的性质（1）边的性质:平行四边形的对边平行且相等。

（2）角的性质:平行四边形的邻角互补，对角相等。

（3）对角线性质:平行四边形的对角线互相平分。

例2中，∠A+∠C=160°，求∠A、∠B、∠C、∠D的度数.A BC D 考点三、平行四边形的对角线的性质（1）平行四边形的对角线互相平分.例3中，对角线AC 、BD 相交于O 点，若AC=14，BD=8，AB=10,则△OAB 的周长为_______。

练习题一、感受理解1．已知 ABCD 的对角线交点,AC=10cm ，BD=18cm ，AD=•12cm ，•则△BOC•的周长是_______．2的对角线AC,BD 交于点O,△AOB 的面积为2,那么平行四边形ABCD 的面积为_____．3．已知平行四边形的两邻边之比为2:3，周长为20cm ，•则这个平行四边形的两条邻边长分别为___________．4．平行四边形的周长为30，两邻边的差为5，则其较长边是________． 5．平行四边形具有，而一般四边形不具有的性质是（） A ．外角和等于360° B ．对角线互相平分 C ．内角和等于360° D ．有两条对角线6.如图，□ABCD 中，EF 过对角线的交点O ，AB =4，AD =3，OF =1。

(完整)平行四边形培优讲义

平行四边形培优题周长面积类以不在同一直线上的三个点为顶点作平行四边形，最多能作（）A．1 B．2 C．3 D．4，，，若ABC的周长为12，如图,△ABC为等边三角形，P是△ABC内任意一点PD AB PE BC PF AC++=.则PD PE PF如图：A1,B1，C1分别是BC,AC，AB的中点，A2，B2,C2分别是B1C1，A1C1，A1B1的中点…这样延续下去．已知△ABC 的周长是1,△A1B1C1的周长是L1，△ABC的周长是L2…A n B n C n的周长是L n，则L n= _________ ．如图，在△ABC中,AB=AC．M、N分别是AB、AC的中点,D、E为BC上的点，连接DN、EM．若AB=13cm，BC=10cm，DE=5cm，则图中阴影部分的面积为cm2．如图,一个平行四边形被分成面积为S1，S2,S3，S4的四个小平行四边形，当CD沿AB自左向右在平行四边形内平行滑动时，S1·S4与S2·S3的大小关系为（）A。

S1·S4＞S2·S3 B。

S1·S4＜S2·S3 C. S1·S4=S2·S3 D.不能确定如图,点P是□ABCD的对角线BD上任意一点，过P作EF∥BC，分别交AB、CD于E、F，过P作HG∥AB,分别交AD、BC于G、H，请问四边形AEPG和PHCF的面积相等吗？并说明理由。

如图，设P为平行四边形ABCD内的一点，△PAB，△PBC,△PDC，△PDA的面积分别记为S1，S2，S3，S4，则可以得出何结论?平行四边形+角平分线（含垂直）如图，在▱ABCD 中，∠A=65°，DE ⊥AB ，垂足为点E ，点F 为边AD 上的中点，连接FE,则∠AFE 的度数为( ）A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°如图，在▱ABCD 中，AE 平分∠BAD 交边CD 于点E ．若AD=3，AB=4,则EC 长为( ）A ．3B ．2C ．1D ．0。

中考数学一轮复习特殊的平行四边形——矩形、菱形、正方形专题培优、能力提升复习讲义(含答案)

特殊的平行四边形——矩形、菱形、正方形专题培优、能力提升复习讲义中考考点梳理一、矩形1、矩形的概念有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

2、矩形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）矩形的四个角都是直角（3）矩形的对角线相等（4）矩形是轴对称图形3、矩形的判定（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形（3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形4、矩形的面积：S矩形=长×宽=ab二、菱形1、菱形的概念有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

2、菱形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）菱形的四条边相等（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角（4）菱形是轴对称图形3、菱形的判定（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形4、菱形的面积：S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半三、正方形1、正方形的概念有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

