传递矩阵法
传递矩阵法matlab程序
传递矩阵法matlab程序传递矩阵法是一种在数值计算中常用的方法，特别适用于处理大规模的线性方程组。
在Matlab中，我们可以利用矩阵运算的特性，通过编写一段简洁的程序来实现矩阵的传递。
矩阵传递的基本思想是将多个矩阵的运算结果传递给下一个矩阵，从而实现复杂的运算。
在Matlab中，我们可以利用矩阵乘法的特性，将矩阵的运算结果保存在一个中间变量中，并将该中间变量传递给下一个矩阵进行运算。
我们需要定义需要进行运算的矩阵。
在Matlab中，可以通过直接赋值或者从文件中读取的方式来定义矩阵。
例如，我们可以使用以下代码定义一个3x3的矩阵A：A = [1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9];接下来，我们可以定义一个中间变量B，并将矩阵A传递给B：B = A;这样，矩阵A的运算结果就被传递给了矩阵B。
我们可以通过对矩阵B进行进一步的运算，实现复杂的计算。
例如，我们可以定义一个矩阵C，并将矩阵B传递给C进行运算：C = B * B';在这个例子中，矩阵B的转置与矩阵B相乘的结果被传递给了矩阵C。
通过这样的传递，我们可以实现复杂的矩阵运算。
除了简单的矩阵乘法外，矩阵传递法还可以应用于其他形式的矩阵运算，例如矩阵的加法、减法、乘法等。
通过灵活地利用矩阵传递法，我们可以简化程序的编写过程，提高效率。
在编写矩阵传递法的程序时，我们应注意以下几点：1. 矩阵的维度要匹配。
在进行矩阵传递前，需要确保传递的矩阵维度是相同的，否则会导致运算错误。
2. 矩阵的类型要一致。
在进行矩阵传递时，需要确保传递的矩阵类型是一致的，例如都是实数矩阵或都是复数矩阵，否则会导致运算结果不正确。
3. 矩阵的运算顺序要正确。
在进行矩阵传递时，需要确保传递的顺序是正确的，例如先进行矩阵A的运算，再将结果传递给矩阵B进行运算，否则会导致运算结果不正确。
通过以上几点的注意，我们可以编写出一个高效、准确的矩阵传递法程序。
在实际应用中，矩阵传递法可以广泛应用于科学计算、工程建模等领域，帮助我们快速、准确地求解复杂的数值问题。
传递矩阵法matlab程序
传递矩阵法matlab程序传递矩阵法是一种在MATLAB中进行矩阵运算和矩阵传递的有效方法。
在本文中，我将介绍传递矩阵法的原理和在MATLAB中的具体实现。
传递矩阵法是一种通过矩阵传递信息的方法，它可以用于解决一些复杂的问题，例如网络流、图论等。
在传递矩阵法中，我们将问题转化为矩阵运算的形式，通过对矩阵进行操作和传递，达到求解问题的目的。
在MATLAB中，我们可以使用矩阵运算和矩阵操作函数来实现传递矩阵法。
首先，我们需要定义问题的初始矩阵。
这个矩阵可以是问题的描述、条件或者初始状态。
然后，我们根据问题的要求，通过矩阵运算和矩阵操作函数来对初始矩阵进行操作和传递。
最后，我们可以得到问题的解或者结果。
在传递矩阵法中，矩阵的元素通常代表问题中的某种状态或者信息。
通过对矩阵进行运算和操作，我们可以传递信息并改变矩阵的状态。
例如，在网络流问题中，矩阵的元素可以表示节点之间的连接关系或者流量。
通过对矩阵进行运算，我们可以传递流量，计算最大流量或者最小割。
在MATLAB中，我们可以使用矩阵乘法、矩阵加法、矩阵转置等运算来操作矩阵。
此外，MATLAB还提供了一些专门用于矩阵操作的函数，例如矩阵求逆、矩阵特征值分解等。
通过这些运算和函数，我们可以对矩阵进行传递和操作，实现传递矩阵法。
下面，我将通过一个简单的例子来演示传递矩阵法在MATLAB中的应用。
假设我们有一个由节点和边组成的图，我们希望计算出图中任意两个节点之间的最短路径。
我们可以使用一个邻接矩阵来表示图中节点之间的连接关系。
邻接矩阵的元素可以是0或者1，分别表示两个节点之间是否有边连接。
接下来，我们可以通过矩阵乘法来计算出任意两个节点之间的距离。
在MATLAB中，我们可以使用函数graph和函数shortestpath来实现这个过程。
首先，我们可以使用函数graph来创建一个图对象，将邻接矩阵作为输入。
然后，我们可以使用函数shortestpath来计算任意两个节点之间的最短路径。
《动力学分析中的传递矩阵法》
三、传递矩阵法应用举例
3.2 输液管道的传递矩阵法
横向振动微分方程：
直管横向运动的单元传递矩阵
4 4矩阵
三、传递矩阵法应用举例
3.2 输液管道的传递矩阵法
同时考虑直管单元的轴向振动和横向振动，则单元的场 传递矩阵为：
8 8矩阵
三、传递矩阵法应用举例
3.2 输液管道的传递矩阵法
弯曲处的点传递矩阵为：
2 2u 2 u a t 2 x 2
分离变量，将偏微分方程转化为常微分方程，求其通解
u( x, t ) U ( x)e it
U ( x) C cos x D sin x
由通解求出状态矢量中其他状态矢量。
Fu ( x) ES dU ( x) CES sin x DES cos x dx
三、传递矩阵汇报提纲
一、传递矩阵法原理 二、传递矩阵法计算步骤
三、传递矩阵法应用举例
一、传递矩阵法原理
传递矩阵法属于一种半解析数值方法。基本思想是把整体结 构离散成若干个子单元的对接与传递的力学问题，建立单元 两端之间的传递矩阵，利用矩阵相乘对结构进行静力及动力 分析。 其应用领域涵盖结构的静力分析、动力特性分析（模态分析 、稳定性分析）。 传递矩阵法具有力学概念清晰，逻辑性强，建模灵活，计算效 率高，无需建立系统的总体动力学方程等优点，尤其是可以方 便地进行输流管道系统受迫振动响应的计算。
对于管单元i左侧节点而言，x=0。
U ( x) C [ B ( x 0)]1 D Fu ( x) L
对于管单元i右侧节点而言，x=l。
U ( x) C [ B( x l )] F ( x) R D u
桥梁结构分析的传递矩阵法及其应用
桥梁结构分析的基本方程
01
02
03
静力平衡方程
描述桥梁结构在静力作用 下的平衡状态，是结构分 析的基础。
动力学方程
描述桥梁结构在动力作用 下的响应，包括地震、风 等自然力作用下的振动。
弹性力学方程
描述桥梁结构的应力和应 变关系，是结构分析的核 心。
பைடு நூலகம்
桥梁结构分析的边界条件与初始条件
边界条件
约束桥梁结构的位移、转角等物理量，如在固定支撑处、自 由支撑处等。
初始条件
描述桥梁结构的初始状态，如温度、湿度等环境因素对结构 的影响。
03 传递矩阵法的原 理
传递矩阵法概述
传递矩阵法是一种用于分析桥 梁结构动力特性的数值方法。
它基于牛顿运动定律，通过建 立系统的传递矩阵来描述结构 在受到外部激励时的响应。
传递矩阵法适用于分析复杂桥 梁结构，如连续梁桥、拱桥等 。
02
利用特征向量和特征值，计算 结构的响应，如位移、速度和 加速度等。
03
根据计算结果进行结构的安全 性评估和优化设计。
