2.4典型环节传递函数解析
合集下载
2-4 线性系统的传递函数
1
0
T
t
11
惯性环节的实例如下图所示。
R C uc
ur
(a)
在图(a)所示的电路中，输出电压uc与输入电 压ur间的微分方程为
du c T + uc = ur dt
式中T=RC，为电路的时间常数。
12
if uf
Rf
Lf
(b)
在图(b)所示的直流电机的激磁电路中，当 以激磁电压uf为输入量、以激磁电流if为输出量 时，其电路方程为
G (s) = R(s) =
m m −1 1 0
a n s + a n −1 s
n
n −1
+ …… + a1 s + a 0
( 2 − 50 )
可见，传递函数是由系统微分方程经拉氏变换而引出 的。 系统输入、输出及传递函数之间的相互关系可用 下图表示，输出是由输入经过G(s)的传递而得到的， 因此称G(s)为传递函数。因为传递函数是在零初始条 件下定义的，故在初始条件为零时，它才能完全表征 系统的动态性能。
+ (a)
C ic uc
ur n θ
(b)
ur 在图(a)中，因为 i c = i = R
容两端电压，所以有
uc = 1 c
而输出电压uc近似等于电
∫ i c dt =
在图(b)中，以电动机的转速n(转/分)为输入量， 以减速齿轮带动负载运动的轴的角位移θ为输出量， 可得微分方程 1
θ (t ) =
§2-4 线性系统的传递函数
控制系统的微分方程，是时域中描述系统动态性 能的数学模型，求解微分方程可以得到在给定外界作 用及初始条件下系统的输出响应，并可通过响应曲线 直观地反映出系统的动态过程。但系统的参数或结构 形式有变化，微分方程及其解都会同时变化，不便于 对系统进行分析与研究。 根据求解微分方程的拉氏变换法，可以得到系统 的另一种数学模型——传递函数。它不仅可以表征系 统的动态特性，而且可以方便地研究系统的参数或结 构的变化对系统性能所产生的影响。在经典控制理论 中广泛应用的根轨迹法和频率法，就是在传递函数基 础上建立起来的。
0
T
t
11
惯性环节的实例如下图所示。
R C uc
ur
(a)
在图(a)所示的电路中，输出电压uc与输入电 压ur间的微分方程为
du c T + uc = ur dt
式中T=RC，为电路的时间常数。
12
if uf
Rf
Lf
(b)
在图(b)所示的直流电机的激磁电路中，当 以激磁电压uf为输入量、以激磁电流if为输出量 时，其电路方程为
G (s) = R(s) =
m m −1 1 0
a n s + a n −1 s
n
n −1
+ …… + a1 s + a 0
( 2 − 50 )
可见，传递函数是由系统微分方程经拉氏变换而引出 的。 系统输入、输出及传递函数之间的相互关系可用 下图表示，输出是由输入经过G(s)的传递而得到的， 因此称G(s)为传递函数。因为传递函数是在零初始条 件下定义的，故在初始条件为零时，它才能完全表征 系统的动态性能。
+ (a)
C ic uc
ur n θ
(b)
ur 在图(a)中，因为 i c = i = R
容两端电压，所以有
uc = 1 c
而输出电压uc近似等于电
∫ i c dt =
在图(b)中，以电动机的转速n(转/分)为输入量， 以减速齿轮带动负载运动的轴的角位移θ为输出量， 可得微分方程 1
θ (t ) =
§2-4 线性系统的传递函数
控制系统的微分方程，是时域中描述系统动态性 能的数学模型，求解微分方程可以得到在给定外界作 用及初始条件下系统的输出响应，并可通过响应曲线 直观地反映出系统的动态过程。但系统的参数或结构 形式有变化，微分方程及其解都会同时变化，不便于 对系统进行分析与研究。 根据求解微分方程的拉氏变换法，可以得到系统 的另一种数学模型——传递函数。它不仅可以表征系 统的动态特性，而且可以方便地研究系统的参数或结 构的变化对系统性能所产生的影响。在经典控制理论 中广泛应用的根轨迹法和频率法，就是在传递函数基 础上建立起来的。
典型环节的传递函数
1 xo t xi t dt T
•传递函数为：
1 G s X i s Ts
Xo s
典型环节的传递函数
3、微分环节(纯微分环节) 凡输出量与输入量的微分成正比，称为微分环节， 又称为理想微分环节 •动力学方程为：
xo t T
•传递函数为：
dxi t dt
典型环节的传递函数
8、延时环节 延时环节是输出滞后输入时间 但不失真地反映 输入的环节，又称为时滞环节。 •动力学方程为：
xo t xi t s Xi s
e s
•拉普拉斯变换：
F s L f t f t e dt 0
Ts
G s
Xo s Xi s
典型环节的传递函数
4、惯性环节(一阶积分环节) 又称一阶惯性环节，是一个相位滞后环节。 •动力学方程为：
T
dxo t dt
xo t xi t
Xo s
•传递函数为：
1 G s X i s Ts 1
典型环节的传递函数
1、比例环节 凡输出量与输入量成正比，输出不失真也不延迟 而按比例地反映输入的环节，称为比例环节又叫 放大环节、无惯性环节、零阶环节 •动力学方程为：
xo t Kxi t
•传递函数为：
G s
Xo s Xi s
K
典型环节的传递函数
2、积分环节(纯积分环节) 凡输出量与输入量的积分成正比，称为积分环节， 又称为理想积分环节 •动力学方程为：
st
s a i
•拉普拉斯反变换：
1 a i st f t L F s 2 i a i F s e ds
第2章_控制系统的动态数学模型_2.4传递函数以及典型环节的传递函数
X o ( s) 1 G( s) Fi ( s ) Ms 2 Ds K
【例】R-L-C无源电路网络的传递函数
已知系统的微分方程为：
d2 d LC 2 uc (t ) RC uc (t ) uc (t ) ur (t ) dt dt
所有初始条件均为零时，其拉氏变换为：
LCs 2U c (s) RCsU c (s) U c (s) U r (s)
n
m n bm K =K * (-Zi ) / ( p j ) an i 1 j 1
为传递函数的增益
b0 K a0
*
为根轨迹增益
Ti和 i 为时间常数
零、极点分布图：
G ( s) b0 (s z1 )(s z2 )(s zm ) M (s) a0 (s p1 )(s p2 )(s pn ) D(s)
r (t ) 1(t )
零状态响应分别为： c1 (t ) 1 2et 3e2t
c2 (t ) 1 0.5et 0.5e2t
各个模态在两个系统输出响应中所占的比重不同，
取决于零点相对于极点的距离。
j
z2
z1
0
（5）关于传递函数的几点说明