2、正方形的性质（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。

3、正方形的判定（1）判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：先证它是矩形，再证有一组邻边相等。

先证它是菱形，再证有一个角是直角。

（2）判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：第一步：先证明它是平行四边形；第二步：再证明它是菱形（或矩形）；第三步：最后证明它是矩形（或菱形）4、正方形的面积：设正方形边长为a ，对角线长为b ，S 正方形=222b a 中考典例精选考点典例一、矩形的性质与判定【例1】如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ,若AB ＝AO ，求∠ABD 的度数.图6A B 【答案】∠ABD =60°.【解析】考点：矩形的性质；等边三角形的判定及性质.【点睛】此题考查了等边三角形的判定与性质，矩形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解本题的关键．【举一反三】1.已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE=CF，EF⊥DF，求证：BF=CD．【答案】详见解析.【解析】试题分析：由四边形ABCD为矩形，得到四个角为直角，再由EF与FD垂直，利用平角定义得到一对角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用ASA得到△BEF≌△CFD，利用全等三角形对应边相等即可得证．考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质．2. 如图，将矩形ABCD 沿GH 对折，点C 落在Q 处，点D 落在E 处，EQ 与BC 相交于F ．若AD=8cm ，AB=6cm ，AE=4cm ．则△EBF 的周长是 cm ．【答案】8.【解析】试题分析：BE=AB-AE=2.设AH=x ，则DH=AD ﹣AH=8﹣x ，在Rt △AEH 中，∠EAH=90°，AE=4，AH=x ，EH=DH=8﹣x ，∴EH 2=AE 2+AH 2，即（8﹣x ）2=42+x 2，解得：x=3．∴AH=3，EH=5.∴C △AEH =12.∵∠BFE+∠BEF=90°，∠BEF+∠AEH=90°，∴∠BFE=∠AEH ．又∵∠EAH=∠FBE=90°，∴△EBF ∽△HAE ，∴32==∆∆AH BE C C HAE EFB ． ∴C △EBF =23=C △HAE =8．考点：1折叠问题；2勾股定理；3相似三角形.考点典例二、菱形的性质与判定【例2】如图，在▱ABCD中，已知AD＞AB．（1）实践与操作：作∠BAD的平分线交BC于点E，在AD上截取AF=AB，连接EF；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）猜想并证明：猜想四边形ABEF的形状，并给予证明．【答案】(1)详见解析；（2）四边形ABEF是菱形，理由详见解析.【解析】（2）四边形ABEF是菱形；理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BAE=∠AEB，∴BE=AB，由（1）得：AF=AB，∴BE=AF，又∵BE ∥AF ，∴四边形ABEF 是平行四边形，∵AF=AB ，∴四边形ABEF 是菱形．考点：角平分线的画法；平行四边形的性质；菱形的判定.【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，熟记各性质与平行四边形和菱形的判定方法是解题的关键．在利用菱形计算或证明时，应充分利用菱形的性质，如“菱形的四条边都相等”“菱形的对角线互相垂直且平分，并且每一组对角线平分一组对角”等.对于菱形的判定，若可证出四边形为平行四边形，则可证一组邻边相等或对角线互相垂直；若相等的边较多，则可证四条边都相等.【举一反三】1. 如图，四边形ABCD 是菱形，8=AC ，6=DB ，AB DH ⊥于H ，则DH 等于A ．524 B ．512 C ．5 D ．4【答案】A.【解析】考点：菱形的性质.2. 如图，菱形ABCD 的边AB=8，∠B=60°，P 是AB 上一点，BP=3，Q 是CD 边上一动点，将梯形APQD 沿直线PQ 折叠，A 的对应点为A ′，当CA ′的长度最小时，CQ 的长为（）A. 5B. 7C. 8D. 213 CD H【答案】B．【解析】考点：菱形的性质；轴对称（折叠）；等边三角形的判定和性质；最值问题．