04 传递矩阵法在桥 梁结构分析中的 应用
桥梁结构模型的离散化
梁单元离散化
将桥梁结构划分为多个梁单元 ，每个梁单元由有限元模型进 行模拟，考虑其弯曲、剪切、
轴向等变形。
节点位移自由度
桥梁结构分析的传递矩阵法 及其应用
2023-11-10
目 录
• 引言 • 桥梁结构分析的基本理论 • 传递矩阵法的原理 • 传递矩阵法在桥梁结构分析中的应用 • 传递矩阵法的优化与拓展 • 结论与展望
01 引言
研究背景与意义
背景
桥梁结构分析是桥梁设计和维护的重要环节，随着科技的发展，对结构分析的准确性和效率要求也越来越高。
TransferMatrixMethod：传递矩阵法
Transfer Matrix MethodG.Eric Moorhouse,University of WyomingReference:Transfer Matrix MethodI.M.Gessel and R.P.Stanley,‘Algebraic Enu-meration’,in Handbook of Combinatorics Vol.2, ed.R.L.Graham et al.,Elsevier,1995,pp.1021–1061.References:Dimensions of CodesN.Hamada,‘The rank of the incidence matrixof points and d-flats infinite geometries’,J. Sci.Hiroshima Univ.Ser.A-I32(1968),381–396.M.Bardoe and P.Sin,‘The permutation mod-ules for GL(n+1,q)acting on P n(q)and F n+1q’,to appear in JLMS./~sin/preprints/hamada.dviG.E.Moorhouse,‘Dimensions of Codes from Finite Projective Spaces’(as html and as Maple worksheet)/~moorhous/src/hamada.html /~moorhous/src/hamada.mwsProblem1Let S k be the set of‘words’of length k consist-ing of‘a’s and‘b’s,with no two consecutive ‘b’s.Determine F k=|S k|.F0=1‘’F1=2‘a’‘b’F2=3‘aa’‘ab’‘ba’F3=5‘aaa’‘aab’‘aba’‘baa’‘bab’F4=8‘aaaa’‘aaab’‘aaba’‘abaa’‘abab’‘baaa’‘baab’‘baba’etc.This gives all but thefirst term of the Fibonacci sequence1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,...To find a formula for F k ,we work instead with the generating function∞k =0F k t k =1+2t +3t 2+5t 3+8t 4+13t 5+···Observe that words w ∈S k correspond to paths of length k ,starting at vertex 1in the digraph12..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................append ‘a’append ‘a’append ‘b’Words not ending in ‘b’Words ending in ‘b’Agenda1.Motivating Problem1(above)2.Counting Walks by the Transfer Matrix Method3.Application to Problem14.Counting Closed Walks5.Counting Weighted Walks in Digraphs withWeighted Edges6.MAPLE Worksheet for Problem17.Application to Coding TheoryThe Transfer Matrix Method Let D be a digraph (directed graph),possibly with loops,having vertices 1,2,3,...,n .Let A =[a ij :1≤i,j ≤n ]be the adjacency matrix of D ;in other words,a ij = 1,if (i,j )is an edge of D ;0,otherwise.A walk of length k in D is a sequence......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................···◦◦◦◦i 0i 1i 2i k→→→→of (not necessarily distinct)vertices such that each ...........................................................................................◦◦i r −1i r →is an edge of D .Counting Walks from i to jLet w ij(k)be the number of walks of length k from vertex i to vertex j in D.Then w ij(k)is the(i,j)-entry of A k.This is readily computed by reading offthe coefficient of t k in the gen-erating function k≥0w ij(k)t k which in turn is the(i,j)-entry of(I−tA)−1=I+tA+t2A2+t3A3+···. Since the(i,j)-entry of(I−tA)−1is of the formpoly.in t of degree≤n−1det(I−tA),w ij(k)satisfies a linear recurrencew ij(k+n)=n−1r=0c r w ij(k+r)for all k≥0where det(I−tA)=1−c