传递函数是一种以系统参数表示的线性定常系统输 入量与输出量之间的关系式。传递函数的概念通常只 适用于线性定常系统。 传递函数是复数自变量s的复变函数。传递函数中 的各项系数和相应微分方程中的各项系数对应相等， 完全取决于系统结构参数。
D(s)=0 称为系统的特征方程，其根称为系统的 特征根。特征方程决定着系统的动态特性。
D(s) 中s 的最高阶次等于系统的阶次。
将传递函数的分子和分母多项式进行因式分解可得
【例】R-L-C无源电路网络的传递函数
已知系统的微分方程为：
d2 d LC 2 uc (t ) RC uc (t ) uc (t ) ur (t ) dt dt
所有初始条件均为零时，其拉氏变换为：
LCs 2U c (s) RCsU c (s) U c (s) U r (s)
n
m n bm K =K * (-Zi ) / ( p j ) an i 1 j 1
为传递函数的增益
b0 K a0
*
为根轨迹增益
Ti和 i 为时间常数
零、极点分布图：
G ( s) b0 (s z1 )(s z2 )(s zm ) M (s) a0 (s p1 )(s p2 )(s pn ) D(s)
r (t ) 1(t )
零状态响应分别为： c1 (t ) 1 2et 3e2t
c2 (t ) 1 0.5et 0.5e2t
各个模态在两个系统输出响应中所占的比重不同，
取决于零点相对于极点的距离。
j
z2
z1
0
（5）关于传递函数的几点说明
传递函数是一种以系统参数表示的线性定常系统输 入量与输出量之间的关系式。传递函数的概念通常只 适用于线性定常系统。 传递函数是复数自变量s的复变函数。传递函数中 的各项系数和相应微分方程中的各项系数对应相等， 完全取决于系统结构参数。
D(s)=0 称为系统的特征方程，其根称为系统的 特征根。特征方程决定着系统的动态特性。
D(s) 中s 的最高阶次等于系统的阶次。
将传递函数的分子和分母多项式进行因式分解可得
大学自动控制原理2.4典型环节传递函数
02
传递函数的零点和极点决定了系统的动态特性和稳定性。
03
传递函数的分子和分母多项式决定了系统的频率响应特性。
典型环节的分类
比例环节
输出信号与输入信号成正比，传递函 数为 G(s) = K，其中 K 为常数。
02
积分环节
输出信号与输入信号的时间积分成正 比，传递函数为 G(s) = 1 / (sT)，其 中 T 为时间常数。
将介绍控制系统的稳定性 分析方法。
掌握频率响应法在控制系 统设计中的应用。
学习如何利用根轨迹法进 行系统性能分析。
了解现代控制系统的基本 概念和分类。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
高阶环节的传递函数具有多个极点和零点，这些极点和零点 决定了环节的动态特性，如响应速度、超调和调节时间等。
实例分析
以一个三阶惯性环节为例，其传递函数为 $G(s) = frac{1}{s^3 + 2s^2 + 3s + 1}$，该环节具有三个极点 $s = -1, -1, -1$ 和一个 零点 $s = 0$。
拉普拉斯变换中的频率。
该传递函数是一个有理分式，分 母为线性多项式，分子为常数。
当输入信号 (s) 变化时，输出信 号 (G(s)) 会根据增益 (K) 和时间
常数 (T) 进行相应的变化。
实例分析
实例1
一阶惯性环节在电机控制系统中的应用，用于描述电机的动态响应特性。
实例2
在温度控制系统中的一阶惯性环节，用于描述加热元件的热量传递和散热过程。
04 一阶惯环节
定义与特点
定义
一阶惯性环节的传递函数为 (G(s) = frac{K}{T s + 1})，其中 (K) 是增益，(T) 是时间常 数。
传递函数的零点和极点决定了系统的动态特性和稳定性。
03
传递函数的分子和分母多项式决定了系统的频率响应特性。
典型环节的分类
比例环节
输出信号与输入信号成正比，传递函 数为 G(s) = K，其中 K 为常数。
02
积分环节
输出信号与输入信号的时间积分成正 比，传递函数为 G(s) = 1 / (sT)，其 中 T 为时间常数。
将介绍控制系统的稳定性 分析方法。
掌握频率响应法在控制系 统设计中的应用。
学习如何利用根轨迹法进 行系统性能分析。
了解现代控制系统的基本 概念和分类。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
高阶环节的传递函数具有多个极点和零点，这些极点和零点 决定了环节的动态特性，如响应速度、超调和调节时间等。
实例分析
以一个三阶惯性环节为例，其传递函数为 $G(s) = frac{1}{s^3 + 2s^2 + 3s + 1}$，该环节具有三个极点 $s = -1, -1, -1$ 和一个 零点 $s = 0$。
拉普拉斯变换中的频率。
该传递函数是一个有理分式，分 母为线性多项式，分子为常数。
当输入信号 (s) 变化时，输出信 号 (G(s)) 会根据增益 (K) 和时间
常数 (T) 进行相应的变化。
实例分析
实例1
一阶惯性环节在电机控制系统中的应用，用于描述电机的动态响应特性。
实例2
在温度控制系统中的一阶惯性环节，用于描述加热元件的热量传递和散热过程。
04 一阶惯环节
定义与特点
定义
一阶惯性环节的传递函数为 (G(s) = frac{K}{T s + 1})，其中 (K) 是增益，(T) 是时间常 数。
自动控制理论_哈尔滨工业大学_2 第2章线性系统的数学模型_(2.4.1) 典型环节的传递函数PPT
0
t
积分环节在单位阶跃输入下的响应
例：积分器
i2
C
ui R
_
i1
uo
+i1 i2Fra bibliotek1 Rui
(t)
C
d dt
u0
(t )
uo
(t)
1 RC
ui (t)dt
G(s) Uo (s) 1 1 Ui (s) RC s
二、几种典型环节的数学模型
4.微分环节
c(t) d r(t)
斜率1/T
0τ
t
例： • 汽车加速、火箭升空； ——作用力和输出速度
• 加热系统； ——加热量和温度变化
• 励磁回路； ——输入电压和励磁电流
惯性大小用τ来量度。 ——τ越大，接近目标值越慢 ，惯性越大；τ越小，接近 目标值越快，惯性越小。
几乎任何物理系统都包含 大大小小的惯性。
二、几种典型环节的数学模型
滞后环节
二、几种典型环节的数学模型
1.比例环节
y(t) Ku(t)
G(s) Y(s) K U (s)
K——称为比例系数或放大系数，也称为环节的增益，有量纲。
输出量无失真、无滞后、成比例地复现输入。
• 无弹性变形的杠杆；
——作用力和输出力
• 忽略非线性和时间迟后的运算放大器；
——比例放大器的输入电压和输出电压
τ＝RC—时间常数
当 r(t) 1(t) 时， R(s) 1
