第5章 附有限制条件的条件平差

测量平差太原理工大学测绘科学与技术系

第五章

附有限制条件的条件平差

附有限制条件的条件平差

§5-1 基础方程和它的解

§5-2 精度评定

§5-3 各种平差方法的共性和特性

§5-4 平差结果的统计性质

§5-1 基础方程和它的解

条件平差、附有参数的条件平差、间接平差、附有条件的间接平差等四种经典平差方法，除条件平差不增选参数外，其它三种方法都要增选数量不等的参数参与平差，其未知参数的个数分别是u<t，u=t，u>t，且要求参数间彼此独立，在u>t 的情况下，也要求必须包含t个独立参数，从函数模型上看，四种平差方法总共包含如下四类的方程：

基础方程和它的解

前三类方程中都含有观测量或同时含有观测量和未知参数，而最后一种方程则只含有未知参数而无观测量，为了便于区别起见，特将前三类方程统称为一般条件方程，而最后一类条件方程称为限制条件方程。

~0)~(0=+=A L A L F ，线性形式为：d

X B L X F L +==~~)~(~，线性形式为：0

~~0)~,~(0=++=A X B L A X L F ，线性形式为：0

~0)~(0=+=ΦC X C X ，线性形式为：

基础方程和它的解

在第二章中介绍过附有条件的条件平差的模型建

立方法，该方法也要增选u 个参数，方程的总数为r+u 个。如果在u 个参数中有s 个是不独立的，或者说在这u 个参数中存在着s 个函数关系式，则建立平差模型时应列出s 个限制条件方程，除此之外再列出c=r+u-s 个一般条件方程，因此方程总数也可以认为是c+s 个，形成如下的函数模型

若为线性形式，则为

0)~,~(1=⨯X L F c 0)~(1=Φ⨯X S 0~~1011=++⨯⨯⨯⨯⨯c u u c n n c A X B L A 0

~1

01=+⨯⨯⨯s u u s C X C

基础方程和它的解

无论线性模型还是非线性模型，按照第二章介绍

的线性化方法和结论，并考虑到

则可写出其线性化后的函数模型为以和的估值

和代入上式，则∆

+=L L ~x X X ~~0+=0~1

11=-+∆⨯⨯⨯⨯⨯c u u c n n c W x B A 0

~1

1=-⨯⨯⨯s x u u s W x C ∆x ~V x ˆ0ˆ11

1=-+⨯⨯⨯⨯⨯c u u c n n c W x B V A 0ˆ1

1=-⨯⨯⨯s x u u s W x

C

基础方程和它的解

式中

以上式作为函数模型而进行的平差，称为附有限制条件的条件平差，有的文献也称其为概括平差函数模型。

按照最小二乘准则，要求，为此，按求

条件极值的方法组成新的函数为求其极小值，将上式分别对和求一阶偏导数并令一阶偏导数为零，得

)(00A BX AL W ++-=)

(00C CX W x +-=min ==ΦPV V T )ˆ(2)ˆ(2x T S T T W x

C K W x B AV K PV V ---+-=ΦV x

ˆ022=-=∂Φ∂A K P V V

T T 022ˆ=--=∂Φ∂C K B K x T S T

基础方程和它的解

以上四式联合称为附有限制条件的条件平差的基础

方程。其中共包括有n+u+c+s 个方程，包含的未知量的个数也是n+u+c+s 个，它们分别

是：，，，。方程的个数和待定量的个数相同，可唯一确定各未知数。

解算此基础方程，通常是先解得：上式称为改正数方程。

将此式代入上式，则有：

令1⨯n V 1

ˆ⨯u x 1⨯c K 1

⨯s s K K QA K A P V T T n ==-⨯11

0ˆ1

11=-+⨯⨯⨯⨯⨯-⨯c u u c c n T n n n c W x B K A P A T

aa A AP N 1-=

基础方程和它的解

将k 代入即可求得改正数v 的值，进而可以按下面公式求得观测值和参数的平差值。

就平差目的而言，和是所需要的解，联系数和则是解算过程中的过渡数值。因此，

下面将进一步推导各量的显性表达式。V V L L +=ˆx

X X ˆˆ0+=x

ˆ1⨯c K 1

⨯s s K )ˆ(1x

B W N K aa

-=-0)ˆ(1=+--s T aa T K C x B W N B 0ˆ11

=----W N B K C x B N B aa T s T aa T

基础方程和它的解

则得：

上式称为附有条件的条件平差的法方程，其系数

矩阵对称，所以仍是一个对称线性方程组。可将其写成如下形式：由上式可以解得

1

1

ˆ⨯⨯⨯⨯+u u c c c

c aa x

B K N 0

1

=-⨯c W 1

⨯⨯c c u T

K

B 1

⨯⨯+s S

s

u T K C 0

=1

~⨯⨯u u s x

C 0

1

=-⨯s x W 00ˆ00

00=⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡x s T

T

aa

W W K x K C C B B N ⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-x T T aa

s W W C

C B B N K x K 000

0ˆ1