n−1t−c n−2t2−···−c0t n.The initial conditions w ij(0),w ij(1),..., w ij(n−1)depend on i and j but the recurrence does not.Counting All WalksLet w(k)= n i=1 n j=1w ij(k),the total num-ber of walks of length k.This is the coefficient of t k in the sum of the entries of(I−tA)−1.In particular w(k)satisfies the same recurrence as the w ij(k)’s:w(k+n)=n−1r=0c r w(k+r)for all k≥0but with different initial conditions.Counting Closed WalksLet w closed(k)= n i=1w ii(k),the total number of closed walks of length k(i.e.starting and ending at the same vertex).This is the coef-ficient of t k in trace((I−tA)−1).In particular w closed(k)satisfies the same linear recurrence as the w ij(k)’s and w(k),but again with different initial conditions.Here we assumed the initial/final vertex to be distinguished,i.e.the walks(i0,i1,i2,...,i k)and (i1,i2,...,i k,i0)are counted as distinct unless all i0=i1=···=i k.ExampleLet F k be the number of‘words’of length k consisting of‘a’s and‘b’s,with no two con-secutive‘b’s.F0=1‘’F1=2‘a’‘b’F2=3‘aa’‘ab’‘ba’F3=5‘aaa’‘aab’‘aba’‘baa’‘bab’F4=8‘aaaa’‘aaab’‘aaba’‘abaa’‘abab’‘baaa’‘baab’‘baba’etc.This gives all but thefirst term of the Fibonacci sequence1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,...Observe that F k is the number of paths of length k ,starting at vertex 1in the digraph12.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................append ‘a’append ‘a’append ‘b’Words not ending in ‘b’Words ending in ‘b’A = 111(I −tA )−1=11−t −t 2 1t t 1−tk ≥0F k t k =sum of (1,1)-and (1,2)-entries of (I −tA )−1=1+t 1−t −t 2=1√5 α21−αt −β21−βt=1√5 k ≥0(αk +2−βk +2)t k where α=(1+√5)/2,β=(1−√5)/2.From (1−t −t 2) k ≥0F k t k =1+t we obtainF k = 1,if k =0;2,if k =1;F k −1+F k −2,if k ≥2so by induction,F k is the (k +1)st Fibonacci number.From the series expansion we obtain the explicit formulaF k =αk +2−βk +2√5for k ≥0.Wraparound VersionLet L k(for k≥0)be the number of‘words’of length k consisting of‘a’s and‘b’s with no consecutive‘b’s,and which do not both start and end with‘b’.For technical reasons we will take L0=2.For k≥2,we are simply counting necklaces with a mber and b lack beads having no two consecutive black beads;however,each neck-lace has a distinguished starting point(a knot in its cord)and a distinguished direction(clock-wise or counter-clockwise).L1=1‘a’L2=3‘aa’‘ab’‘ba’L3=4‘aaa’‘aab’‘aba’‘baa’L4=7‘aaaa’‘aaab’‘aaba’‘abaa’‘abab’‘baaa’‘baba’These are the familiar Lucas numbers which satisfy the same recurrence relation as the Fi-bonacci numbers,but a different initial condi-tion.Note that L k is the number of closed walks of length k in our digraph.k ≥0L k t k =trace ((I −tA )−1)=2−t 1−t −t 2=11−αt +11−βt=k ≥0(αk +βk )t kFrom (1−t −t 2) k ≥0L k t k =2−t we obtainL k = 2,if k =0;1,if k =1;L k −1+L k −2,if k ≥2From the series expansion we obtain the ex-plicit formulaL k=αk+βk for k≥0.Counting Walks with Weighted Edges As before,D is a digraph (directed graph),pos-sibly with loops,having vertices 1,2,3,...,n .Assign a weight to each edge:...........................................................................................