s
Y(s) s 1 1 s 1 s s 1
t
y(t) e
t=0时，输出幅值为1；
t→∞时，指数衰减至0。
二、几种典型环节的数学模型
2-4 典型环节及其传递函数
1
气阻的数学表达式为 ∆p = R∆q ∆p 式中， 是气体压力降 ； ( N/m 2 ) ∆q ( N ⋅ s) 是气体重量流量 ； R 是气阻值。 因而它的传递函数为 ∆P( s ) G( s ) = =R ∆Q ( s ) （３）喷嘴一挡板机构 喷嘴一挡板机构由恒节流孔 １，背压室 ２，喷嘴 ３，和挡板 ４ 组成，如图 ２－１８ 所示。 ∆h 它的作用是把输入挡板的微小位移 转换成相应 的气压信号输出。在忽略背压室气容影响时，可把喷嘴 1 2 4 一挡板机构看作一个比例环节，即 3 D ∆p D = k 1 ∆h 式中， 是喷嘴背压的变化； ∆p D ∆h 是挡板开度变化量； 是比例系数。 k1 d （４）放大器 h 在自动控制系统中用得最多的是运算放大 器，它是一个具有高放大倍数直接耦合式放大器。 1 − 恒节流孔 2 − 背压室 运算放大器一般由集成电路构成，其符号如图 ２－ 3 − 喷嘴 4 − 挡板 １９ 所示。 图 2-17 喷嘴挡板机构结构示意图 图中三角形尖端代表输出端，输出电压为 u 0 (t ) 它有两个输入端，一个是同相输入端 ｂ 用 “十”表示，一个是反相输入端 ａ 用“一”表示。当 放大器工作在放大区而不是饱和区时，输出电压 与同相输入端电压 和反相输入 u 0 (t ) u i (t ) u ( t ) 端电压 之间的电压差成正比。即 i1 a u 0 (t ) = k [u i2 (t ) − u i1 ( t )] + 也可写成 b ∆u 0 (t ) = k∆u i (t ) U i1 因而其传递函数为 Ui2 U0 ∆U 0 ( s ) G( s ) = =k 图 2-19 运算放大器符号图 ∆U i ( s ) 式中， 为开环放大倍数，这个数值很高，可达到 。所以集成运算放大器工作在 k 10 6 ~ 10 7 无反馈状态时输入电阻很高。它有以下两个主要特点： ①由于开环输入电阻很高，运算放大器两个输入端的电流接近于零。 ②由于开环放大倍数很高，所以 ｂ 端和 Ｃ 端电位接近相等，即 。 u i2 ≈ ui1 运算放大器本身虽属放大环节，但可用它来组成其他各种基本环节。
气阻的数学表达式为 ∆p = R∆q ∆p 式中， 是气体压力降 ； ( N/m 2 ) ∆q ( N ⋅ s) 是气体重量流量 ； R 是气阻值。 因而它的传递函数为 ∆P( s ) G( s ) = =R ∆Q ( s ) （３）喷嘴一挡板机构 喷嘴一挡板机构由恒节流孔 １，背压室 ２，喷嘴 ３，和挡板 ４ 组成，如图 ２－１８ 所示。 ∆h 它的作用是把输入挡板的微小位移 转换成相应 的气压信号输出。在忽略背压室气容影响时，可把喷嘴 1 2 4 一挡板机构看作一个比例环节，即 3 D ∆p D = k 1 ∆h 式中， 是喷嘴背压的变化； ∆p D ∆h 是挡板开度变化量； 是比例系数。 k1 d （４）放大器 h 在自动控制系统中用得最多的是运算放大 器，它是一个具有高放大倍数直接耦合式放大器。 1 − 恒节流孔 2 − 背压室 运算放大器一般由集成电路构成，其符号如图 ２－ 3 − 喷嘴 4 − 挡板 １９ 所示。 图 2-17 喷嘴挡板机构结构示意图 图中三角形尖端代表输出端，输出电压为 u 0 (t ) 它有两个输入端，一个是同相输入端 ｂ 用 “十”表示，一个是反相输入端 ａ 用“一”表示。当 放大器工作在放大区而不是饱和区时，输出电压 与同相输入端电压 和反相输入 u 0 (t ) u i (t ) u ( t ) 端电压 之间的电压差成正比。即 i1 a u 0 (t ) = k [u i2 (t ) − u i1 ( t )] + 也可写成 b ∆u 0 (t ) = k∆u i (t ) U i1 因而其传递函数为 Ui2 U0 ∆U 0 ( s ) G( s ) = =k 图 2-19 运算放大器符号图 ∆U i ( s ) 式中， 为开环放大倍数，这个数值很高，可达到 。所以集成运算放大器工作在 k 10 6 ~ 10 7 无反馈状态时输入电阻很高。它有以下两个主要特点： ①由于开环输入电阻很高，运算放大器两个输入端的电流接近于零。 ②由于开环放大倍数很高，所以 ｂ 端和 Ｃ 端电位接近相等，即 。 u i2 ≈ ui1 运算放大器本身虽属放大环节，但可用它来组成其他各种基本环节。
自动控制原理课件：2_4典型环节
• 电枢回路电压平衡方程
• 电磁转距方程 • 电动机轴上的转距平衡方程
1)确定输入量、输出量 2)确定动态联系
Ua θc
ua
=
Raia
+ La
dia dt
+ eb
eb = Kbωm
(2)
J
dωm dt
=
Mm
−ML
−
fωm
ua
(1)
Eb Eb
ML
(3) Mm
1
Ia
LaS + Ra
1
ωm
JS + f
电磁力矩 M m = Cmia
Ua eb
La
f1 Mm ML
J1
ωmθm 1/i θc
nω
M2
J2 、f2
原理:直流电动机的工作实质是将输入的
电能转换为机械能，也就是由输入的电枢电压Ua(t) 在电枢回路中产生电枢电流ia (t)，再由电流ia （t）与激磁磁通相互作用产生电磁转距Mm(t)， 从而拖动负载运动。因此，直流电动机的运动方 程可由以下三部分组成。
(4)
Ia Cm
Mm
角速度 ωm = dθm dt
(5)
θm
ωm
S
输出轴转角方程
θm
θc = θm i (6)
1 i
θc
4、传递函数 联结各框图得系统方快图(P39:图表-48)
用结构变换或Mason公式求出传递函数
三、求取系统传递函数的一般方法
步骤： * 1.首先确定出系统的输出信号(被控量等)和输入
信号（如给定值、干扰等）。 * 2.把系统分成若干个典型环节，求出各环节的
传递函数。用信号线把这些方框连接起来，得 到系统的动态结构图。 * 3.对动态结构图进行变换，得到传递函数。
• 电磁转距方程 • 电动机轴上的转距平衡方程
1)确定输入量、输出量 2)确定动态联系
Ua θc
ua
=
Raia
+ La
dia dt
+ eb
eb = Kbωm
(2)
J
dωm dt
=
Mm
−ML
−
fωm
ua
(1)
Eb Eb
ML
(3) Mm
1
Ia
LaS + Ra
1
ωm
JS + f
电磁力矩 M m = Cmia
Ua eb
La
f1 Mm ML
J1
ωmθm 1/i θc
nω
M2
J2 、f2
原理:直流电动机的工作实质是将输入的