考点典例三、正方形的性质与判定【例3】如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N.(1)求证：∠ADB＝∠CDB；(2)若∠ADC＝90°，求证：四边形MPND是正方形．【答案】证明见解析.【解析】考点：正方形的判定；全等三角形的判定与性质．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、矩形的判定和性质以及正方形的判定，解题的关键是熟记各种几何图形的性质和判定．正方形是特殊的矩形又是特殊的菱形，具有矩形和菱形的所有性质.证明一个四边形是正方形，可以先判定为矩形，再证邻边相等或对角线互相垂直；或先判定为菱形，再证有一个角是直角或对角线相等.【举一反三】1.如图，正方形ABCD的边长为10，AG=CH=8，BG=DH=6，连接GH，则线段GH的长为（）A．B．2 C．D．10﹣5【答案】B.【解析】考点：正方形的性质；全等三角形的判定及性质；勾股定理.考点典例四、特殊平行四边形综合题【例4】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE ⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD，BE.(1)求证：CE＝AD；(2)当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；(3)若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．【答案】（1）证明见解析；（2）四边形BECD是菱形，（3）当∠A=45°时，四边形BECD是正方形．理由见解析.【解析】（3）当∠A=45°时，四边形BECD是正方形，理由是：考点：正方形的判定；平行四边形的判定与性质；菱形的判定．【点睛】本题考查了正方形的判定、平行四边形的性质和判定，菱形的判定，直角三角形的性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．【举一反三】如图，正方形ABCD 的边长为1,AC 、BD 是对角线，将△DCB 绕点D 顺时针旋转450得到△DGH ， HG 交AB 于点E ，连接DE 交AC 于点F ，连接FG ，则下列结论：①四边形AEGF 是菱形 ②△AED ≌△GED③∠DFG ＝112.5︒ ④BC ＋FG ＝1.5其中正确的结论是 .（填写所有正确结论的序号）图5F EH G BA【答案】①②③. 【解析】试题分析：由旋转的性质可得HD=BD=2 ∴HA=12-考点：旋转的性质；全等三角形的判定及性质；菱形的判定.课后巩固、提高自测小练习一、选择题1．关于ABCD的叙述，正确的是（）A．若AB⊥BC ABCD是菱形B．若AC⊥BD ABCD是正方形C．若AC=BD，则ABCD是矩形D．若AB=AD ABCD是正方形【答案】C.【解析】试题分析：根据矩形的判定可得A、C项应是矩形；根据菱形的判定可得B、D项应是菱形,故答案选C.考点：矩形、菱形的判定.2. 下列说法正确的是（）A．对角线互相垂直的四边形是菱形B．矩形的对角线互相垂直C．一组对边平行的四边形是平行四边形D．四边相等的四边形是菱形【答案】D.【解析】考点：1菱形的判定；2矩形的性质；3平行四边形的判定.3．如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C.【解析】试题分析：作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，连接EF′交BD于点P．此时，EP+FP的值最小，值为EF′．∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC=CD=DA=3，AB∥CD，∵AF=2，AE=1，∴DF=AE=1，∴四边形AEF′D是平行四边形，∴EF′=AD=3．∴EP+FP的最小值为3．故选：C．考点：1轴对称；2菱形.4.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使▱ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是（）A ．AB =AD B ．AC ⊥BD C ．AC =BD D ．∠BAC =∠DAC 【答案】C ．【解析】考点：菱形的判定；平行四边形的性质．5. 如图，正方形ABCD 中，AB =6，点E 在边CD 上，且CE =2DE ．将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG 、CF ．