◦◦i j →a ij (Non-edges have weight zero.)Define the weight of a walk......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................···◦◦◦◦i 0i 1i 2i k →→→→a i 0i 1a i 1i 2a i 2i 3a i k −1i k of length k to be the producta i 0i 1a i 1i 2a i 2i 3···a i k −1i k .Let A =[a ij :1≤i,j ≤n ].Thenw ij(k):=The sum of all weightsof walks in D of length k from vertex i to vertex j=(i,j)-entry of A khas generating function k≥0w ij(k)t k equal to the(i,j)-entry of(I−tA)−1=I+tA+t2A2+t3A3+···as before.ExampleWe have determined the number F k of words of length k consisting of‘a’s and‘b’s,with no two consecutive‘b’s.How many such words contain r‘a’s and(therefore)k−r‘b’s?12.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................a ab A = a b a0 (I −tA )−1=11−at −abt 2 1bt at 1−atThe sum of the (1,1)-and (1,2)-entries is1+bt1−at −abt 2=1+(a +b )t +(a 2+2ab )t 2+(a 3+3a 2b +ab 2)t 3+(a 4+4a 3b +3a 2b 2)t 4+···Thus,for example,among the F 4=8words of length 4,1has 4‘a’s and 0‘b’s;4have 3‘a’s and 1‘b’;3have 2‘a’s and 2‘b’s.Codes from Finite GeometryConsider the projective plane of order 2:•••••••a bc d e f g ..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................The binary code of this geometry is the sub-space C ≤F 7(where F ={0,1}mod 2)spanned by the lines:a b c d e f g a b c d e f g C ={0000000,1111111,1101000,0010111,0110100,1001011,0011010,1100101,0001101,1110010,1000110,0111001,0100011,1011100,1010001,0101110}|C|=24;dim C =4The code above is the 1-error correcting binary Hamming code of length 7.The projective plane is constructed from F 3by taking as points and lines the 1-and 2-dimensional subspaces of F 3.•••••••001010100011110111101.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................Codes of Finite Projective SpacesLet F be thefield of order p e,p prime.Pro-jective n-space over F has as its points,lines, etc.the subspaces of F n+1of dimension1,2, etc.Problem:Compute the dimension of the code C=C n,p,e,k spanned by the subspaces of codi-mension k.Solution by Hamada’s Formula(the follow-ing theorem)is usually computationally infea-sible.Solution by the Transfer Matrix MethodTheorem(Bardoe and Sin,1999)Define M(t)=(1+t+t2+···+t p−1)n+1.Let D=D n,p,e,k be the digraph with vertices 1,2,...,k,and the edge from vertex i to vertex j has weight equal to the coefficient of t pj−i in M(t).Thendim C n,p,e,k=1+sum of weights of closed walks of length ein D=1+ coeff.of t ein tr[(I−tA)−1]where A is the k×k matrix whose(i,j)-entry is the weight of edge(i,j)(defined above).Example:Projective Plane of Order2C=binary code spanned by the seven lines (subspaces of codimension k=1)M(t)=(1+t)3=1+3t+3t2+t3A=[3](coefficient of t1in M(t))(I−tA)−1= 1 1−3ttr[(I−tA)−1]=11−3t=1+3t+9t2+27t3+···dim C=1+3=4。