电能转换为机械能，也就是由输入的电枢电压Ua(t) 在电枢回路中产生电枢电流ia (t)，再由电流ia （t）与激磁磁通相互作用产生电磁转距Mm(t)， 从而拖动负载运动。因此，直流电动机的运动方 程可由以下三部分组成。
(4)
Ia Cm
Mm
角速度 ωm = dθm dt
(5)
θm
ωm
S
输出轴转角方程
θm
θc = θm i (6)
1 i
θc
4、传递函数 联结各框图得系统方快图(P39:图表-48)
用结构变换或Mason公式求出传递函数
三、求取系统传递函数的一般方法
步骤： * 1.首先确定出系统的输出信号(被控量等)和输入
信号（如给定值、干扰等）。 * 2.把系统分成若干个典型环节，求出各环节的
传递函数。用信号线把这些方框连接起来，得 到系统的动态结构图。 * 3.对动态结构图进行变换，得到传递函数。
2019大学自动控制原理2.4典型环节传递函数
xo (t) xi (t ) τ为延迟时间 G(s) L[x0(t)] L[xi (t )]
L[xi (t)] L[xi (t)]
Xi (s)es es X i (s)
强调：
1、一个元件和一个环节不是等价的。 一个元件可能划分为几个环节，也可能几 个元件构成一个环节。
2、不要把表示系统结构情况的物理框图 与分析系统的传递函数的框图混淆。
解： (t) Ke(t)
(t) K e(t)dt
G(s) (s) E(s) K s
设
T
1 K
则 G(s) 1 Ts
§2.4.5 振荡环节（二阶振荡环节）
T 2xo (t) 2Txo (t) xo (t) xi (t)
G(s)
1
T s2 2 2Ts 1
— 阻尼比(0 1)
当|Ts|<<1时，G(s)=Ts， 才近似为理想的微分环节。
（1）预见输入（使输入提前）
比例环节 R(s)
X (s)
r(t) t 1
o
xo (t)
1
o 45
t
比例+微分
R(s)
r(t) t
1 Ts
Xo (s)
x (t) o
21
o
t
t1 t 2
(2)增加阻尼
KP
K s(Ts 1)
G（s）
3、环节的传递函数也不是固定不变的， 这取决于选取的输入及输出量是什么。 当输入、输出量不同时，传递函数不同。
1 Ts
X（i s）G(s)
1 Ts
T为积分环节的时间常数
例题：
当 A盘作恒速转动，并靠摩擦力带动
B盘以角速度ω转动时，因 B盘和I 轴
L[xi (t)] L[xi (t)]
Xi (s)es es X i (s)
强调：
1、一个元件和一个环节不是等价的。 一个元件可能划分为几个环节，也可能几 个元件构成一个环节。
2、不要把表示系统结构情况的物理框图 与分析系统的传递函数的框图混淆。
解： (t) Ke(t)
(t) K e(t)dt
G(s) (s) E(s) K s
设
T
1 K
则 G(s) 1 Ts
§2.4.5 振荡环节（二阶振荡环节）
T 2xo (t) 2Txo (t) xo (t) xi (t)
G(s)
1
T s2 2 2Ts 1
— 阻尼比(0 1)
当|Ts|<<1时，G(s)=Ts， 才近似为理想的微分环节。
（1）预见输入（使输入提前）
比例环节 R(s)
X (s)
r(t) t 1
o
xo (t)
1
o 45
t
比例+微分
R(s)
r(t) t
1 Ts
Xo (s)
x (t) o
21
o
t
t1 t 2
(2)增加阻尼
KP
K s(Ts 1)
G（s）
3、环节的传递函数也不是固定不变的， 这取决于选取的输入及输出量是什么。 当输入、输出量不同时，传递函数不同。
1 Ts
X（i s）G(s)
1 Ts
T为积分环节的时间常数
例题：
当 A盘作恒速转动，并靠摩擦力带动
B盘以角速度ω转动时，因 B盘和I 轴
2.4典型环节传函
ωn = 2 2 s + 2ξωn s + ωn
2
六、 延迟环节
1．动态方程
x(t )
y (t ) = x (t − τ )
y (t )
x0
t
2.传递函数 2.传递函数
x0
τ
t
Y ( s) G(s) = = e −τs X ( s)
一、比例环节
运动方程： 运动方程：
r(t)
R1
－ ＋
⊳∞
C(t)
c (t ) = Kr (t )
传递函数： 传递函数 G ( s ) = K
R2
其中K为增益 其中 为增益
举例：分压器，比例运算放大器等。 举例：分压器，比例运算放大器等。
二、 积分环节
C 1(t)
r(t)
t r(t)
R1
－ ＋
⊳∞
C(t) C(t)
y (t ) = 1 −
1 1−ξ 2
e −ξωnt sin(ω n 1 − ξ 2 t + tan −1
1−ξ 2
ξ
)
即动态响应 曲线如左图 所示是一衰 减振荡曲线
2.传递函数： 2.传递函数： 传递函数
Y ( s) 1 G ( s) = = 2 2 X ( s ) T s + 2ξTs + 1
Ts G(s) = Ts + 1
五、振荡环节
1.动态特性 1.动态特性
+
R
L
+
x(t )
−
i
C
y (t )
−
d 2 y (t ) dy (t ) LC + RC + y (t ) = x(t ) 2 dt dt
机电控制基础 第二章第四节传递函数
G(s) b0 b0
b0
b0
a0 a0 sn an1 sn1 ... a1 s 1
an
an
an
m1
m2
( k s 1)
(
2 l
s
2
2
l
s
1)
G(s) K
k 1 v n1
s
l 1 n2
(Ti s 1)
(T
2 j
s
2
2Tj
s
1)
i 1
j 1
2.4、控制系统的复域模型—传递函数
例1 已知
10
2.4、控制系统的复域模型—传递函数
4．积分环节
微分方程 传递函数
t
c(t) K 0 r(t)dt
G(s) C(s) K R(s) s
例6：液压缸 输入：流量q(t) 输出：活塞位移y(t)
q(t) A dy(t) dt
y(t)
1 A
q(t)dt
Y (s) 1 Q(s) As
G(s) Y(s) 1 Q(s) As
Ts 1
s 2 2 s 1
n2
n
e s
7
2.4、控制系统的复域模型—传递函数
1．比例环节
运动学方程
c(t) Kr(t)
传递函数
G(s) C(s) K R(s)
例3： 测速发电机 输入：角速度ω 输出：电压u
u(t) Kt(t)
G(s)
U (s) (s)
Kt
2.4、控制系统的复域模型—传递函数
（3） 画出对应的零极点图； （4） 求系统的单位脉冲响应；
(3) 如图所示
(4)
k(t)
L1[G ( s )]
《自控原理》典型环节的传递函数
3.结构图： 结构图： 结构图 R(S)
1 T2S2+2ξTS +1
C(S)
七、二阶微分环节