下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG =GC ；③EG =DE +BG ；④AG ∥CF ；⑤S △FGC =3.6．其中正确结论的个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】D ．【解析】试题分析：∵正方形ABCD 的边长为6，CE =2DE ，∴DE =2，EC =4，∵把△ADE 沿AE 折叠使△ADE 落在△AFE 的位置，∴AF =AD =6，EF =ED =2，∠AFE =∠D =90°，∠FAE =∠DAE ，在Rt △ABG 和Rt △AFG 中，∵AB =AF ，AG =AG ，∴Rt △ABG ≌Rt △AFG （HL ），∴GB =GF ，∠BAG =∠FAG ，∴∠GAE =∠FAE +∠FAG =12∠BAD =45°，所以①正确；设BG =x ，则GF =x ，C =BC ﹣BG =6﹣x ，在Rt △CGE 中，GE =x +2，EC =4，CG =6﹣x ，∵222CG CE GE +=，∴222(6)4(2)x x-+=+，解得x=3，∴BG=3，CG=6﹣3=3，∴BG=CG，所以②正确；∵EF=ED，GB=GF，∴GE=GF+EF=BG+DE，所以③正确；∵GF=GC，∴∠GFC=∠GCF，又∵Rt△ABG≌Rt△AFG，∴∠AGB=∠AGF，而∠BGF=∠GFC+∠GCF，∴∠AGB+∠AGF=∠GFC+∠GCF，∴∠AGB=∠GCF，∴CF∥AG，所以④正确；过F作FH⊥DC．∵BC⊥DH，∴FH∥GC，∴△EFH∽△EGC，∴EH EFGC EG=，EF=DE=2，GF=3，∴EG=5，∴△EFH∽△EGC，∴相似比为：EH EFGC EG==25，∴S△FGC=S△GCE﹣S△FEC=12×3×4﹣12×4×（25×3）=3.6，所以⑤正确．故正确的有①②③④⑤，故选D．考点：翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．6.小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形，她对折了（）A．1次B．2次C．3次D．4次【答案】B．【解析】考点：翻折变换（折叠问题）．7.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．对边相等B．对角相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直【答案】D．【解析】考点：菱形的性质；平行四边形的性质．8.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（）A．AB=BC B．AC=BC C．∠B=60°D．∠ACB=60°【答案】B．【解析】试题分析：∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，∴AB//CD，∴四边形ABCD为平行四边形，当AC=BC时，平行四边形ACED是菱形．故选B．考点：菱形的判定；平移的性质．二、填空题1.如图，四边形ABCD是轴对称图形，且直线AC是对称轴，AB∥CD，则下列结论：①AC⊥BD；②AD∥BC；③四边形ABCD是菱形；④△ABD≌△CDB．其中正确的是（只填写序号）【答案】①②③④.【解析】考点：1菱形的性质和判定；2轴对称；3平行线的性质.2. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE=度．【答案】22.5°．【解析】试题分析：已知四边形ABCD是矩形，由矩形的性质可得AC=BD，OA=OC，OB=OD，即可得OA=OB═OC，由等腰三角形的性质可得∠OAC=∠ODA，∠OAB=∠OBA，即可得∠AOE=∠OAC+∠OCA=2∠OAC，再由∠EAC=2∠CAD，可得∠EAO=∠AOE，因AE⊥BD，可得∠AEO=90°，所以∠AOE=45°，所以∠OAB=∠OBA=67.5°，即∠BAE=∠OAB ﹣∠OAE=22.5°．考点：矩形的性质；等腰三角形的性质．3. 如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．有直角∠MPN，使直角顶点P与点O重合，直角边PM、PN分别与OA、OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），PM、PN分别交AB、BC于E、F两点，连接EF交OB于点G，则下列结论中正确的是．