索力振动测量的传递矩阵法
Ｔｒ ｎ ｆ ｒ ｍ ａ ｒ ｘ ｍ ｅ ｈｏ ｆ ｒ ｖ ｂ ａ ｉ ｎ ｅ ｓ ｒ ｍ ｅ ｔｏ ａ ｌ ｅ ｉ ｎ ａ ｓ ｅ ｔ ｉ ｔ ｄ ｏ ｉ ｒ ｔｏ ｍ ａ ｕ ｅ ｎ ｆ ｃ ｂ ｅ ｔ ｎｓｏ
拉索 作 为结构 的主要 承重 构 件 在工 程 中得 到 了广
测 试方 法 ； 最后结 合 具体工 程 实例进 行讨 论分 析 。
泛应 用 ， 拉索 张力 的大小 直 接 关 系 到结 构 的受 力 状 况 。 在工 程实 践 中 ， 用 的索力 测 定 方法 有 压 力表 测 定 法 、 常 压力 传感 器测 定法 和振 动 法 。前 两 种方 法 在 测量 多 根 拉索 张力 过 程 中需 要 反 复 地 移 动 压 力 表 或 压 力 传 感 器 ， ｉ 得 的固有频 率估 算 索 力 的振 动 法 因其 简 单 、 从 贝 ０ 快 速而 在拉 索张 力 的测 量 中常 常被 采 用 －１ ３。一 般 采 用
图 １ 索 的横 向振动
Ｆｉ １ Ｔｒ ｎ ｖ ｒ ｅ ｖｂ ａ ｉｎ ｏ ｈｅ ｃ ｂｅ ｇ． ａ ｓ ｅ ｓ ｉ ｒ ｔｏ ｆｔ ａ ｌ
通过特征方程求解得 到拉 索固有频率及其 变化规律 ， 从而 确定 了拉 索 张力 与其 固有 频 率 之 间 的关 系 ， 索 对
微分 方程 或差 分 方 程 描 述 拉 索 动 力 学 特 性 ， 此 基 础 在
１ 索振 动分析的传递矩阵法
图１ 所示为一段长为 、 固定 的索 的横 向振动情 两端
况 。为推导制约此段索振动 的运动 方程 ， 此连续系统视 将 为相应 的离散系统当 自由度无 限增加时的极限。
传递矩阵法
传递矩阵法是研究转子系统动力学问题的有效手段。
传递矩阵法还具有其它方法(如摄动有限元素法)无法比拟的优点，例如，在做转子系统的临界转速、阻尼固有频率和稳定性计算分析时，由于流体密封交叉刚度、油膜轴承、阻尼项往往是不对称的，再加上陀螺力矩的影响；这样，用随机有限元素法形成的单元刚度矩阵和系统总体刚度矩矩阵往往也是不对称的，阻尼也不可以简单地以小阻尼或比例阻尼系统来替代，求解这样一个非对称系统的复特征值问题，目前还没有一个较为理想的方法。
而传递矩阵法没有随机有限元法在求解这些的问题时带来的这些困难。
因此，传递矩阵法在转子系统动力学问题的研究中占有主导的地位。
传递矩阵法matlab程序
传递矩阵法matlab程序传递矩阵法是一种用于计算机程序中传递和操作矩阵的方法，在Matlab中，它被广泛应用于矩阵运算和数据处理等领域。
本文将介绍传递矩阵法的原理和在Matlab中的具体实现。
传递矩阵法是一种通过矩阵传递来操作数据的方法。
它的基本原理是将需要进行操作的数据存储在矩阵中，然后通过矩阵的传递，实现对数据的处理和计算。
这种方法的优势在于可以利用矩阵的高效运算能力，简化程序的编写和调试过程。
在Matlab中，可以使用矩阵操作函数来实现传递矩阵法。
例如，可以使用矩阵的乘法运算来实现矩阵的传递。
假设我们有两个矩阵A 和B，我们希望将矩阵A的数据传递给矩阵B，可以使用如下的Matlab代码实现：```B = A;```这样，矩阵B就完全复制了矩阵A的数据。
通过这种方式，我们可以在程序中传递矩阵，进行各种操作和计算。
除了简单的传递，传递矩阵法还可以实现更复杂的操作。
例如，可以通过传递矩阵进行矩阵的相加、相减、相乘等运算。
假设我们有两个矩阵A和B，我们希望将它们相加得到矩阵C，可以使用如下的Matlab代码实现：```C = A + B;```这样，矩阵C的每个元素都等于矩阵A和矩阵B对应元素的和。
通过传递矩阵法，我们可以很方便地实现这样的矩阵运算。
除了矩阵的运算，传递矩阵法还可以用于数据处理和分析。
例如，可以通过传递矩阵来实现数据的转置、截取、排序等操作。
假设我们有一个矩阵A，我们希望将它的每一列按照从大到小的顺序进行排序，可以使用如下的Matlab代码实现：```B = sort(A,'descend');```这样，矩阵B的每一列都按照从大到小的顺序进行了排序。
通过传递矩阵法，我们可以在Matlab中进行各种复杂的数据处理和分析。
传递矩阵法在Matlab中的应用非常广泛。
无论是矩阵运算、数据处理还是图像处理，都可以通过传递矩阵法来实现。
它不仅提高了程序的效率和可读性，还简化了程序的编写和调试过程。
传递矩阵法的Z_n误差分析
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若有边界条件： 文献 " !， 求解了多层弹性半 # $ 采用 传 递 矩 阵 法 ， 空间问题。这种方法概念清晰， 公式简洁， 但其计算相 当困难。 每层传递矩阵 ! 有 !% 个元素， 每个元素又都 是含有 &’! " 和 (’! " 的函数；故传递矩阵法的出路在 于数值计算。 但是， 如果不对原传递矩阵的计算公式作任何变 形而直接计算，由于计算机产生很大的舍入误差， 可 能使得计算结果面目全非。引起传递矩阵数值计算的 误差的因素主要有两个： 最下层弹性体的计算深度 # $ 及积分变量 ! 。本文将以多层弹性半空间轴对称问题 为基础， 着重讨论 #$ 引起的误差。 已知。 " * +，#+ " % +， +& * + ；$" % +， + & % & % & ， ， ， " ! . , + " * ) + " *+ 则由式（ 及经过 /01234 变换的边界条件可得 !） * * 6 *!! *#5 （ ,% !， +& * #! !5 $" % !， + & 5） *!! *## 6 *#! *!# 由定义得
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传递矩阵法求解变厚度旋转圆盘论文