d2r(t) dr(t) 2 + r(t) =c(t) 1.微分方程： 微分方程： 微分方程 τ + 2ξτ 2 dt dt
τ：环节的时间常数;ξ：阻尼比。
2.传递函数： 传递函数： 传递函数
G ( s ) = τ S + 2ξτS + 1
G(S)=K
R(S)
K
C(S)
二、积分环节
1.微分方程： c(t)=∫r(t)d(t) 微分方程： 微分方程 ∫ 2.特点： 特点： 特点 输出对输入信号上在时间上的积分。 输出对输入信号上在时间上的积分。 1
3.传递函数： 传递函数： 传递函数
G(S)=
R(S)
S
4.结构图： 结构图： 结构图
1 S
种简单的形式组成，这些典 型的单元，称作典型的环节。
1、比例环节： 、比例环节： 2、积分环节： 、积分环节： 3、纯微分环节： 、纯微分环节：
G(S)=K 1 G(S)= S G(S)=S
1 G(S)= 4、惯性环节： 、惯性环节： TS+1 5、一阶微分环节： G(S)= τS+1 、一阶微分环节： ω2n 6、二阶振荡环节： G(S)= 2 、二阶振荡环节： S +2 ξωnS+ω2n ω 7、二阶微分环节： G ( s ) = τ 2 S 2 + 2ξτS + 1 、二阶微分环节： τ G(S)=e-τs 8、延迟环节： 、延迟环节：
4.结构图： 结构图： 结构图
S
四、惯性环节（一阶环节） 惯性环节（一阶环节）
1 T2S2+2ξTS +1
C(S)
七、二阶微分环节
d2r(t) dr(t) 2 + r(t) =c(t) 1.微分方程： 微分方程： 微分方程 τ + 2ξτ 2 dt dt
τ：环节的时间常数;ξ：阻尼比。
2.传递函数： 传递函数： 传递函数
G ( s ) = τ S + 2ξτS + 1
G(S)=K
R(S)
K
C(S)
二、积分环节
1.微分方程： c(t)=∫r(t)d(t) 微分方程： 微分方程 ∫ 2.特点： 特点： 特点 输出对输入信号上在时间上的积分。 输出对输入信号上在时间上的积分。 1
3.传递函数： 传递函数： 传递函数
G(S)=
R(S)
S
4.结构图： 结构图： 结构图
1 S
种简单的形式组成，这些典 型的单元，称作典型的环节。
1、比例环节： 、比例环节： 2、积分环节： 、积分环节： 3、纯微分环节： 、纯微分环节：
G(S)=K 1 G(S)= S G(S)=S
1 G(S)= 4、惯性环节： 、惯性环节： TS+1 5、一阶微分环节： G(S)= τS+1 、一阶微分环节： ω2n 6、二阶振荡环节： G(S)= 2 、二阶振荡环节： S +2 ξωnS+ω2n ω 7、二阶微分环节： G ( s ) = τ 2 S 2 + 2ξτS + 1 、二阶微分环节： τ G(S)=e-τs 8、延迟环节： 、延迟环节：
4.结构图： 结构图： 结构图
S
四、惯性环节（一阶环节） 惯性环节（一阶环节）
典型环节的传递函数
典型环节的传递函数
1、比例环节 凡输出量与输入量成正比，输出不失真也不延迟 而按比例地反映输入的环节，称为比例环节又叫 放大环节、无惯性环节、零阶环节
•动力学方程为：
xotKxit
•传递函数为：
Gs
Xo s Xi s
K
典型环节的传递函数
2、积分环节(纯积分环节) 凡输出量与输入量的积分成正比，称为积分环节， 又称为理想积分环节
•动力学方程为：
Tdxdottxotxit
•传递函数为：
GsXXoi ss
1 Ts1
典型环节的传递函数
5、导前环节(一阶微分环节) 又称为一阶微分环节，是一个相位超前环节。
•传递函数为：
GsXXoi ssTs1
典型环节的传递函数
6、振荡环节(二பைடு நூலகம்积分环节) 振荡环节是二阶环节，又称二阶振荡环节
•传递函数为：
•动力学方程为：
xotT1xi tdt
•传递函数为：
Gs
Xo s Xi s
1 Ts
典型环节的传递函数
3、微分环节(纯微分环节) 凡输出量与输入量的微分成正比，称为微分环节， 又称为理想微分环节
•动力学方程为：
xo
t
T
dxi t
dt
•传递函数为：
Gs
Xo s Xi s
Ts
典型环节的传递函数
4、惯性环节(一阶积分环节) 又称一阶惯性环节，是一个相位滞后环节。
G sX Xo isss22 n 2 nsn 2
GsX Xo issT2s22 1Ts1
典型环节的传递函数
7、二阶微分环节
•传递函数为：
G sX Xo isss22 n 2 nsn 2 GsX Xo issT2s22Ts1
1、比例环节 凡输出量与输入量成正比，输出不失真也不延迟 而按比例地反映输入的环节，称为比例环节又叫 放大环节、无惯性环节、零阶环节
•动力学方程为：
xotKxit
•传递函数为：
Gs
Xo s Xi s
K
典型环节的传递函数
2、积分环节(纯积分环节) 凡输出量与输入量的积分成正比，称为积分环节， 又称为理想积分环节
•动力学方程为：
Tdxdottxotxit
•传递函数为：
GsXXoi ss
1 Ts1
典型环节的传递函数
5、导前环节(一阶微分环节) 又称为一阶微分环节，是一个相位超前环节。
•传递函数为：
GsXXoi ssTs1
典型环节的传递函数
6、振荡环节(二பைடு நூலகம்积分环节) 振荡环节是二阶环节，又称二阶振荡环节
•传递函数为：
•动力学方程为：
xotT1xi tdt
•传递函数为：
Gs
Xo s Xi s
1 Ts
典型环节的传递函数
3、微分环节(纯微分环节) 凡输出量与输入量的微分成正比，称为微分环节， 又称为理想微分环节
•动力学方程为：
xo
t
T
dxi t
dt
•传递函数为：
Gs
Xo s Xi s
Ts
典型环节的传递函数
4、惯性环节(一阶积分环节) 又称一阶惯性环节，是一个相位滞后环节。
G sX Xo isss22 n 2 nsn 2
GsX Xo issT2s22 1Ts1
典型环节的传递函数
7、二阶微分环节
•传递函数为：
G sX Xo isss22 n 2 nsn 2 GsX Xo issT2s22Ts1
控制工程基础：2.4 传递函数以及典型环节的传递函数
G(s)= 1 Ts 1
•2.4.3.振荡环节（二阶）
G(s)=
1
或
2
T 2s2 2 Ts 1
s2 2s 2
（0< <1)
•2.4.4.积分环节
G(s)= k s
•2.4.5.理想微分环节 •2.4.6.近似微分环节
G(s)=ks
G(s)= kTs Ts+1
• 2.4.7.延迟环节 G(s)= e -τs
N(s) – 分母多项式，又称特征多项式，它决定着系统 响应的基本特点和动态本质。
一般情况下，要求n≥m
G(s) C(s) b0sm b1s m1 bm1s bm M (s) R(s) a0s n a1s n1 an1s an N (s)
