传递矩阵法

第 i 个梁段左端与第i-1梁段右端状态变量的传递关系：
1 li li /(2 Ei I i ) li /(6 Ei I i ) y y 2 0 1 li /( Ei I i ) li /(2 Ei I i ) 0 0 M M 1 li 0 1 Fs i 0 0 Fs i 1
M iL
：盘转角
2
M：盘侧面扭矩
i i 当圆盘以频率 作简谐振动时，有：
代入圆盘运动微分方程即：
M iR M iL 2 Iii
2 I M i i 1
R
第i个圆盘左右两侧状态向量的传递关系： 点传递矩阵
1 H 2 Ii
（2）梁的横向弯曲振动系统
ZiL1 ZiR1
(i 1)
i
ZiL
ZiR
(i )
mi 1
mi
li Ei I i
第 i 个单元 传递矩阵法可用于分析梁的横向弯曲振动 一个典型单元包括一个无质量梁段和一个集中质量。 第 i 个梁段长 li，抗弯刚度 EiIi，集中质量为mi。 状态变量构成：
X (y
ZiR HiP ZiL ZiL HiF ZiR 1
第i-1个圆盘右侧到第 i 个圆盘右侧的状态变量传递关系：
R Z iR H iP Z iL H iP H if Z iR H Z 1 i i 1
单元传递矩阵
1 Hi H H 2 I i
P i F i
Z0R H0P Z0L , Z1LA H1f Z0R , Z1RA H1P Z1LA , Z2R H2Z1RA , Z3R H3Z2R
• 这时需要考虑分支系统对齿轮A的影响，重新推导。
• 假定齿轮A、B的转动惯量可以忽略不计，其传动比为 n，由于是外啮合，则其转角关系为： 1B n1A R • 扭矩关系为： M1R A nM1B • 分支系统的传递关系为： Z R H Z R
令 i ( x)、yi ( x) 中 x=li：

L i
R i 1
M l Ei I i 2Ei I i
R i 1 i
2 FsR l ,i 1 i
y y
L i
R i 1
M l l 2Ei I i 6Ei I i
R i 1 i
R 2 i 1 i
3 FsR l ,i 1 i
（1）轴盘扭转振动系统
(1) (2)
(3)
2 3
Ii
(n-2)
(n-1) n
(i-1) li ki i
(i)
1
n-1
多盘扭振系统（n-1个盘）
第 i 个单元
Ii
一个典型的单元包括一个无质量的轴段和一个作为刚体考 虑的圆盘
I i ：第 i 个圆盘的转动惯量
li：第 i 个单元轴段的长度 ki：第 i 个单元轴段的扭转刚度
R i 1
1 Ei I i

x 0
M i ( x)dx
x
R i 1
1 1 R M i 1 x QiR1 x 2 Ei I i 2Ei I i
yi ( x) y
R i 1
i ( x)dx
0
x
R yiR 1 i 1 x
1 1 2 R 3 M iR x Q x 1 i 1 2 Ei I i 6 Ei I i
H H n H n1 H1 （ 的函数）
最后利用两端边界条件可确定固有频率和模态
• 有些轴盘扭振系统是带分支的链状结构，这时需要 选择其中一部分链状结构作为主系统，其他分支作 为分支系统； • 在主系统中推导分支点两侧状态向量的传递关系时， 需要考虑分支系统对分支点的关系。 • 以课本图5-9为例：以圆盘 I 0、I 2、I 3 所在的轴为主 系统，I 4 所在的轴为分支系统，主系统上相邻的状态 向量之间的传递关系为：
X iR SiP X iL
先考虑左边的边界条件：令 得到：
M1L 0
M 3R h211L h21 ()1L
（d）
k1
k2
R 1、若频率是固有频率，则还要满足 M 3 0 J1
J2
J3
则由（d）式得频率方程： h21 ( ) 0
R 2、若频率不是固有频率，则可以剩余矩阵 M 3
此式即A两侧状态向量之间的点传递矩阵，它体现或吸收了分 支系统经过齿轮A对主系统的影响，所以又称为吸收传递矩阵
例：三圆盘扭振系统
k2 98kN m / rad，k3 196kN m / rad
k1 I1
k2
I1 4.9Kg m2 ; I3 I1, I 2 I1
用传递矩阵法求固有频率和模态
实际计算时，设最左端的状态向量为：
1 Z M 0 1
L 1 L
将式（a）具体写成为
k1
1 M I 1
R
R
k2
0 1 M 4.9 2 1 1
I2
I3
解： 如右图所示：相邻状态向量间的传递关系为
Z H Z , Z H 2 Z , Z H3 Z
R 1 P 1 L 1 R 2 R 1 R 3
R 2
（a）
h11 若记总传递矩阵为： H H 3 H 2 H h21
P 1
h12 h22
系统的边界条件为
M下关系：
M nM M
R 1A R 1B
L 1A
R 将（5.117）代入上式，并将其中的 1B 用（5.116）表示， 得出
M
R 1A
n 2 2 I 4 L L M 1 A 1 A 2I4 1 k4
L 上式与 1R A 1 A 可以合写为下列矩阵形式：
P i
0 M 1 i
L
0 1 i
Z iR H iP Z iL
场传递矩阵
1 1 / k H 0 1 i
f i
点传递矩阵
1 H 2 I i
P i
0 1 i
第i个圆盘左右两侧状态向量的传递关系： 第i个轴段左右两端状态向量的传递关系：
M iL
iL
QiR 1
M iR 1 yiR 1