传递矩阵法求解变厚度旋转圆盘1.引言旋转圆盘是化工机械中的重要零件之一，由于这些机械以每分钟几千转至几万转做高速旋转，因此这些圆盘的强度问题备受人们关注.旋转圆盘中的应力与位移分析对圆盘的强度设计及结构优化有重要的实际意义.关于旋转圆盘的应力分析与位移计算问题，国内外众多学者进行了研究1-4］.在文献5］讨论等厚度圆盘旋转与变厚度圆盘旋转的解析解，但对于厚度的变化不符合某一数学规律的圆盘，便无法得到其解析解.本文利用已有的简单盘的应力计算系数和边界条件，建立待定常数的传递矩阵，求得应力与位移，适用于任意轮廓的变厚度圆盘，方法简便实用.2.求解算法将旋转圆盘离散成若干个等厚度圆盘，如图1所示，这些圆盘的厚度均不相等.对于每个等厚度圆盘，其应力分量与位移由下式给出：图1 圆盘的离散化σri=-3+μ[]8ρω2r2+a i[]2+b i[]r 2.(1)σθi=-1+3μ[]8ρω2r2+a i[]2-b i[]r2.(2)u i=-1-μ2[]8eρω2r3+a ir[]2e(1-μ)+bi[]er(1+μ).(3)将最外面的等厚度圆盘视为第一个，应力、位移分量表示为σr1σθ1,u1以此类推，采用由外面的圆盘向中心逐个计算的方法.对于第i+1个圆盘，其内径是第i个圆盘的外径，根据同一界面处总径向应力和位移相等可得h i+1σr i+1=h iσr i,ui+1=u i,i=1,2…n-1.（4）整理可得1-μ[]2a i+1-(1+μ)n[]na-ia2b i+1=1-μ[]2a i-(1+μ)n[]na-ia2b i，h i+1[]2a i+1+h i+1n[]na-ia2bi+1=h i[]2a i+h in[]na-ia2b i+3+μ[]8ρω2n[]na-ia2（h i+1-h i).每个圆盘的厚度取一个平均厚度，即h i=t i+t i+1 []2,i=1,2…n-1，靠近中心处的圆盘的厚度取为h n=t n.其中，t i=c(n+1-i)a[]n n,i=1,2，…，n.联立以上方程组求解后写成传递矩阵形式，即a i+1b i+1=1-μ[]2+h i(1+μ)[]2h i+1 n[]na-ia2(h i-hi+1(1+μ)[]h i+1n[]na-ia2(1-μ)(h i-h i+1)[]4h i+1 h i(1-μ)[]2h i+1+1+μ[]2.a ib i+ρω2na-ia[]n2(3+μ)(1+μ)(h i+1-h i)[]8hi+1ρω2na-ia[]n4(3+μ)(1-μ)(h i+1-h i)[]16hi+1边界条件为在外边界（r=a）时径向应力为零，可得σr1|r=a=-3+μ[]8ρω2a2+ai[]2+b i[]a2=0在中心处的应力分量为有限值，故b n=0.3.数值算例一实心旋转变厚度圆盘，其厚度h=cr-1μ=0.3，划分单元数n=20，为方便起见，将位移和应力写成如下形式: u=αρω2a3[]e,σr=βρω2a2,σθ=β1ρω2a2,就可以计算出各点的u,σr,σθ，式中各系数α,β,β1的精确解与本文解，如表1所示，再将三组数据比较.从表1可以看出，本文的近似解完全能够获得实际上足够精确的结果. 1α,β,β1本文解与精确解结果对比r[]a[]α[]β[]β 14.结论本文将变厚度匀速旋转的圆盘离散化为若干个等厚度圆盘，利用简单圆盘的应力计算系数和变厚度盘的边界条件，建立待定常数之间的传递矩阵，进而求得旋转变厚度盘的应力与位移解.从实例精确解与本文解的对比可以看出，该方法计算简洁方便、计算精度较高、计算量小，为计算具有任意轮廓的变厚度旋转圆盘的应力与位移提供了较为精确的解法.。
传递矩阵法
传递矩阵法
传递矩阵法，也称为状态转移矩阵法，是一种用来求解动态规划问题的方法。
它是将原问题分成多段子问题，每一段子问题都可以用状态转移矩阵表示，最后把多个子问题求解出来，并最终组合在一起，得到最优解的方法。
传递矩阵法是动态规划中最常使用的一种方法，它的核心思想是：将原问题分解成小问题，然后将小问题求解出来，最后再组合在一起，求出最优解。
传递矩阵法的具体步骤如下：
1、分析问题：对需要求解的问题进行分析，找出问题的目标函数，状态转移方程式，以及约束条件。
2、构建状态转移矩阵：根据上述分析结果，构建状态转移矩阵，并填充状态转移方程式中的变量，形成状态转移矩阵。
3、求解状态转移矩阵：对状态转移矩阵进行求解，根据问题的特点，可以采用递推法、回溯法、逐步增加法等求解方法，求解出状态转移矩阵。
4、解决问题：根据求解出来的状态转移矩阵，解决问题，得到最优解。
传递矩阵法是一种求解动态规划问题的非常常用的方法，其优点是可以将原问题分解成小问题，并将小问题求
解出来，最后再组合在一起，求出最优解，比较简单易行。
但是其缺点也很明显，需要分析的问题必须能够被分解成小问题。
此外，传递矩阵法的时间复杂度依然较大，所以在解决复杂问题时，可能会遇到时间上的限制。
超长斜拉索张力振动测量的传递矩阵法
应用 多体 系统传 递矩 阵法 得到元 件 的传递 方 程及 系 统总传递方程 ， 通过特征方 程求解 得到拉 索 固有频率
阻 系数 。Ｚ ｉ 于拉 索几 何 形状 的 抛物 线假 设 提 出 ｕ基
了索力 求 解 的实 用公 式 ， 其 公式 以分段 的形 式 给 但
及其 变 化规 律［ 确 定 了拉 索 张力 与其 固有频 率 之 １ ，
链线方程 ， 建立超长斜拉 索振 动的离散模 型基础上 在
拉 桥 建 成投 入 使用 后 的索力 复 测 ， 动法 几 乎成 了 振
惟 一 的选 择［ ］ 在 大江 、 ２。 大河 及海湾 地 区建造 桥梁 ，
由于 通航 和基 础水 深 的 限制 ， 扩 展跨 径 的要求 一 对
直在 持续 。苏通 长 江大 桥主 跨 已达到 １ ０ ８ｋ 文 ． ８ ｍ， 献 ［３ ７ 通过 风 洞测 量 试 验研 究 了该 桥 超长 斜 拉 索 风
要求。
关键词
传 递 矩 阵 法 ； 长 斜 拉 索 ；索 力 ；固有 频 率 超
Ｕ４ ８ ２ ４．７
中闰分类号
振 动 理论 ， 通过 单 模态 振 动 分 析结 果 确定 拉 索 高 阶
引 言
斜 拉 索 是斜 拉 桥 的重要 承 载构 件 ， 载着 结 构 负
振 动频 率 阶数 ， 由修 正后 的基 频来 进行 索力计 算 。 文
第３ ２卷 第 ４期
２１ ０ ２年 ８月
振 动 、 试 与 诊 断 测
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｂ ａｉｎ， ｅ ｓ ｒ ｍｅ ｔ＆ Ｄｉｇ ｏ ｉ ｏ ｒ ａ ｆＶｉ ｒ ｔ ｏ Ｍ ａｕ ｅ ｎ ａ ｎ ｓｓ
Ｖ ｏ１ ３２ Ｎｏ．４ ． Ａｕｇ． ２ ２ ０１
第三讲 轴系临界转速计算---传递矩阵法
(3.14)
由于
L y0
和
θ
L 不全为零,所以: 0
h31 h32 =0 h41 h42
即:
(3.15)
h31h42 h32 h41 = 0
(3.16)
所以,使(3.16)式成立的转速值n即为转 子的临界转速.
3.2 轴系扭转振动临界转速计算
3.2.1 模型及计算模型的离散
y = y R L (3.6) θi = θi R L M i = M i Q R = m && + Q L i yi i i
R i L i
图3.4 集中质量的受力分析
上式可以写成:
y 1 θ 0 = M 0 Q i ω 2 m
或写成:
R
0 0 0 y 1 0 0 θ 0 1 0 M 0 0 1i Q i
图3.7
(3.16)
(3.17)
(3.18)
(3.19)
(3.20)
(3.21)
(3.22)
(3.23)
(3.24)
两个自由端的边界条件为:
θ 0 = 1, M 0 = 0; M z = 0