m
(s+zi )
K*
i 1 n
于是，由定义得系统传递函数为：
G(s)
C(s) R(s)
b0 s m a0 s n
b1s m1 a1s n1
bm1s bm an1s an
M (s) N(s)
M (s) b0 s m b1s m1 bm1s bm M(s) – 分子多项式
N (s) a0 s n a1s n1 an1s an
2.4 传递函数以及典型环节的传递函数
2.4 传递函数以及典型环节的传递函数
微分方程是在时域中描述系统动态性能的数学 模型，在给定输入量和初始条件下求解微分方 程可以得到系统的输出响应。系统结构和参数 变化时分析较麻烦。
传递函数是在用拉氏变换求解线性常微分方 程的过程中引申出来的概念。
用拉氏变化法求解微分方程时，可以得到控 制系统在复数域的数学模型－传递函数。
传递函数的局限性
典型环节的传递函数
21
一、典型输入信号
1. 阶跃函数：
r(t)
a t 0
a
r(t) 0 t 0
t
单位阶跃函数：
1 t 0 r(t) 1(t) 0 t 0
单位阶跃函数的拉氏变换
R(s) L[1(t)] 1 s
22
2. 速度函数(斜坡函数)：
r(t)
at t 0
r(t)
0
t0
at
t
单位速度函数(斜坡函数)：
传递函数为： G(s)
1
s
积分环节原理图为：
U2(s) 1/ Cf s 1 1 U1(s) R1 R1C f s Tis
4
空载油缸
流量：
Q
f
(t)
A
dx(t) dt
X (s) 1/ A K Q f (s) s s
小惯性电动机
m(s) Km
Ua(s) s
三、理想微分环节 微分方程为：c(t) dr(t)
4. 调节时间ts:整个过渡过程所经历的时间，有时也叫过渡过 程时间。
30
5. 超调量σ%: 响应过程中，输出量
超出稳态值的最大偏差值， 一般用它与稳态值的比值 的百分数表示，即
% h(t p ) h() 100%
h()
6. 振荡次数N:单位阶跃响应曲线在0→ts时间内，穿越稳态 值次数的一半称为振荡次数。
31
7.稳态误差ess:对单位 负反馈系统，当时间t 趋于无穷时，系统单 位阶跃响应的期望值 [即输入量1(t)] 与实际值 (即稳态值)之差，定义为 稳态误差:
ess =1 - h(∞)
当h(∞) =1时，系统的稳态误差为零。
32
注意： σ%
2.3 传递函数 2.4 典型环节的传递函数
sX o (s)
+
k A2 R
X o (s)
=
sX i (s)
得到传递函数
G(s) = X o (s) = s = Ts
Xi (s)
s
+
k A2R
Ts +1
T = A2R k
由上面传递函数形式看出，液压阻尼器是包含有惯性环 节和微分环节的系统，称之为具有惯性的微分环节。
若|Ts|<<1时，G(s)≈Ts，系统近似成为理想微分环节。
如果对微分方程进行拉氏变换，得到代数方程(复数域)， 将使解算简化而方便。传递函数是在拉普拉斯变换基础上产生 的，可以用来方便直观地描述零初始条件下的单输入单输出系 统，是对元件及系统进行分析、研究与综合的有力工具。
根据传递函数在复平面上的形状可以直接判断系统的动态 性能，找出改善系统品质的方法。传递函数是经典控制理论的 基础，是极其重要的基本概念。
得到系统（或环节）传递函数的一般形式
G(s) =
X o (s) Xi (s)
=
bmsm + bm−1sm−1 + L+ b1s + b0 ansn + an−1sn−1 + L+ a1s + a0
由此可知，只要知道系统微分方程，就可求出其传递函
数。
上海大学 机电工程与自动化学院
2.3 传递函数
2.3.3 传递函数的特点
微分环节的方框图
因此，理想微分环节的传递函数为
微分环节的 时间常数
G(s) = X o (s) = Ts
Xi(s)
Ts
Xo(s)
Xi (s)
当输入量为阶跃函数时，理论上输出量将是一个幅值为
典型环节的传递函数
式中，K—环节增益（放大系数）； T—时间常数，表征环节的惯性，和 环节结构参数有关
特点：有一个阻尼元件存在，当有一个输入信号时，不会 马上达到一定值，而是需要一个缓慢上升的过程。
xi (t )
x0 (t )
忽略质量，由达朗贝尔 原理可知 o 0 数学模型 ( xi xo )k cx o kxo kxi csX o ( s ) kX o ( s ) kX i ( s ) cx X o (s) k 1 传递函数 G ( s ) X i ( s ) cs k Ts 1
例
如图所示弹簧-阻尼系统。
Xi(t)
kx i (t ) x 0 (t ) D
dx0 (t ) dt
Xo(t)
kX i (s) X o (s) DsXo (s)
D s 1X o (s) X i (s) k
X (s) 1 G (s) 0 X i (s) D s 1 k
LCuo (t ) RCuo (t ) uo (t ) ui (t ) ( LCs 2 RCs 1)U o ( s ) U i ( s )
U o (s) 1 G (s) 2 U i ( s ) LCs RCs 1
2 n 1/( LC ) 2 2 2 s ( R / L) s 1/( LC ) s 2n s n
特点：输出量与输入量成正比，输出不失真也不延迟，而 是按比例反映输入，即线性变化。
R2
由运算放大器构成的比例环节
R2 uo (t ) ui (t ) Kui (t ) R1 拉氏变换 U o ( s ) KU i ( s ) G ( s )
如图所示齿轮传动副，
2.4传递函数及典型环节传递函数
典型环节示例 1 比例环节
输出量不失真、无惯性地跟随输入量， 两者成比例关系。
传递函数及典型环节的传递函数
比例环节的传递函数为：
传递函数及典型环节的传递函数
2 惯性环节： 凡运动方程为一阶微分方程
形式的环节称为惯性环节。其传递函数为：
K—环节增益（放大系数） T—时间常数，表征环节的惯性，和 环节结构参数有关
传递函数及典型环节的传递函数
如：有源积分网络
传递函数及典型环节的传递函数
液压缸
传递函数及典型环节的传递函数
5 二阶振荡环节 含有两个独立的储能元件，且所存储的 能量能够相互转换，从而导致输出带有 振荡的性质，运动方程为：
传递函数：
传递函数及典型环节的传递函数
振荡环节传递函数的另一常用标准形式为 （K=1）
无源微分网络
无源网络
显然，无源微分网络包括有惯性环节和微 分环节，称之为惯性微分环节，只有当 |Ts|<<1时，才近似为微分环节。
传递函数及典型环节的传递函数
除了上述微分环节外，还有一类一阶微分环 节，其传递函数为：