R i 1
QiL
yiL
x
li
y
对于弯矩，有：
R M i ( x) M iR Q 1 i 1 x
M iL
iL
QiR 1
M iR 1 yiR 1
对于转角，由材料力学有：

R i 1
QiL
yiL
i ( x)

对于挠度：
0 1 1 / ki 1 1 / ki 2 1 0 1 I i 1 2 ( I i / ki )
通过各个单元的传递矩阵，最终可以建立链状结构最左端与最 右端的状态向量之间的传递关系 n 个圆盘的轴系，最左端和最右端状态变量传递关系： Z nR HZ1R H：第1至第n单元通路中所有单元传递矩阵的连乘积
传递矩阵法
组员：陈书聪 胡永亮 李滨 陈玉华
周荣涛
• 传递矩阵法：线性振动的近似计算方法
传递矩阵法适用于计算链状结构的固有频率和主振型
多个圆盘的扭振，连续梁，气轮机和发电机的转轴系统
特征：可简化为无质量的梁上带有若干个集中质量的横向振动 系统 特点：将链状结构划分为一系列单元，每对相邻单元之间的传 递矩阵的阶数等于单元的运动微分方程的阶数，因此传递矩阵 法对全系统的计算分解为阶数很低的各个单元的计算，然后加 以综合，从而大大减少计算工作量。 （1）轴盘扭转振动系统 （2）梁的横向弯曲振动系统
(i-1) li ki i
(i)
i
M
L i
iR 1
M
R i 1
iL
M iR I i
li ki
M iL
将任意截面上的转角和扭矩排成列向量即状态向量：Z ( , M )T
由于不计轴段的转动惯量，两边扭矩相等 轴段两边的转角有如下关系
iL iR 1
1 R M i 1 ki
4 4 1B
1 将上式两边左乘 H 4 ，并注意到分支系统的边界条件为：M 4 0 可得
R
2I4 R 2I4 1 1 1 R k4 k4 k4 4 M 2 2 1 B M 4 I 1 I4 4 R R 的关系及 R 由上式中 M1R , 4 1B的关系得知： B , 4 2 I4 2 R R M 1R I B 4 4 1 (5.117) 2I4 B 1 k4
M
Q)T
分别为集中质量处截面的挠度、截面转角、弯矩和剪力
ZiL1 ZiR1
(i 1)
i
ZiL
ZiR
(i )
mi 1
mi
第 i 个梁段受力分析 平衡条件： Q Q
L i R i 1
li Ei I i
第 i 个单元
li
y
R MiL MiR Q 1 i 1li
梁段两端位移和转角分析 设第i个梁段距离左端x远的截面的 弯矩、转角和挠度分别为： M i ( x)，i ( x)，yi ( x)
M iL M iR 1
第i个圆盘左右两侧状态向量的传递关系：
ZiL Hif ZiR -1
L R
1 1 / ki 第i个轴段左右两端状态变量的传递关系： M 0 1 M i i 1 1 1 / k f 场传递矩阵 H i 0 1 i
M 1 A
R
1 2 2 n I4 2 1 I4 k4
0 L 1 M 1 A
其中
1 2 2 n I4 P H1 2 I 4 1 k4
0 1
由课本图5-7（c）可知圆盘两边的转角相等，即
i
R i
L i
圆盘的运动微分方程为：
L R I ii M i M i
(i-1) li ki i
(i)
i
M
L i
iR 1
M
R i 1
iL
Ii
定义状态变量：Z ( , M )T
M iR I i
li ki
L
0 1 0 1
I1
1 R R 1 1 1 k 98 2 M I M M 2 2 2 2 I 1 1 1 9.8 1 9.8 / 98 k 1 R R 1 1 R 1 k 98 2 M M I M 2 2 2 3 I 1 2 19.6 1 19.6 / 196 2 k
别为
1 1 1 ， 0.206 ， 1.205 1 1 2 3 1 0.355 0.347
>> %振动力学5.8节例5.10程序 for n=1:250 w=(n-1); I1=4.9; I2=9.8; I3=19.6; k2=98000; k3=196000; Z1l=[1;0]; Z1r=[1 0;-w^2*I1 1]*Z1l; Z2r=[1 1/k2;-w^2*I2 1-(w^2*I2)/k2]*Z1r; Z3r=[1 1/k3;-w^2*I3 1-(w^2*I3)/k3]*Z2r; Z0=[0 -1]; Z4=Z0*Z3r; disp(Z4); plot(w,Z4); hold on; axis([0,250,-2600000,2600000]); end
I2
I3
假定一系列的试算频率，依次算出 Z1 ，Z 2 , Z3 ，并画出最右端 状态向量随频率的关系曲线； 由图可知，使剩余扭矩 M 3 为零的固有频率 为：
R
R
R
R
1 0，2 126 ，3 210
R R R Z ， Z , Z 相应的各主振型由 1 2 3 中的
值确定，分