问题:1.边界条件的物理意义是什么? 2.如何用解析法求简单轴的扭振临界转速? 3.如何用数值方法求复杂轴的扭振临界转速?
图3.5 物理模型
图3.6 离散模型
3.2.2 计算方法
将转轴模化成许多等直径的轴段,因此凡是轴横截面有突变的地方以及存在集 中惯量的位置,都应取作分段点.轴系上安装的部件被模化成附加惯量,影响扭振 特性的长叶片作为分支系统考虑. 经过模化的轴系如下图1所示.只要求出每一轴段的传递矩阵,就可以通过依次 递推计算,得到从转轴的第一个截面推算到最后一个截面的总传递矩阵.取i轴段及 其微单元建立传递距阵,参见下图2.
传递矩阵与声阻抗两种方法的关系
传递矩阵与声阻抗两种方法的关系矩阵传递法和声阻抗法是两种用于描述声波在不同介质之间传播和反射的方法。
它们都是声学领域中常用的数学工具，用于分析和预测声学系统的性能。
尽管这两种方法在基本原理和数学形式上有所不同，但它们之间存在密切的关系并可以相互转换。
在声学中，声波的传播可以通过考虑媒介中的波动方程进行建模。
矩阵传递法是一种基于波动方程的方法，用于描述声波在连接的媒介之间的传递过程。
声阻抗法则是一种基于边界条件和媒介的声波反射特性的方法。
下面将详细介绍这两种方法之间的关系。
矩阵传递法可以用于描述声波在连接的多层介质之间传递的过程。
它基于波动方程以及边界条件，并利用矩阵运算技术进行分析。
具体而言，矩阵传递法将声压和声流量沿着传播方向进行传递，并在每个界面处利用边界条件进行计算。
这些边界条件包括声压和声流量的连续性条件，以及不同介质之间的声压传递函数和声流量传递函数。
通过这些边界条件，可以推导出一个矩阵方程，其中矩阵元素反映了不同介质之间的传递关系。
通过求解这个矩阵方程，可以得到声波在整个多层介质系统中的传递特性。
声阻抗法是一种基于反射特性的方法，用于描述声波在不同介质之间反射的过程。
它基于边界条件，在介质之间使用声阻抗来描述声波的反射和透射。
声阻抗是一个描述介质对声波反射和传播的特性的物理量。
它是由介质本身的声学特性所决定的，并与介质的密度、速度和波阻抗等参数相关。
在声阻抗法中，通过考虑不同介质之间的边界条件，可以得到声波反射系数和透射系数的表达式。
这些系数反映了声波在不同介质之间的能量传递和反射特性。
矩阵传递法和声阻抗法之间的关系可以通过将它们的数学表达式进行推导和转换来理解。
从矩阵传递法的角度来看，声阻抗可以被视为描述介质边界上的传递关系的特殊转移函数。
换句话说，对于两个连接的介质，它们之间的声阻抗可以视为声压传递函数和声流量传递函数的比值。
通过将这个比值插入矩阵传递法的公式中，可以得到一组描述介质传递关系的矩阵元素。
传递矩阵法在动力传动系统扭振分析中的应用
Ａｐ ｌ ａ ｉ ｎ ｏ ａ ｓｅ ａ ｒｘ Ｍ ｅ ｈ ｄ ｉ ｈ ｃ ｅ Ｐｏ ｒ Ｔｒ ｉ Ｓ ｐ ｉ ｔｏ ｆ Ｔｒ ｎ ｆ ｒ Ｍ ｔ ｉ ｃ ｔ ｏ ｎ Ｖｅ ｉｌ ｗｅ ａ ｎ’
Ｔｏ ｓｏ ａ ｂ ａ ｉ ｎ Ａｎ ｌ ｓｓ ｒ ｉ ｎ ｌＶｉ ｒ ｔｏ ａ ｙ ｉ
收 稿 日期 ： ０ ９一ｌ ２０ １—１ ６
作者简介 ：冯栋梁 （９ ３一） １８ ，男 ，硕士研究生 ，研究 方向为车辆动力学仿 真技术
车 辆 与 动力 技 术
１ 关 于 Ｊ Ａ 语 言 Ａｖ
ＪＶ Ａ Ａ是一种高级的面向对象的程序设计语言， 自 １９ ９５年 由 Ｓｎ公 司推 出后 ，不 断 得 到发 展 和完 ｕ
冯 栋 梁 ， 魏来 生
（ 中国北方车辆研究所 ，北京 １０ ７ ） ００ ２
摘
要： 传递矩阵法实用性强 ，常用 于计算集总参数模型 的动态特性 ．Ａ Ａ语 言则 面 向对象 编程 ，且能方便地 ＪＶ
实现跨平 台运行 ．根据车辆动力传动系统扭振分 析 的特点 ，将 两者有机结 合 ，编制 了动 力传动系统扭振 分析程
பைடு நூலகம்
振 固有频 率和 振型 时 ，传递 矩 阵法只涉及 低 阶矩 阵
的运算 ，计算的工作量比起传统 的方法要少的多， 非 常适合用 计算 机编程 实现 ． 在建立动力传动系统的当量模型时 ，实质上采
用 的是一种 面 向对 象 的当量简 化 ，即把物理 结构上
车辆动力传动系统 的当量模 型呈现一种链状结构 ，
序 ，并 以某型车辆 的动力传动系统为例 ，完成 了其扭转振 动固有频率 、固有振型 的计算 ，应用过程 和结 果分析 充分说 明了程序 的准确性和实用性 ． 关键词 ：动力传动 系统 ；传递矩阵法 ；扭转振动 ；复杂分支系统 ；Ｊ Ｖ Ａ Ａ语 言
传递矩阵法分类
典型的传递矩阵计算方法有Myklestad-Prohl传递矩阵法和Riccati传递矩阵法。
Myklestad-Prohl传递矩阵法有很多优点，如矩阵的维数不会随着转子系统的自由度数的增加而增加、计算效率高、程序设计简单、占用内存少等等，所以在实际工程中得到了很广泛的应用。
但是，这种方法在大量应用的过程中，人们发现这种方法也存在一些问题，就是当计算的频率较高、或者结构支承的刚度很大、或者结构的自由度较多时，会出现数值不稳定的现象，从而使计算分析结果的精度大大下降[2~3,39~40]。
为此，1978年Horner和Pilley提出了Riccati传递矩阵法[39]，这种方法保留了Myklestad-Prohl传递矩阵法的全部优点，且计算精度高，数值上也比较稳定。
Riccati传递矩阵法在使用过程中遇到的另一个问题是在特征根的搜索过程中剩余量有许多无穷大奇点，因此可能产生增根现象，1987年王正在研究了这一现象后给出了这种奇点的消除方法[40]。
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第 i 个梁段左端与第i-1梁段右端状态变量的传递关系：
1 li li /(2 Ei I i ) li /(6 Ei I i ) y y 2 0 1 li /( Ei I i ) li /(2 Ei I i ) 0 0 M M 1 li 0 1 Fs i 0 0 Fs i 1
M iL
：盘转角
2
M：盘侧面扭矩
i i 当圆盘以频率 作简谐振动时，有：
代入圆盘运动微分方程即：
M iR M iL 2 Iii
2 I M i i 1
R
第i个圆盘左右两侧状态向量的传递关系： 点传递矩阵
1 H 2 Ii
（2）梁的横向弯曲振动系统
ZiL1 ZiR1
(i 1)
i
ZiL
ZiR
(i )
mi 1
mi
li Ei I i
第 i 个单元 传递矩阵法可用于分析梁的横向弯曲振动 一个典型单元包括一个无质量梁段和一个集中质量。 第 i 个梁段长 li，抗弯刚度 EiIi，集中质量为mi。 状态变量构成：
X (y
ZiR HiP ZiL ZiL HiF ZiR 1
第i-1个圆盘右侧到第 i 个圆盘右侧的状态变量传递关系：
R Z iR H iP Z iL H iP H if Z iR H Z 1 i i 1
单元传递矩阵