微分环节的输出是输入的导数，即输出反 映了输入信号的变化趋势，从而给系统以 有关输入变化趋势的预告。因此，微分环 节常用来改善控制系统的动态性能。
2) 传递函数是s 的复变函数。传递函数中的 各项系数和相应微分方程中的各项系数对应 相等，完全取决于系统结构参数；
传递函数及典型环节的传递函数
3) 传递函数是在零初始条件下定义的，即在零时 刻之前，系统对所给定的平衡工作点处于相对静 止状态。因此，传递函数原则上不能反映系统在 非零初始条件下的全部运动规律； 4) 传递函数只能表示系统输入与输出的关系,无 法描述系统内部中间变量的变化情况。
输出量不失真、无惯性地跟随输入量， 两者成比例关系。
传递函数及典型环节的传递函数
比例环节的传递函数为：
传递函数及典型环节的传递函数
2 惯性环节： 凡运动方程为一阶微分方程
形式的环节称为惯性环节。其传递函数为：
K—环节增益（放大系数） T—时间常数，表征环节的惯性，和 环节结构参数有关
传递函数及典型环节的传递函数
如：有源积分网络
传递函数及典型环节的传递函数
液压缸
传递函数及典型环节的传递函数
5 二阶振荡环节 含有两个独立的储能元件，且所存储的 能量能够相互转换，从而导致输出带有 振荡的性质，运动方程为：
传递函数：
传递函数及典型环节的传递函数
振荡环节传递函数的另一常用标准形式为 （K=1）
无源微分网络
无源网络
显然，无源微分网络包括有惯性环节和微 分环节，称之为惯性微分环节，只有当 |Ts|<<1时，才近似为微分环节。
传递函数及典型环节的传递函数
除了上述微分环节外，还有一类一阶微分环 节，其传递函数为：
微分环节的输出是输入的导数，即输出反 映了输入信号的变化趋势，从而给系统以 有关输入变化趋势的预告。因此，微分环 节常用来改善控制系统的动态性能。
2) 传递函数是s 的复变函数。传递函数中的 各项系数和相应微分方程中的各项系数对应 相等，完全取决于系统结构参数；
传递函数及典型环节的传递函数
3) 传递函数是在零初始条件下定义的，即在零时 刻之前，系统对所给定的平衡工作点处于相对静 止状态。因此，传递函数原则上不能反映系统在 非零初始条件下的全部运动规律； 4) 传递函数只能表示系统输入与输出的关系,无 法描述系统内部中间变量的变化情况。
自动控制原理_2.4典型环节传递函数
B盘以角速度ω 转动时，因 B盘和I 轴
间以滑动键联接，故B盘滑动就会改变
偏心量e；当时e=0，A盘转动而 B盘不
转；e增大， B盘角速度ω 正比的增大， 设K为比例常数，B盘转角为θ (t)。 输入— e 输出—θ (t)
解： (t ) Ke(t )
(t ) K e(t )dt
di(t ) 1 ui (t ) L i(t ) R i(t )dt dt C 1 uo (t ) i(t )dt C
§2.4.6 延时环节（迟延环节）
xo (t ) xi (t )
τ为延迟时间
L[ x0 (t )] L[ xi (t )] G( s ) L[ xi (t )] L[ xi (t )]
当|Ts|<<1时，G(s)=Ts，
才近似为理想的微分环节。
此系统为包含有惯性环节及微分环节的系统。
（1）预见输入（ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ输入提前）
比例环节
R(s) r(t) t
1
1
X o ( s)
xo (t )
o
45
t
比例+微分
R(s) r(t ) t
1 Ts
X o ( s)
xo (t )
K G( s ) Ts 1
K为惯性环节的增益或放大系数；T为时间常数
理想的一阶惯性环节
1 G( s ) Ts 1
例1. 无源滤波电路
ui uo C为电容 R为电阻
1 ui (t ) i (t ) R i (t )dt C 解： 1 uo (t ) i (t )dt C 1 U i (t ) I ( s) R I (s) Cs LT得： 1 U o (t ) I ( s) Cs
自动控制理论第二章传递函数_图文
解：前向通路4条 独立回路3个
§2.6 一般反馈控制系统
传递函数的各种术语 误差传函 扰动传函 一般控制作用
1. 一般控制系统
前向通道传函 闭环系统的开环传函 系统闭环传递函数 系统在给定作用下的输出
1、由系统输入到系统输出端的信号通路定义为系统 前向主通路(道)[简称主通路或前向通路]
②方框：表示输入、输出信号之间的传递 关系。
③引出点(测量点)：表示信 号引出或测量位置，从同一 点引出的信号完全相同。
④比较点(综合点)：表示两个或两个以上 的信号，在该点相加、减。注意，比较点 处信号的运算符号必须标明正(+)、负(-)， 一般不标者取正号。同时进行运算的信号 必须具有相同的量纲。
梅逊公式
回路总增益 (闭环传函)
第i条前向通 道余子式
第i个前向 通道增益
特征式
例：三级RC滤波网络如
图所示，求传递函数G(s)。
解： 前向通路1条 独立回路5个
两两不接触回路6个
三三不接触回路 特征式 余子式 传递函数
例：试求取图示系统的传递函数
解：前向通路3条
独立回路2个
例：系统结构图如图所示，试求其传递函数
积分器框图
特性：调节系统稳态误差，也称为无差 环节。
电压的传递函数
三、纯微分环节
定义：环节的输出响应正比于输入信号的变化率 。
微分方程 传递函数
测速发电机
四、惯性环节
定义：环节的输出不能立即复现输入，而是经过 一定时间后才能复现输入的变化。
微分方程
传递函数
运算放大器
五、振荡环节
定义：在输入作用下，环节输出响应随时间变化的 过渡过程总是在某一稳定值上下出现衰减振荡，而 最终趋于稳定值。
§2.6 一般反馈控制系统
传递函数的各种术语 误差传函 扰动传函 一般控制作用
1. 一般控制系统
前向通道传函 闭环系统的开环传函 系统闭环传递函数 系统在给定作用下的输出
1、由系统输入到系统输出端的信号通路定义为系统 前向主通路(道)[简称主通路或前向通路]
②方框：表示输入、输出信号之间的传递 关系。
③引出点(测量点)：表示信 号引出或测量位置，从同一 点引出的信号完全相同。
④比较点(综合点)：表示两个或两个以上 的信号，在该点相加、减。注意，比较点 处信号的运算符号必须标明正(+)、负(-)， 一般不标者取正号。同时进行运算的信号 必须具有相同的量纲。
梅逊公式
回路总增益 (闭环传函)
第i条前向通 道余子式
第i个前向 通道增益
特征式
例：三级RC滤波网络如
图所示，求传递函数G(s)。
解： 前向通路1条 独立回路5个
两两不接触回路6个
三三不接触回路 特征式 余子式 传递函数
例：试求取图示系统的传递函数
解：前向通路3条
独立回路2个
例：系统结构图如图所示，试求其传递函数
积分器框图
特性：调节系统稳态误差，也称为无差 环节。