（1）EF=OE；（2）S四边形OEBF：S正方形ABCD=1：4；（3）BE+BF=OA；（4）在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE=；（5）OG•BD=AE2+CF2．【答案】（1），（2），（3），（5）．【解析】1（2）∵S四边形OEBF=S△BOE+S△BOE=S△BOE+S△COF=S△BOC=S正方形ABCD，4∴S四边形OEBF：S正方形ABCD=1：4；故正确；（3）∴BE+BF=BF+CF=BC=2OA；故正确；（5）∵∠EOG=∠BOE，∠OEG=∠OBE=45°，∴△OEG∽△OBE，∴OE：OB=OG：OE，∴OG•OB=OE2，∵OB=12BD，OE=22EF，∴OG•BD=EF2，∵在△BEF中，EF2=BE2+BF2，∴EF2=AE2+CF2，∴OG•BD=AE2+CF2．故正确．考点：四边形综合题．4.如图，已知菱形ABCD的两条对角线长分别为AC=8和BD=6，那么，菱形ABCD的面积为．【答案】24．【解析】试题分析：根据菱形面积等于两条对角线的长度的乘积的一半即可得，菱形的面积=21×6×8=24. 考点：菱形的性质．5．将矩形ABCD 纸片按如图所示的方式折叠，EF ，EG 为折痕，试问∠AEF +∠BEG = ．【答案】90°．【解析】考点：翻折变换（折叠问题）．6. 如图，四边形OABC 为矩形，点A ，C 分别在x 轴和y 轴上，连接AC ，点B 的坐标为（4，3），∠CAO 的平分线与y 轴相交于点D ，则点D 的坐标为．【答案】（0，43）．【解析】考点：矩形的性质；坐标与图形性质．三、解答题1.如图，矩形ABCD中，延长AB至E，延长CD至F，BE=DF，连接EF，与BC、AD分别相交于P、Q两点．（1）求证：C P=AQ；（2）若BP=1，PQ=22，∠AEF=45°，求矩形ABCD的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）8．【解析】考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质．2.如图，点P在矩形ABCD的对角线AC上，且不与点A，C重合，过点P分别作边AB，AD的平行线，交两组对边于点E，F和G，H．（1）求证：△PHC≌△CFP；（2）证明四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析，面积相等．【解析】试题分析：（1）由矩形的性质得出对边平行，再根据平行线的性质得出相等的角，结合全等三角形的判定定理AAS即可得出△PHC≌△CFP；（2）由矩形的性质找出∠D=∠B=90°，再结合对边互相平行即可证出四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，通过角的正切值，在直角三角形中表示出直角边的关系，利用矩形的面积公式即可得出两矩形面积相等．考点：矩形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．3.如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∠AEF=90°，EF交正方形外角的平分线CF于F．求证：A E=EF．【答案】证明见解析．【解析】试题分析：先取AB的中点H，连接EH，根据∠AE F=90°和ABCD是正方形，得出∠1=∠2，再根据E是BC 的中点，H是AB的中点，得出BH=BE，AH=CE，最后根据CF是∠DCG的角平分线，得出∠AHE=∠ECF=135°，从而证出△AHE≌△ECF，即可得出AE=EF．试题解析：取AB的中点H，连接EH．∵∠AEF=90°，∴∠2+∠AEB=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠1+∠AEB=90°，∴∠1=∠2，∵E是BC的中点，H是AB的中点，∴BH=BE，AH=CE，∴∠BHE=45°，∵CF是∠DCG的角平分线，∴∠FCG=45°，∴∠AHE=∠ECF=135°，在△AHE和△ECF中，∵∠1=∠2，AH=EC，∠AHE=∠ECF，∴△AHE≌△ECF（ASA），∴AE=EF．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质．4. 如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE．求证：（1）∠CEB=∠CBE；（2）四边形BCED是菱形．【答案】详见解析.【解析】∵CE∥BD，∴四边形CEDB是平行四边形，∵BC=BD，∴四边形CEDB是菱形．考点：全等三角形的性质；菱形的判定．。