1 Hi H H 2 I i
P i F i
Z0R H0P Z0L , Z1LA H1f Z0R , Z1RA H1P Z1LA , Z2R H2Z1RA , Z3R H3Z2R
• 这时需要考虑分支系统对齿轮A的影响，重新推导。
• 假定齿轮A、B的转动惯量可以忽略不计，其传动比为 n，由于是外啮合，则其转角关系为： 1B n1A R • 扭矩关系为： M1R A nM1B • 分支系统的传递关系为： Z R H Z R
令 i ( x)、yi ( x) 中 x=li：
L i
R i 1
M l Ei I i 2Ei I i
R i 1 i
2 FsR l ,i 1 i
y y
L i
R i 1
M l l 2Ei I i 6Ei I i
R i 1 i
R 2 i 1 i
3 FsR l ,i 1 i
（1）轴盘扭转振动系统
(1) (2)
(3)
2 3
Ii
(n-2)
(n-1) n
(i-1) li ki i
(i)
1
n-1
多盘扭振系统（n-1个盘）
第 i 个单元
Ii
一个典型的单元包括一个无质量的轴段和一个作为刚体考 虑的圆盘
I i ：第 i 个圆盘的转动惯量
li：第 i 个单元轴段的长度 ki：第 i 个单元轴段的扭转刚度
R i 1
1 Ei I i
x 0
M i ( x)dx
x
R i 1
1 1 R M i 1 x QiR1 x 2 Ei I i 2Ei I i
yi ( x) y
R i 1
i ( x)dx
0
x
R yiR 1 i 1 x
1 1 2 R 3 M iR x Q x 1 i 1 2 Ei I i 6 Ei I i
H H n H n1 H1 （ 的函数）
最后利用两端边界条件可确定固有频率和模态
• 有些轴盘扭振系统是带分支的链状结构，这时需要 选择其中一部分链状结构作为主系统，其他分支作 为分支系统； • 在主系统中推导分支点两侧状态向量的传递关系时， 需要考虑分支系统对分支点的关系。 • 以课本图5-9为例：以圆盘 I 0、I 2、I 3 所在的轴为主 系统，I 4 所在的轴为分支系统，主系统上相邻的状态 向量之间的传递关系为：
X iR SiP X iL
先考虑左边的边界条件：令 得到：
M1L 0
M 3R h211L h21 ()1L
（d）
k1
k2
R 1、若频率是固有频率，则还要满足 M 3 0 J1
J2
J3
则由（d）式得频率方程： h21 ( ) 0
R 2、若频率不是固有频率，则可以剩余矩阵 M 3
此式即A两侧状态向量之间的点传递矩阵，它体现或吸收了分 支系统经过齿轮A对主系统的影响，所以又称为吸收传递矩阵
例：三圆盘扭振系统
k2 98kN m / rad，k3 196kN m / rad
k1 I1
k2
I1 4.9Kg m2 ; I3 I1, I 2 I1
用传递矩阵法求固有频率和模态
实际计算时，设最左端的状态向量为：
1 Z M 0 1
L 1 L
将式（a）具体写成为
k1
1 M I 1
R
R
k2
0 1 M 4.9 2 1 1
I2
I3
解： 如右图所示：相邻状态向量间的传递关系为
Z H Z , Z H 2 Z , Z H3 Z
R 1 P 1 L 1 R 2 R 1 R 3
R 2
（a）
h11 若记总传递矩阵为： H H 3 H 2 H h21
P 1
h12 h22
系统的边界条件为
M下关系：
M nM M
R 1A R 1B
L 1A
R 将（5.117）代入上式，并将其中的 1B 用（5.116）表示， 得出
M
R 1A
n 2 2 I 4 L L M 1 A 1 A 2I4 1 k4
L 上式与 1R A 1 A 可以合写为下列矩阵形式：
P i
0 M 1 i
L
0 1 i
Z iR H iP Z iL
场传递矩阵
1 1 / k H 0 1 i
f i
点传递矩阵
1 H 2 I i
P i
0 1 i
第i个圆盘左右两侧状态向量的传递关系： 第i个轴段左右两端状态向量的传递关系：
M iL
iL
QiR 1
M iR 1 yiR 1
R i 1
QiL
yiL
x
li
y
对于弯矩，有：
R M i ( x) M iR Q 1 i 1 x
M iL
iL
QiR 1
M iR 1 yiR 1
对于转角，由材料力学有：
R i 1
QiL
yiL
i ( x)
对于挠度：
0 1 1 / ki 1 1 / ki 2 1 0 1 I i 1 2 ( I i / ki )
通过各个单元的传递矩阵，最终可以建立链状结构最左端与最 右端的状态向量之间的传递关系 n 个圆盘的轴系，最左端和最右端状态变量传递关系： Z nR HZ1R H：第1至第n单元通路中所有单元传递矩阵的连乘积
传递矩阵法
组员：陈书聪 胡永亮 李滨 陈玉华
周荣涛
• 传递矩阵法：线性振动的近似计算方法
传递矩阵法适用于计算链状结构的固有频率和主振型
多个圆盘的扭振，连续梁，气轮机和发电机的转轴系统
特征：可简化为无质量的梁上带有若干个集中质量的横向振动 系统 特点：将链状结构划分为一系列单元，每对相邻单元之间的传 递矩阵的阶数等于单元的运动微分方程的阶数，因此传递矩阵 法对全系统的计算分解为阶数很低的各个单元的计算，然后加 以综合，从而大大减少计算工作量。 （1）轴盘扭转振动系统 （2）梁的横向弯曲振动系统
(i-1) li ki i
(i)
i
M
L i
iR 1
M
R i 1
iL
M iR I i
li ki
M iL
将任意截面上的转角和扭矩排成列向量即状态向量：Z ( , M )T
由于不计轴段的转动惯量，两边扭矩相等 轴段两边的转角有如下关系
iL iR 1
1 R M i 1 ki
4 4 1B
1 将上式两边左乘 H 4 ，并注意到分支系统的边界条件为：M 4 0 可得
R
2I4 R 2I4 1 1 1 R k4 k4 k4 4 M 2 2 1 B M 4 I 1 I4 4 R R 的关系及 R 由上式中 M1R , 4 1B的关系得知： B , 4 2 I4 2 R R M 1R I B 4 4 1 (5.117) 2I4 B 1 k4
M
Q)T
分别为集中质量处截面的挠度、截面转角、弯矩和剪力
ZiL1 ZiR1
(i 1)
i
ZiL
ZiR
(i )
mi 1
mi
第 i 个梁段受力分析 平衡条件： Q Q
L i R i 1
li Ei I i
第 i 个单元
li
y
R MiL MiR Q 1 i 1li
梁段两端位移和转角分析 设第i个梁段距离左端x远的截面的 弯矩、转角和挠度分别为： M i ( x)，i ( x)，yi ( x)
M iL M iR 1
第i个圆盘左右两侧状态向量的传递关系：
ZiL Hif ZiR -1
L R
1 1 / ki 第i个轴段左右两端状态变量的传递关系： M 0 1 M i i 1 1 1 / k f 场传递矩阵 H i 0 1 i