电压的传递函数
三、纯微分环节
定义：环节的输出响应正比于输入信号的变化率 。
微分方程 传递函数
测速发电机
四、惯性环节
定义：环节的输出不能立即复现输入，而是经过 一定时间后才能复现输入的变化。
微分方程
传递函数
运算放大器
五、振荡环节
定义：在输入作用下，环节输出响应随时间变化的 过渡过程总是在某一稳定值上下出现衰减振荡，而 最终趋于稳定值。
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
s(Ts 1)
G（s） 2
Ts
2
K K（T s 1）
P
d
（1 K p KTd）s K P
K
(3)强化噪声
§2.4.4 积分环节
积分环节是输出正比于输入对时间的积分 的环节。
即：
x（t） o
1 T
x（t）dt i
拉氏变换得
:
X（o s）
1 Ts
X（i s）G(s)
1 Ts
T为积分环节的时间常数
例题：
例1. 无源滤波电路
ui u
o
C为电容 R为电阻
解：
ui
(t
)
i
(t
)
R
1 C
i(t
)dt
1
uo (t) C i(t)dt
LT得：
Ui
(t)
I
(s)R
1 Cs
I
(s)
Uo
(t)
1 Cs
I
(s)
G(s) U1(s) 1 1 (设RC T ) U0(s) RCs 1 Ts 1
例2、弹簧阻尼系统
当 A盘作恒速转动，并靠摩擦力带动
B盘以角速度ω转动时，因 B盘和I 轴
间以滑动键联接，故B盘滑动就会改变 偏心量e；当时e=0，A盘转动而 B盘不 转；e增大， B盘角速度ω正比的增大， 设K为比例常数，B盘转角为θ(t)。 输入— e 输出—θ(t)
解： (t) Ke(t)
(t) K e(t)dt
解：
di(t)
1
u (t) L i
dt
i(t)R C i(t)dt
u o
(t)
1 C
i(t)dt
LT，得：U U
i (s)LsI (s)
0
(
s)
1 cs
I
(
s)
I
(s)
R
1 cs
I
(
s
)
G(s) Uo (s)
1
Ui (s) LCs 2 RCs 1
n 1 LC
R C
2L
§2.4.6 延时环节（迟延环节）
相似系统：能用形式相同的数学模型来 描述的物理系统。
G(s) (s) E(s) K s
设
T
1 K
则 G(s) 1 Ts
§2.4.5 振荡环节（二阶振荡环节）
T 2xo (t) 2Txo (t) xo (t) xi (t)
G(s)
1
T s2 2 2Ts 1
— 阻尼比(0 1)
T — 振荡环节的时间常数
n — 1 T
n
n代入G(s)得
G(s)
s2
n2 2ns
n2
注意：
1）0≤ξ＜1时，二阶系统为振荡环节。 2) ξ≥1时，二阶环节不是振荡环节，
而是两个一阶惯性环节的组合。 所以二阶环节不一定是振荡环节。
例：无源R-C-L网络
L
R
ui
i
C
uo
ui (t) — 输入电压 L —电感 R —电阻 uo (t) — 输出电压 i(t) —电流 C —电容
即 xo (t) Txi (t)
G(s) Xo (s) X (s) Ts i
T为微分环节的时间常数
1、理想的微分环节 G(s) Ts 2、实际的微分环节 G(s) Ts
Ts 1
3、微分环节对系统的控制作用
例1、 电压下图为一直流发电机原理
图。激磁电压ui恒定，磁通不变。此时 电枢u0与转速 成正比(θ为转子转 角)，即输入量为θ，输出量为u0。
解：因为磁通不变，既ui恒定
uo T d dt （T为常数）
G(s)
U
o(s)
i
(s)
Ts
直流发电机作为测速发电机时
可以认为是一个微分环节
例： 液压阻尼器的原理图，图中A为活 塞右边面积；k为弹簧刚度；R为节流 阀液阻；p1 、p2分别为油缸左、右腔 单位面积上的压力。
xi—活塞位移 x0—油缸位移
动力学方程为： xo (t) Kxi (t)
G(s) Xo (s) Xi (s) K
§2.4.2 惯性环节：（一阶惯性环节）
动力学方程为 ： Txo (t) xo (t) Kxi (t)
G(s) K Ts 1
K为惯性环节的增益或放大系数；T为时间常数
理想的一阶惯性环节 G(s) 1 Ts 1
k
xi(t) xi (t) —
xo (t) — 输出位移
xo(t) k —
c
c — 粘性阻尼系数
解：k[ xi
(t)
xo
(t
)]
c
dxo (t dt
)
LT得：G(s)
X o (s) X i (s)
c
1 s 1
k
1 (设 c 1) Ts 1 k
§2.4.3 微分环节
微分环节具有输出正比于输入的微分
§2.4 典型环节的传递函数
§2.4.1 比例环节 §2.4.2 惯性环节（一阶惯性环节） §2.4.3 微分环节 §2.4.4 积分环节 §2.4.5 振荡环节（二阶振荡环节） §2.4.6 延时环节（迟延环节）
§2.4.1 比例环节
凡输出量与输入量成正比，输出不失真 也不延迟，而按比例地反映输入的环节， 称为比例环节。
3、环节的传递函数也不是固定不变的， 这取决于选取的输入及输出量是什么。 当输入、输出量不同时，传递函数不同。
相似原理
xi (t)
R
k
ui i
C
Байду номын сангаас
uo
c
xo (t)
对于上述两图知是电系统与机械系统两种装置。
对于这两种机构求其传递函数均为
G(s) 1 Ts 1
两者物理模型不同，但数学模型相同， 功能相同，对于二者的“异构同功”称其 为相似系统。
（1）预见输入（使输入提前）
比例环节 R(s)
r(t) t
1
X o (s)
xo (t)
1
o 45
t
比例+微分
R(s)
r(t) t
1 Ts
Xo (s)
x (t) o
21
o
t
t1 t 2
(2)增加阻尼
KP
K s(Ts 1)
G（s）
KPK
1
Ts 2 s K P K
K
K P (Td s 1)
油缸的力平衡方程式：
A( p2 p1) kxo
通过节流阀的流量：
q
A( x i
xo )
p2 R
p1
得：
( xi
xo )
k A2R
xo
G(s)
XX（（o ss）） i
s
s
k
A2 R
令T A2R k
G(s) Ts Ts 1
此系统为包含有惯性环节及微分环节的系统。
当|Ts|<<1时，G(s)=Ts， 才近似为理想的微分环节。
xo (t) xi (t ) τ为延迟时间 G(s) L[x0(t)] L[xi (t )]
L[xi (t)] L[xi (t)]
Xi (s)es es X i (s)
强调：
1、一个元件和一个环节不是等价的。 一个元件可能划分为几个环节，也可能几 个元件构成一个环节。
2、不要把表示系统结构情况的物理框图 与分析系统的传递函数的框图混淆。