八年级数学上册一对一培优讲义(平行四边形)

八年级数学一对一个性化辅导教案学生学校年级次数第次科目数学教师日期时段课题平行四边形教学重点1、平行四边形2、常考题型及相关的方法讲解教学难点1、平行四边形2、常考题型及相关的方法讲解教学目标1、平行四边形2、常考题型及相关的方法讲解教学步骤及教学内容教学过程：一、教学衔接（课前环节）1、对学生上节课的错题回顾讲解2、回顾上节课的知识点3、对本堂课要讲的教学内容进行说明二、教学内容1、平行四边形2、常考题型及相关的方法讲解3、教学辅助练习（或探究训练）4、知识总结5、知识的延伸和拓展布置作业：课后作业（详见讲义）管理人员签字：日期：年月日作业布置1、学生上次作业评价：○好○较好○一般○差备注：2、本次课后作业：课堂小结本堂课通过对平行四边形及相关的方法讲解，使学生对这些内容掌握更好。

学生签字：日期：年月日平行四边形要点一、平行四边形的定义平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.要点诠释：平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条.要点二、平行四边形的性质1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；2．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心.要点诠释：（1）平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.（2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.要点三、平行四边形的判定1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.要点诠释：（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个平行四边形时，应选择较简单的方法.（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据. 要点四、三角形的中位线1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.要点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的12，每个小三角形的面积为原三角形面积的14.（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.要点五、平行线间的距离1.两条平行线间的距离：（1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值.（2）平行线间的距离处处相等任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度.两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的.2.平行四边形的面积：平行四边形的面积＝底×高；等底等高的平行四边形面积相等.类型一、平行四边形的性质1、如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，若AF、BE分别为∠DAB、∠CBA的平分线．求证：DF＝EC．举一反三：【变式】如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，CE＝AF，请你猜想：线段BE与线段DF有怎样的关系？并对你的猜想加以证明.类型二、平行四边形的判定2、如图所示，E、F分别为四边形ABCD的边AD、BC上的点，且四边形AECF和DEBF都是平行四边形，AF和BE相交于点G，DF和CE相交于点H．求证：四边形EGFH为平行四边形．举一反三：【变式】如图所示，在ABCD中，E、F分别为BC、AD上的点，且BE＝DF，求证：∠AEC＝∠AFC．类型三、平行四边形与面积有关的计算3、如图所示，在ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若∠EAF＝60°，BE＝2cm，DF＝3cm，求AB，BC的长及ABCD的面积．举一反三：【变式】如图，已知ABCD中，M是BC的中点，且AM＝9，BD＝12，AD＝10，求该平行四边形的面积.类型四、三角形的中位线4、如图，已知P、R分别是长方形ABCD的边BC、CD上的点，E、F分别是PA、PR的中点，点P在BC上从B向C移动，点R不动，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐变小C．线段EF的长不变D．无法确定【巩固练习】1. 如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AB≠AD，则下列式子不正确的是（）.A.AC⊥BDB.AB＝CDC. BO＝ODD.∠BAD＝∠BCD2. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB＝CD，AD＝BC；③AO＝CO，BO＝DO；④AB∥CD，AD＝BC．其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有( ). A．1组 B．2组 C．3组 D．4组3. 下面给出了四边形ABCD中∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比, 其中能识别四边形ABCD为平行四边形的是( ).A. 1:2:3:4B. 2:3:2:3C. 2:2:3:3D. 1:2:2:14. 如图所示，在ABCD中，AC与BD相交于点O，E是边BC的中点，AB＝4，则OE的长是( )．A．2 B．2 C．1 D．1 25. 平行四边形的一边长是10cm，那么它的两条对角线的长可以是（）.A.4cm和6cmB.6cm和8cmC.8cm和10cmD.10cm和12cm6. 如图，ABCD中，∠DAB的平分线AE交CD于E，AB＝5，BC＝3，则EC的长（）.A．1 B．1.5 C．2 D．37. 如图所示，在ABCD中，对角线相交于点O，已知AB＝24 cm，BC＝18 cm，△AOB的周长为54 cm，则△AOD的周长为________cm．cm．8. 已知ABCD，如图所示，AB＝8cm，BC＝10cm，∠B＝30°，ABCD的面积为____29．在ABCD中，CA⊥AB，∠BAD＝120°，若BC＝10cm，则AC＝______，AB＝______．10. 在ABCD中，AE⊥BC于E，若AB＝10cm，BC＝15cm，BE＝6cm，则ABCD的面积为______．11．已知：如图，四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，则四边形ABCD是______．12．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点AD＝BC，∠PEF＝18°，则∠PFE的度数是．三.解答题13. 已知：如图，E、F是ABCD的对角线AC上的两点，AE＝CF．求证：四边形BEDF是平行四边形．14.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC＝2，CE＝4，求四边形ACEB的周长.。